삼각형 항등식 목록

삼각법
개요 역사 사용. 함수(역) 일반화 삼각법
언급
아이덴티티 정확한 상수 표 단위원
법칙과 정리
사인스 코사인스 접선 코탄젠츠 피타고라스 정리
미적분학.
삼각 치환 적분(역함수) 파생상품
v t

삼각법에서 삼각 항등식(三角 trig式, )은 삼각함수를 포함하는 항등식이며, 항등식의 양변이 정의되는 발생 변수의 모든 값에 대해 참입니다.기하학적으로 이들은 하나 이상의 각도의 특정 함수를 포함하는 항등식입니다.삼각형의 변의 길이 또는 삼각형의 다른 길이를 포함하지만 각도를 포함할 가능성이 있는 삼각형의 정체성과는 구별됩니다.

이러한 ID는 삼각 함수와 관련된 식을 단순화해야 할 때 유용합니다.중요한 응용은 삼각함수가 아닌 함수의 통합입니다. 일반적인 기술은 먼저 삼각함수를 가진 치환 규칙을 사용하고, 그 다음에 삼각함수 항등식을 사용하여 결과적인 적분을 단순화하는 것을 포함합니다.

피타고라스 정체성

사인과 코사인 사이의 기본적인 관계는 피타고라스의 동일성에 의해 주어집니다.

여기서 ${\displaystyle {\sin }^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ ⁡ θ$${\$displaystyle \sin$^{$2}\theta }$는$$(${\displaystyle \sin }$ ⁡ θ${\displaystyle {}^{}}$ 2 ${\displaystyle (\sin \theta )^{2}}$을 의미하고 ${\displaystyle {\cos }^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ ⁡ θ ${\displaystyle \cos ^{2}\theta }$는$$(${\displaystyle \cos }$ ⁡ θ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$를 의미합니다${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle (\cos \theta )^{2}}$

이것은 피타고라스 정리의 버전으로 볼 수 있으며, 단위 원에 대한 방정식 ${\displaystyle x^{}}$ $2{\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ $2$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x^{2}$ + y$^{2$}=$1}$로부터 따릅니다.이 식을 사인 또는 코사인에 대해 풀 수 있습니다.

$부호$는 θ의 사분면에 따라 달라집니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \theta .}$

이 ID를 ${\displaystyle {\sin }^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ ⁡ θ ${\displaystyle \sin ^{2}\theta$ $\},$ ${\displaystyle {\cos }^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ ⁡ θ$\cos ^{2}\theta }$ 또는$$둘 다로 나누면 다음 ID가 생성됩니다.

이러한 ID를 사용하면 삼각함수를 다른 용어(플러스 기호 또는 마이너스 기호까지)로 표현할 수 있습니다.

각 삼각함수는 다른 다섯 개의 용어로 표시됩니다.^[1]

측면에서.	${\displaystyle \sin \theta}$	${\displaystyle \csc \theta}$	${\displaystyle \cos \theta}$	${\displaystyle \sec \theta}$	${\displaystyle \tan \theta}$	${\displaystyle \cot \theta}$
${\displaystyle \sin \theta =}$	${\displaystyle \sin \theta}$	${\displaystyle {\frac {1}{\csc \theta}}}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\sec^{2}\theta -1}}{\sec \theta}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\tan \theta}{\sqrt {1+\tan^{2}\theta}}}}}$	${\display style \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot^{2}\theta}}}}$
${\displaystyle \csc \theta =}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sin \theta}}}$	${\displaystyle \csc \theta}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta}}}}개$	${\displaystyle \pm {\frac {\sec \theta}{\sqrt {\sec^{2}\theta -1}}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\tan^{2}\theta}}}{\tan \theta}}}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1+\cot^{2}\theta}}}$
${\displaystyle \cos \theta =}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1-\sin^{2}\theta}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta}}}$	${\displaystyle \cos \theta}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sec \theta}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan^{2}\theta}}}}개$	${\display style \pm {\frac {\cot \theta}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta}}}}}$
${\displaystyle \sec \theta =}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin^{2}\theta}}}}개$	${\displaystyle \pm {\frac {\csc \theta}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\cos \theta}}}$	${\displaystyle \sec \theta}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1+\tan^{2}\theta}}}$	${\display style \pm {\frac {\sqrt {1+\cot^{2}\theta}}}{\cot \theta}}}$
${\displaystyle \tan \theta =}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sin \theta}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta}}}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\cos^{2}\theta}}}{\cos \theta}}}}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}$	${\displaystyle \tan \theta}$	${\displaystyle {\frac {1}{\cot \theta}}}$
${\displaystyle \cot \theta =}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\sin^{2}\theta}}}{\sin \theta}}}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}$	${\display style \pm {\frac {\cos \theta}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta}}}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\sec^{2}\theta -1}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\tan \theta}}}$	${\displaystyle \cot \theta}$

반사, 이동, 주기성

단위 원을 조사함으로써 삼각 함수의 다음과 같은 성질을 확립할 수 있습니다.

리플렉션

유클리드 벡터의 방향을 각도 θ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \theta,}$로 나타낼 때, 이는 자유 벡터( 원점에서 시작)와 양의 $x$ ${\displaystyle x}$ - 단위 벡터에 의해 결정되는 각도입니다.원점과 양의 x {\$displaystyle x}$ $축$을 통해 주어진 선과 평행하게 각도가 결정되는 유클리드 공간의 선에도 동일한 개념이 적용될 수 있습니다.$방향$ θ가 ${\displaystyle \theta}$인 선(벡터)이 방향 $\alpha {\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \alpha,}$인 선을 기준으로 반사되면, 이 반사된 선(벡터)의 방향각 θ $displaystyle \theta^{\prime}}$의 값을 갖습니다.

