독일 전차 문제

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통계적 추정 이론에서 독일 탱크 문제는 교체 없이 표본 추출을 통해 이산 균일한 분포의 최대값을 추정하는 것으로 구성된다.간단히 말해, 1부터 N까지 순차적으로 번호가 매겨지는 미지의 수의 항목이 존재한다고 가정합니다. 이러한 항목의 랜덤 표본을 추출하여 시퀀스 번호를 관찰합니다. 문제는 이러한 관측된 숫자로부터 N을 추정하는 것입니다.

이 문제는 빈도주의 추론 또는 베이지안 추론 중 하나를 사용하여 접근할 수 있으며, 다른 결과를 초래할 수 있다.단일 표본에 기초한 모집단 최대 추정은 서로 다른 결과를 산출하는 반면, 다중 표본에 기초한 추정은 답은 간단하지만(특히 빈도론 환경에서) 명확하지 않은(특히 베이지안 환경에서) 실질적인 추정 질문이다.

이 문제는 제2차 세계 대전에서 연합군이 매우 제한된 자료에서 독일군의 전차 생산 월별 비율을 추정하는데 역사적으로 적용한 것에서 유래했다.이것은 탱크 부품(섀시, 변속 장치, 엔진, 바퀴)에 일련 번호의 오름차순을 할당하고 부착하는 제조 관행을 이용했고, 일부 탱크는 결국 연합군에 의해 점령되었다.

가정

적군은 일련번호 1로 시작하는 연속 정수로 표시된 일련의 탱크를 제조한 것으로 추정됩니다.또한 탱크의 제조일, 서비스 이력 또는 시리얼 번호에 관계없이 분석을 위해 공개되는 시리얼 번호에 대한 분포는 분석을 수행하는 시점까지 균일합니다.

예

탱크에 1부터 시작하는 순차 일련 번호가 할당되어 있다고 가정하면, 4개의 탱크가 포획되고 일련 번호 19, 40, 42 및 60이 할당되어 있다고 가정합니다.

빈도주의 접근방식은 생산되는 탱크의 총 수를 다음과 같이 예측한다.

$(\displaystyle N\약 74)$

베이지안 접근방식은 생산된 탱크의 중앙 수가 빈도주의 예측과 매우 유사할 것으로 예측한다.

${\displaystyle N_{med}\약 74.5}$

반면 베이지안 평균은 생산된 탱크의 수가 다음과 같을 것으로 예측한다.

$(\displaystyle N_{av}\약 89)$

N은 생산된 것으로 예상되는 총 탱크 수와 같으며, m은 관측된 최고 일련 번호, k는 포획된 탱크 수와 같다고 하자.

빈도수 예측은 다음과 같이 계산됩니다.

${\displaystyle N\approx m+{\frac {m}{k}}-1=74}$

베이지안 중위수는 다음과 같이 계산됩니다.

${\displaystyle N_{med}\approx m+{\frac {m\ln(2)}{k-1}=74.5}$

베이지안 평균은 다음과 같이 계산됩니다.

${\displaystyle N_{av}\approx (m-1){\frac {k-1}{k-2}}=89)$

두 베이지안 계산 모두 다음과 같은 확률 질량 함수에 기초한다.

${\displaystyle \Pr(N=n)=begin{case}0&{\text{if}}n<m\{\frac {k-1}{k-1}}{\frac {binom {m-1}{k-1}}}{\binom {n}}{\text{n}}\ge m\end {case}}}$

이 분포는 최소 60개의 탱크가 있다는 사실과 관련하여 양의 왜도를 가지고 있습니다.이러한 왜도 때문에 평균이 가장 의미 있는 추정치가 아닐 수 있습니다.이 예제의 중위수는 74.5로 빈도수 공식과 거의 일치합니다.스털링의 근사치를 사용하여, 베이지안 확률 함수는 다음과 같이 근사될 수 있다.

${\displaystyle \Pr(N=n)\약 {\text{case}n<m\(k-1)m^{k-1}n^{-k}&{\text{if}}n\geq m,\end{case}}}}$

중위수에 대한 근사치는 다음과 같습니다.

${\displaystyle N_{med}\약 m+{\frac {m\ln(2)}{k-1}}$

마지막으로 베이시안들의 평균 추정치와 그 편차는 다음과 같이 계산된다.

