첫 번째 n개의 정수 왕복선의 합계; 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n
The harmonic number H n {\displaystyle H_{n}} n = ⌊ x ⌋ {\displaystyle n=\lfloor x\rfloor } γ + ln ( x ) {\displaystyle \gamma +\ln(x)} γ {\displaystyle \gamma } Euler–Mascheroni constant . 수학 에서 n번째 고조파 숫자 는 첫 번째 n개의 자연수 의 왕복수 를 합한 것이다.
H n = 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 n = ∑ k = 1 n 1 k . {\displaystyle H_{n}=1+{\frac {1}{1}{1}:{2}}+{3}+\cdots +{\frac {1}{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{1}{k}}}}. }
n 1 에서 시작하여 고조파 숫자의 순서가 시작된다.
1 , 3 2 , 11 6 , 25 12 , 137 60 , … {\displaystyle 1,{\frac {3}{2}},{\frac {11}{6},{\frac {25}{12}},{\frac {137}{60},\frac }}}}
고조파 숫자는 n번째 고조파 숫자도 첫 번째 n 양의 정수에 대한 고조파 평균의 역수 의 n배라는 점에서 고조파 평균과 관련이 있다.
조화 숫자는 고대부터 연구되어 왔으며, 숫자 이론의 다양한 분야에서 중요하다. 그것들은 때때로 느슨하게 고조파 시리즈 라고 불리며, 리만 제타 기능 과 밀접한 관련이 있으며, 다양한 특수 기능의 표현에 나타난다 .
고조파 숫자는 대략 자연 로그 함수 와[1] : 143 관련 고조파 시리즈는 비록 느리지만 제한 없이 증가한다. 1737년, 레온하르트 오일러는 고조파 계열의 분산 을 이용하여 프라임 숫자의 무한성 에 대한 새로운 증거를 제공하였다. 그의 작품은 1859년 베른하르트 리만(Bernhard Riemann )에 의해 복잡한 비행기 로 확장되어, 프라임 숫자의 분포 에 관한 유명한 리만 가설 로 바로 이어졌다.
다량의 항목 값이 Zipf의 법칙 분포 를 갖는 경우, 가장 가치가 높은 항목 n개 의 총 값은 n번째 고조파 숫자에 비례한다. 이 는 긴 꼬리 와 네트워크 가치 이론 에 관한 다양한 놀라운 결론으로 이어진다.
베르트랑의 가정 은 사례 n 1 을 제외하고 고조파 숫자는 결코 정수가 아니라는 것을 암시한다.[2]
처음 40개의 고조파 숫자 n 조화수n , H 분수로 표현된 십진법의 상대적 크기 1 1 1 1
2 3 /2 1.5 1.5
3 11 /6 ~1.83333 1.83333
4 25 /12 ~2.08333 2.08333
5 137 /60 ~2.28333 2.28333
6 49 /20 2.45 2.45
7 363 /140 ~2.59286 2.59286
8 761 /280 ~2.71786 2.71786
9 7 129 /2 520 ~2.82897 2.82897
10 7 381 /2 520 ~2.92897 2.92897
11 83 711 /27 720 ~3.01988 3.01988
12 86 021 /27 720 ~3.10321 3.10321
13 1 145 993 /360 360 ~3.18013 3.18013
14 1 171 733 /360 360 ~3.25156 3.25156
15 1 195 757 /360 360 ~3.31823 3.31823
16 2 436 559 /720 720 ~3.38073 3.38073
17 42 142 223 /12 252 240 ~3.43955 3.43955
18 14 274 301 /4 084 080 ~3.49511 3.49511
19 275 295 799 /77 597 520 ~3.54774 3.54774
20 55 835 135 /15 519 504 ~3.59774 3.59774
21 18 858 053 /5 173 168 ~3.64536 3.64536
22 19 093 197 /5 173 168 ~3.69081 3.69081
23 444 316 699 /118 982 864 ~3.73429 3.73429
24 1 347 822 955 /356 948 592 ~3.77596 3.77596
25 34 052 522 467 /8 923 714 800 ~3.81596 3.81596
26 34 395 742 267 /8 923 714 800 ~3.85442 3.85442
27 312 536 252 003 /80 313 433 200 ~3.89146 3.89146
28 315 404 588 903 /80 313 433 200 ~3.92717 3.92717
29 9 227 046 511 387 /2 329 089 562 800 ~3.96165 3.96165
30 9 304 682 830 147 /2 329 089 562 800 ~3.99499 3.99499
31 290 774 257 297 357 /72 201 776 446 800 ~4.02725 4.02725
32 586 061 125 622 639 /144 403 552 893 600 ~4.05850 4.0585
33 53 676 090 078 349 /13 127 595 717 600 ~4.08880 4.0888
34 54 062 195 834 749 /13 127 595 717 600 ~4.11821 4.11821
35 54 437 269 998 109 /13 127 595 717 600 ~4.14678 4.14678
36 54 801 925 434 709 /13 127 595 717 600 ~4.17456 4.17456
37 2 040 798 836 801 833 /485 721 041 551 200 ~4.20159 4.20159
38 2 053 580 969 474 233 /485 721 041 551 200 ~4.22790 4.2279
39 2 066 035 355 155 033 /485 721 041 551 200 ~4.25354 4.25354
40 2 078 178 381 193 813 /485 721 041 551 200 ~4.27854 4.27854
조화 숫자를 포함하는 ID 정의에 따르면, 고조파 숫자는 재발 관계 를 만족한다.
