변형(물리학)

다음에 대한 시리즈 일부
연속체 역학
${\displaystyle J=-D{\frac {d\varphi }{dx}}}$ 픽의 확산 법칙
법 컨버지 미사 모멘텀 에너지 불평등 클라우시우스-듀헴 (엔트로피)
고체 역학 변형 탄력성 일직선의 가소성 후크의 법칙 스트레스 유한변형 무한 변형률 호환성. 벤딩 접촉 역학 마찰의 물질적 고장 이론 파단 역학
유체역학 유체 통계학 · 역학 아르키메데스의 원리 · 베르누이의 원리 나비에-스토크스 방정식 푸아세유 방정식 · 파스칼의 법칙 점도 (뉴턴어 · 비뉴턴어) 부력 · 믹싱 · 압력 액체 접착 모세관 작용 크로마토그래피 응집(화학) 표면장력 가스 대기 보일의 법칙 찰스의 법칙 복합가스법 픽의 법칙 게이 루삭의 법칙 그레이엄의 법칙 플라즈마
리히로지 점탄성 레호메트리 레히미터 스마트 유체 전기오류 자기 지질학 페로플루이드
과학자들 베르누이 보일 카우치 찰스 오일러 픽 게이 루삭 그레이엄 훅 뉴턴 나비에르 노울 파스칼 스톡스 트뤼셀
v t

물리학에서 변형은 기준 구성에서 현재 구성으로 신체의 연속역학 변환이다.^[1] 구성은 신체의 모든 입자의 위치를 포함하는 집합이다.

변형은 외부 하중,^[2] 내인성 활동(예: 근육 수축), 신체 힘(중력이나 전자기력 등) 또는 온도, 수분 함량 또는 화학 반응의 변화 등으로 인해 발생할 수 있다.

스트레인은 강체-신체 운동을 배제하는 체내 입자의 상대적 변위 측면에서 변형과 관련이 있다. 스트레인 필드의 표현은 신체의 초기 또는 최종 구성에 대해 정의되는지 그리고 미터법 텐서 또는 이중으로 고려되는지에 따라 서로 다른 등가 선택을 할 수 있다.

연속체에서 변형장은 힘을 가하거나 신체의 온도장의 일부 변화로 인해 응력장에서 발생한다. 응력과 변형률의 관계는 구성 방정식으로 표현된다. 예를 들어, 선형 탄성 재료에 대한 Hoke의 법칙과 같다. 응력장이 제거된 후 더 이상 존재하지 않는 변형을 탄성 변형이라고 한다. 이 경우 연속체는 원래의 구성을 완전히 회복한다. 반면 돌이킬 수 없는 변형은 여전하다. 그것들은 스트레스가 제거된 후에도 존재한다. 되돌릴 수 없는 변형의 한 가지 유형은 플라스틱 변형인데, 이것은 응력이 탄성 한계 또는 항복 응력이라고 알려진 일정한 임계값을 얻은 후에 물질체에서 발생하며, 원자 수준에서 미끄러지거나 탈구 메커니즘의 결과물이다. 되돌릴 수 없는 변형의 또 다른 유형은 점성 변형인데, 점성 변형의 불가역적인 부분이다.

탄성변형의 경우 변형응력과 변형응력을 연결하는 반응함수는 소재의 적합성 텐서다.

변형률

스트레인은 기준 길이에 상대적인 체내 입자 사이의 변위를 나타낸다.

차체의 변형은 x = F(X) 형식으로 표현되며, 여기서 X는 차체의 재료 지점의 기준 위치다. 이러한 조치는 경직된 신체의 움직임(변환과 회전)과 신체의 형태(및 크기) 변화를 구분하지 않는다. 변형에는 길이 단위가 있다.