특정 각도 $\alpha$ ${\displaystyle \alpha}$에 대한 θ 의${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle \theta,\;\theta^{\prime}}$ 각도의 삼각 함수 값은 동일하거나 반대 부호를 갖거나 상보 삼각 함수를 사용하는 간단한 동일성을 만족합니다.이것들은 환원 공식으로도 알려져 있습니다.^[2]

${\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{\alpha }}$ ${\displaystyle =}$ 0 ${\displaystyle$$\theta$}에 $반영$된$${\displaystyle $\al$${\displaystyle p}$$ha$=$0}$ 홀수/짝수 신분	${\displaystyle }$=$$ 4에$$반영된 {\$displaystyle$ \$theta$}$${\$displaystyle \al$${\displaystyle p}$$ha$ = {\$frac {\pi}{4}}$	${\displaystyle }$ =$$ 2에$$반영된 {\$displaystyle$ \$theta}${\$displaystyle \al$${\displaystyle p}$$ha$ = {\$frac {\pi}{2}}$	${\displaystyle }$${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle =}$$$ 4 ${\displaystyle$$\theta}$반영 {\displaystyle $\al$${\displaystyle p}$$ha$ = {\$frac {3\pi}{4}}$	${\displaystyle }$$$${\displaystyle \alpha }$ =$$ {\$displaystyle$$\theta}$에 반영된 {\displaystyle $\al$${\displaystyle p}$$ha$ =\$pi}$ $\alpha$와 비교${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \alpha$ = $0}$
${\displaystyle \sin (-\theta )=-\sin \theta }$	${\displaystyle \sin \left ({\tfrac {\pi}{2}}-\theta \right)=\cos \theta }$	${\displaystyle \sin(\pi -\theta )= +\sin \theta }$	${\displaystyle \sin \left ({\tfrac {3\pi}{2}}-\theta \right)=-\cos \theta }$	${\displaystyle \sin(2\pi -\theta )=-\sin(\theta )=\sin (-\theta )}$
${\displaystyle \cos (-\theta )= +\cos \theta }$	${\displaystyle \cos \left ({\tfrac {\pi}{2}}-\theta \right)=\sin \theta }$	${\displaystyle \cos(\pi -\theta )=-\cos \theta }$	${\displaystyle \cos \left ({\tfrac {3\pi}{2}}-\theta \right)=-\sin \theta }$	${\displaystyle \cos(2\pi -\theta )= +\cos(\theta )=\cos (-\theta )}$
${\displaystyle \tan (-\theta )=-\tan \theta }$	${\display style \tan \left ({\tfrac {\pi}{2}}-\theta \right)=\cot \theta }$	${\displaystyle \tan(\pi -\theta )=-\tan \theta }$	${\display style \tan \left ({\tfrac {3\pi}{2}}-\theta \right)=+\cot \theta }$	${\displaystyle \tan(2\pi -\theta )=-\tan(\theta )=\tan (-\theta )}$
${\displaystyle \csc (-\theta )=-\csc \theta }$	${\displaystyle \csc \left ({\tfrac {\pi}{2}}-\theta \right)=\sec \theta }$	${\displaystyle \csc(\pi -\theta )= +\csc \theta }$	${\displaystyle \csc \left ({\tfrac {3\pi}{2}}-\theta \right)=-\sec \theta }$	${\displaystyle \csc(2\pi -\theta )=-\csc(\theta )=\csc (-\theta )}$
${\displaystyle \sec (-\theta )= +\sec \theta }$	${\displaystyle \sec \left ({\tfrac {\pi}{2}}-\theta \right)=\csc \theta }$	${\displaystyle \sec(\pi -\theta )=-\sec \theta }$	${\displaystyle \sec \left ({\tfrac {3\pi}{2}}-\theta \right)=-\csc \theta }$	${\displaystyle \sec(2\pi -\theta )= +\sec(\theta )=\sec (-\theta )}$
${\display style \cot (-\theta )=-\cot \theta }$	${\displaystyle \cot \left ({\tfrac {\pi}{2}}-\theta \right)=\tan \theta }$	${\displaystyle \cot(\pi -\theta )=-\cot \theta }$	${\display style \cot \left ({\tfrac {3\pi}{2}}-\theta \right)=+\tan \theta }$	${\display style \cot(2\pi -\theta )=-\cot(\theta )=\cot (-\theta )}$

이동 및 주기성

1/4주기 이동	1/2주기 시프트	기간별[4] 이동	기간
${\displaystyle \sin(\theta \pm {\tfrac {\pi}{2}})=\pm \cos \theta }$	${\displaystyle \sin(\theta +\pi )=-\sin \theta }$	${\displaystyle \sin(\theta +k\cdot 2\pi )= +\sin \theta }$	${\displaystyle 2\pi}$
${\displaystyle \cos(\theta \pm {\tfrac {\pi}{2}})=\mp \sin \theta }$	${\displaystyle \cos(\theta +\pi )=-\cos \theta }$	${\displaystyle \cos(\theta +k\cdot 2\pi )=+\cos \theta }$	${\displaystyle 2\pi}$
${\displaystyle \csc(\theta \pm {\tfrac {\pi}{2}})=\pm \sec \theta }$	${\displaystyle \csc(\theta +\pi )=-\csc \theta }$	${\displaystyle \csc(\theta +k\cdot 2\pi )= +\csc \theta }$	${\displaystyle 2\pi}$
${\displaystyle \sec(\theta \pm {\tfrac {\pi}{2}})=\mp \csc \theta }$	${\displaystyle \sec(\theta +\pi )=-\sec \theta }$	${\displaystyle \sec(\theta +k\cdot 2\pi )= +\sec \theta }$	${\displaystyle 2\pi}$
${\displaystyle \tan(\theta \pm {\tfrac {\pi}{4}})={\tfrac {\tan \teta \pm 1}{1\mp \tan \theta}}$	${\displaystyle \tan(\theta +{\tfrac {\pi}{2}})=-\cot \theta }$	${\displaystyle \tan(\theta +k\cdot \pi )=+\tan \theta }$	${\displaystyle \pi}$
${\displaystyle \cot(\theta \pm {\tfrac {\pi}{4}})={\tfrac {\cot \mp 1}{1\pm \cot \theta}}}$	${\displaystyle \cot(\theta +{\tfrac {\pi}{2}})=-\tan \theta }$	${\display style \cot(\theta +k\cdot \pi )=+\cot \theta }$	${\displaystyle \pi}$

징후

삼각함수의 부호는 각도의 사분면에 따라 달라집니다.-π <θ ≤ π ${\displaystyle {-\pi}<\theta \leq \pi}$이고 sgn이 부호 함수일 경우,

삼각 함수는 공통 주기 $2$ π${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 2\pi}$로 주기적이므로 간격 밖의 θ 값$($ -${\displaystyle }$π${\displaystyle ,}$ π${\displaystyle }$]${\displaystyle }$, ${\displaystyle ({-\pi },\pi })$의 경우 반복되는 값을 사용합니다(위의 § 이동 및 주기성 참조).

각도합 및 차이 항등식

이는 각도 덧셈 및 뺄셈 정리(또는 공식)로도 알려져 있습니다.