H n + 1 = H n + 1 n + 1 . {\displaystyle H_{n+1}= H_{n}+{\frac {1}{n+1}. }
조화수는 제1종류의 스털링 숫자 와 관계를 통해 연결된다.
H n = 1 n ! [ n + 1 2 ] . {\displaystyle H_{n}={\frac {1}{n! }}}\왼쪽[{n+1 \atup 2}\오른쪽). }
기능
f n ( x ) = x n n ! ( 통나무를 하다 x − H n ) {\displaystyle f_{n}(x)={\frac {x^{n}}{n! }}}(\log x-H_{n}}) 재산을 만족시키다. f n ′ ( x ) = f n − 1 ( x ) . {\displaystyle f_{n}'(x)=f_{n-1}(x). } 특히 f 1 ( x ) = x ( 통나무를 하다 x − 1 ) {\displaystyle f_{1}(x)=x(\log x-1)} 로그 함수의 적분이다.
고조파 숫자는 시리즈 ID를 만족시킨다.
∑ k = 1 n H k = ( n + 1 ) H n − n {\displaystyle \sum _{k=1}^{n} H_{k}=(n+1) H_{n}-n} 그리고 ∑ k = 1 n H k 2 = ( n + 1 ) H n 2 − ( 2 n + 1 ) H n + 2 n . {\displaystyle \sum _{k=1}^{n} H_{k}^{2}=(n+1) H_{n}^{2}-(2n+1) H_{n}+2n.} 이 두 결과는 해당 적분 결과와 밀접하게 유사하다. ∫ 0 x 통나무를 하다 y d y = x 통나무를 하다 x − x {\displaystyle \int _{0}^{x}\log y\ dy=x\log x-x} 그리고 ∫ 0 x ( 통나무를 하다 y ) 2 d y = x ( 통나무를 하다 x ) 2 − 2 x 통나무를 하다 x + 2 x . {\displaystyle \int _{0}^{x}(\log y)^{2}\dyx(\log x)^{2}-2x\log x+2x.}
π 과 관련된 신원고조파 숫자와 π [3] [better source needed
∑ n = 1 ∞ H n n ⋅ 2 n = 1 12 π 2 {\displaystyle \sum \{n=1}^{\flac {H_{n}}{n}{n\cdot 2^{n}}={\frac {1}{12}\pi ^{2}}: ∑ n = 1 ∞ H n 2 ( n + 1 ) 2 = 11 360 π 4 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\inflat }{\frac {H_{n}^{2}}:{(n+1)^{2 }}}}={\frac{11}{360}\pi ^{4}}} ∑ n = 1 ∞ H n 2 n 2 = 17 360 π 4 {\displaystyle \sum \{n=1}^{\frac {H_{n}^{2}}:{n^{2}}={\frac {17}{360}}\pi ^{4}}}}}} ∑ n = 1 ∞ H n n 3 = 1 72 π 4 {\displaystyle \sum \{n=1}^{\n}{n^{3}}}={\frac {1}{72}}\pi ^{4}}}}}}
계산 오일러 가[4]
H n = ∫ 0 1 1 − x n 1 − x d x . {\displaystyle H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx.}
위의 평등은 단순한 대수적 정체성 에 의해 간단하다.
1 − x n 1 − x = 1 + x + ⋯ + x n − 1 . {\displaystyle {\frac {1-x^{n}}{1-x}=1+x+\cdots +x^{n-1}. }
치환 x u 를 사용하여 H n
H n = ∫ 0 1 1 − x n 1 − x d x = ∫ 0 1 1 − ( 1 − u ) n u d u = ∫ 0 1 [ − ∑ k = 1 n ( − 1 ) k ( n k ) u k − 1 ] d u = − ∑ k = 1 n ( − 1 ) k ( n k ) ∫ 0 1 u k − 1 d u = − ∑ k = 1 n ( − 1 ) k 1 k ( n k ) . {\displaystyle {\reasoned} H_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx=\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\left[-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}u^{k-1}\right]\,du=-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}\int _{0}^{1}u^{k-1}\,du\\[6pt]&=-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}. \end{정렬}}}
고조파 숫자와 자연 로그 사이의 연관성을 보여주는 그래프. 고조파 숫자 n 1 1 x x ln ( n {\displaystyle \int _{1}^{n+1}{\frac {dx}}{x}=\ln(n+ 리만 합으로 해석할 수 있다. } n번째 고조파 숫자는 n 의 자연 로그 만큼 크다. 그 이유는 합계가 적분량 에 의해 근사치되기 때문이다.
∫ 1 n 1 x d x , {\displaystyle \int_{1}^{n}{\frac {1}{x}\,dx,} 누구의 가치는 ln n
H n ln n 한계 에 도달하여 감소한다.
임이 있는 n → ∞ ( H n − ln n ) = γ , \displaystyle \lim _{n\to \inflt }\왼쪽(H_{n}-\ln n\right)=\gamma ,} 여기서 γ 0.5772156649 는 오일러-마스케로니 상수다. 이에 상응하는 점증적 팽창은 H n ∼ ln n + γ + 1 2 n − ∑ k = 1 ∞ B 2 k 2 k n 2 k = ln n + γ + 1 2 n − 1 12 n 2 + 1 120 n 4 − ⋯ , {\displaystyle {\reasoned} H_{n}&\sim \ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}\\&=\ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\cdots ,\end{aligned}}} 여기서 B k 베르누이 숫자 다.