예를 들어, 우리는 스트레인을

${\displaystyle {\boldsymbol}}}}\doteq {\cfrac {\partial }{\partial \mathbf {X}}}}}{\mathbf {X}\right)={\boldsymbol {F}-{{boldmboldmbol,},},},}}},}}}}}}}}}}}},},},}$

내가 정체성 텐서인 곳이지 따라서 변종은 치수가 없으며 대개 소수, 백분율 또는 부분 당 표기법으로 표현된다. 균주는 주어진 변형이 강체-신체 변형과 국소적으로 얼마나 다른지 측정한다.^[3]

스트레인은 일반적으로 긴장의 양이다. 균주에 대한 물리적 통찰력은 주어진 균주가 정상 및 전단 구성 요소로 분해될 수 있음을 관찰함으로써 얻을 수 있다. 재료 선 요소나 섬유를 따라 늘어지거나 압축되는 양이 정상적인 변형률이며, 평면 층이 서로 미끄러지는 것과 관련된 왜곡량은 변형체 내의 전단 변형률이다.^[4] 이는 신장, 단축, 볼륨 변화 또는 각도 왜곡에 의해 적용될 수 있다.^[5]

연속체 본체의 재료 지점에서 스트레인의 상태는 그 지점을 통과하는 재료선 또는 섬유 길이의 모든 변화의 총합성, 그리고 또한 초기에 서로 수직인 선 쌍 사이의 각도의 모든 변화의 총합성, 즉 이 포로부터 방사되는 전단 스트레인으로 정의된다.단, 세 개의 상호 수직 방향에서 스트레인의 정상 및 전단 구성요소를 아는 것으로 충분하다.

재료 라인의 길이가 증가하면 정상 스트레인을 인장 스트레인이라고 하고, 그렇지 않으면 재료 라인의 길이에 감소나 압축이 있으면 압축 스트레인이라고 한다.

변형률 측정

변형 분석은 변형률의 양 또는 국소 변형에 따라 세 가지 변형 이론으로 세분된다.

• 유한변형 이론, 큰 변형 이론이라고도 불리는 유한변형 이론은 회전과 균주가 모두 임의로 큰 변형을 다룬다. 이 경우, 연속체의 불완전한 형태와 변형된 구성이 현저하게 다르며, 그들 사이에 명확한 구분이 이루어져야 한다. 탄성계, 탄성형성 물질 및 기타 유체 및 생물학적 연조직의 경우가 흔히 그러하다.
• 변종과 회전이 모두 작은 소변형 이론, 소변형 이론, 소변형 이론 또는 소변형-심층 이론이라고도 한다. 이 경우 신체의 불완전하고 변형된 구성은 동일하다고 가정할 수 있다. 극소량 변형 이론은 콘크리트와 강철과 같이 기계 및 토목 공학 용도에서 발견되는 재료와 같이 탄성거동을 나타내는 재료의 변형 해석에 사용된다.
• 큰 변위 또는 큰 회전 이론. 작은 변형을 가정하지만 큰 회전 및 변위를 가정한다.

이 이론들 각각에서 그 변종은 다르게 정의된다. 공학적 변형은 매우 작은 변형을 받는 기계 및 구조 공학에서 사용되는 재료에 적용되는 가장 일반적인 정의다. 한편, 큰 변형을 받는 엘라스토머와 폴리머와 같은 일부 재료의 경우, 1% ^[6]이상의 일반적인 공학적 변종과 같은 변형률의 공학적 정의는 적용되지 않으므로 스트레치, 로그 변형률, 녹색 변형률 및 알만시 변형률과 같은 다른 복잡한 변형 정의가 필요하다.

공학적 변형률

Cauchy 변형률로도 알려진 공학적 변형률은 힘이 가해지는 재료 본체의 초기 치수에 대한 총 변형률로 표현된다. 축방향으로 적재된 재료 라인 요소 또는 섬유에 대한 공학적 정상 변형률 또는 공학적 확장 변형률 또는 공칭 변형률 e는 라인 요소 또는 섬유의 원래 길이 L 단위당 길이 ΔL의 변화로 표현된다. 재료 섬유가 늘어나면 양성이고 압축되면 음성이 된다. 그러므로, 우리는

${\displaystyle \e={\frac {\Delta L}{L}}={\frac {L}}}$

여기서 e는 공학적인 일반 변형률이고, L은 섬유 본래의 길이, l는 섬유 최종 길이다. 변형률 측정은 종종 백만분의 일 또는 미세 기형으로 표현된다.

실제 전단 변형률은 비정형 또는 초기 구성에서 초기에 서로 수직인 두 재료 선 요소 사이의 각도 변화(라디안)로 정의된다. 공학적 전단 변형률은 해당 각도의 탄젠트로 정의되며, 때로는 계산하기 쉽게 하는 힘 적용 평면의 수직 길이로 나눈 최대 변형의 길이와 같다.