$디스플레이 스타일N&\approx \mu \pm = 89\pm 50,\[5pt]\mu &=(m-1){k-2},\\[5pt]\flac {k-1)(m-k+1)}{k-2}}{\flac {k-1}\flac {(k-1)\flac {(k-3)}{k-2}}}}^{\f}.\end { aligned}}$

문제의 과거 예시

제2차 세계대전 중 서방 연합국은 독일의 생산 규모를 파악하기 위해 지속적인 노력을 기울였으며, 여기에는 전통적인 정보 수집과 통계적 추정이라는 두 가지 주요한 방법으로 접근했다.많은 경우, 통계 분석은 기존의 지능에 비해 상당히 개선되었다.D-Day 직전의 팬더 탱크 생산 추정에서와 같이, 기존의 정보들이 통계적 방법과 함께 사용되기도 했다.

연합군의 지휘구조는 이탈리아에서 볼 수 있는 고속 75mm/L70 포를 가진 5호 전차(Panther)는 이례적인 중전차이며, 튀니지에서 볼 수 있었던 타이거 1호와 같은 소수의 프랑스 북부에서만 볼 수 있을 것이라고 생각했다.미군은 셔먼 전차가 ^[a]북아프리카와 시칠리아에서 3호 전차와 4호 전차를 상대로 한 것처럼 계속해서 좋은 성능을 발휘할 것이라고 확신했다.D-Day 직전에, 많은 수의 5호 전차가 사용되고 있다는 소문이 있었다.

이것이 사실인지 아닌지를 판단하기 위해 연합군은 생산되는 탱크의 수를 추정하려고 시도했다.이를 위해 그들은 생포되거나 파괴된 탱크의 일련번호를 사용했다.사용된 주요 번호는 변속 장치 번호였으며, 이는 두 개의 연속되지 않은 순서로 떨어졌습니다.섀시와 엔진 번호도 사용되었지만, 그 용도는 더 복잡했습니다.분석을 교차 확인하기 위해 다양한 다른 성분이 사용되었습니다.순차적으로 번호가 매겨지는 것으로 관찰된 바퀴에 대해서도 유사한 분석이 수행되었다(즉, 1, 2, 3, ..., N).^{[2][page needed][b][3][4]}

탱크 바퀴의 분석 결과 사용 중인 바퀴 금형의 개수에 대한 추정치가 도출되었습니다.영국의 로드 휠 메이커와의 논의에서는, 이 많은 금형으로부터 생산할 수 있는 휠의 수를 추정해, 매월 생산되고 있던 탱크의 수를 산출했습니다.두 개의 탱크(각각 32개의 로드 휠, 총 64개의 로드 휠)에서 바퀴를 분석한 결과 1944년 2월에 생산된 270개의 탱크가 추정되었으며, 이는 이전에 ^[5]의심했던 것보다 훨씬 많은 수치이다.

전후 독일 기록에는 1944년 2월의 생산량은 276이었다.^[6][c]통계적 접근법은 기존의 정보 방법보다 훨씬 더 정확하다는 것이 입증되었고, "독일 탱크 문제"라는 문구는 이러한 유형의 통계 분석을 설명하는 말로 받아들여졌다.

생산량을 추정하는 것만이 이 일련 번호 분석의 유일한 용도는 아니었다.또, 공장수, 공장의 상대적 중요도, 서플라이 체인(supply-chain)의 길이(생산과 사용의 지연에 근거), 생산의 변화, 고무등의 자원의 사용 등, 독일의 생산을 보다 일반적으로 이해하기 위해서도 이용되었다.

특정 데이터

연합군의 전통적인 정보 추정에 따르면, 독일군은 1940년 6월부터 1942년 9월까지 매달 약 1,400대의 탱크를 생산하고 있었다.포획된 탱크의 일련 번호에 아래의 공식을 적용하여 월 246개로 계산했습니다.전쟁 후, 알버트 슈페어 부처에서 포착된 독일 생산 수치는 실제 245개로 ^[3]나타났다.

일부 특정 달의 추정치는 다음과 같다.^[7]

달	통계적 추정치	인텔리전스 견적	독일 기록
1940년 6월	169	1,000	122
1941년 6월	244	1,550	271
1942년 8월	327	1,550	342

유사한 분석

유사한 일련 번호 분석이 제2차 세계대전 동안 다른 군사 장비에도 사용되었으며, 가장 성공적으로 ^[8]V-2 로켓에 사용되었습니다.

소련군 장비의 공장 표시는 한국 전쟁 중, 그리고 ^[9]2차 세계대전 중 독일 정보기관에 의해 분석되었다.

1980년대에 일부 미국인들은 이스라엘의 메르카바 탱크의 생산 라인에 접근할 수 있었다.생산번호는 분류됐지만 탱크에는 일련번호가 있어 ^[10]생산량을 추정할 수 있었다.