함수 생성 고조파 숫자의 생성 함수는
∑ n = 1 ∞ z n H n = − ln ( 1 − z ) 1 − z , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\nft }z^{n} H_{n}={\frac {-\ln(1-z)}{1-z},} 여기서 ln(z )은 자연 로그 다. 지수 생성 함수는 ∑ n = 1 ∞ z n n ! H n = − e z ∑ k = 1 ∞ 1 k ( − z ) k k ! = e z 아인 ( z ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\inflt }{\frac {z^{n}}{n! }}}{{n}=-e^{z}\sum _{k=1}^{\nfrac{1}{{1}{{\frac{1}:{k}{\frac{(-z)^{k}}}{k! }}}=e^{z}\operatorname {Ein}(z)} 여기서 Ein(z )은 전체 지수 적분 이다. 지수 적분 또한 다음과 같이 표현될 수 있다. 아인 ( z ) = E 1 ( z ) + γ + ln z = Γ ( 0 , z ) + γ + ln z {\displaystyle \operatorname {Ein}=\mathrm {E} _{1}(z)+\gamma +\ln z} 여기서 γ(0, z)는 불완전한 감마함수 다.
산술 속성 그 조화 숫자는 몇 가지 흥미로운 산술적 특성을 가지고 있다. H n {\ textstyle H_{n} {\textstyle n=1} 경우 에만 정수라는, [5] 실제로 2-adic 평가 를 사용하면 n ≥ 2 {\textstyle n_ {n} 분자 Hn {\ textstyle H_{n} 더 정확히 말하자면
H n = 1 2 ⌊ 통나무를 하다 2 ( n ) ⌋ a n b n {\displaystyle H_{n}={\frac {1}{2^{\lfloor \log_{2}(n)\rfloor }}}{\frac {a_{n}{b_{n}}}}}}}}}}}} n {\ textstyle a_{n} b n {\ textstyle b_{n}} .
월스텐홀메의 정리 결과, 어떤 p ≥ {\displaystyle p\geq } 1 {\ displaystyle H_{p-1 } 2 {\ textyle p^{2 , [6] p {\textstylem p}
H ( p − 1 ) / 2 ≡ − 2 q p ( 2 ) ( 모드의 p ) {\displaystyle H_{(p-1)/2}\equiv -2q_{p}(2){\pmod{p}}} where q p ( 2 ) = ( 2 p − 1 − 1 ) / p {\textstyle q_{p}(2)=(2^{p-1}-1)/p} Fermat quotient , with the consequence that p {\textstyle p} H ( p − 1 ) / 2 {\displaystyle H_{(p-1)/2}} p {\textstyle p} Wieferich prime .
1991년 에스워라다산과 레바인은[7] p {\ 디스플레이스타일 J_{p} 정수 {\디스플레이스타일 n} H {\ 디스플레이스타일 H_{n} p {\디스플레이스타일 .}
{ p − 1 , p 2 − p , p 2 − 1 } ⊆ J p {\displaystyle \{p-1,p^{2}-p,p^{2}-1\}\subseteq J_{p}}} 모든 소수 p ≥ 5 {\displaystyle p\geq ,} 조화 소수 p {\ displaystyle J_{p} p {\textstyle }
에스워라다산과 레빈도 J p {\ displaystyle J_{p}} p, {\displaystyle ,} 유한 집합 이며, 무한히 Boyd[8]은 Jp{\displaystyle J_{p}}모든 소수로 최대 83,127,고 397명을 제외하고=547곳{\displaystyle p=547}이 항목을 유한한 것. 그리고 그는이 조화로운 최고급 제품의 모든 최고급 제품의 세트에서 농도가 1/e{1/e\displaystyle}을 제안하는 경험을 주었다. Sanna[9]은 Jp{\displ을 보였다 확인했다.aysty 반면 Bing-Ling로 오나라와 Yong-Gao Chen[10]은 Jp{\displaystyle J_{p}의 요소 수}){\displaystyle)}에서 대부분의 3x23+125로그 p{\displaystyle 3x^{{{2\frac}{3}}+{\frac{1}{25\log p}}}}, 모든 x을 위해 1{\displaystyle ≥을 초과하지 않는 것을 증명했다 르 J_{p}}, 제로 점근 밀도를 가지고 있다. x\ge q
적용들 고조파 숫자는 digamma 함수 와 같은 몇 가지 계산식에 나타난다.
ψ ( n ) = H n − 1 − γ . [\displaystyle \cHB(n)= H_{n-1}-\감마. } 또한 이 관계는 비정수자 n 에 대한 고조파 숫자의 확장을 정의하는 데 자주 사용된다. 또한 고조파 숫자는 앞에서 소개한 한계치를 사용 하여 define을 정의하는 데도 자주 사용된다. γ = 임이 있는 n → ∞ ( H n − ln ( n ) ) , {\displaystyle \gamma =\lim _{n\오른쪽 화살표 \}{\왼쪽(H_{n}-\ln(n)\오른쪽)},} 비록 ~일지라도 γ = 임이 있는 n → ∞ ( H n − ln ( n + 1 2 ) ) {\displaystyle \gamma =\lim_{n\to \inflt }{\reft(H_{n}-\ln \ln \left(n+{1}{1}2}}\오른쪽)\오른쪽) }} 더 빨리 수렴하다
2002년에 제프리 라고리아스 는 리만 가설 이 다음과 같은 진술과 동일하다는 것을 증명했다[11]
σ ( n ) ≤ H n + ( 통나무를 하다 H n ) e H n , {\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+(\log H_{n}e^{n} H_{n}},} n 1 인 경우 불평등이 엄격한 모든 정수 1 에 대해 참이다. 여기서 σ (n )n 의 구분자의 합 을 나타낸다.