스트레치비율

신축비 또는 확장비는 미형식 구성 또는 변형된 구성에서 정의할 수 있는 차동선 요소의 확장성 또는 정상 변형률의 척도다. 재료 라인의 최종 길이 l와 초기 길이 L 사이의 비율로 정의된다.

${\displaystyle \lambda ={\frac {L}{L}}}$

연장 비율은 다음과 같은 공학적 변형률과 근사적으로 관련이 있다.

${\displaystyle \e={\frac {L-L}{L}}=\lambda -1}$

이 방정식은 정상적인 스트레인이 0이므로 스트레치가 일률과 같을 때 변형이 없다는 것을 의미한다.

신축률은 탄성계 등 큰 변형을 보이는 재료 분석에 사용되며, 고장나기 전에 3 또는 4의 신축비를 유지할 수 있다. 반면에 콘크리트나 강철과 같은 전통적인 공학적 재료는 훨씬 낮은 스트레치 비율로 고장난다.

트루 스트레인

로그 변종 ε이라고도 하며 참 변종 또는 헨키 변종이라고도 한다.^[7] 증분 변형률 고려(루드윅)

${\displaystyle \cHB\varepsilon ={\frac {\fl}{l}}}$

로그 스트레인은 다음 증분 스트레인을 통합하여 얻는다.

${\displaystyle \ {\begin{aligned}\int \delta \varepsilon &=\int _{L}^{l}{\frac {\delta l}{l}}\\\varepsilon &=\ln \left({\frac {l}{L}}\right)=\ln(\lambda )\\&=\ln(1+e)\\&=e-{\frac {e^{2}}{2}}+{\frac {e^{3}}{3}}-\cdots \\\end{aligned}}}$

여기서 e는 공학적 변종이다. 로그 스트레인은 변형률이 일련의 증분에서 발생할 때 변형 경로의 영향을 고려하여 최종 스트레인의 정확한 측정값을 제공한다.^[4]

그린 스트레인

녹색 변종은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \varepsilon _{G}={\tfrac {1}{1}{1}:{1}-L^{2}-{2}}:{L^{2}}\오른쪽)={\tfrac {1}{1}:{1}{1}{1}:{nambda ^{2}-1)}}$

알만시 변종

오일러-알만시 변종은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \varepsilon_{E}={\tfrac {1}{1}:{1}-L^{2}-{2}}:{{l^{2}}\\오른쪽)={\tfrac {1}{1}:{1}{{\frac}{1}{1}}\lambda ^{2}\오른쪽)}}$

정상 및 전단 변형률

균주는 정상 또는 전단 중 하나로 분류된다. 정상적인 스트레인은 원소의 면에 수직이며, 전단 스트레인은 원소의 면에 평행하다. 이러한 정의는 정상 응력과 전단 응력의 정의와 일치한다.

정상 변형률

Hoke의 법칙에 복종하는 등방성 물질의 경우, 정상적인 스트레스는 정상적인 긴장을 유발할 것이다. 정상적인 균주는 확장을 일으킨다.

변형이 일어난 후 회전 버스의 형태를 취하는 dx × dy 치수를 갖는 2차원 극소수의 직사각형 재료 요소를 고려한다. 변형은 변위장 u로 설명된다. 인접한 도형의 기하학적 구조로부터 우리는

${\displaystyle \mathrm {length}(AB)=dx\,}$

그리고

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {length} (ab)&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)^{2}}}\\&={\sqrt {dx^{2}\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+dx^{2}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\&=dx~{\sqrt {\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\&\approx dx\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)\end{aligned}}\,\!}$

매우 작은 변위 구배에서 $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\$ 파생 모델의 제곱은 무시할$$ 수 있으며, 우리는 다음과 같은 것을 가지고 있다.