이 공식은 예를 들어 제조된 Commodore 64 컴퓨터의 수를 추정하기 위해 비군사적인 맥락에서 사용되었으며, 결과(1250만 대)는 로우엔드 ^[11]추정치와 일치합니다.

대책

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시리얼 번호 분석을 혼란시키기 위해 시리얼 번호를 제외하거나 사용 가능한 보조 정보를 줄일 수 있습니다.또는 암호해석에 저항하는 시리얼 번호를 사용할 수 있습니다.가장 효과적인 방법은 생성된 객체 수보다 훨씬 큰 목록에서 치환 없이 무작위로 번호를 선택하거나 랜덤 번호를 생성하여 이미 할당된 번호 목록과 대조하는 것입니다.번호가 O가 아닌 한 충돌이 발생할 가능성이 높습니다.f 자리수는 생성된 개체 수(시리얼 번호가 임의의 베이스에 있을 수 있는 경우)의 2배를 넘습니다.생일 ^[d]문제를 참조해 주세요.이를 위해 암호학적으로 안전한 의사난수 발생기를 사용할 수 있다.이러한 모든 방법에서는 시리얼 번호에서 생산 오더로 되돌리려면 룩업테이블(또는 사이퍼 브레이크)이 필요합니다.이 때문에 시리얼 번호의 사용이 복잡해집니다.예를 들어 시리얼 번호의 범위는 호출할 수 없지만 각각 개별적으로 조회하거나 목록을 생성해야 합니다.

또는 시퀀셜 시리얼 번호를 간단한 치환 암호로 암호화할 수 있어 복호화가 용이하지만 주파수 분석에 의해 쉽게 깨질 수 있습니다.즉, 임의의 포인트에서 시작해도 평문에는 패턴이 있습니다(즉, 번호는 시퀀스로 되어 있습니다).Ken Follett의 소설 Code to Zero에서 한 가지 예가 제시되어 있습니다.여기서 Jupiter-C 로켓의 일련번호 암호화는 다음과 같습니다.

H	U	N	T	S	V	I	L	E	X
1	2	3	4	5	6	7	8	9	0

10글자 ^[12]키를 얻기 위한 암호어는 Huntsville입니다(반복되는 글자는 생략).그러므로 13번 로켓은 "HN"이었고 24번 로켓은 "UT"였다.

포맷 보존형 암호화를 사용하면 시리얼 번호를 확장하지 않고 강력하게 암호화할 수 있습니다.이러한 알고리즘은 큰 테이블 내의 가능한 모든 시리얼 번호 세트에 진정한 랜덤 치환을 저장하는 것이 아니라 비밀 키에서 의사 랜덤 치환을 도출합니다.보안은 키를 모르는 공격자에 대한 진정한 랜덤 순열과 구별할 수 없는 의사 랜덤 순열로 정의할 수 있습니다.

빈도 분석

최소 분산 불편 추정기

포인트 추정(합계에 대한 $단일{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 값 N$^$ {\$displaystyle {\widehat$ {$N}}$ 추정)의 경우 최소 분산 불편 추정기(MVUE 또는 UMVU 추정기)^[e]는 다음과 같이 제공됩니다.

${\displaystyle {N}}=m(1+k^{-1})-1,}$

여기서 m은 관측된 가장 큰 일련 번호(표본 최대값)이고 k는 관측된 탱크의 수(표본 크기)^[10][13]입니다.시리얼 번호가 검출되면, 그 번호는 풀내에 존재하지 않게 되어, 다시 검출되지 않게 됩니다.

이것은^[10] 차이가 있다.

${\displaystyle \operatorname {var} \left\widehat {N} \right} = prac { {(N-k)(N+1)} {(k+2)}} {\approx {N^{2}} {\frac {\text for smalls} \kLL,$

따라서 표준 편차는 표본에서 정렬된 관측치 사이의 예상 간격 크기인 약 N/k입니다.

그 공식을 직관적으로 샘플은 최대+관찰 사이의 표본의 평균 격차로 이해될 수 있는 샘플 최대치가 초기 평가자가 갖고 있는 최대 공산 estimator,[f] 샘플은 최대의 인구 최대에 대한 추정자로 부정적인 편견 때문에 보상에 편입될 것에 기인되어 놓여진다.imum,^[g] 로 표기되어 있습니다.