${\displaystyle \sin }$⁡${\displaystyle (}$${\displaystyle \alpha }$ -${\displaystyle \beta )}$ ${\displaystyle \sin(\alpha$ -$\$beta $)}$ 및 ${\displaystyle \mathrm{코스}}$ ⁡${\displaystyle (}$${\displaystyle \alpha }$ -${\displaystyle \beta )}$ ${\displaystyle \cos(\alpha$ -$\$beta $)}$을$($를)$\beta$ {\$displaystyle$\cos}로 대체하고 ${\displaystyle \sin }$ ⁡${\displaystyle (\beta )}$ =${\displaystyle }$- ${\displaystyle \sin }$ ⁡$($ ${\displaystyle \sin$ (- )=-\$si$를 사용하여 각도 합 버전에서 각도 차이 식별을 유도할 수 있습니다.$n(\beta$ $)}$ 및 ${\displaystyle \cos }$ $⁡$${\displaystyle }$( -${\displaystyle \beta )}$ $=$ ${\displaystyle \cos }$ $⁡$ (${\displaystyle \beta })$ ${\displaystyle \cos$ $(-$\$beta$ )$=$\$cos(\$$beta$ $)}.$또한 각도 합 ID에 대해 그림을 약간 수정한 버전을 사용하여 이 값을 도출할 수 있습니다. 여기에는 두 개의 값이 모두 나와 있습니다.

이러한 항등식은 다음 표의 처음 두 행에 요약되어 있으며, 다른 삼각 함수에 대한 합 항등식과 차 항등식 항등식도 포함되어 있습니다.

사인	${\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }$[5][6]
코사인	${\displaystyle \cos(\alpha \pm \beta )}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }$[6][7]
접선	${\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle {\frac {\tan \alpha \pm \tan \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \tan \beta }}$[6][8]
보조금	${\displaystyle \csc(\alpha \pm \beta )}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle {\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \csc \csc \beta }{\sec \alpha \csc \beta \pm \csc \alpha \sec \sec \beta }}$[9]
세컨트	${\displaystyle \sec(\alpha \pm \beta )}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle {\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \csc \csc \beta }{\csc \alpha \csc \csc \beta \mp \sec \alpha \sec \beta }}$[9]
코탄젠트	${\displaystyle \cot(\alpha \pm \beta )}$			${\displaystyle =}$	${\display style {\frac {\cot \alpha \cot \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }}$[6][10]
아크신	${\displaystyle \arcsin x\pm \arcsiny}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle \arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}\pm y{\sqrt {1-x^{2}}\right)}$[11]
아르코신	${\displaystyle \arccos x\pm \arccosy}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle \arccos \left(xy\mp {\sqrt {\left(1-x^{2}\right)\left(1-y^{2}\right)}}\right)}$[12]
아크탄젠트	${\displaystyle \arctan x\pm \arctan}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle \arctan \left ({\frac {x\pmy}{1\mp xy}}\right)}$[13]
아코탄젠트	${\displaystyle \operator name {arccot} x\pm \operator name {arccot} y}$			${\displaystyle =}$	${\displaystyle \operatorname {arccot} \left ({\frac {xy\mp 1}{y\pm x}}\right)}$

무한히 많은 각도의 합의 사인과 코사인

급수 ∑ $\underset{}{\overset{}{i}}$ = $\underset{}{\overset{}{1}}$ ∞ θ $i_{}$ ${\textstyle \sum _{i$=$1}^{\infty}\theta _{i}}$가 절대 수렴할 때

급수 ∑ $\underset{}{\overset{}{i}}$ = $\underset{}{\overset{}{1}}$ ∞ θ $i_{}$ ${\textstyle \sum _{i$=$1}^{\infty }\theta$ _${i}}$는 절대 수렴하므로, $\underset{}{lim}$ $\underset{}{i}$ → ∞ θ $i_{}$ = $0,$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }\theta$ _${i$}=$0,}$ $\underset{}{lim}$ $\underset{}{i}$ → ∞ $\sin$ ⁡ θ $i_{}$ = $0,$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }\sin \theta$ _${i$}=$\mathrm{0,\},}$ $\underset{}{lim}$ $\underset{}{i}$ → ∞ $cos$⁡ θ $i$=$1$. {\textstyle \lim _${i\to \infty }\cos$ \$the$$ta_{i}=1.}$ 특히, 이 두 항등식에서 유한개의 각도의 합에서는 볼 수 없는 비대칭성이 나타납니다. 각 곱에는 유한개의 사인 인자만 있지만 유한개의 코사인 인자가 있습니다.사인 인자가 무한히 많은 항은 반드시 0과 같습니다.

θ $i$ ${\displaystyle$ \$theta$ _${i} 중$ 유한한 수의 각도만 0이 아닐 때, 유한한 수의 사인 인자를 제외한 모든 값이 사라지기 때문에 오른쪽에 있는 유한한 수의 항만 0이 아닙니다.게다가, 각 항에서 코사인 인자들 중 유한한 것을 제외한 모든 코사인 인자들은 통일성입니다.

합접선과 공접선

${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle e_{k}}($$k$ = ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 2,}$ ${\displaystyle 3}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle$k = $0, 1, 2, 3,\ldots }$의 경우$)$를 변수에서 k번째 기본 대칭 다항식이라고 합니다.

$i$ = ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 2,}$ ${\displaystyle 3,}$ ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle$i = $0, 1, 2,$ 3$,\ldots ,}$에 대하여, 즉,

그리고나서

위의 사인과 코사인 합 공식을 사용합니다.

오른쪽의 항 수는 왼쪽의 항 수에 따라 달라집니다.

예를 들어,

등등.한정적으로 많은 항들의 경우는 수학적 귀납법으로 증명될 수 있습니다.^[14]

여집합과 여집합

여기서 ${\displaystyle {ek}_{}}$ ${\displaystyle e_{k}}$는 n개 변수 ${\displaystyle {xi}_{}}$ = ${\displaystyle {tan}_{}}$ ⁡ θ i${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{i$}=\$tan \theta _{i}$ $i$ = ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle$i = 1$,\ldots,n,$$}$그리고$$ 분모의 항 수와 분자의 곱의 인자 수는 왼쪽의 합에 있는 항 수에 따라 달라집니다.^[15]한정적으로 많은 항들의 경우는 그러한 항들의 수에 대한 수학적 귀납법으로 증명될 수 있습니다.

