역피타고라스 정리

베이스 피타- 고어의 삼중의	AC	기원전	CD		AB
(3, 4, 5)	20 = 4× 5	15 = 3× 5	12 = 3× 4		25 = 52
(5, 12, 13)	156 = 12×13	65 = 5×13	60 = 5×12		169 = 132
(8, 15, 17)	255 = 15×17	136 = 8×17	120 = 8×15		289 = 172
(7, 24, 25)	600 = 24×25	175 = 7×25	168 = 7×24		625 = 252
(20, 21, 29)	609 = 21×29	580 = 20×29	420 = 20×21		841 = 292
최대값을 갖는 모든 양의 정수 원시 역피타고라스 3배 비교를 위해 하이포텐스를 사용한 3자리 숫자

기하학에서 역피타고라스의 정리는 다음과 같다.^[1]

A, B를 직각 삼각형 ABC의 저선 사용의 끝점이 되게 하라. D를 오른쪽 각도의 꼭지점인 C에서 하이포텐use로 떨어뜨린 직각의 발이 되게 한다. 그러면

${\displaystyle {\frac {1}{CD^{2}}={\frac {1}{{\frac}{1}{AC^{2}}}+{\frac {1}{BC^{2}}.}$

그 정리는 유클리드 원소 제1권에 명제 48로 나타난다.

증명

삼각형 ABC의 영역은 AC와 BC 또는 AB와 CD 중 하나로 표현할 수 있다.

${\displaystyle {\reasoned}{\tfrac {1}{2}}AC\cdot BC&={\tfrac {1}{2}}AB\cdot CD\\(AC\cdot BC)^{2}&=(AB\cdot CD)^{2}\\\{\frac {1}{CD^{2}}={\frac{AB^{2}}}:{2}}{{\frac}{AB^{2}}}}{{}}}}}}}}}}}}{{{{{p}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}AC^{2}\cdot BC^{2}}\end{arged}}}$

주어진 CD > 0, AC > 0, BC > 0.

피타고라스의 정리를 이용하여

${\displaystyle {\begin{aigned}{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {BC^{2}+AC^{2}}{{}}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}\\&={\frac{BC^{2}}}{{\frac{BC^{2}}}{{{}}}}{{\frackAC^{2}\cdot BC^{2}}+{\frac{AC^{2}}}{{{}}}{{{}}}}{{{}}}}}}{{}}}}}}}AC^{2}\cdot BC^{2}}\\\quad \therefore \;\\\frac {1}{CD^{1}}&={\frac {1}{{\frac}}{1}{\1}{\frac}{1}{1}}}}{\frac}{1}{{}}}}}}}}}{{}}}}}{AC^{2}}}+{\frac {1}{BC^{2}}}\end{정렬}}}}}}$

상기와 같이

십자가형 곡선의 특별한 경우

십자형 곡선 또는 십자형 곡선은 방정식에 의해 주어진 사분면 곡선이다.

${\displaystyle x^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}y^{2}=0}$

여기서 곡선 형태를 결정하는 두 매개변수 a와 b는 각각 CD이다.

x를 AC로 대체하고 y를 BC로 대체하는 것은 다음과 같다.

${\displaystyle {\reasoned}AC^{2}BC^{2}-CD^{2}-CD^{2}-CD^{2}BC^{2}}&=0\\\AC^{2}BC^{2}&=CD^{2}BC^{2}+CD^{2}}\{2}AC^{2}\\\\\{{CD^{1}{1}{{CD^{2}}={\frac{BC^{2}}}}}{\frac{BC^{2}}}}}}}}{{{\frac}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{}}}}}AC^{2}\cdot BC^{2}}+{\frac{AC^{2}}}{{{}}}{{{}}}}{{{}}}}}}{{}}}}}}}AC^{2}\cdot BC^{2}}\\\그러므로 \;\\\frac {1}{CD^{1}}&={\frac {1}{\frac {1}{{{}}}}}{\frac}{1}{1}{\frac}{1}{}}}}{\frac}{1}{}}}}}{AC^{2}}}+{\frac {1}{BC^{2}}}\end{정렬}}}}}}$

다음과 같은 정수 매개변수 t와 u를 사용하여 역피타고라스 3쌍을 생성할 수 있다.^[2]

${\displaystyle {\reasoned}AC&=(t^{2}+u^{2})(t^{2}-u^{2})\\BC&=2tu(t^{2}+u^{2})\\CD&=2tu(t^{2}-u^{2})\end{aigned}}}$

적용

동일한 램프 두 개를 A와 B에 배치하면, 정리 및 역제곱 법칙은 C에서 받는 빛의 양이 단일 램프를 D에 배치할 때와 같다는 것을 의미한다.

참고 항목

• 피타고라스 정리 – 직각 삼각형의 옆 길이와 관련된 방정식

참조