${\displaystyle {N}=m+{\frac {m-k}{k}=m+blac^{-1}-1=m(1+k^{-1})-1.}$

이는 표본의 관측치가 범위 전체에 걸쳐 균등하게 분포되어 있고, 0과 N + 1의 범위 바로 바깥쪽에 추가 관측치가 있다고 상상하면 시각화할 수 있습니다.0과 표본에서 가장 낮은 관측치 사이의 초기 간격(샘플 최소값)에서 시작하는 경우, 표본에서 연속된 관측치 사이의 평균 간격은 (${\displaystyle m}$-${\displaystyle k}$) /$$ { $displaystyle (m-k)$ /$k$$\}{\displaystyle }$ 이며$$, 관측치 자체는 관측치 간의 간격 계산에 포함되지 ${\displaystyle \mathrm{않으므로}}$ -$$k {$displaystyle$-k $\}{\displaystyle }$예상값의 도출과 표본 최대값의 분산이 이산 균등 분포의 페이지에 표시됩니다.^[h]

이 철학은 최대 간격 추정 방법에서 공식화되고 일반화된다. 유사한 경험적 접근법이 Q-Q 그림의 위치를 표시하는 데 사용되며, 끝에는 간격이 있고 균일한 분포에 균등하게 있는 k / (n + 1)에 표본점을 그리는 데 사용된다.

신뢰 구간

점 추정 대신 또는 점 추정 외에 신뢰 구간과 같은 구간 추정을 수행할 수 있습니다.이는 표본에서 k개의 관측치가 범위의 p(0 p p 1 1)를 포함하는 구간에 속할 확률이 p라는^k 관찰에 기초하여 쉽게 계산된다(이 절에서 추첨은 치환과 함께이며, 치환 없이 추첨하는 경우, 이는 가능성을 과대하게 나타내며, 구간이 초과될 수 있음).rly reconservative).

따라서 표본 최대값의 백분위수 표본 분포는 0부터 1까지의 그래프^1/k x입니다. 표본 최대값 m의 p-번째부터 q-번째 백분위수는 구간^1/k [pN^1/k, qN]입니다.이를 반전시키면 모집단 최대값 [m/q^1/k, m/p^1/k]에 해당하는 신뢰 구간이 생성됩니다.

예를 들어, k = 5에 대해 대칭 95% 구간 p = 2.5%, q = 97.5%를 취하면 0.025^1/5 0 0.48, 0.975^1/5 0 0.995가 산출되므로 신뢰 구간은 약 [1.005m, 2.08m]입니다.하한은 m에 매우 가까우므로 p = 5%에서 100% 사이의 비대칭 신뢰 구간이 더 유용합니다. k = 5의 경우 0.05^1/5 0 0.55 및 구간 [m, 1.82m]을 산출합니다.

보다 일반적으로 95% 신뢰 구간은 [m, m/0.05^1/k] = [m, m·20]입니다^1/k.K 값의 범위에 UMVU 점 추정기(가독성을 위해 + 1)를 참조하면 다음과 같이 산출됩니다.

k	포인트 견적	신뢰 구간
1	2m	[m, 20m]
2	1.5m	[m, 4.5m]
5	1.2m	[m, 1.82m]
10	1.1m	[m, 1.35m]
20	1.05m	[m, 1.16m]

즉각적인 관찰은 다음과 같습니다.

• 표본 크기가 작은 경우 신뢰 구간이 매우 넓어 추정치의 불확실성이 크다.
• 범위는 빠르게 축소되어 표본의 모든 관측치가 최대값보다 유의하게 낮을 기하급수적으로 감소하는 확률을 반영합니다.
• 신뢰 구간은 N이 표본 최대값보다 결코 작을 수 없지만 N보다 임의로 높을 수 있으므로 양의 편차를 나타냅니다.

추정기의 표준 오차는 모집단의 최대값(모수)에 기초하기 때문에 m/k를 표준 오차 SE의 추정치로 순진하게(또는 오히려 (m + m/k - 1)/k로) 사용할 수 없으며, 추정치를 사용하여 바로 그 추정치의 오차를 추정하는 것은 순환 추론이다.

베이지안 분석

독일 탱크 문제에 대한 베이지안 접근법은 관찰된 탱크$$수가 $KDISPLAY일$$$때 적 $전차{\displaystyle }$ N$(\$$displaystyle$$$N$)$ 대수와 $같다는{\displaystyle }$ 신뢰도$N = n$$$$display$ M $= m$, $K$$$$= k$를 고려하는$$ $것$이다.${\displaystyle$ k$\},$ 그리고 발견된 최대 일련 $번호{\displaystyle }$M(\$displaystyle$ M$)$은 $숫자{\displaystyle }$m(\$displaystyle$ m$)$과 동일합니다.이 문제에 대한 답은 N$(\displaystyle$ N$)$에 $대한{\displaystyle }$ 사전 선택에 따라 달라진다. 예를 들어 포아송 또는 음이항 분포와 같은 적절한 사전 분포를 사용하면 후방 평균 및 후방 분산에 대한 닫힌 공식을 ^[14]얻을 수 있다.다른 방법은 다음과 같이 직접 계산을 진행하는 것입니다.

