변수 변경

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에 대한 일련의 기사의 일부
미적분학.
기본 정리 라이프니즈 적분 규칙 함수의 한계 연속성 평균값 정리 롤의 정리
미분 정의들 파생상품(일반화) 미분 극소수의 함수의. 총계 개념 분화 표기법 제2차 파생상품 암묵적 분화 로그 분화 관련금리 테일러의 정리 규칙 및 ID 합계 제품 체인 힘 지수 라피탈의 법칙 반비례 라이프니즈 장군 파아디 브루노 공식 레이놀즈.
적분 통합 목록 적분 변환 정의들 해독제 적분(불량) 리만 적분 르베그 통합 등고선 통합 역함수의 적분 통합 기준 부품. 디스크 원통 조개 대체(트리거, 위어스트라스, 오일러) 오일러의 공식 부분분수 순서변경 환원공식 통합 기호 아래 차별화 리스치 알고리즘
시리즈 기하학(산술-기하계) 조화 교대로 힘 이항체 테일러 수렴시험 합계한계(기간시험) 비율 뿌리 적분 직접 비교 한계비교 교대계열 코시 응결 디리클레 아벨
벡터 그라데이션 발산 컬 라플라시안 방향파생상품 정체성 정리 그라데이션 그린스 스톡스 발산 일반화 스톡스
다변량 형식주의 매트릭스 텐서 외부 기하학 정의들 부분파생상품 다중 적분 라인 적분 표면 적분 부피 적분 야코비안 헤시안
전문화된 분수 말리아빈 스토카스틱 변형
잡다한 프레살쿨루스 역사 용어집 주제 목록 통합 비 분석
v t

수학에서 변수의 변화는 원래 변수가 다른 변수의 함수로 대체되는 문제를 단순화하기 위해 사용되는 기본 기법이다. 목적은 새로운 변수로 표현될 때 문제가 더 단순해지거나 더 잘 이해되는 문제와 동등해질 수 있다는 것이다.

변수 변경은 대체와 관련된 연산이다. 그러나 이는 차별화(체인 규칙) 또는 통합(대체에 의한 통합)을 고려할 때 알 수 있듯이 서로 다른 운영이다.

유용한 변수 변화의 매우 간단한 예는 6급 다항식의 뿌리를 찾는 문제에서 볼 수 있다.

${\displaystyle x^{6}-9x^{3}+8=0.}$

6급 다항식들은 일반적으로 급진적인 측면에서 해결이 불가능하다(아벨-루피니 정리 참조). 그러나 이 특정 방정식은 기록될 수 있다.

${\displaystyle (x^{3})^{2}-9(x^{3})+8=0}$

(이것은 다항식 분해의 간단한 경우다.) 따라서 새로운 변수 $u{\displaystyle }$= ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$을(를) 정의하여 방정식을 단순화할 수 있다$.$ ${\displaystyle \text{exception 25:}}$를$u$ 3 {\$displaystyle {\sqrt[{3}]{$u}}}}}}로 대체하면 다항식이 주어진다.

${\displaystyle u^{2}-9u+8=0,}$

이차 방정식은 두 가지 해법이다.

${\displaystyle u=1\property {\text{and}\property u=8.}$

원래 변수에 관한 해법은 x in을³ u로 다시 대체하여 얻는데, 이는 다음과 같다.

${\displaystyle x^{3}=1\cHB {\text{and}}\cHB x^{3}=8.}$

그렇다면, 실제 해법에만 관심이 있다고 가정하면, 원래의 방정식의 해법은 다음과 같다.

${\displaystyle x=(1)^{1/3}=1\property {\text{and}}\properties x=(8)^{1/3}=2.}$

간단한 예

방정식의 체계를 고려한다.