${\displaystyle \mathrm {length}(ab)\약간의 dx+{\frac {\frac {\flict u_}{x}}{\dx}}$

직사각형 원소의 x-방향에 있는 정상적인 스트레인은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\text{extension}{\text{extension}}}={\frac {length}(ab)-\mathrm {length}{\mathrmatrm {length}(AB)})}}}}={\frac {\frac u_{x}}{\propert x}}}}$

마찬가지로, y 방향과 z 방향의 정상적인 스트레인은

${\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {\frac u_{y}}{\frac u_{z}}}}\\!}$

전단 변형률

전단 변형률
공통 기호	γ 또는 ε
SI 단위	1 또는 라디안
에서 파생됨 다른 수량	γ = τ/G

공학적 전단 변형률(condition_xy)은 선 AC와 AB 사이의 각도의 변화로 정의된다. 그러므로

${\displaystyle \property_{xy}=\ft +\put \,\!}$

형상의 기하학적 구조로 볼 때, 우리는

${\displaystyle{\begin{정렬}\tan \alpha&={\frac{{\tfrac{\partial u_{y}}{x\partial}}dx}{dx+{\tfrac{\partial u_{)}}{x\partial}}dx}}={\frac{\tfrac{\partial u_{y}}{x\partial}}{1+{\tfrac{\partial u_{)}}{x\partial}}}}\\\tan \beta&={\frac{{\tfrac{\partial u_{)}}{이\partial}}에}{dy+{\tfrac{\partial u_{y}}{이\partial}}에}}){\frac{.\tfrac{\cHB u_{x}}{\property y}{1+{\tfrac {\propert u_{y}}}{\property y}}}}$

작은 변위 구배에는

${\displaystyle {\property u_{x}}{\put x}\ll 1~;~{\putac {\put u_{y}}{\put y}}\ll 1}$

작은 회전의 경우, 즉 α와 β는 β 1이다. 우리는 황갈색 α α, 황갈색 β β를 가지고 있다. 그러므로

${\displaystyle \cHB {\cHB u_{y}}{\\cHB x}~~\hB \cHB \cHB \{x}}{\cHB y}}}}약 {\cHB \cHB \cHB \}}}$

이리하여

${\displaystyle \property}=\fract+{\fract u_{y}}{\fract u_{x}}}{\fract y},\!}$

x와 y와 u와_x u를_y 교대함으로써 γ_xy = γ임을_yx 알 수 있다.

마찬가지로, yz-plane과 xz-plane은

${\displaystyle \gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad ,\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\,\!}$

그런 다음 최소 변형률 텐서의 십상 전단 변형률 구성요소는 다음과 같이 엔지니어링 변형률 정의인 γ을 사용하여 표현할 수 있다.

${\displaystyle{\underline{\underline{\boldsymbol{\varepsilon}}}}=\left[{\begin{매트릭스}\varepsilon_{xx}&\varepsilon_{xy}&\varepsilon_{xz}\\\varepsilon_{yx}&\varepsilon_{yy}&\varepsilon_{yz}\\\varepsilon_{zx}&\varepsilon_{zy}&\varepsilon_{zz}\\\end{매트릭스}}\right]=\left-LSB-{\begin{행렬}\varepsilon _{xx}&,{\tfra.c{1}{2}}\gamma _{xy}&,{\tfrac {1}{2}}\gamma _{xz}\\{\tfrac {1}{2}}\gamma _{yx}&\varepsilon _{yy}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{yz}\\{\tfrac {1}{2}}\gamma _{zx}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{matrix}}\right]\,\!}$

미터법 텐서

변위와 관련된 변형률장은 임의 파라메타화된 곡선의 속도를 나타내는 접선 벡터의 길이 변화에 의해 어느 지점에서나 정의된다. 프레셰트, 폰 노이만, 요르단 때문에 기본적인 기하학적 결과는 접선 벡터의 길이가 규범과 평행사변형 법칙의 공리를 충족한다면 벡터의 길이는 양극화 공식에 의해 연관된 2차 형태의 값의 제곱근이며, 메트르라고 불리는 양정확정 이선형 지도가 있다고 말한다.ic 텐서

변형 설명

변형이란 연속체 본체의 미터법 속성의 변화를 말하는데, 이는 초기 신체 배치에서 그려진 곡선이 최종 배치에서 곡선으로 바뀌면 길이가 바뀐다는 것을 의미한다. 어떤 곡선도 길이를 바꾸지 않으면 강체 변위가 발생했다고 한다.

