큐브 더블링

델리 문제라고도 알려진 큐브를 두 배로 늘리는 것은 고대^[a] 기하학적 문제다. 큐브의 가장자리를 고려할 때, 문제는 볼륨이 첫 번째의 두 배인 두 번째 큐브의 가장자리 구조를 필요로 한다. 원을 제곱하고 각도를 3분해하는 관련 문제처럼, 큐브를 2배로 늘리는 것은 지금은 나침반과 직선자만으로 불가능한 것으로 알려져 있지만, 고대에도 다른 도구를 사용하는 해결책이 알려져 있었다.

이집트인, 인도인, 특히 그리스인들은^[1] 이 문제를 알고 있었고 완고하지만 해결이 가능한 문제라고 보는 것을 해결하기 위해 많은 헛된 시도를 했다.^[2][b] 그러나 나침반과 직선적인 해결책의 무유재성은 마침내 1837년 피에르 원젤에 의해 증명되었다.

대수학 용어로 단위 큐브를 두 배로 만들려면 길이 x의 선 세그먼트를 구성해야 하는데, 여기서³ x = 2; 즉 x = $2{\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\$ 2의 큐브 루트$.$ 옆 길이 1의 세제곱은 1³ = 1의 부피를 가지며, 그 부피의 2배(2의 부피)의 세제곱은 2의 세제곱근의 옆 길이를 가지기 때문이다. 따라서 큐브를 두 배로 늘릴 수 없다는 것은 $2{\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\$이 생성 가능한 숫자가 아니라는$$ 문구와 동등하다. 이는 나침반과 직선 에지에 의해 구성된 새로운 점의 좌표가 이전 점의 좌표에 의해 생성된 필드 위에 있는 다항식의 뿌리로서 2차보다 크지 않은 결과물이다. 이는 구성 가능한 지점에 의해 생성된 필드 확장의 정도가 2의 검정력이어야 함을 의미한다. 그러나$$2 ${\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\$}}에 의해 생성된 필드 확장은 3이다.

불가능의 증거

평면의 점(0,0)과 (1,0)으로 정의된 단위 선 세그먼트부터 시작한다. 우리는 2 ${\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\${\$sqrt[{3}]{2$}}의 거리로 분리된 두 점으로 정의된 선 세그먼트를 구성해야 한다$.$ 나침반과 직선자 구조는 그러한 선 세그먼트를 단위 선 세그먼트와 평행하게 원점에 닿도록 자유롭게 이동할 수 있음을 쉽게 알 수 있으므로 동등하게 고려할 수 있다. 점 구성을 수반하는 (0,0) ~ (${\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\$0), 선 세그먼트를 구성하는 작업(${\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\$}},$$0$).$

각각 나침반과 직선자의 도구는 우리가 이전에 정의한 한 점을 중심으로 다른 점을 통과하는 원을 만들고, 이전에 정의한 두 지점을 통과하는 선을 만들 수 있게 해준다. 새로 정의된 점은 원과 선의 교차점, 또는 두 선의 교차점 등 두 개의 원 교차점 결과로 발생한다. 기초 분석 기하학의 연습은 세 가지 사례 모두에서 새로 정의된 지점의 x 좌표와 y 좌표 모두 이전에 정의된 지점의 좌표를 포함하는 추가, 축소, 승수 및 구획 계수(그리고 합리적인 뉘)로 2차 이상의 다항식을 만족한다는 것을 보여준다.mbers). 보다 추상적인 용어로 다시 표현하면, 새로운 x 좌표는 이전 좌표에 의해 생성된$$ $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 하위 필드보다 최대 2의 최소 다항식을 갖는다. 따라서 각 새로운 좌표에 해당하는 필드 확장자의 정도는 2 또는 1이다.