${\displaystyle xy+x+y=71}$

${\displaystyle x^{2}y+xy^{2}=880}$

여기서 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ $및{\displaystyle }$ y$$ ${\displaystyle y}$은(는) > ${\displaystyle x>y}$을(를) 가진 양의 정수임 (출처: 1991AIME)

보통 이것을 해결하는 것은 그리 어렵지는 않지만, 조금 지루해질 수도 있다. However, we can rewrite the second equation as ${\displaystyle xy(x+y)=880}$. Making the substitutions ${\displaystyle s=x+y}$ and ${\displaystyle t=xy}$ reduces the system to ${\displaystyle s+t=71,st=880}$. Solving this gives ${\disp$$laystyle (s,t)=(16,55)}$ and ${\displaystyle (s,t)=(55,16)}$. Back-substituting the first ordered pair gives us ${\displaystyle x+y=16,xy=55,x>y}$, which gives the solution ${\displaystyle (x,y)=(11,5).$$}}$ 두 번째 주문한 쌍을 역대체하면$$ + = x = > y ${\displaystyle$ x$+y=55,xy=16,x>y}$이가) 나오므로 해결책이 없다. 따라서 ${\displaystyle \mathrm{시스템}}$을 해결하는 솔루션은${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 11}$, ${\displaystyle 5}$ )${\displaystyle (x,y)=(11,5)}$ 입니다$.$

정식소개

Let ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ be smooth manifolds and let ${\displaystyle \Phi :A\rightarrow B}$ be a ${\displaystyle C^{r}}$-diffeomorphism between them, that is: ${\displaystyle \Phi }$ is a ${\displaystyle r}$ times continuously differentiable, bijective map from ${\displaystyle A}$$$$r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$배에서$$$$ $b$ ${\displaystyle$R}배에서 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle B$$}$배에서 A ${\displaystyle A$$}$배까지$$ 연속적으로 다른 역수를 사용함$.$ 여기서 $r{\displaystyle }$ ${\$$displaystystyle$$r}$은 자연수(또는 0$),$ ${\$$display)일$ 수 있다$$.$$ic).

The map ${\displaystyle \Phi }$ is called a regular coordinate transformation or regular variable substitution, where regular refers to the ${\displaystyle C^{r}}$-ness of ${\displaystyle \Phi }$. Usually one will write ${\displaystyle x=\Phi (y)}$ to indicate the replacement of the variable ${$$\$$displaystyle$x} 변수 y {\displaystyle $y$$}$의 $값$을 x ${\$displaystyle $x}$의 모든 발생에 대해$$ y ${\$$displaystyle$ y$}$의 $값$으로 대체하여$$ \$displaystyle$ x$}$을(를$)$ $표시$하십시오$.$

기타 예

좌표 변환

극좌표로 전환할 때 더 쉽게 해결할 수 있는 시스템도 있다. 예를 들어 방정식을 고려하십시오.

${\displaystyle U(x,y):=(x^{2}+y^{2}){\sqrt{1-{\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}}}}=0.}$

이것은 어떤 물리적 문제에 대한 잠재적인 에너지 기능일 수 있다. 당장 해결책이 보이지 않으면 대체 방법을 시도할 수도 있다.

${\displaystyle \displaystyle (x,y)=\Phi (r,\theta )}$ given by ${\displaystyle \displaystyle \Phi (r,\theta )=(r\cos(\theta ),r\sin(\theta )).$$}$

$\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta}$이(가) $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ -length$$ 간격을 벗어나 실행될$$ 경우(${\displaystyle \mathrm{예}}$:${\displaystyle }$[ 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,2\$$pi ])$$$맵 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaysty}$은 더 이상 주관적이지$$ 않다. Therefore, ${\displaystyle \Phi }$ should be limited to, for example ${\displaystyle (0,\infty ]\times [0,2\pi )}$. Notice how ${\displaystyle r=0}$ is excluded, for ${\displaystyle \Phi }$ is not bijective in the origin (${\displaystyle \theta }$ can take any value, the point will (0, 0)에 매핑되어 있다. 그런 다음 원래 변수의 모든 발생을 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystyle \Phi }$이(가) 규정한 새로운 표현으로 바꾸고, ID$$ ${\displaystyle {\sin }^{}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {}^{}}$ x${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {\cos }^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaysty \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}$을(가)로 바꾸십시오$.$