모든 후속 구성이 참조되는 연속체 본체의 기준 구성 또는 초기 기하학적 상태를 식별하는 것이 편리하다. 기준 구성은 본체가 실제로 점유할 필요가 없다. 흔히 t = 0에서의 구성은 기준 구성인 κ₀(B)으로 간주된다. 현재 시간 t에서의 구성은 현재 구성이다.

변형 분석의 경우 기준 구성은 비정형 구성으로, 현재 구성은 변형 구성으로 식별한다. 또한 변형을 분석할 때는 시간이 고려되지 않으므로 비정형 구성과 변형된 구성 사이의 구성 순서는 아무런 관심도 없다.

기준 좌표계와 관련하여 기준 구성에서 입자의 위치 벡터 X의 성분 X를_i 재료 또는 기준 좌표라고 한다. 한편, 기준의 공간 좌표계에 관해서, 변형된 구성에서 입자의 위치 벡터 x의 성분 x를_i 공간 좌표라고 한다.

연속체의 변형을 분석하는 방법에는 두 가지가 있다. 한 가지 설명은 재료 설명 또는 라그랑지안 설명이라고 하는 재료 또는 참조 좌표의 측면에서 이루어진다. 변형에 대한 두 번째 설명은 공간 좌표의 관점에서 이루어지며 이를 공간적 설명 또는 오일러적 설명이라고 한다.

연속체 본체의 변형 중에는 다음과 같은 의미에서 연속성이 있다.

• 언제라도 닫힌 곡선을 형성하는 재료 점들은 항상 그 이후의 시간에 닫힌 곡선을 형성할 것이다.
• 어떤 순간에 닫힌 표면을 형성하는 물질적 지점은 항상 닫힌 표면을 형성하며 닫힌 표면 내의 물질은 항상 그 안에 있을 것이다.

아핀 변형

변형을 아핀 변환으로 설명할 수 있다면 아핀 변형이라고 한다. 이러한 변환은 선형 변환(회전, 전단, 연장 및 압축 등)과 경직된 신체 변환으로 구성된다. 아핀 변형은 균질 변형이라고도 한다.^[8]

따라서, 부착 변형에는 형태가 있다.

${\displaystyle \mathbf {x}(\mathbf {X},t)={\boldsymbol {F}(t)\cdot \mathbf {X} +\mathbf {c}(t)}$

여기서 x는 변형된 구성에서 점의 위치, X는 기준 구성에서의 위치, t는 시간과 같은 매개변수, F는 선형 변압기, c는 변환이다. 행렬 형태에서, 구성 요소가 정형 기준과 관련된 경우,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{2}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{3}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{11}(t)&F_{12}(t)&F_{13}(t)\\F_{21}(t)&F_{22}(t)&F_{23}(t)\\F_{31}(t)&F_{32}(t)&F_{33}(t)\end{bmatrix}}{\bgin{bmatrix}X_{1}\\X_{3}\end{bmatrix}+{begin}c_{1}(t)\c}\{3}(t)\c_{3(t)\c}\{bmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}:{bmatrix}$

위의 변형은 F = F(X,t) 또는 c = c(X,t)일 경우 비아핀 또는 비균형이 된다.

강체 보디 모션

강성 몸놀림은 전단, 연장 또는 압축을 수반하지 않는 특수한 부착 변형이다. 변환 매트릭스 F는 회전을 허용하지만 반사가 없도록 직교한다.

경직된 차체 운동은 다음과 같이 설명할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {X},t)={\boldsymbol {Q}(t)\cdot \mathbf {X} +\mathbf {c}(t)}$

어디에

${\displaystyle{\boldsymbol{Q}}\cdot{\boldsymbol{Q}}={\boldsymbol{Q}}}={\boldsymbol{\mathit{1}}}}}}}}}}$

행렬 형식에서,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{2}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{3}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Q_{11}(t)&Q_{12}(t)&Q_{13}(t)\\Q_{21}(t)&Q_{22}(t)&Q_{23}(t)\\Q_{31}(t)&Q_{32}(t)&Q_{33}(t)\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{3}\end{bmatrix}+{begin{bmatrix}c_{1}(t)\c_{3}(t)\c_{3}(t)\end{bmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}:{bmatrix}:{bmatrix}$

변위

연속체 몸체의 구성이 변경되면 변위가 발생한다. 차체의 변위에는 강체 변위와 변형이라는 두 가지 요소가 있다. 강체-신체 변위는 신체의 형태나 크기를 바꾸지 않고 신체의 동시번역 및 회전으로 구성된다. 변형은 초기 또는 형상화되지 않은 구성 κ₀(B)에서 현재 또는 변형된 구성 κ_t(B)로 신체의 형상 및/또는 크기를 변경하는 것을 의미한다(그림 1).