따라서 생성된 점의 좌표가 주어진 경우 원래 점 쌍(0,0)과 (1,0)에 도달할 때까지 정의된 순서대로 점의 x 좌표와 y 좌표를 통해 유도적으로 뒤로 진행할 수 있다. 모든 필드 확장의 등급은 2 또는 1이며, 원래 지점 쌍의 $좌표$ 중 Q$${\$displaystyle \mathb {Q}}$에 대한 필드 확장의 등급은 분명히 1이므로, 구성된 지점 i의 좌표$$ $중{\displaystyle \mathbb{}}$ Q ${\$에 대한 필드 확장의 정도는 탑 규칙에서 따른다.s 2의 힘

Now, p(x) = x³ − 2 = 0 is easily seen to be irreducible over ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ – any factorisation would involve a linear factor (x − k) for some k ∈ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, and so k must be a root of p(x); but also k must divide 2, that is, k = 1, 2, −1 or −2, and none of these are roots of p(x). 가우스의 보조정리법에 따르면 p(x)도 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대해 설명할 수 없으므로, $2{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\$$${$Q}}$에 대한$$ 최소 다항식이다$.$ ${\displaystyle 필드\mathbb{}}$ 확장자 $Q{\displaystyle \mathbb{}(}$2 ${\displaystyle \text{exception 25:}}$)${\displaystyle }$: Q ${\$는 따라서 등급 3이다$$. 그러나 이것은 2의 동력이 아니므로, 이상에 $의해{\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\displaystyle \text{exception 25:}}$ 3$${\$displaystyle${\$sqrt[{3}]{2}}}$은 생성 가능한 점의 좌표가 아니므로$$, ${\displaystyle \text{exception 25:}}$ 3 ${\${\$sqrt[{3}]{2}}}$의 선 세그먼트를 구성할 수 없으며$$, 큐브는 2배로 늘릴 수 없다.

역사

이 문제의 이름은 아폴로가 보낸 역병을 물리치는 방법을 배우기 위해 델포이에서 신탁을 상담한 델로스 시민들에 관한 이야기 덕분이다.^[3] 플루타르치에^[4] 따르면, 시민들 간의 관계가 심화되었던 당시 내부의 정치적 문제에 대한 해결책을 모색하면서 델포이의 신탁을 상담한 사람은 델로스 시민이었다. 신탁은 일반 큐브였던 아폴로에게 제단 크기를 두 배로 늘려야 한다고 응답했다. 그 대답은 델리족에게는 이상해 보였으며, 그들은 신탁을 주어진 큐브의 부피를 배가시키는 수학적인 문제로 해석할 수 있었던 플라톤과 상의하여, 그리하여 신탁을 델로스족 시민들이 열정을 가라앉히기 위해 기하와 수학의 연구에 몰두하라는 아폴로의 조언으로 설명하였다.s.^[5]

플루타르크에 따르면 플라톤은 기계적인 수단을 이용해 문제를 해결한 에우독소스와 아르키타스와 메나에흐무스에게 문제를 내주었고, 그는 순수한 기하학을 이용해 문제를 해결하지 못했다는 플라톤의 질책을 받았다.^[6] 이 때문에 350년대 사이비 플라토닉 시지포스(388e)의 저자가 이 문제를 여전히 풀리지 않은 것으로 언급한 것일 수 있다.^[7] 그러나 다른 버전의 이야기(아스칼론의 에우토시우스가 에라토스테네스에 기고)는 세 가지 모두가 해결책을 찾았지만, 그것들은 너무 추상적이라 실질적인 가치가 없다고 말한다.^[8]

문제의 해결책을 찾는데 있어서 중요한 발전은 키오스의 히포크라테스에 의해 그것이 두 배의 길이를 가진 선 부분과 다른 선 부분 사이의 두 개의 평균 비율을 찾는 것과 같다는 것을 발견한 것이다.^[9] 현대 표기법에서, 이것은 길이 a와 길이 2a의 세그먼트가 주어진 경우 큐브의 중재는 길이 r과 s의 세그먼트를 찾는 것과 동등하다는 것을 의미한다.