간단히 말하면$,{\displaystyle }$ (${\displaystyle N}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle nm}$ M ${\displaystyle =m}$ , ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle =k}$) {${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$$($ ${\displaystyle N}$$n$ \ $mid$ M${\displaystyle }$$= m$ , $K$${\displaystyle }$$= k$ )$$} {$displaystyle$ ($n$ \$mid m$ , k$$ ) }${\displaystyle }$。

조건부 확률

조건부 확률에 대한 규칙은 다음과 같다.

${\displaystyle (n\mid m,k)(m\mid n,k)(n\mid k)=(m,n\mid k)}$

M이 N과 K를 알 확률

표현

${\displaystyle (m\mid n,k)=(M=m\mid N=n,K=k)}$

는 검출된 최대 시리얼 $번호{\displaystyle }$M(\$displaystyle$ M$)$이$M$(\$displaystyle$ M$)$과 같을 조건부 확률입니다.적 탱크의 $수{\displaystyle }$N(\$displaystyle$ N$)$이$$n(\$displaystyle$ n$)$이고 관측된 적 탱크의 수$K{\displaystyle }$(\$displaystyle$ K$)$가 같은 것으로 알려져 있습니다.$\displaystyle$ k$.$

그렇다.

${{displaystyle(m\mid n,k)=binom {m-1}{k}{-1}[k\leq m][m\leq n]}$

$({\displaystyle }$ ${\displaystyle n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{k}{}}$)$${ $displaystyle { binom$ { n } { $k$} a $、{\displaystyle }$ [ $k$ n$]$ { displaystyle $[ k$ \ $leq$ n$$] is$$ Iverson 괄호입니다.

The expression can be derived as follows: ${\displaystyle (m\mid n,k)}$ answers the question: "What is the probability of a specific serial number ${\displaystyle m}$ being the highest number observed in a sample of ${\displaystyle k}$ tanks, given there are ${\displaystyle n}$ tanks in total?"

$크기 k$의 샘플은$$k의$개별$ 추첨 $결과$라고 생각할 수 있다.도면 $번호{\displaystyle }$ d$\backslash$$displaystyle$d에 m$\displaystyle$m이$$ 관찰된다고 $가정$합니다.이 문제가 발생할 가능성은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\frac {m-1}{\frac {m-2}{n-1}}\cdot {m-3}{n-2}}\cdots {frace {m-d+1}{n-d+2}}_{\text {d-1-times}\cdot \frace {n-1}{frace {n-1}{n-1}}\cd-1}{n!}}\cdot {(m-1)!}{(m-k)!}}.}$

오른쪽에서 볼 수 있듯이 이 표현은 d${\displaystyle \backslash }$$displaystyle$d와$$ $독립적$이며, 따라서 $각{\displaystyle }$(\$displaystyle$ d$\leq$k$)$에 대해 동일합니다. m$(\displaystyle$ m$)$은 k$(\displaystyle$ k$)$의 서로 다른 $도면$에 그릴 수 $있으므로{\displaystyle }$$,$ 특정 m(\$displaystyle$ m)이 하나의 ob 중 가장 클 확률입니다.$제공$되는 값은 k$(\displaystyle$ k$)$의 확률입니다.

${\displaystyle(mid n,k)=k\cdot{(n-k)}!{n!}}\cdot {(m-1)!}{(m-k)!}}=binom {m-1}{k-1}{\binom {n}{k}}^{-1}.}$

M이 K만을 알 확률

The expression ${\displaystyle (m\mid k)=(M=m\mid K=k)}$ is the probability that the maximum serial number is equal to ${\displaystyle m}$ once ${\displaystyle k}$ tanks have been observed but before the serial numbers have actually been observed.

The expression ${\displaystyle (m\mid k)}$ can be re-written in terms of the other quantities by marginalizing over all possible ${\displaystyle n}$.

${\displaystyle {n}(m\mid k)&=(m\mid k)\&=(m\mid k){\sum_{n=0}^{\infty}(m\mid k){\sum _n=0}^{infty}(m\mid k){n}{n\infty}(mid k}{\frac}$

K만을 아는 N의 신뢰성

표현

${\displaystyle (n\mid k)=(N=n\mid K=k)}$

검출된 $(\displaystyle$ K$)$ 탱크의$$ 수가$$k(\$displaystyle$ k$)$로 $알려져{\displaystyle }$ 있지만 시리얼 번호가 확인되기 전에$N$(\$displaystyle$ N$)$ 탱크의 총 수가$$n(\$displaystyle$ n$)$과 같다는 신뢰성입니다.일부 이산 균일한 분포라고 가정합니다.