예를들면,

프톨레마이오스 정리

프톨레마이오스의 정리는 사인과 코사인의 합 공식과 차 공식에 해당하는 결과가 처음으로 증명되었기 때문에 삼각 항등식의 역사에서 중요합니다.그것은 첨부된 그림과 같이$,$ 순환 ${\displaystyle \mathrm{사변형}}$ ${\displaystyle \mathrm{ABCD}}$ ${\displaystyle ABCD}$에서, 반대쪽 길이의 곱의 합은 대각선 길이의 곱과 같다고 말합니다.대각선이나 변 중 하나가 원의 지름인 특수한 경우, 이 정리는 각도 합과 차이 삼각형 항등식을 직접적으로 발생시킵니다.^[16]이 관계는 원이 여기와 같이 길이 1의 직경을 갖도록 구성될 때 가장 쉽게 따라갑니다.

탈레스 정리에 의해 ∠ ${\displaystyle \mathrm{DAB}}$ ${\displaystyle \angle DAB}$와 ∠ ${\displaystyle \mathrm{DCB}}$ ${\displaystyle \angle DCB}$는 모두 직각입니다.직각 삼각형 ${\displaystyle \mathrm{DAB}}$ ${\displaystyle DAB}$ 및 ${\displaystyle \mathrm{DCB}}$ ${\displaystyle DCB}$은(는) 모두 길이 1의 빗변 ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{BD}}}$ ¯ ${\displaystyle {\overline${BD$}}$을(를) 공유합니다.따라서 측면 $A$ ${\displaystyle \stackrel{}{B}}$ ¯ = ${\displaystyle \sin }$ ⁡ α ${\overline {AB$}=\$sin \alpha$ ${\displaystyle \stackrel{}{A}}$ D ¯ = ${\displaystyle \cos }$ ⁡ ${\displaystyle \alpha }$ ${\overline {AD$}=\$cos \alpha$ B ${\displaystyle \stackrel{}{C}}$ ¯ = ${\displaystyle \sin }$ ⁡ ${\displaystyle \beta }$ ${\overline {BC$}=\$sin$\beta }, C ${\displaystyle \stackrel{}{D}}$ = ${\displaystyle \cos }$ ⁡ ${\displaystyle \beta }$ ${\overline {CD$}=\$cos$\beta }.

내접 각도 정리에 의해, 원의 중심에서 코드 ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{AC}}}$ ¯ ${\displaystyle {\overline {AC}}$가 나타내는 중심 각도는 각도 ∠의 두 배입니다. ${\displaystyle A}$ D ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \angle ADC$ 즉 $2{\displaystyle }$(${\displaystyle \alpha }$ +${\displaystyle \beta })$ ${\displaystyle 2(\alpha +\beta )}.$따라서 대칭적인 빨간색 삼각형 쌍은 각각 중앙에$$ $각도{\displaystyle }$α + ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha +\beta }$를 갖습니다.이 삼각형들 각각은 길이 $1$ $\frac{2}{}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}$의 빗변을 가지므로$,$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{AC}}}$ ¯ ${\displaystyle {\overline {AC}}$의 길이는 2$$× $\frac{12}{}$ $\sin$ ⁡ $(\alpha$ +$\beta )$ ${\textstyle 2\times {\frac {1}{2}}\sin(\alpha +\beta )}$ 즉$,$ 단순히 ${\displaystyle \sin }$ ⁡ ${\displaystyle (\alpha }$ +${\displaystyle \beta }$) ${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )}$입니다$.$사각형의 다른 대각선은 길이 1의 지름이므로 대각선 길이의 곱도 ${\displaystyle \sin }$ ⁡${\displaystyle }$(${\displaystyle \alpha }$ +${\displaystyle \beta )}$ ${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )}$입니다$.$

${\displaystyle 이}$ 값을 A ${\displaystyle \stackrel{}{C}}$ ¯ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \stackrel{}{D}}$ ¯ ⋅ = ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \stackrel{}{B}}$ ¯ ⋅ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{CD}}}$ ¯${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \stackrel{}{A}}$ D ¯ ⋅ ${\displaystyle \stackrel{}{B}}$ ¯ $displaystyle {\overline {AC}} \cdot {\overline${BD} = ${\overline {AB} \cdot {\overline {CD}$+ ${\overline {AD} \cdot {\overline {BC}} }$ 의 값에 대입하면 사인: ${\displaystyle \sin }$ ⁡${\displaystyle }$(${\displaystyle \alpha }$ +${\displaystyle \beta )}$ = ${\displaystyle \sin }$에 대한 각도 합 삼각형 항등식이 산출됩니다$.$${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle \beta }$+ ${\displaystyle \cos }$${\displaystyle \stackrel{}{}}$ α ${\displaystyle \sin }$${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \sin(\alpha +$$a$${\displaystyle )}$=\$sin \alpha \cos \alpha \sin$\sin$$⁡}. ${\displaystyle \sin }$${\displaystyle \mathrm{beta}}$ ${\displaystyle (\alpha }$ -$$β) {\$displaystyle \sin$(\alpha$-$${\displaystyle \mathrm{\backslash bet}}$a)}의 각도차 공식도 $마찬가지$로 ${\displaystyle \stackrel{}{B}}$ D${\displaystyle }$$¯$ {\displaystyle ${\$overline {$CD}$이(가) 아닌 변 ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{CD}}}$${\displaystyle }$¯ ${\$$displaystyle {\overline$ {\overline ${}$의 직경 역할을 함으로써 구할 수 있습니다.$BD$^[17]

다각 공식

T는n n번째 체비셰프 다항식	${\displaystyle \cos(n\theta )=T_{n}(\cos \theta )}$[18]
de Moivre의 공식, i는 허수 단위입니다.	${\displaystyle \cos(n\theta )+i\sin(n\theta )= (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}$[19]

다각 공식

쌍각 공식

각 2배의 공식.^[20]

삼중각 공식

세 개의 각도에 대한 공식.^[20]

다각 및 반각 공식

여러 각도에 대한 공식.^[21]

체비셰프법

체비셰프 방법은${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$- ${\displaystyle 1)}$ ${\displaystyle (n-1)}$th$$ 값과${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ -${\displaystyle 2)}$ ${\displaystyle (n-1)$th$$ 값을 알고 n번째 다각도 공식을 찾는 재귀적 알고리즘입니다.^[22]

${\displaystyle \cos }$${\displaystyle (}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \cos(nx)}$은(는${\displaystyle )}$ ${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathrm{os}}$ ${\displaystyle (}$${\displaystyle n}$- ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \cos((n-1)x)},$${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathrm{os}}$ ${\displaystyle ((n}$ -$)$ ${\displaystyle x}$ )$${\$displaystyle \cos(($$n$ - 2)$x)}$및 ${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathrm{os}}$ $)$에서 계산할 수 있습니다$.$

이것은 공식들을 더하면 증명될 수 있습니다.