비지역적 문제의 고유값
λ φ ( x ) = ∫ − 1 1 φ ( x ) − φ ( y ) x − y d y {\displaystyle \varphi (x)=\int _{-1}^{1}{\frac {\varphi (x)-\varphi (y)}{x-y}}{x-y }}}}}}.dy} λ 2Hn {\ displaystyle \lambda 2H_{n 컨벤션 H 0 displaystyle H_{0}=0 Legendre 다항식 ( x P ( x ) P_{n}(x)} [12]
일반화 일반화 고조파 수 n 의 일반화된 조화수 m 은 다음과 같이 주어진다.
H n , m = ∑ k = 1 n 1 k m . {\displaystyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{m}}}. }
가끔 사용되는 다른 명언에는 다음이 포함된다.
H n , m = H n ( m ) = H m ( n ) . {\displaystyle H_{n,m}= H_{n}^{(m)} =H_{m}(n). }
m = 0의 특별한 경우는 H n, 0 n {\displaystyle H_{n,0}=n.} m = 1의 특수한 경우는 단순히 조화수라고 하며, m 없이 자주 쓰여진다.
H n = ∑ k = 1 n 1 k . {\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}. }
m 1일 경우 n → ∞ 으로서의 한계는 유한하며, 일반화된 고조파 수는 리만 제타 함수 에 의해 제한되고 수렴된다.
임이 있는 n → ∞ H n , m = ζ ( m ) . {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infit }H_{n,m}=\zeta(m). }
k 가n 일반화 고조파 숫자 H (k , n )의 분모나 교번 일반화 고조파 숫자 H′( k , n )의 분모를 나누지 않는 가장 작은 자연수 k 는 n =1, 2, ... :
77, 20, 94556602, 42, 444, 20, 104, 42, 76, 20, 77, 110, 3504, 20, 903, 42, 1107, 20, 104, 42, 77, 20, 2948, 110, 136, 20, 76, 42, 903, 20, 77, 42, 268, 20, 7004, 110, 1752, 20, 19203, 42, 77, 20, 104, 42, 76, 20, 370, 110, 1107, 20, ... (sequence A128670 OEIS ) 관련 총액 kk 1nk displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{m}} 베르누이 수 연구에서도스털링 수 연구 에서도 나타난다.
일반화된 고조파 숫자의 일부 통합은
∫ 0 a H x , 2 d x = a π 2 6 − H a {\displaystyle \int_{0}^{a}H_{x,2}\,dx=a{\frac {\pi ^{2}}:{6}-H_{a}}} 그리고 ∫ 0 a H x , 3 d x = a A − 1 2 H a , 2 , {\displaystyle \int _{0}^{a}H_{x,3}\,dx=A-{\frac{1}{1}:{2}} H_{a,2},} 여기서 A 는 아페리의 상수 ∑ k = 1 n H k , m = ( n + 1 ) H n , m − H n , m − 1 을 위해 m ≥ 0. {\displaystyle \sum _{k=1}^{n} H_{k,m}=(n+1) H_{n,m}-H_{n,m-1}{\text{{}}{{}m\geq 0.}
순서 m 1 기록 .
H n , m = ∑ k = 1 n − 1 H k , m − 1 k ( k + 1 ) + H n , m − 1 n {\displaystyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {H_{k,m-1}}{k(k+1)}+{\frac {H_{n,m-1}{n}}}}}} for example: H 4 , 3 = H 1 , 2 1 ⋅ 2 + H 2 , 2 2 ⋅ 3 + H 3 , 2 3 ⋅ 4 + H 4 , 2 4 {\displaystyle H_{4,3}={\frac {H_{1,2}}{1\cdot 2}}+{\frac {H_{2,2}}{2\cdot 3}}+{\frac {H_{3,2}}{3\cdot 4}}+{\frac {H_{4,2}}{4}}}
일반화된 고조파 숫자에 대한 생성 함수는
∑ n = 1 ∞ z n H n , m = 리 m ( z ) 1 − z , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\nft }z^{n} H_{n,m}={\frac {\operatorname {Li} _{m}(z)}{1-z},} 여기서 Li m z {\displaystyle \operatorname {Li} _{m}(z)} 다변량 (polylogarithm )이고1 이다. m 1 에 대해 위에 주어진 생성함수는 이 공식의 특별한 경우다.
일반화된 고조파 숫자에 대한 부분적 인수 는 다음과 같이 도입할 수 있다.