${\displaystyle (n\mid k)=(\Omega -k)^{-1}[k\leq n][n<\Omega ]}$

상한 δ$(\displaystyle\Omega)$는 유한해야 합니다.왜냐하면 함수는

$\displaystyle f(n)=\lim _{\Omega \rightarrow \infty }(\Omega -k)^{-1}[k\leq n][n<\Omega]=0}$

질량 분포 함수가 아닙니다.

M과 K를 아는 N의 신뢰성

${\displaystyle (n\mid m,k)=(m\mid n,k)\left(\sum _{n=m}^{\Omega -1}(m\mid n,k)\right)^{-1}[m\leq n][n\Omega]$

If k ≥ 2, then ${\displaystyle \sum _{n=m}^{\infty }(m\mid n,k)<\infty }$, and the unwelcome variable ${\displaystyle \Omega }$ disappears from the expression.

${{displaystyle (n\mid m,k)=(m\mid n,k)\left(\sum _{n=m}^{\infty}(m\mid n,k)\right)^{-1}[m\leq n]}$

k ≤ 1의 경우 적 탱크의 수 분포 모드는 m이다.

k 2 2의 경우 적 탱크의 수가 n$(\displaystyle$ n$)$과 같다는 신뢰도는 다음과 같습니다.

${\displaystyle (N=n\mid m,k)=(k-1){\binom {m-1}{-1}{\binom {n}{k}{-1}[m\leq n]}$

적의 탱크 수 N이 n보다 크다는 신뢰도는

${\displaystyle (N>n\mid m,k)=param {case}1&{\text{if}n<m\frac {m-1}{\binom {n}{k-1}}&{\text{if}}n\geq m\end cases}}n$

평균값 및 표준편차

k 3 3의 경우, N은 유한 평균값을 갖는다.

${{displaystyle (m-1)(k-1)(k-2)^{-1}}$

k 4 4의 경우, N은 유한 표준 편차를 갖는다.

${{displaystyle (k-1)^{1/2}(k-2)^{-1)(k-3)^{-1/2}(m-1)^{1/2}(m+1-k)^{1/2}}$

이러한 공식은 다음과 같습니다.

합계 공식

독일 탱크 문제와 관련된 일련의 단순화를 위해 다음과 같은 이항 계수 항등식을 사용한다.

${\displaystyle \sum _{n=m}^{\infty}{\frac {1}{\binom {n}{k}}=blac {k-1}{\frac {1}{\binom {m-1}}}}}}$

이 합계 공식은 적분 공식과 다소 유사하다.

${\displaystyle \int _{n=m}^{\infty}{\frac {dn}{n^{k}}=black {1}{k-1}{\frac {1}{m^{k-1}}}}$

다음 공식은 k > 1에 적용됩니다.

탱크 1대

n개의 탱크 모집단 중 무작위로 1개의 탱크를 관찰하면 m µn의 확률 1/n, m > n의 확률 0의 시리얼 번호 m을 얻을 수 있습니다. Iverson 괄호 표기법을 사용하여 다음과 같이 기술됩니다.

${\displaystyle(M=m\mid N=n,K=1)=(m\mid n)=sq frac {[m\leq n]}{n}}$

m$${\$displaystyle$ m$\}$의 조건부 확률 질량 분포 함수입니다.

고정 m에 대해 n의 함수로 간주할 경우 이는 우도 함수입니다.

${\displaystyle {L}}(n)=param frac {[n\geq m]}{n}}$

총 탱크 수에 대한 최대우도 추정치는 N = m이다₀. 이는 실제 숫자가 이보다 클 수 있고, 잠재적으로 많을 수 있지만, 더 적을 수는 없기 때문에 명백히 편향된 추정치이다.

한계 우도(즉, 모든 모델에서 한계화됨)는 고조파 급수의 꼬리가 되므로 무한하다.

$\displaystyle \sum _{n}{\mathcal {L}}(n)=\sum _{n=m}^{\infty}{\frac {1}{n}=\infty }$

그렇지만

${\displaystyle {displaystyle}\sum _{n}{\mathcal {L}}(n)[n\Omega ]^{\Omega -1}{\frac {1}{n}\[5pt]&=H_{\Omega -1}-H_{m-1}\end{aligned}}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 Hn$(\$ H_${n})$은 조화수입니다.

신뢰도 질량 분포 함수는 이전 제한$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$(\$displaystyle \Omega$에 따라 달라집니다.