유도에 의해 ${\displaystyle \cos }$ ⁡${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x)}$ ${\displaystyle \cos(nx)}$이 ${\displaystyle \cos }$ ⁡ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \cos x,}$ 소위 체비셰프 다항식인 체비셰프 다항식을 참조하십시오.#삼각형 정의.

마찬가지로 ${\displaystyle \sin }$⁡${\displaystyle (}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x)}$ ${\displaystyle \sin(nx)}$은 ${\displaystyle \sin }$ ⁡${\displaystyle (}$${\displaystyle n-}$ ${\displaystyle 1)}$ x${\displaystyle ),}$ ${\displaystyle \sin((n-1)x)},$${\displaystyle \sin((n$- $)x)}$ ${\displaystyle 및}$ ${\displaystyle \cos }$ ⁡ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \cos$ x$}$에서 계산할 수 있습니다.

이는 ${\displaystyle \sin }$ ⁡ ${\displaystyle ((n}$- ${\displaystyle 1}$) x${\displaystyle }$+ ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \sin((n-1)$ x + x$)}$과 ${\displaystyle \sin }$ ⁡ ${\displaystyle ((n}$- ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle x}$- ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle )}$의 공식을 추가하여 증명할 수 있습니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \sin((n-1)$ x - x$)}$

체비셰프 방법과 유사한 목적을 달성하기 위해 접선에 대해 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

반각 공식

^[23][24]

또한.

테이블

이들은 합과 차 항등식 또는 다각 공식을 사용하여 나타낼 수 있습니다.

	사인	코사인	접선	코탄젠트
쌍각공식[25][26]	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(2\theta)&=2\sin \theta \cos \theta \&={\frac {2\tan \theta}{1+\tan^{2}\theta}}\end{aligned}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(2\theta)&=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \&=2\cos ^{2}\theta -1\&=1-2\sin ^{2}\theta \&={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}$	${\displaystyle \tan(2\theta)={\frac {2\tan \theta}{1-\tan^{2}\theta}}}$	${\displaystyle \cot(2\theta)={\frac {\cot^{2}\theta -1}{2\cot \theta}}}$
삼중각 공식[18][27]	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(3\theta)&=-\sin^{3}\theta +3\cos ^{2}\theta \sin \theta \&=-4\sin^{3}\theta +3\sin \end{aligned}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(3\theta)&=\cos ^{3}\theta -3\sin ^{2}\theta \cos \theta \&=4\cos ^{3}\theta -3\cos \end{aligned}}$	${\displaystyle \tan(3\theta )={\frac {3\tan \theta -\tan^{3}\theta}{1-3\tan^{2}\theta}}$	${\displaystyle \cot(3\theta)={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta}{1-3\cot ^{2}\theta}}$
반각공식[23][24]	${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin {\frac {\theta}{2}}=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta}{2}}\right){\sqrt {\frac {1-\cos \theta}{2}}\\\\\left ({\text{or}}\sin^{2}{\frac {1-\cos \theta}{2}\right)\end{aligned}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&\cos {\theta}{2}}=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta}{2}}\right){\sqrt {\frac {1+\cos \theta}{2}}\\\&\left ({\text{or}}\cos^{2}{\frac {\theta}{2}}={\frac {1+\cos \theta}{2}\right)\end{aligned}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {\theta}{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}\[3pt]&={\frac {\sin \theta}{1+\cos \theta}}\[3pt]&={\frac {1-\cos \theta}{\sin \theta}}\[5pt]\tan {\frac {\eta +\theta}{2}}&={\frac {\sin \eta +\sin \theta }}\[5pt]\tan \left \tan({\frac {\theta}{2}}+{\frac {\pi}{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \[5pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta}{1+\sin \theta}}&={\frac {\left 1-\tan {\frac {\theta}{2}}\right }}{\left 1+\tan {\frac {\theta}{2}}}\[5pt]\tan {\frac {\theta}{2}}}&={\frac {\tan \theta}{1+{\sqrt {1+\tan ^{2}}}}\&\&{\text{fra}\left (- {\tfra}}\tfra.c {\pi}{2}},{\tfrac {\pi}{2}}\right)\end{aligned}}$	${\디스플레이 스타일 {\begin{aligned}\cot {\frac {\theta}{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \&=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta}{1-\cos \theta}}\[3pt]&={\frac {\sin \theta}{1-\cos \theta}}\[4pt]&={\frac {1+\cos \theta}{\sin \theta}}\end{aligned}}$

사인과 코사인에 대한 삼중각 공식이 단지 단일 함수의 거듭제곱만을 포함한다는 사실은 나침반의 기하학적 문제와 각도 분할의 직선적인 구성을 주어진 도구를 사용하여 분할이 일반적으로 불가능하다는 것을 증명할 수 있는 입방정식을 푸는 대수적 문제와 관련시킬 수 있게 해줍니다.장론으로^{[citation needed]}

1/3 각도에 대한 삼각형 항등식을 계산하는 공식이 존재하지만, 3차 방정식 4x - 3x + d = 0의 영점을 찾아야 하며, 여기서 $x$ ${\displaystyle x}$는 1/3 각도에서 코사인 함수의 값이고 d는 전체 각도에서 코사인 함수의 알려진 값입니다.그러나 이 방정식의 판별은 양이므로 이 방정식에는 3개의 실제 근이 있습니다(그 중 1개만 1/3 각도의 코사인에 대한 해입니다).이 해들 중 어떤 것도 세제곱근 아래의 중간 복소수를 사용하기 때문에 실제 대수적 표현으로 축소할 수 없습니다.

전력 감소 공식

코사인 이중각 공식의 두 번째 버전과 세 번째 버전을 풀어서 얻은 것.