p q 0 {\displaystyle p,q>0} 및 1 displaystyle m }
H q / p , m = ζ ( m ) − p m ∑ k = 1 ∞ 1 ( q + p k ) m {\displaystyle H_{q/p,m}=\제타(m)-p^{m}\sum _{k=1}^{k=1}{npty }{\frac{1}{{(q+pk)^{m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}: 여기서 ζ {\displaystyle \zeta (m)} 제타 함수 다. 관련 재발관계는 H a , m = H a − 1 , m + 1 a m . {\displaystyle H_{a,m}=H_{a-1,m}+{\frac {1}{a^{m}}}. } 몇몇 특별한 가치들은 H 1 4 , 2 = 16 − 8 G − 5 6 π 2 {\displaystyle H_{\frac {1}{1}{4},2}=16-8G-{\tfrac {5}{6}\pi ^{2}} 여기 서 G는 카탈란의 상수인데 H 1 2 , 2 = 4 − π 2 3 {\displaystyle H_{\frac {1}{1}{1}{2}},2}=4-{\tfrac {\pi ^{2}}}}} H 3 4 , 2 = 8 G + 16 9 − 5 6 π 2 {\displaystyle H_{\frac {3}{4,2}=8G+{\tfrac {16}{9}-{\tfrac {5}{6}\pi ^{2}}: H 1 4 , 3 = 64 − 27 ζ ( 3 ) − π 3 {\displaystyle H_{\frac {1}{4},3}=64-27\제타(3)-\pi ^{3}} H 1 2 , 3 = 8 − 6 ζ ( 3 ) {\displaystyle H_{{\frac {1}{2}},3}=8-6\제타(3)} H 3 4 , 3 = ( 4 3 ) 3 − 27 ζ ( 3 ) + π 3 {\displaystyle H_{\frac {3}{4}}{4}}}={{\tfrac {4}{3}}^{3}-27\zeta(3)+\pi ^{3}}}}}}
p {\displaystyle p=1
H n , m = ζ ( m , 1 ) − ζ ( m , n + 1 ) , {\displaystyle H_{n,m}=\제타(m,1)-\제타(m,n+1)} 여기서 ζ m ){\displaystyle \zeta (m,n)} Hurwitz zeta 함수 다. 이 관계는 조화 숫자를 숫자로 계산하는 데 사용된다.
곱셈 공식 곱셈 정리 는 조화 숫자에 적용된다.일부다감마 함수를 사용하여, 우리는 얻는다.
H 2 x = 1 2 ( H x + H x − 1 2 ) + ln 2 , {\displaystyle H_{2x}={\frac {1}{1}:{2}}\왼쪽(H_{x}+H_{x-{1}{1}{1}{1}}\ln 2,} H 3 x = 1 3 ( H x + H x − 1 3 + H x − 2 3 ) + ln 3 , {\displaystyle H_{3x}={\frac {1}{3}}\왼쪽(H_{x}+H_{x-{1}{3}}}}+H_{x-{\frac {2}{3}\right)+{\ln 3,} 아니면, 더 일반적으로, H n x = 1 n ( H x + H x − 1 n + H x − 2 n + ⋯ + H x − n − 1 n ) + ln n . {\displaystyle H_{nx}={\frac {1}{n}}\left(H_{x}+H_{x-{\frac {1}{n}}}+H_{x-{\frac {2}{n}}}+\cdots +H_{x-{\frac {n-1}{n}}}\right)+\ln n.}
일반화된 고조파 숫자의 경우,
H 2 x , 2 = 1 2 ( ζ ( 2 ) + 1 2 ( H x , 2 + H x − 1 2 , 2 ) ) {\displaystyle H_{2x,2}={\frac {1}{1}{2}}\좌(\zeta (2))+{1}{1}{1}{1}{{x,2}+H_{x-{1}{1}{1}{1},2}\우)\우측)}}} H 3 x , 2 = 1 9 ( 6 ζ ( 2 ) + H x , 2 + H x − 1 3 , 2 + H x − 2 3 , 2 ) , {\displaystyle H_{3x,2}={\frac {1}{9}\왼쪽(6\zeta (2))+ H_{x,2}+H_{x-{\frac {1}{3},2}+H_{x-{\frac {2}{3},2}\오른쪽),} 여기서 ζ n {\displaystyle \zeta (n)} Riemann 제타 함수 다.
초화수 다음 일반화는 J. H. Conway 와 R. K. Guy 에 의해 1995년 저서 The Book of Number [1] : 258 내버려두다
H n ( 0 ) = 1 n . {\displaystyle H_{n}^{0}={\frac {1}{n}}. } 그런 다음 n번째 고화질 순서 r (r>0 )을 재귀적으로 정의한다. H n ( r ) = ∑ k = 1 n H k ( r − 1 ) . {\displaystyle H_{n}^{(r)}=\sum _{k=1}^{n} H_{k}^{(r-1)}. } 특히 H n 1 {\ displaystyle H_{n}^{(1)} 번호 n displaystyle H_{n}} .
실제 값과 복합 값에 대한 조화 수 위에 주어진 공식은,
H x = ∫ 0 1 1 − t x 1 − t d t = − ∑ k = 1 ∞ ( x k ) ( − 1 ) k k {\displaystyle H_{x}=\int _{0}^{1}{1}{0}^{1}1}{x}}\\\\frac {1-t}\,dt=-\sum _{k=1}^{x \x \c}{}}{\frac {(-1)^{k}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}을 선택하십시오. 고조파 숫자를 보간하고 분석적 연속성을 통해 음의 정수 x 이외의 복잡한 평면으로 정의를 확장하는 함수의 정수 및 직렬 표현이다. 보간 기능은 사실상 디감마 기능 과 밀접하게 관련되어 있다. H x = ψ ( x + 1 ) + γ , {\displaystyle H_{x}=\psi(x+1)+\gamma ,} 여기서 ψ (x ) γ 오일러-마스케로니 상수(uiler-Mascheroni constant)이다. 통합 프로세스를 반복하여 얻을 수 있다. H x , 2 = − ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k k ( x k ) H k . {\displaystyle H_{x,2}=-\sum _{k=1}^{\nothy}{\frac {(-1)^{k}}{k}}}{x \x 선택 k}H_{k}}}
Taylor 의 고조파 번호 시리즈는
H x = ∑ k = 2 ∞ ( − 1 ) k ζ ( k ) x k − 1 을 위해 x < 1 {\displaystyle H_{x}=\sum _{k=2}^{\infit }-1)^{k}\제타(k)\;x^{k-1}\quad {\text{{} for }}}}}}}*x <1} digamma 기능을 위한 Taylor 시리즈에서 유래한다(ζ {\displaystyle \zeta } Riemann 제타 기능 이다).