${\displaystyle {begin{aligned}&(N=n\mid M=m,K=1)\[5pt]={}&(n\mid m)=sq frac {[m\leq n]}{n}{\frac {[n\Omega]}}{H_{m-1}{end}}}}}}{displaystyparted}$

N$(\displaystyle$ N$)$의 평균값은

${\displaystyle {naligned}\sum _{n}n\cdot (n\mid m)&=\sum _{n=m}^{\Omega -1}{\frac {1}{\frac}{H_{\Omega -1}-H_{m-1}}\\[5pt]&=440frac {\Omega -m}{H_{\Omega -1}-H_{m-1}}\[5pt]&\약 {\log \left({\frac {\Omega -1}{m-1}}}}}\end {aligned}}}$

탱크 2대

한 개가 아닌 두 개의 탱크가 관측될 경우 관측된 두 개의 일련 번호 중 더 큰 번호가 m일 확률은 다음과 같다.

${\displaystyle(M=m\mid N=n,K=2)=(m\mid n)=[m\leq n]{\frac {m-1}{\binom {n}{2}}}}$

고정 m에 대해 n의 함수로 간주할 때 이는 우도 함수이다.

${\displaystyle {L}}(n)=[n\geq m]{\frac {m-1}{\binom {n}{2}}}}$

전체 가능성은

${\displaystyle {displaystyle}\sum {L}(n)&=sum frac {m-1}{n=m}^{\infty}{\frac {1}\\[4pt]=sum frac {m-1}{{n}}{\infty}\cd frac2 {cdfrac2}{{{cd}$

신뢰도 대량 분포 함수는

${\displaystyle {begin{aligned}&(N=n\mid M=m,K=2)\[4pt]={}&{\frac {\mathcal {L}(n)}{\sum _{n}{\mathcal {L}}(n}}{n}}\frac {\pt}{n}\mathcal {n}\mathcal {{n}}{n}}{n}}\pt}\pt}\mid M={n}\mid M={\mid M=$

$중앙값{\displaystyle \stackrel{}{}}$N$$~ {\$displaystyle {N}}$은(는) 다음을 만족합니다.

${\displaystyle \sum _{n}[n\geq {N}}(n\mid m)=blac {1}{2}}{2}}$

그렇게

${\displaystyle {m-1}{{\tilde {N}}-1}=black {1}{2}}$

그래서 중앙값은

$(\displaystyle\tilde {N}}=2m-1)$

하지만 N$(\displaystyle$ N$)$의 평균값은 무한대입니다.

${\displaystyle \mu =\sum _{n}n\cdot (n\mid m)=sum frac {m-1}{\infty}{\frac {1}{n-1}=\infty}$

많은 탱크

신뢰도 대량 분포 함수

일련 번호 {1,....,n}에서 가져온 k개의 관측치 중 가장 큰 값이 m일 조건부 확률은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {begin{aligned}&(M=mid N=n,K=k\geq 2)\={}&(m\leq n){\frac {m-1}{k-1}{\binom {n}}{\end}} 정렬$

n의 우도함수는 같은 식이다.

${\displaystyle {L}=[n\geq m]{\frac {binom {m-1}{k-1}}{\binom {n}{k}}}}$

k ≤ 2에 대한 총 가능성은 유한하다.

${{displaystyle {displaystyle}\sum {L}(n)&=sum frac {binom {m-1}{k-1}}{{n=m}{\infty}{1\overom {n}}}\&=sum frac {m-1}{cd1}{{n}}{\cd-1}}}}{{\\cd-1}}}}}}{\\\\\cdfrac$

신뢰도 대량 분포 함수는

${\displaystyle{\begin{정렬}&,(N=n\mid M=m,K=k\geq 2)=(n\mid m,k)\\={}&,{\frac{{{나는\mathcal}}(n)}{\sum_{n}{{나는\mathcal}}(n)}}\\={}&,[mn\geq]{\frac{k-1}{k}}{\frac{\binom{m-1}{k-1}}{\binom{n}{k}}}\\={}&,[mn\geq]{\frac{m-1}{n}}{\frac{\binom{m-2}{k-2}}{\binom{n-1}{k-1}}}\\={}&,[mn\geq]{\frac{m-1}{n}}{\frac{m-2}{n-1}}{\f.rac{k-1}{k-2}}{\frac {\binom {m-3} {k-3} {\binom {n-2} {k-2}}\end {aligned}}$

상보적 누적분포함수는 N > x의 신뢰도입니다.