${\displaystyle {\frac {a}{r}}={\frac {r}{s}}={\frac {s}{2a}}}.}$

다시 말해서, 이것은 라는 뜻이다.

${\displaystyle r=a\cdot {\sqrt[{3}]{2}.}$

그러나 피에르 원첼은 1837년에 2의 세제곱근은 시공할 수 없다는 것을 증명했다. 즉, 그것은 직선자와 나침반으로 건설될 수 없다는 것이다.

나침반 및 직선자가 아닌 다른 수단을 통한 솔루션

메네크무스의 원래 해결책은 두 원뿔형 곡선의 교차점을 포함한다. 정육면체를 두 배로 증가시키는 다른 더 복잡한 방법에는 네우시스, 디오클레스의 시소이드, 니코메데스의 콘코이드, 또는 필로 라인이 포함된다. 고대 그리스의 여성 수학자일 가능성이 높은 판드로시온은 3차원의 평면을 이용해 수치적으로 정밀한 근사 해답을 찾았지만, 알렉산드리아의 파푸스로부터 제대로 된 수학적 증거를 제시하지 못해 심한 비난을 받았다.^[10] 아르키타스는 기원전 4세기에 기하학적 구조를 3차원의 기하학적 구조를 이용하여 문제를 해결하였고, 일정한 지점을 혁명 세 표면의 교차점이라고 판단했다.

나침반과 직선으로 큐브를 두 배로 늘린다는 잘못된 주장이 수학적 크랭크 문헌(의사학)에 풍부하다.

종이접기는 또한 접는 종이로 2의 세제곱근을 만드는 데 사용될 수 있다.

표시된 눈금자 사용

길이가 2배인 입방근에 대해 자로 표시된 자를 사용하여 간단한 네우스식 구조가 있다.^[11]

1. 주어진 길이로 자를 표시하라. 이것은 결국 GH가 될 것이다.
2. 주어진 길이를 측면으로 하여 정삼각형 ABC를 구성한다.
3. AB를 다시 D로 균등하게 확장한다.
4. 선 CE를 형성하는 선 BC를 확장한다.
5. 라인 CF를 형성하여 라인 DC를 확장
6. 표시된 눈금자를 A를 통과하도록 배치하고 표시된 길이의 한쪽 끝 G는 레이 CF에, 다른 쪽 끝 H는 레이 CE에 떨어지도록 한다. 따라서 GH는 주어진 길이다.

그러면 AG는 주어진 길이 ${\displaystyle \text{exception 25:}}$ 3 ${\$$2}}.$

음악 이론에서

음악 이론에서 두 배의 자연 아날로그는 옥타브(음조의 주파수를 두 배로 증가시켜 생기는 음악적 간격)이며, 큐브의 자연 아날로그는 옥타브를 각각 같은 간격인 세 부분으로 나누고 있다. 그런 의미에서 큐브를 두 배로 하는 문제는 같은 기질에서 메이저 3위에 의해 해결된다. 이것은 옥타브의 정확히 1/3인 음악적 간격이다. 그것은 톤의 주파수를 다음과 같이 곱한다. 2+4/12 = 2+1/3 = $2{\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\$델리안 큐브의 측면 길이.^[12]

메모들

참조

외부 링크

• Wikimedia Commons에서 큐브를 두 배로 늘리는 것과 관련된 미디어
• "Duplication of the cube", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 큐브를 두 배로 늘렸지 맥튜터 수학사 아카이브의 J. J. 오코너와 E. F. 로버슨.
• 큐브를 두 배로 늘리기 위해 – Archytas의 솔루션. 토마스 히스 경의 그리스 수학의 역사에서 발췌했다.
• 델리란 문제 해결. 아니면 그것이냐? 즉석에서.
• 큐브 2배, 애니메이션으로 근접 구조(측면 = 1.25992104989483)
• Mathologer 비디오: "2000년 미해결: 왜 큐브와 원을 두 배로 늘이는 것이 불가능한가?"