Taylor 시리즈 확장을 사용한 근사치 고조파 번호는 Taylor 시리즈 확장의 처음 몇 항을 사용하여 대략적으로 추정할 수 있다.[13]
H n = γ + 통나무를 하다 ( n ) + 1 2 n + O ( 1 n 2 ) ≃ γ + 통나무를 하다 ( n ) + 1 2 n {\displaystyle H_{n}=\gamma +\\gamma(n)+{1}{1}{1}{1}{2}}:00}+왼쪽({\frac {1}{n^{2}}\}\오른쪽)\simeq \gamma +\log(n)+{\frac{1}{1}{2n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 여기서 γ 0.57721... \displaystyle \cHB =0.57721... {} ( 는) 오일러-마스케로니 상수 다.
대체, 점근법 제형 복잡한 숫자 x H x m H m H m +x 관계 n H n −1/n 역방향 m H x 더욱이, 이 근사치는 m
구체적으로는 고정 정수
임이 있는 m → ∞ [ H m + n − H m ] = 0. \displaystyle \lim _{m\오른쪽 화살표 \infit }\왼쪽 [H_{m+n}-H_{m}\right]=0. }
n 그러나 임의의 정수 n x
임이 있는 m → ∞ [ H m + x − H m ] = 0 , \displaystyle \lim _{m\오른쪽 화살표 \infit }\왼쪽 [H_{m+x}-H_{m}\right]=0,} 이 방정식의 두 변의 순서를 바꾼 다음 H x H x = 임이 있는 m → ∞ [ H m − ( H m + x − H x ) ] = 임이 있는 m → ∞ [ ( ∑ k = 1 m 1 k ) − ( ∑ k = 1 m 1 x + k ) ] = 임이 있는 m → ∞ ∑ k = 1 m ( 1 k − 1 x + k ) = x ∑ k = 1 ∞ 1 k ( x + k ) . {\displaystyle {\reasoned} H_{x}&=\lim _{m\오른쪽 화살표 \inft \}\왼쪽[] H_{m}-(H_{m+x}-H_{x}\right]\ \[6pt]&=\lim _{m\오른쪽 화살표 \}\flt \flt \flt \flt \{k}{1}{k}\frac {1}{m}{x+k}\right]\wright] \[6pt]&=\lim _{m\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{m}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{x+k}}\right)=x\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(x+k)}}\,.\end{aligned}}}
이 무한 시리즈 는 음의 정수를 제외한 모든 복잡한 숫자 n 0 값을 통해 역행 관계 H n H n −1n 이 구조에서 복합값의 고조파 수를 정의 하는 함수는 비양수 정수 x를 제외한 모든 복합수 x H 0 0 x −12 x + 1/x imm →+∞ (H m +x H m 0 을 모두 만족
이 마지막 공식을 사용하여 다음을 표시할 수 있다는 점에 유의하십시오.
∫ 0 1 H x d x = γ , {\displaystyle \int _{0}^{1 }H_{x}\,dx=\gamma ,} 여기서 γ 오일러-마스케로니 상수 또는 보다 일반적으로 우리가 가진 모든 n ∫ 0 n H x d x = n γ + ln ( n ! ) . {\displaystyle \int _{0}^{n}H_{x}\,dx=n\gamma +\ln(n!) }
부분 인수에 대한 특수 값 0과 1 사이의 부분 인수에 대한 다음과 같은 특수 분석 값이 있으며, 적분자에 의해 주어진다.
H α = ∫ 0 1 1 − x α 1 − x d x . {\displaystyle H_{\alpha }=\int _{0}^{1}{1-x^{\alpha }}}{1-x}\,dx\, }
반복 관계에서 더 많은 값이 생성될 수 있음
H α = H α − 1 + 1 α , {\displaystyle H_{\alpha }=H_{\alpha -1}+{\frac {1}{\alpha }} 또는 반성적 관계에서. H 1 − α − H α = π 요람을 달다 ( π α ) − 1 α + 1 1 − α . {\displaystyle H_{1-\alpha }-H_{\alpha }=\pi \cot {(\pi \alpha )}-{\frac {1}{\alpha }+{1-\frac {1}{1-\alpha }\}\pi, }
예를 들면 다음과 같다.