${\displaystyle{\begin{정렬}&,(N>,x\mid M=m,K=k)[4pt]={}&,{\begin{경우}1&,{\text{만약}}x<, m\\\sum _ᆰ^ᆱ(n\mid m,k)&,{\text{만약}}x\geq m\end{경우}}\\={}&,[x<입니다 나이]+.[mx\geq]\sum _{n=x+1}^{\infty}{\frac{k-1}{k}}{\frac{\binom{m-1}{k-1}}{\binom{N}{k}}}\\[4pt]={}&,[x<입니다 나이]+.[mx\geq]{\frac{k-1}{k}}{\frac{\binom{m-1}{k-1}}{1}}\sum{\i _{n=x+1}^.nfty }{\frac {1}{n}{k}}\\[4pt]={}&[x<m]+[x\geq m]{k}{k}{\frac {binom {m-1}{k-1}}{1}{1}\cdot {\frac}{k-1}{\frac} {\frac} {\frac}$

누적분포함수는 N x x의 신뢰도이다.

${\displaystyle {begin{aligned}&(N\leq x\mid M=m,K=k)\\[4pt]={}&[x\geq m]\left(1-{\frac {binom-1})$

매그니튜드 순서

적의 탱크 수의 순서는 다음과 같습니다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\mu&=\sum _{n}n\cdot(N=n\mid M=m,K=k)[4pt]&, =\sum _ᆯn[mn\geq]{\frac{m-1}{n}}{\frac{\binom{m-2}{k-2}}{\binom{n-1}{k-1}}}\\[4pt]&, ={\frac{m-1}{1}}{\frac{\binom{m-2}{k-2}}{1}}\sum _{n=m}^{\infty}{\frac{1}{\binom{n-1}{k-1}}}\\[4pt]&, ={\frac{m-1}{1}}{\frac{\binom{m-2}{k-2}}{1}}\cdot{\frac. {k-1}{k-2}}{\frac {1}{\binom {m-2}{k-2}}\\[4pt]&=blac {m-1}{1}{\frac {k-1}{k-2}}\end {aligned}}}$

통계적 불확실성

통계적 불확도는 $(\displaystyle \sigma$로, 다음 방정식을 만족한다.

$\displaystyle \mu^{2}+\mu^{2}=\sum _{n}n^{2}\cdot (N=n\mid M=m,K=k)}$

그렇게

${\displaystyle{\begin{정렬}\sigma ^{2}+\mu ^{2}-\mu&=\sum _ᆰn(n-1)\cdot(N=n\mid M=m,K=k)[4pt]&, =\sum _ᆱ^ᆲn(n-1){\frac{m-1}{n}}{\frac{m-2}{n-1}}{\frac{k-1}{k-2}}{\frac{\binom{m-3}{k-3}}{\binom{n-2}{k-2}}}\\[4pt]&, ={\frac{m-1}{1}}{\frac{m-2}{1}}{\frac{k-1}{k-2}}\cdot{\frac{\binom{m-3}{k-3}}{1}}\sum{_{n=m}^.}{\fr\inftyac {1}{\binom {n-2}{k-2}}\[4pt]&=snfrac {m-1}{1}{\frac {k-2}{\frac {k-1}{k-2}{\frac {m-3}}{\frac {k-2}}}{\frac {\frac {m-2}}{\frac}}$

그리고.

${\displaystyle {\frac {m-1}{\frac {m-2}{1}}{\frac {k-1}{k-3}+\mu -\mu ^2}\[4pt]&=parcrt {frac {k-1}(m-1){1}{1}{\frac {\frac {k-1}{\frac {k-1}}{\frac {\frac {k}{k}}}{\frac {\m-1}}{\m}{\m}{\m}{\m}}{\mu }}$

분산 대 평균 비율은 다음과 같습니다.

$({displaystyle {\frac ^{2}} {\mu }} = flac {m-k+1} {(k-3)(k-2)})$

「 」를 참조해 주세요.

• 표시 및 회수, 다른 모집단 크기 추정 방법
• 최대 간격 추정 - "균등 분포 가정"의 직관을 일반화합니다.
• 코페르니쿠스 원리와 린디 효과, 표본에서 단 하나의 관측치(현재 나이)를 가정한 일생에 대한 유사한 예측입니다.
  • 인류의 예상 생존 시간을 추정하기 위한 응용 프로그램인 'Doomsday' 논쟁입니다.
• 일반화 극단값 분포, 표본 최대값의 가능한 한계 분포(반대 질문).
• 최대우도
• 추정기의 치우침
• 우도 함수

추가 정보

• Goodman, L. A. (1954). "Some Practical Techniques in Serial Number Analysis". Journal of the American Statistical Association. American Statistical Association. 49 (265): 97–112. doi:10.2307/2281038. JSTOR 2281038.

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