혼합 텐서

텐서 분석에서 혼합 텐서는 엄밀하게 공변량도 아니고 엄격히 왜곡된 것도 아닌 텐서이다. 혼합 텐서의 지수 중 적어도 하나는 첨자(공변량)이고 적어도 하나는 상위첨자(반전성)가 될 것이다.

유형 또는 용기의 혼합 텐서$({\displaystyle M\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ $){\$ 또한 M > 0 및 N > 0으로 "타입(M, N)"이라고 쓰여진 텐서로서 M 역변량 지수와 N 공변량 지수를 모두 가지고 있다. 그러한 텐서는 (M + N)-Tuple의 M 단형 및 N 벡터를 스칼라에 매핑하는 선형 함수로 정의할 수 있다.

텐서 유형 변경

관련 텐터의 다음 8진수를 고려하십시오.

${\displaystyle T_{\alpha \beta \gamma },\ T_{\alpha \beta }{}^{\gamma },\ T_{\alpha }{}^{\beta }{}_{\gamma },\ T_{\alpha }{}^{\beta \gamma },\ T^{\alpha }{}_{\beta \gamma }$$,\ T^{\alpha }{}_{\beta }{}}{}^{\gamma$}\ $T^{}_{\gamma }\T^{\alpha \beta \gamma$ $\}\}\}\}\}\}\}\}\}.$

첫 번째는 공변량, 마지막은 반변량, 나머지 하나는 혼합물이다. 합리적으로, 이러한 텐셔너는 지수의 공분산/분산성에 의해 서로 다르다. 주어진 텐서의 역변동 지수는 미터법 텐서 g를_μν 사용하여 낮출 수 있고, 주어진 공변량 지수는 역 미터법 텐서^μν g를 사용하여 올릴 수 있다. 따라서 g는_μν 지수 하강 연산자, g^μν 지수 상승 연산자라고 할 수 있다.

일반적으로 공변량계 텐서(M, N)는 유형 텐서(M - 1, N + 1)를 산출하는 반면, 그 역변량계 텐서는 유형 텐서(M, N)와 수축하여 유형 텐서(M + 1, N - 1)를 산출한다.

예

예를 들어 공변량 텐서 지수(0, 3)를 높여서 유형(1, 2)의 혼합 텐서를 구할 수 있다.

${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}{}^{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}}$ ${\displaystyle \gamma {}_{}{}^{}}$ g ${\displaystyle {\lambda }^{}}$ ${\$}}=$T_{\$lamba \$nalpha \beta \}\,g^{\gamma \lamba$ \lamba $\backslash \}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\},$

여기서 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}}$ ${\$ \beta $}{}^{\lambda }}}}}}}}}}$은(는) $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}}$ ${\$과 같은 텐서$$ 같다$.$

${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}}$ ${\displaystyle \Delta {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\Delta }_{}}$ Δ${\displaystyle {}^{}{}_{}{}^{}}$ = ${\displaystyle T_{}}$ α ${\displaystyle {\beta }_{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $\\$alpha \$alpha$ \$gambeta$ \$gamma$

크로네커 Δ가 여기서 정체성 매트릭스처럼 행동하고 있어

마찬가지로,

${\displaystyle T_{\lambda }{}^{}{}}{}_{\lambda }=T_{\\alpha \beta \gamma }\,g^{\beta \lambda }}}}}}}$

${\displaystyle T_{\alpha }{}^{}^{\lambda \epsilon }=T_{\\alpha \beta \gamma \ambda }\,g^{\gma \epsilon}}}}}$

${\displaystyle T^{\alpha \beta }{}{}_{\gamma \lambda }\,T^{\alpha \beta \lambda }},}$

${\displaystyle T^{\alpha }{}_{\lambda \epsda \epsda \beta }\,g_{\\epsilon \gamma }\,T^{\alpha \beta \gamma }}}}}$

미터법 텐서 지수를 올리는 것은 그것을 역행으로 수축시켜 Kronecker 삼각주를 산출하는 것과 같다.

${\displaystyle g^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{\mu g}}^{}}$ ${\displaystyle g{}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ λ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mu }^{}}$ ${\displaystyle {\mu }^{}{}_{}}$μ μ μ = $Δstyle$ g$^{\mu \lambda }\,g_\lambda \nu$ \$nu \}=g^{}_\nu }}}}=\mu }{}}}}{}}_${\mu${\$nu}}}\$nu$ nu$\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\},$

따라서 미터법 텐서의 모든 혼합 버전은 크론커 삼각주와 같을 것이며, 또한 혼합될 것이다.

참고 항목

• 벡터의 공분산 및 왜곡
• 아인슈타인 표기법
• 리치 미적분학
• 텐서(intrinic definition)
• 2점 텐서

참조

• D.C. Kay (1988). Tensor Calculus. Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA). ISBN 0-07-033484-6.
• Wheeler, J.A.; Misner, C.; Thorne, K.S. (1973). "§3.5 Working with Tensors". Gravitation. W.H. Freeman & Co. pp. 85–86. ISBN 0-7167-0344-0.
• R. Penrose (2007). The Road to Reality. Vintage books. ISBN 0-679-77631-1.

외부 링크

• 인덱스 체조, 울프램 알파