사인	코사인	다른.
${\displaystyle \sin ^{2}\theta = {\frac {1-\cos(2\theta )}{2}}}$	${\displaystyle \cos ^{2}\theta = {\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}}$	${\displaystyle \sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta = {\frac {1-\cos(4\theta)}{8}}$
${\displaystyle \sin ^{3}\theta = {\frac {3\sin \theta -\sin(3\theta )}{4}}$	${\displaystyle \cos ^{3}\theta = {\frac {3\cos \theta +\cos(3\theta )}{4}}$	${\displaystyle \sin ^{3}\theta \cos ^{3}\theta = {\frac {3\sin(2\theta)-\sin(6\theta)}{32}}$
${\displaystyle \sin ^{4}\theta = {\frac {3-4\cos(2\theta)+\cos(4\theta)}{8}}$	${\displaystyle \cos ^{4}\theta = {\frac {3+4\cos(2\theta)+\cos(4\theta)}{8}}$	${\displaystyle \sin ^{4}\theta \cos ^{4}\theta = {\frac {3-4\cos(4\theta)+\cos(8\theta)}{128}}$
${\displaystyle \sin ^{5}\theta = {\frac {10\sin \theta -5\sin(3\theta)+\sin(5\theta)}{16}}$	${\displaystyle \cos ^{5}\theta = {\frac {10\cos \theta +5\cos(3\theta) +\cos(5\theta)}{16}}$	${\displaystyle \sin ^{5}\theta \cos ^{5}\theta = {\frac {10\sin(2\theta)-5\sin(6\theta)+\sin(10\theta)}{ 512}}$

일반적으로 ${\displaystyle \sin }$ ⁡ θ ${\displaystyle \sin \theta}$ 또는 ${\displaystyle \cos }$ ⁡ θ ${\displaystyle \cos \theta}$의 거듭제곱의 항에서 다음은 참이며, De Moivre 공식, 오일러 공식 및 이항 정리를 사용하여 추론할 수 있습니다.

n이 ...일 경우	${\displaystyle \cos ^{n}\theta }$	${\displaystyle \sin ^{n}\theta }$
n은 홀수입니다	${\displaystyle \cos ^{n}\theta = {\frac {2}{2^{n}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$	${\displaystyle \sin ^{n}\theta = {\frac {2}{2^{n}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}(-1)^{\left ({\frac {n-1}{2}-k\right)}{\binom {n}{k}}\sin {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$
n은 짝수입니다	${\displaystyle \cos ^{n}\theta = {\frac {1}{2^{n}}{\binom {n}{\frac {n}}+{\frac {2}{2^{n}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}{\binom {n}{k}}\cos {\big(}(n-2k)\theta {\big)}}$	${\displaystyle \sin ^{n}\theta = {\frac {1}{2^{n}}{\binom {n}{\frac {n}}+{\frac {2}}+{\frac {2}}-1}(-1)^{\left ({\frac {n}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\cos {{n-2k}\theta {\big}}}$

제품 대 제품 및 제품 대 제품 ID

곱 대 합 항등식^[28] 또는 전립선 공식은 각도 덧셈 정리를 사용하여 오른쪽 측면을 확장함으로써 증명할 수 있습니다.역사적으로, 이들 중 처음 네 개는 천문학적 계산을 위해 그것들을 사용한 요하네스 베르너의 이름을 따서 베르너의 공식으로 알려져 있습니다.^[29]곱 대 곱 공식의 적용에 대해서는 진폭 변조를, 합 대 곱 공식의 적용에 대해서는 비트(음향)와 위상 검출기를 참조합니다.

제품 대 합 ID

Sum-to-Product ID

제품 간 합 식별 정보는 다음과 같습니다.^[30]

헤르마이트의 동분서주하는 정체성

찰스 헤르마이트는 다음과 같은 정체성을 보여주었습니다.^[31]${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots,a_{n}}$가 복소수이고, 2개의 개수가 π의 정수배만큼 다르지 않다고 가정하자.

(특히 A ${\displaystyle {1\mathrm{},}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle A_{1,1}}$은(는) 빈 제품입니다.)그리고나서

가장 간단한 비 trivial 예는 n = 2인 경우입니다.

삼각함수의 유한곱

공임계 정수 n, m

여기서 T는_n 체비셰프 다항식입니다.

사인 함수에 대해 다음 관계가 성립합니다.

일반적으로 정수 n > 0의^[32] 경우

또는 코드 함수 $\mathrm{crd}$ ⁡ $x$ ≡ 2 $\sin$ ⁡ $\frac{12}{}$ $x$ ${\textstyle \operatorname {crd} x\equiv 2\sin {\tfrac {1}{2} x$

이것은 다항식 $z{}^{}$ $n^{}$ -${}^{}1$ ${\textstyle z^{n}-1}$을 선형 인자(cf. 일치의 루트)로$$ 인수분해하는 것에서 비롯됩니다.복소수 단위 원 위의 점 z와 정수 n > 0에 대하여,

선형결합

어떤 목적에서는 주기나 주파수는 같지만 위상 이동이 다른 사인파의 선형 조합도 주기나 주파수는 같지만 위상 이동은 다른 사인파임을 알아야 합니다.이는 측정되거나 관측된 데이터가 아래의 동상 및 직교 성분 기반의 a 및 b 미지와 선형적으로 연관되어 $c$ ${\displaystyle c}$ 및 φ ${\displaystyle \varphi}$와 비교하여 더 간단한 자코비안을 생성하기 때문에 동축 데이터 피팅에 유용합니다$.$

사인과 코사인

사인파와 코사인파의 선형 조합 또는 고조파 덧셈은 위상 이동 및 크기 조정 진폭이 있는 단일 사인파와 동일합니다.^[33][34]

여기서 $c$ ${\displaystyle c}$ 및 φ ${\displaystyle \varphi}$은(는) 다음과 같이 정의됩니다.

≠${\displaystyle }$0. ${\displaystyle$ a\$neq$ 0$.}$이 ${\displaystyle \mathrm{주어지면}}$

임의 위상 변이

일반적으로 임의의 위상 이동에 대해

여기서 $c$ ${\displaystyle c}$ 및 φ ${\displaystyle \varphi}$은(는) 다음을 만족합니다.

2개 이상의 정현파

일반적인 경우는^[34]

어디에그리고.

라그랑주의 삼각형 항등식

조지프 루이스 라그랑주의 이름을 딴 이 신원들은 다음과 같습니다.^[35][36][37]

θ ≢ ${\displaystyle 0}$(${\displaystyle \mathrm{mod}}$ 2 π${\displaystyle )}$의${\displaystyle }$경우 $.{\displaystyle$ \$theta$ \$not \equiv 0{\pmod$ {2$\pi}}}.$

이와 관련된 함수로는 디리클레 커널이 있습니다.

비슷한 정체성은^[38]

그 증거는 다음과 같습니다.각도 합과 차 항등식을 이용하여

그렇다면 다음의 공식을 살펴보도록 하겠습니다.