연속체의 변위 후 입자 사이에 상대 변위가 있으면 변형이 발생한 것이다. 한편, 연속체의 변위 후 현재 구성에서 입자 사이의 상대 변위가 0이면 변형이 없고 강체 변위가 발생했다고 한다.

비정형 구성과 변형 구성에서 입자 P의 위치에 결합하는 벡터를 라그랑기 설명에서는 변위 벡터 u(X,t) = ue_ii, 또는 오일러 설명에서는 U(x,t) = UE라고_JJ 부른다.

변위장은 체내 모든 입자에 대한 모든 변위 벡터의 벡터 장으로, 변형된 구성과 변형되지 않은 구성을 연관시킨다. 변위장 측면에서 연속체의 변형이나 움직임 분석을 하는 것이 편리하다. 일반적으로 변위장은 다음과 같이 물질 좌표에 의해 표현된다.

${\displaystyle \ \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} (\mathbf {X} ,t)+\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\알파 _{iJ}X_{{J}$

또는 다음과 같은 공간 좌표 측면에서

${\displaystyle \ \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}\,}$

여기서 α는_Ji 각각 단위 벡터 E와_J e가_i 있는 재료와 공간 좌표계 사이의 방향 코사인이다. 그러므로

${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha_{iJ}}$

그리고 u와_i u의_J 관계는 그 다음에 에 의해 주어진다.

${\displaystyle \u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}}}}}}}}$

그것을 알고 있다

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}}}$

그때

${\displaystyle \mathbf {u}(\mathbf {X},t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E}) _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U}(\mathbf {x},t)}$

형상화되지 않은 구성과 변형되지 않은 구성에 좌표계를 겹쳐서 b = 0이 되고 방향 코사인이 Kronecker deltas가 되는 것이 일반적이다.

${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{J}}$

그러므로, 우리는

${\displaystyle \ \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}=x_{i}-X_{i}}$

또는 다음과 같은 공간 좌표 측면에서

${\displaystyle \ \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}=x_{J}-X_{J}}$

변위 구배 텐서

재료 좌표에 대한 변위 벡터의 부분 분화는 재료 변위 구배 텐서 _Xoru를 산출한다. 따라서 다음과 같은 이점을 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)&=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \\\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} &=\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {x} -\mathbf {I} \\\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} &=\mathbf {F} -\mathbf {I} \\\end{aligned}}}$

또는

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{i}&=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}=x_{i}-X_{i}\\{\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}&={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}-\delta _{iK}\\\end{aligned}}}$

여기서 F는 변형 구배 텐서이다.

마찬가지로 공간 좌표에 대한 변위 벡터의 부분적인 분화는 공간 변위 구배 텐서 _xuU를 산출한다. 그러므로, 우리는

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)&=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\\\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} &=\mathbf {I} -\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {X} \\\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} &=\mathbf {I} -\mathbf {F} ^{-1}\\\end{aligned}}}$

또는

${\displaystyle {\reasoned}U_{J}&=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}=x_{J}-X_{J}\\{\frac {\partial U_{J}}{\partial x_{k}}}&=\delta _{Jk}-{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}\\\end{aligned}}}$

변형의 예

균질(또는 아핀) 변형은 재료의 거동을 해명하는 데 유용하다. 관심의 균일한 변형은

• 균일 확장
• 순확장
• 등축 긴장
• 단순 전단
• 순전단

평면 변형도 특히 실험적인 맥락에서 관심의 대상이 된다.

평면 변형

평면 변형이라고도 하는 평면 변형은 기준 구성의 평면 중 하나로 변형이 제한되는 변형이다. 변형이 기본 벡터(based vectors₁ e₂, e)에 의해 설명되는 면으로 제한되는 경우, 변형 구배에는 형태가 있다.