${\displaystyle V(r,\theta )=r^{2}{\sqrt{1-{\frac{2}\cos ^{2}}{r^{2}}}=r^{2}}{\sqrt{1-\cos ^{2}}{}}}}}}{\csin \ta \rigeta \do.$

Now the solutions can be readily found: ${\displaystyle \sin(\theta )=0}$, so ${\displaystyle \theta =0}$ or ${\displaystyle \theta =\pi }$. Applying the inverse of ${\displaystyle \Phi }$ shows that this is equivalent to ${\displaystyle y=0}$ while ${\displaystyle x\not =$$0$ 실제로 $y{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle y=0}$의 경우 원점을 제외하고 함수가$$ 사라지는 것을 알 수 있다.

$r{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle r=0}$을$($를) 허용했다면 원래 문제에 대한 해결책은 아니지만 출처도 해결책이 되었을 것이라는 점에 유의하십시오. 여기서 ${\displaystyle \Phi }$의 객관성이 중요하다$$. 함수는 항상 양수(${\displaystyle x\mathbb{}}$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ R ${\$})$$이므로 절대값이다.

차별화

연쇄 규칙은 복잡한 분화를 단순화하는 데 사용된다. 예를 들어, 파생상품을 계산하는 문제를 고려하십시오.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}\sin(x^{2}).}$

글쓰기

${\displaystyle y=\sin u\properties{and}\text{and}\property u=x^{2}}:$

우리는 얻는다.

${\displaystyle {\frac{d}{dx}\sin(x^{2})=\overbrace {{\frac {dy}{ddi}}={\frac {du}}}}{dx}}},{\frac {du}}}^{\text}이 부분이 체인 룰이다.}}}=\left({\frac {d}{du}\sin u\오른쪽)\lefts\frac {d}{dx}x^{2}\오른쪽)\\[8pt]={}&{\big (}\cos u{\big )}(2x)=\cos(x^{2})\cdot 2x.\end{정렬}}}$

통합

어려운 통합은 종종 변수를 변경하여 평가할 수 있다. 이는 대체 규칙에 의해 활성화되며 위의 체인 규칙의 사용과 유사하다. 어려운 통합은 또한 해당 Jacobian 행렬과 결정요인에 의해 주어진 변수의 변화를 사용하여 적분을 단순화함으로써 해결될 수 있다.^[1] Jacobian 결정요소와 그것이 주는 상응하는 변수의 변화는 극좌표계, 원통좌표계, 구형좌표계와 같은 좌표계의 기초가 된다.

미분 방정식

분화와 통합을 위한 가변적 변화는 기초 미적분학에서 가르치고 있으며 단계가 완전히 수행되는 경우는 드물다.

매우 광범위한 변수 변경은 체인 규칙을 사용하여 독립 변수가 변경되거나 종속 변수가 변경되어 일부 분화가 수행될 수 있는 미분 방정식을 고려할 때 명백하다. 종속변수와 독립변수의 혼합과 같은 이국적인 변화는 매우 복잡할 수 있지만 많은 자유를 허용한다.

매우 자주, 변화를 위한 일반적인 형태는 문제를 가장 단순화하는 과정에서 선택한 매개변수로 대체된다.

스케일링 및 시프트

아마도 가장 간단한 변화는 변수의 스케일링과 이동일 것이며, 변수의 크기를 일정한 양으로 "확장"하고 "이동"하는 새로운 변수로 대체하는 것이다. 이는 문제로부터 물리적 매개변수를 얻기 위한 실제 적용에서 매우 흔하다. n주문^th 파생상품의 경우, 변경은 단순히

${\dx^{n}y}{dx^{n}}}}={\frac {y_{\text{scale}{x_{\text{scale}}{n}}{\d^{n}{d^{n}{d}{d}{x}}}}:{n}}}}}}}}}}}}}:{d{d.$

어디에

${\displaystyle x={\hat{x}x_{\text{scale}+x_{\text{shift}}}$

${\displaystyle y={\hat {{y}y_{\text}cale}+y_{\text{shift}}.}$

이것은 체인 규칙과 분화의 선형성을 통해 쉽게 보여질 수 있다. 이러한 변화는 예를 들어 경계 값 문제 등 물리적 매개변수를 문제에서 벗어나기 위한 실제 적용에서 매우 흔하다.