그리고 이 공식은 위의 신원을 이용하여 작성될 수 있고,

따라서 이 공식을 2 ${\displaystyle \sin }$ ⁡ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 2\sin \alpha}$로 나누면 증명이 완성됩니다.

특정 선형 분수 변환

$f{\displaystyle }$ (${\displaystyle x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ 가 선형 분수 변환에 의해 주어졌을 경우

마찬가지로그리고나서

좀 더 간단히 말하면, 모든 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha}$에 대해$$ f ${\$를 위에서 $f$ ${\displaystyle f}$라고 부르는 것으로 하면,

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$가 선의 기울기이면 f ${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle f(x)}$는${\displaystyle \mathrm{-\alpha }.}$ ${\displaystyle$ -$\alpha.}$의 각도를 통해 회전하는 기울기입니다.

복소수 지수 함수와의 관계

오일러 공식은 임의의 실수 x에 대하여 다음과 같이 말합니다.^[39]

여기서 i는 상상의 단위입니다.-x를 x에 대입하면 다음과 같은 결과가 나옵니다.

이 두 방정식은 지수 함수의 관점에서 코사인과 사인에 대한 풀이에 사용될 수 있습니다.구체적으로.^[40][41]

이 공식들은 다른 많은 삼각형 항등식을 증명하는 데 유용합니다.예를 들어, e = e 는 다음을 의미합니다.

좌변의 실수 부분이 우변의 실수 부분과 같다는 것은 코사인의 각도 덧셈 공식입니다.허수 부품의 동일성은 사인에 대한 각도 덧셈 공식을 제공합니다.

다음 표는 삼각 함수와 그 역수를 지수 함수와 복소수 로그로 표현한 것입니다.

기능.	역함수[42]
${\displaystyle \sin \theta = {\frac {e^{i\theta}}-e^{-i\theta}}{2i}}$	${\displaystyle \arcsin x=-i\,\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}$
${\displaystyle \cos \theta = {\frac {e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}}$	${\displaystyle \arccos x=-i\,\ln \left(x+\,{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}$
${\displaystyle \tan \theta =-i\,{\frac {e^{i\theta}-e^{-i\theta}}}{e^{i\theta}}}{e^{i\theta}}}$	${\displaystyle \arctan x={\frac {i}{2}}\ln \left ({\frac {i+x}{i-x}}\right)}$
${\displaystyle \csc \theta = {\frac {2i}{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}}}}$	${\displaystyle \operatorname {arccsc} x=-i\,\ln \left ({\frac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}\right)}$
${\displaystyle \sec \theta = {\frac {2}{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}}}개$	${\displaystyle \operatorname {arcsec} x=-i\,\ln \left ({\frac {1}{x}}+i{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}\right)}$
${\displaystyle \cot \theta =i\,{\frac {e^{i\theta}+e^{-i\theta}}}{e^{i\theta}}}{e^{-i\theta}}}$	${\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {i}{2}\ln \left ({\frac {x-i}{x+i}\right)}$
${\displaystyle \operator name {cis} \theta =e^{i\theta}}$	${\displaystyle \operator name {arccis} x=-i\ln x}$

무한곱 공식

특수 함수에 적용할 경우 삼각 함수에 대한 다음과 같은 무한 곱 공식이 유용합니다.^[43][44]

무한합

항등식 ∑ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{k}}}$ = ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ∞ x ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ =${\displaystyle }$- ${\displaystyle \ln }$ ⁡${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$- x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \sum _{k$=$1}^{\infty }{\frac {x^{k}}}$=$-\ln($$1-x$$)}$를$$사용하고 ${\displaystyle {}^{}}$ = ${\displaystyle e^{}}$ ±$it$ {\$displaystyle x$=e^{\$pm$ it$}$를 대입하면 도출할 수 있습니다$.$

$fort{\displaystyle }$∈ [${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 2}$ π${\displaystyle }$]$${\$displaystyle t\in [0,2\pi$ $]\}.$ 양쪽이 주기적으로 주기적으로 $주기적$으로 주기적으로 주기적으로 주기적으로 주기적으로$$t {\$displaystyle$2\$pi$$}$의 산출량과 관련하여$$통합 ${\displaystyle t}$등등.

역삼각함수

다음의 항등식은 역삼각형 함수로 삼각형 함수를 구성한 결과를 제공합니다.^[45]

위의 각 방정식의 양변의 곱셈 역을 취하면 ${\displaystyle \csc }$ = ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \frac{\sin }{},}$ ${\displaystyle \sec }$ = 1 ${\displaystyle \frac{\cos }{}}$,${\displaystyle \cot }$ = 1 ${\displaystyle \frac{\tan }{}}$의 방정식이 됩니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \csc$= {\$frac {1}{\sin}},\;\sec$= {\$frac {1}{\cos$}}, ${\text{ and }},\cot$ ={\$frac {1}{\tan}}}.$ 위의 공식의 오른쪽은 항상 뒤집힙니다.예를 들어 ${\displaystyle \cot }$⁡${\displaystyle (}$⁡ ${\displaystyle x}$의${\displaystyle }$호) ${\displaystyle \cot(\arcsin$ x$)}$에 대한 방정식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \csc }$⁡${\displaystyle (\arccos }$ ⁡ ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \csc(\arccos x)}$ 및 ${\displaystyle \sec }$ ⁡${\displaystyle (\arccos }$ ⁡ ${\displaystyle x)}$ ${\displaystyle \sec(\arccos x)}$에 대한 방정식은 다음과 같습니다.

리플렉션 ID에는 다음 ID가 포함됩니다.$x{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle s,}$- x${\displaystyle ,}$- ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle 및}$- s ${\displaystyle x, r, s,-x,-r$, ${\text{$및$}}-s}$이(가) 관련 함수의 도메인에 있을$$ 때마다 유지됩니다.

그리고 또.^[46]

아크탄젠트 기능은 다음과 같이 시리즈로 확장할 수 있습니다.^[47]

변수가 없는 ID

아크탄젠트 기능에 관해서는 우리가 가지고^[46] 있습니다.

모리의 법칙으로 알려진 이상한 정체성은

는 하나의 변수를 포함하는 ID의 특수한 경우입니다.

유사하게,

는 $x$ = ${\displaystyle {20}^{}}$ ∘ ${\displaystyle$x = $20^{\circ}}$ : 동일성의 특수한 경우입니다$.$

케이스 $x$ = ${\displaystyle {15}^{}}$ ∘ ${\displaystyle$x = $15^{\circ$

케이스 $x$ = ${\displaystyle {10}^{}}$ ∘ ${\displaystyle$x = $10^{\circ$

같은 코사인 아이덴티티는

유사하게,

유사하게,

다음은 변수를 포함하는 항등식에 쉽게 일반화되지 않을 수 있습니다(단, 아래 설명 참조).