H 1 2 = 2 − 2 ln 2 {\displaystyle H_{\frac {1}{1}{2}}=2-2\ln {2}}: H 1 3 = 3 − π 2 3 − 3 2 ln 3 {\displaystyle H_{\frac {1}{1}{3}}=3-{\tfrac {\pi }{2{\\sqrt{3}}-{3}}{\tfrac {3}}{2}}\ln{3}}}}}}}}}}}{3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} H 2 3 = 3 2 ( 1 − ln 3 ) + 3 π 6 {\displaystyle H_{\frac {2}{3}}={\tfrac {3}{2}}(1-\ln {3})+{\sqrt{3}{\tfrac {\pi}{6}}}}}}}} H 1 4 = 4 − π 2 − 3 ln 2 {\displaystyle H_{\frac {1}{1}{4}=4-{\tfrac {\pi }{2}}-3\ln {2}}: H 3 4 = 4 3 − 3 ln 2 + π 2 {\displaystyle H_{\frac {3}{4}}={\tfrac {4}{3}}{3}-3-ln {2}+{\tfrac {\pi}{2}}} H 1 6 = 6 − π 2 3 − 2 ln 2 − 3 2 ln 3 {\displaystyle H_{\frac {1}{1}{6}}=6-{\tfrac {\pi }{2}}:{\sqrt{3}-{2}-{\tfrac {3}}{3}}}}}}}{3}}}}}}}}}{3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} H 1 8 = 8 − π 2 − 4 ln 2 − 1 2 { π + ln ( 2 + 2 ) − ln ( 2 − 2 ) } {\displaystyle H_{\frac {1}{8}}=8-{\tfrac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left\{\pi +\ln \left(2+{\sqrt {2}}\right)-\ln \left(2-{\sqrt {2}}\right)\right\}} H 1 12 = 12 − 3 ( ln 2 + ln 3 2 ) − π ( 1 + 3 2 ) + 2 3 ln ( 2 − 3 ) {\displaystyle H_{\frac {1}{12}}=12-3\left(\ln {2}+{\tfrac {\ln {3}}{2}}\right)-\pi \left(1+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\right)+2{\sqrt {3}}\ln \left({\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}\right)}
p < q 를 갖는 양의 정수 p와 q 에 대해 다음과 같이 한다.
H p q = q p + 2 ∑ k = 1 ⌊ q − 1 2 ⌋ cas ( 2 π p k q ) ln ( 죄를 짓다 ( π k q ) ) − π 2 요람을 달다 ( π p q ) − ln ( 2 q ) {\displaystyle H_{\frac {p}{q}}={\frac {q}{p}}+2\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {q-1}{2}}\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi pk}{q}}\right)\ln \left({\sin \left({\frac {\pi k}{q}}\right)}\right)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {\pi p}{q}}\right)-\ln \left(2q\right)}
리만 제타 함수와의 관계 부분 고조파 숫자의 일부 파생상품은 다음과 같다.
d n H x d x n = ( − 1 ) n + 1 n ! [ ζ ( n + 1 ) − H x , n + 1 ] d n H x , 2 d x n = ( − 1 ) n + 1 ( n + 1 ) ! [ ζ ( n + 2 ) − H x , n + 2 ] d n H x , 3 d x n = ( − 1 ) n + 1 1 2 ( n + 2 ) ! [ ζ ( n + 3 ) − H x , n + 3 ] . {\displaystyle {\begin{aigned}{\frac {d^{n_{x}}{dx^{n}}&=(-1)^{n+1}n! \left[\zeta (n+1)-H_{x,n+1}\right]\ \[6pt]{\frac {d^{n}H_{x,2}}:{dx^{n}}&=(-1)^{n+1}(n+1)! \left[\zeta (n+2)-H_{x,n+2}\right]\ \[6pt]{\frac {d^{n}H_{x,3}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}{\frac {1}{1}{2}}(n+2)! \left[\zeta (n+3)-H_{x,n+3}\right. \end{정렬}}}
그리고 Maclaurin 시리즈를 사용 해서 x < 1에 대해
H x = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 x n ζ ( n + 1 ) H x , 2 = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 ( n + 1 ) x n ζ ( n + 2 ) H x , 3 = 1 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 ( n + 1 ) ( n + 2 ) x n ζ ( n + 3 ) . {\displaystyle {\reasoned} H_{x}&=\sum _{n=1}^{n=1}^{n(-1)^{n+1}x^{n+1}\n+1)\\[5pt] H_{x,2}&=\sum _{n=1}^{\n=1}^{n+1}(-1)^{n+1}(n+1)x^{n+1}(n+2)\[5pt] H_{x,3}&={\frac {1}{1}:{n2}}\sum _{n=1}^{\inflt }-1)^{n+1}(-1)^{n+1}(n+1)(n+1)(n+2)x^{n+}\n+3)(n+3). \end{정렬}}}
0과 1 사이의 부분 인수와 > 1 의 부분 인수의 경우,
H 1 / a = 1 a ( ζ ( 2 ) − 1 a ζ ( 3 ) + 1 a 2 ζ ( 4 ) − 1 a 3 ζ ( 5 ) + ⋯ ) H 1 / a , 2 = 1 a ( 2 ζ ( 3 ) − 3 a ζ ( 4 ) + 4 a 2 ζ ( 5 ) − 5 a 3 ζ ( 6 ) + ⋯ ) H 1 / a , 3 = 1 2 a ( 2 ⋅ 3 ζ ( 4 ) − 3 ⋅ 4 a ζ ( 5 ) + 4 ⋅ 5 a 2 ζ ( 6 ) − 5 ⋅ 6 a 3 ζ ( 7 ) + ⋯ ) . {\displaystyle {\reasoned} H_{1/a}&={\frac {1}{a}}{a}\{a}\제타(2)-{\frac {1}{a}\zeta(3)+{a^{2}}}}-{a^{1}-{a^{3}}}}\cdots \right)\\\\ \[6pt]H_{1/a,\,2}&={\frac {1}{a}}\left(2\zeta (3)-{\frac {3}{a}}\zeta (4)+{\frac {4}{a^{2}}}\zeta (5)-{\frac {5}{a^{3}}}\zeta (6)+\cdots \right)\ \[6pt]H_{1/a,\,3}&={\frac {1}{2a}}\left(2\cdot 3\zeta (4)-{\frac {3\cdot 4}{a}}\zeta (5)+{\frac {4\cdot 5}{a^{2}}}\zeta (6)-{\frac {5\cdot 6}{a^{3}}}\zeta (7)+\cdots \right). \end{정렬}}}
참고 항목 메모들 ^ a b John H., Conway; Richard K., Guy (1995). The book of numbers . Copernicus. ^ Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). Concrete Mathematics ^ 손도우, 조나단, 와이스슈타인, 에릭 W. "하모닉 넘버" Wolfram Web Resource에서 온. http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html ^ Sandifer, C. Edward (2007), How Euler Did It ISBN 9780883855638 ^ Weisstein, Eric W. (2003). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics . Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC. p. 3115. ISBN 978-1-58488-347-0 ^ Eisenstein, Ferdinand Gotthold Max (1850). "Eine neue Gattung zahlentheoretischer Funktionen, welche von zwei Elementen ahhängen und durch gewisse lineare Funktional-Gleichungen definirt werden". Berichte Königl. Preuβ. Akad. Wiss. Berlin . 