${\displaystyle \mu{d^{2}u}{dy^{2}}={\frac {dp}{dx}\quad ;\quad u(0)=u(L)=0}$

거리 Δ로 분리된 평평한 고체 벽 사이의 평행 유체 흐름을 기술한다. μ는 점도와 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle p/d}$ x ${\displaystyle dp/dx}$ 압력 구배, 두 상수 모두. 변수를 스케일링하여 문제가 됨

${\displaystyle {\frac{d^{2}{\hat{u}}{d{d}{d}{y}}}}}}{d}}}=1\^{2}}:}}=\hat {u}(1)=0}$

어디에

${\displaystyle y={\hat{y}L\qquad {\text{and}}\qquad u={\hat {u}{\frac {L^{2}}:{\mu}{\frac {dp}{dx}}}}}.}$

스케일링은 여러 가지 이유로 유용하다. 그것은 매개변수의 수를 줄이고 문제를 더 가볍게 함으로써 분석을 단순화한다. 적절한 스케일링은 변수를 정규화할 수 있으며, 즉 변수가 0 - 1과 같은 합리적인 단위 없는 범위를 갖도록 할 수 있다. 마지막으로, 문제가 숫자 솔루션을 요구하는 경우, 매개변수가 적을수록 계산 횟수가 줄어든다.

모멘텀 대 속도

방정식의 체계를 고려하라.

${\displaystyle {\begin}m{\dot{v}&=-{\fract}{\partial x}\[5pt]m{\dot {x}&={\frac {\partial H}{\partial v}\end{arged}}}$

for a given function ${\displaystyle H(x,v)}$. The mass can be eliminated by the (trivial) substitution ${\displaystyle \Phi (p)=1/m\cdot p}$. Clearly this is a bijective map from ${\displaystyle \mathbb {R} }$ to ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Under the substitution ${\displaystyle v=\mathrm{\Phi }(p)}$$(\disputstyle$ v$=\Phi(p)}$

${\daptystyle {\begin}{\p}&=-{\fract {\partial h}{\partial x}\[5pt]{\partial h}&={\partial h}{\partial h}{\partial p}}}\fract}}{parted}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}"$

라그랑기 역학

힘 필드 $\phi {\displaystyle (t}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle x}$, v${\displaystyle }$) ${\displaystyle \varphi(t,x,v)}$을 지정하면$$뉴턴의 운동 방정식은

${\displaystyle m{\ddot}=\varphi(t,x,v)}$

Lagrange examined how these equations of motion change under an arbitrary substitution of variables ${\displaystyle x=\Psi (t,y)}$, ${\displaystyle v={\frac {\partial \Psi (t,y)}{\partial t}}+{\frac {\partial \Psi (t,y)}{\partial y}}\cdot w.}$

그는 그 방정식들이

${\displaystyle {\frac {\partial y}={\frac {d}{\mathrm {d} t}{\frac {\partial {l}{\partial {w}}}}}}}$

$기능{\displaystyle }$ L${\displaystyle }$= ${\displaystyle T}$ - $displaystyle L$=T-V$}$에 대한 뉴턴의 방정식과 동등하다$.$ 여기서 T는 운동이고, V는 전위 에너지다.

사실 치환법을 잘 선택했을 때(예: 시스템의 대칭과 제약조건에 대한 설명) 이러한 방정식은 데카르트 좌표에서 뉴턴의 방정식보다 훨씬 풀기 쉽다.

참고 항목

• 변수 변경(PDE)
• 확률 밀도에 대한 변수 변경
• 평등의 대체 속성
• 보편적 인스턴스화

참조