21개의 분모로 동일성을 고려할 때, 도 측정은 라디안 측정보다 더 효율적이지 않게 됩니다.

인자 1, 2, 4, 5, 8, 10은 패턴을 명확하게 만들기 시작할 수 있습니다. 이들은 21/2 미만의 정수로 21보다 상대적으로 소수이거나 공통적으로 소수 인자가 없습니다.마지막 몇 가지 예는 환원 불가능한 사이클로토믹 다항식에 대한 기본적인 사실의 응집체입니다. 코사인은 해당 다항식의 0의 실제 부분입니다. 0의 합은 (위의 마지막 경우) 21에서 평가된 뫼비우스 함수입니다. 0의 절반만이 위에 있습니다.이 마지막 ID 이전의 두 개의 ID는 동일한 방식으로 발생하며, 각각 21개가 10개와 15개로 대체되었습니다.

다른 코사인 아이덴티티는 다음과 같습니다.^[48]

모든 홀수에 대하여 등등. 그래서.

이러한 호기심 많은 정체성은 다음과 같은 보다 일반적인 사실에서 비롯됩니다.^[49]

그리고.

이것들을 합하면 우리는

n이 홀수($$ = ${\displaystyle \mathrm{2m}}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$n = $2m$+ $1$이면 대칭을 사용하여 다음을 얻을 수 있습니다.

버터워스 저역 통과 필터의 전달 함수는 다항식과 극으로 표현할 수 있습니다.주파수를 차단 주파수로 설정하면 다음과 같은 동일성을 증명할 수 있습니다.

컴퓨팅 computing

π를 많은 숫자로 계산하는 효율적인 방법은 Machine으로 인해 변수가 없는 다음 ID를 기반으로 합니다.이를 기계식 공식이라고 합니다.

또는 레온하르트 오일러의 항등식을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.또는 피타고라스의 세 배를 사용하여:

그 밖에 다음이 있습니다.^[50][46]

일반적으로 숫자 t, ..., t ∈(-1, 1)에 대해 θ = σ 아크 ∈(π/4, 3 π/4), t = tan(π/2 - θ) = 간이 침대 θ.이 마지막 식은 접선이 t₁, ..., t이고_n−1 그 값이 (-1, 1)에 있는 각도의 합에 대한 공식을 사용하여 직접 계산할 수 있습니다.특히 계산된 t는_n 모든 t₁, ..., t_n−1 값이 유리할 때마다 유리합니다.이 값들을 가지고,

첫 번째 식을 제외한 모든 식에서 접선 반각 공식을 사용했습니다.처음_k 두 개의 공식은 t 값 중 하나 이상이 (-1, 1) 내에 있지 않을 경우에도 적용됩니다.만약 t = p/q가 유리하다면, 위의 공식에서 (2t, 1 - t, 1 + t) 값은 피타고라스 삼중 (2pq, q - p, q + p)에 비례합니다.

예를 들어, n = 3항의 경우,

a, b, c, d > 0인 경우.

유클리드의 정체

유클리드는 원에 새겨진 정육각형의 변에 있는 정사각형의 넓이가 정육각형의 변에 있는 정사각형의 넓이의 합과 같은 원에 새겨진 정육각형의 변에 있는 정사각형의 넓이의 합과 같다는 것을 그의 원소 제13권 제10호에서 보여주었습니다.현대 삼각법의 언어로 다음과 같이 말합니다.

프톨레마이오스는 알마게스트의 제1권 11장에서 그의 화음표에서 일부 각도를 계산하기 위해 이 명제를 사용했습니다.

삼각함수의 구성

이러한 항등식은 삼각함수의 삼각함수를 포함합니다.^[51]

여기서 J는_i Bessel 함수입니다.

α + β + γ = 180°인 경우에 대한 추가 "조건부" 식별

다음 공식은 임의의 평면 삼각형에 적용되며 공식에서 발생하는 함수가 잘 정의되어 있는 한${\displaystyle }\alpha$ + ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle +}$ γ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {180}^{}}$ ∘${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle \alpha +\$beta$+\$gamma = $180^{\circ$}를 따릅니다.

역사속기

항해에는 버진(versine), 커버진(coversine), 하버진(haversine), 엑센트(execent)가 사용되었습니다.예를 들어, haversine 공식은 구 위의 두 점 사이의 거리를 계산하는 데 사용되었습니다.오늘날에는 거의 사용되지 않습니다.

여러가지 종류의

모든 삼각형 비율 간의 관계

다음 항등식은 각각 모든 삼각형 비율 사이의 관계를 나타냅니다.

유사하게,

디리클레 커널

디리클레 커널 D_n(x)는 다음 아이덴티티의 양쪽에서 발생하는 함수입니다.

기간 $2$ π ${\displaystyle 2\pi}$의 적분 가능한 함수와 디리클레 커널의 컨볼루션은 함수의 $n$ ${\displaystyle n}$ 번째 푸리에 근사치와 일치합니다.측정 또는 일반화 함수에 대해서도 동일한 값이 적용됩니다.

접선반각치환

설정하면

그^[52] 때 여기서 ${\displaystyle e^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$ = ${\displaystyle \cos }$ ⁡ ${\displaystyle x}$+ 는 ⁡ ${\displaystyle x}$에 ${\displaystyle e^{ix$}=\$cos x+i\sin x,}$는 때때로 cis x로 축약됩니다.

t ${\displaystyle t}$을(를) tan x/2에 대입하면 ${\displaystyle \sin }$ ⁡ x ${\displaystyle \sin$ x$}$이(가) 2t/1 + t로, ${\displaystyle \cos }$ ⁡ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \cos x}$이(가) 1 - t/1 + t로, 미분 dx가 2dt/1 + t로 대체됩니다.따라서 ${\displaystyle \sin }$ ⁡ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \sin x}$ 및 ${\displaystyle \cos }$ ⁡ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \cos x}$의 합리적인 $함수$를$$t {\$displaystyle$ t$}$의 합리적인 함수로 변환하여 그들의 유도체를 찾습니다.

비엣의 무한한 제품

참고 항목

참고문헌

서지학

외부 링크

• sin과 cos의 값은 3°와 5+5/8°의 정수배, 그리고 동일한 각도인 csc와 sec와 tan에 대해 sin과 cos로 표시됩니다.
• 삼각법 공식의 전체 목록