15 : 36–42. ^ Eswarathasan, Arulappah; Levine, Eugene (1991). "p-integral harmonic sums" . Discrete Mathematics . 91 (3): 249–257. doi :10.1016/0012-365X(90)90234-9 ^ Boyd, David W. (1994). "A p-adic study of the partial sums of the harmonic series" . Experimental Mathematics . 3 (4): 287–302. CiteSeerX 10.1.1.56.7026 doi :10.1080/10586458.1994.10504298 . ^ Sanna, Carlo (2016). "On the p-adic valuation of harmonic numbers" (PDF) . Journal of Number Theory . 166 : 41–46. doi :10.1016/j.jnt.2016.02.020 hdl :2318/1622121 . ^ Chen, Yong-Gao; Wu, Bing-Ling (2017). "On certain properties of harmonic numbers" . Journal of Number Theory . 175 : 66–86. doi :10.1016/j.jnt.2016.11.027 ^ Jeffrey Lagarias (2002). "An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis". Amer. Math. Monthly . 109 (6): 534–543. arXiv :math.NT/0008177 doi :10.2307/2695443 . JSTOR 2695443 . ^ E.O. Tuck (1964). "Some methods for flows past blunt slender bodies". J. Fluid Mech . 18 (4): 619–635. doi :10.1017/S0022112064000453 . ^ Claude Leibovici(https://math.stackexchange.com/users/82404/claude-leibovici), Harmonic Series sum 근사치, URL(버전: 2018-11-11): https://math.stackexchange.com/q/2986766 참조 외부 링크 이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/ 공유 앨리케 라이센스 에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath 의 조화 번호의 자료가 통합되어 있다.
![{\displaystyle H_{n}={\frac {1}{n!}}\left[{n+1 \atop 2}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51ec1afb6b98d93994321cdc5740d3896519cb3c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx=\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\left[-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}u^{k-1}\right]\,du=-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}\int _{0}^{1}u^{k-1}\,du\\[6pt]&=-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b7b7742ee080b45b1df620dcd7b47dd9dd7dfd7)
대해 그들은 
정수 
정수일 때마다, 우리는 다감마 함수를 다음과 같이 사용한다.
리만 
(는) 
(는) 
![{\displaystyle \lim _{m\rightarrow \infty }\left[H_{m+n}-H_{m}\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb4b0670ba72cf54217f5c8b941abcdf48c8a5d1)
![{\displaystyle \lim _{m\rightarrow \infty }\left[H_{m+x}-H_{m}\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69fc0ce7dd9efaaaf33ac1e2abc8edd40728854a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}H_{x}&=\lim _{m\rightarrow \infty }\left[H_{m}-(H_{m+x}-H_{x})\right]\\[6pt]&=\lim _{m\rightarrow \infty }\left[\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)-\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{x+k}}\right)\right]\\[6pt]&=\lim _{m\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{m}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{x+k}}\right)=x\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(x+k)}}\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d2683e42af314797951509b93357a15d85cbf81)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{n}H_{x}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}n!\left[\zeta (n+1)-H_{x,n+1}\right]\\[6pt]{\frac {d^{n}H_{x,2}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}(n+1)!\left[\zeta (n+2)-H_{x,n+2}\right]\\[6pt]{\frac {d^{n}H_{x,3}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}{\frac {1}{2}}(n+2)!\left[\zeta (n+3)-H_{x,n+3}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d55fcfb97684d7d393d3bf72d500bd8f6c7b87a8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}H_{x}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}x^{n}\zeta (n+1)\\[5pt]H_{x,2}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}(n+1)x^{n}\zeta (n+2)\\[5pt]H_{x,3}&={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}(n+1)(n+2)x^{n}\zeta (n+3).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/570ea2cfb98e2c5c9ea6b34f2ddaabbe7fb593f7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}H_{1/a}&={\frac {1}{a}}\left(\zeta (2)-{\frac {1}{a}}\zeta (3)+{\frac {1}{a^{2}}}\zeta (4)-{\frac {1}{a^{3}}}\zeta (5)+\cdots \right)\\[6pt]H_{1/a,\,2}&={\frac {1}{a}}\left(2\zeta (3)-{\frac {3}{a}}\zeta (4)+{\frac {4}{a^{2}}}\zeta (5)-{\frac {5}{a^{3}}}\zeta (6)+\cdots \right)\\[6pt]H_{1/a,\,3}&={\frac {1}{2a}}\left(2\cdot 3\zeta (4)-{\frac {3\cdot 4}{a}}\zeta (5)+{\frac {4\cdot 5}{a^{2}}}\zeta (6)-{\frac {5\cdot 6}{a^{3}}}\zeta (7)+\cdots \right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/899d36decb5925f7734cb52b1fe05f18cef16c62)