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=F_{11}\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{1}+F_{12}\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}+F_{21}\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{1}+F_{22}\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\otimes \mathbf {e} _{3}}$

행렬 형식에서,

${\displaystyle {\boldsymbol {F}={\begin{bmatrix}F_{11}&F_{12}&0\\F_{21}&F_{22}&0&0&1\end{bmatrix}}}}}}}$

극분해 정리부터 변형 구배, 좌표 변화까지 스트레칭과 회전으로 분해할 수 있다. 모든 변형이 평면에 있기 때문에, 우리는 글을^[8] 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {U}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

여기서 θ은 회전각이고 and은₁₂ 주 스트레칭이다.

이소차리 평면 변형

변형이 등소음(볼륨 보존)이면 det(F) = 1이고,

${\displaystyle F_{11}F_{22}-F_{12}F_{21}=1}$

또는,

${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}=1}$

단순전단

단순 전단 변형은 변형 중 길이와 방향을 변경하지 않는 주어진 기준 방향을 가진 일련의 선 요소가 있는 등축 평면 변형으로 정의된다.^[8]

e가₁ 변형 중에 라인 요소가 변형되지 않는 고정 기준 방향이라면 λ₁ = 1과 F·e₁ = e이다₁. 그러므로

${\displaystyle F_{11}\mathbf {e} _{1}+F_{21}\mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{1}\quad \quad \quad \quades F_{11}=1}=1;~F_{21}=0}$

변형이 이소콜리어니까

${\displaystyle F_{11}F_{22}-F_{12}F_{21}=1\quad \quadies \quad F_{22}=1}$

정의

${\displaystyle \gamma :=F_{12}\,}$

단순 전단에서의 변형 구배는 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle {\boldsymbol{F}={\begin{bmatrix}1&\\gamma &0\0&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}}$

지금

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}\cdot \mathbf {e} _{2}=F_{12}\mathbf {e} _{1}+F_{22}\mathbf {e} _{2}=\gamma \mathbf {e} _{1}+\mathbf {e} _{2}\quad \implies \quad {\boldsymbol {F}}\cdot (\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{2})=\gamma \mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{2}}$

이후

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{i}={\mathsymbol {\mathit{1}1}}}}}}}$

변형 구배도 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\boldsymbol {F}={\boldsymbol {\1}+\gamma \mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}}:$

참고 항목

• 휨 힘에 의한 빔이나 스터드 등 긴 원소의 변형을 편향이라고 한다.
• 오일러-베르누엘리 빔 이론
• 변형(엔지니어링)
• 유한변형 이론
• 무한변형론
• 무리에 패턴
• 전단 계수
• 전단응력
• 전단강도
• 응력(기)
• 응력 측정

참조

추가 읽기

• Bazant, Zdenek P.; Cedolin, Luigi (2010). Three-Dimensional Continuum Instabilities and Effects of Finite Strain Tensor, chapter 11 in "Stability of Structures", 3rd ed. Singapore, New Jersey, London: World Scientific Publishing. ISBN 9814317039.
• Dill, Ellis Harold (2006). Continuum Mechanics: Elasticity, Plasticity, Viscoelasticity. Germany: CRC Press. ISBN 0-8493-9779-0.
• Hutter, Kolumban; Jöhnk, Klaus (2004). Continuum Methods of Physical Modeling. Germany: Springer. ISBN 3-540-20619-1.
• Jirasek, M; Bazant, Z.P. (2002). Inelastic Analysis of Structures. London and New York: J. Wiley & Sons. ISBN 0471987166.
• Lubarda, Vlado A. (2001). Elastoplasticity Theory. CRC Press. ISBN 0-8493-1138-1.
• Macosko, C. W. (1994). Rheology: principles, measurement and applications. VCH Publishers. ISBN 1-56081-579-5.
• Mase, George E. (1970). Continuum Mechanics. McGraw-Hill Professional. ISBN 0-07-040663-4.
• Mase, G. Thomas; Mase, George E. (1999). Continuum Mechanics for Engineers (2nd ed.). CRC Press. ISBN 0-8493-1855-6.
• Nemat-Nasser, Sia (2006). Plasticity: A Treatise on Finite Deformation of Heterogeneous Inelastic Materials. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83979-3.
• Prager, William (1961). Introduction to Mechanics of Continua. Boston: Ginn and Co. ISBN 0486438090.