살렘 수

수학에서 살렘 번호는 실제 대수 정수 α > 1이며, 그 결합 뿌리는 모두 1 이하 절대값을 가지며, 그 중 적어도 하나는 정확히 1. 살렘 번호는 디오판틴 근사치와 조화 분석에 관심이 있다. 그것들은 라파엘 살렘의 이름을 따서 지어졌다.

특성.

절대값 1의 루트를 가지고 있기 때문에, Salem 번호에 대한 최소 다항식은 역수여야 한다. 이것은 1/α도 뿌리가 되며, 다른 모든 뿌리는 정확히 하나의 절대값을 가지고 있음을 암시한다. 그 결과 α는 노르말 1의 대수 정수 링에 있는 단위여야 한다.

모든 Salem 번호는 Perron 번호(접합체가 절대값이 작은 모든 숫자보다 큰 실제 대수적 번호)이다.

피소-Vijayarahavan 번호와의 관계

알려진 가장 작은 살렘 번호는 레머의 다항식(Derrick Henry Lehmer의 이름을 따서 명명)의 실제 뿌리 중 가장 크다.

${\displaystyle P(x)=x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1,}$

그것은 약 x = 1.17628: 실로 가장 작은 살렘 수이며, 무절제한 비 사이클로토믹 다항식의 가능한 가장 작은 말러 측정치라고 추측된다.^[1]

레머의 다항식은 12도 다항식의 짧은 요소지만

${\displaystyle Q(x)=x^{12}-x^{7}-x^{6}-x^{5}+1,}$

그^[2] 관계를 만족시키는 열두 근 모두.

${\displaystyle x^{630}-1={\frac {(x^{315}-1)(x^{210}-1)(x^{126}-1)^{2}(x^{90}-1)(x^{3}-1)^{3}(x^{2}-1)^{5}(x-1)^{3}}{(x^{35}-1)(x^{15}-1)^{2}(x^{14}-1)^{2}(x^{5}-1)^{6}\,x^{68}}}}$

살렘 번호는 피소-Vijayarahavan 번호로 구성할 수 있다. 다시 생각해보면, 후자 중에서 가장 작은 것은 입방 다항식의 독특한 진짜 뿌리,

${\displaystyle x^{3}-x-1,}$

플라스틱 번호로 알려져 있으며 대략 1.324718과 같다. 이것은 지금까지 발견된 가장 작은 숫자들을 포함한 살렘 번호의 가족을 생성하는데 사용될 수 있다. 일반적인 접근방식은 피소-비자야라하반 번호의 최소 다항식 P(x)와 그 역수 다항식 P*(x)를 취하여 방정식을 푸는 것이다.

${\displaystyle x^{n}P(x)=\pm P^{*}(x)\,}$

경계 이상의 n에 대해. 한쪽을 다른 쪽으로부터 빼서, 인수인계하고 사소한 요소들을 무시하면 특정 살렘 숫자의 최소 다항식이 산출될 것이다. 예를 들어, 위의 부정적인 경우를 이용하여,

${\displaystyle x^{n}(x^{3}-x-1)=-(x^{3}+x^{2}-1)}$

다음, n = 8의 경우, 이 요인은 다음과 같다.

${\displaystyle (x-1)(x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1)=0}$

여기서 데시크는 레머의 다항식이다. 더 높은 n을 사용하면 플라스틱 번호에 접근하는 뿌리를 가진 가족을 얻을 수 있다. 이것은 양쪽의 n번째 뿌리를 취함으로써 더 잘 이해할 수 있다.

${\displaystyle x(x^{3}-x-1)^{1/n}=\pm(x^{3}+x^{2}-1)^{1/n}$

따라서 n이 높아질수록 x는 x³ - x - 1 = 0의 용액에 접근하게 된다. 만약 양의 경우를 사용한다면 x는 반대 방향에서 플라스틱 번호에 접근한다. 다음으로 작은 피소-Vijayarahavan 번호의 최소 다항식을 사용하여,

${\displaystyle x^{n}(x^{4}-x^{3}-1)=-(x^{4}+x-1)}$

n = 7개 요인의 경우,

${\displaystyle (x-1)(x^{10}-x^{6}-x^{5}-x^{4}+1)=0}$

앞에서 생성되지 않은 데시크 x = 1.216391... 5번째로 작은 세일럼 번호야 n → 무한대로서, 이 계열은 x⁴ - x³ - 1 = 0의 더 큰 진짜 뿌리를 향하는 경향이 있다.

참조

• Borwein, Peter (2002). Computational Excursions in Analysis and Number Theory. CMS Books in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 0-387-95444-9. Zbl 1020.12001. 3장
• Boyd, David (2001) [1994], "Salem number", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• M.J. Mossinghoff. "Small Salem numbers". Retrieved 2016-01-07.
• Salem, R. (1963). Algebraic numbers and Fourier analysis. Heath mathematical monographs. Boston, MA: D. C. Heath and Company. Zbl 0126.07802.