데카르트 텐서

기하학 및 선형 대수학에서, 카르테시안 텐서는 유클리드 공간의 텐서를 구성요소의 형태로 나타내기 위해 정형외과적 기준을 사용한다.텐서의 구성요소를 이러한 기초에서 다른 기초로 변환하는 것은 직교 변환을 통해 이루어진다.

가장 익숙한 좌표계는 2차원, 3차원 카르테시안 좌표계다.데카르트 텐서는 내적 생산물이 있는 실수의 영역에 걸쳐 있는 유클리드 공간 또는 더 기술적으로 유한차원 벡터 공간과 함께 사용될 수 있다.

카르트 텐서의 사용은 코치 스트레스 텐서 및 강체 신체 역학에서 관성 텐서의 모멘트와 같이 물리학과 공학에서 발생한다.때로는 고변형 연속체 역학에서와 같이 일반 곡선 좌표가 편리하거나 일반 상대성 이론에서와 같이 필요한 경우도 있다.일부 좌표계(예: 구형 좌표에 접선)에 대해 직교 기초가 발견될 수 있지만, 직선 좌표 축의 회전이 충분한 용도에 대해 데카르트 텐서는 상당한 단순화를 제공할 수 있다.좌표가 변경되고 물리적 시스템이 변경되지 않기 때문에 변환은 수동적 변환이다.

데카르트 기반 및 관련 용어

3차원의 벡터

3d 유클리드 공간 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ {$R}$ $\}$³에서 표준 기준은 e_xy, e, e_z.x축, y축, z축을 따라 각 기준 벡터 지점과 벡터는 모두 단위 벡터(또는 정규화)이므로 기본은 직교형이다.

전체적으로 3차원의 데카르트 좌표를 참조할 때 오른손잡이 시스템이 가정되며 이는 실제 왼손잡이 시스템보다 훨씬 일반적이다. 자세한 내용은 방향(벡터 공간)을 참조하십시오.

순서 1의 데카르트 텐서인 경우 데카르트 벡터 a는 기본 벡터_x e, e_y, e_z:의 선형 조합으로 대수적으로 기록할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {a} =a_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{x}+a_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{z}}}}$

여기서 데카르트 기초와 관련된 벡터의 좌표는 a_x, a, a로_yz 표시된다.기본 벡터를 열 벡터로 표시하는 것이 일반적이며 유용하다.

${\displaystyle \mathbf {e} _{\text{x}}={\\\pmatrix}1\\\0\end{pmatrix}\\nd}\mathbf {e} _{\text}}}}={\pmatrix}0\\\1\\0\end}{pmatrix}\\\nd\matrix}\mathbf {e} _{\text{z}={\pmatrix}0\0\\1\end{pmatrix}}}}}}}}$

열 벡터 표현에 좌표 벡터가 있는 경우:

${\displaystyle \mathbf {a} ={\pmatrix}a_{\text{x}\\a_\text{y}\a_{\text{z}\end{pmatrix}}}}}}$

일반적인 곡선 좌표계의 맥락에서 행 벡터 표현과 컬럼 벡터 표현은 특정한 이유로 별도로 사용되지만, 그 이유는 아인슈타인 표기법과 공분산 및 벡터 왜곡을 참조한다.

벡터의 "구성요소"라는 용어는 모호하다: 다음을 가리키는 것일 수 있다.

• a_z(스칼라)와 같은 벡터의 특정 좌표와 마찬가지로 x와 y의 경우 또는
• 해당 기본 벡터를 스칼라로 표시하는 좌표. 이 경우 a의 "y-구성요소"는 ae_yy(벡터)이며, x와 z도 이와 유사하다.

보다 일반적인 표기법은 고정 좌표 라벨이 아닌 숫자 값의 유연성을 갖는 텐서 지수 표기법이다.데카르트 라벨은 기본 벡터 e_x ↦ e₁, e_y ↦ e₂, e_z ↦ e에서₃ 텐서 지수로 대체되며, and a_x, ↦ a를_y 조정한다_12z3.일반적으로 e₁, e₂, e라는₃ 표기법은 어떤 근거를 가리키며 a₁, a는₂₃ 해당 좌표계를 가리킨다. 여기서 그것들은 데카르트 계로 제한되지만 말이다.다음:

${\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}}\mathbf {e} _{3}=\sum _{i=1}^{3}a_{i}\mathbf {e} _{i}}}$

아인슈타인 표기법을 사용하는 것이 표준이다. 한 용어 내에 정확히 두 번 존재하는 지수에 대한 합계를 위한 합계는 명목상의 정확성을 위해 억제될 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {a} =\sum _{i=1}^{3}a_{i}\mathbf {e} _{i}\equiv a_{i}\mathbf {e}}}$

좌표별 표기법보다 지수 표기법의 장점은 기초 벡터 공간의 치수의 독립성, 즉 우측의 동일한 표현이 더 높은 치수(아래 참조)에서 동일한 형태를 취한다는 것이다.이전에는 카르테시안 레이블 x, y, z는 레이블일 뿐 인덱스가 아니었다.("i = x, y, z"라고 말하는 것은 비공식적이다.)

3차원의 2차 텐서

A dyadic tensor T is an order 2 tensor formed by the tensor product ⊗ of two Cartesian vectors a and b, written T = a ⊗ b. Analogous to vectors, it can be written as a linear combination of the tensor basis e_x ⊗ e_x ≡ e_xx, e_x ⊗ e_y ≡ e_xy, ..., e_z ⊗ e_z ≡ e_zz (the right hand side of each identity is only an abbreviation, nothing more):

${\displaystyle {\begin{array}{ccl}\mathbf {T} &=&\left(a_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{x}}+a_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{y}}+a_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{z}}\right)\otimes \left(b_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{x}}+b_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{y}}+b_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{z}}\right)\\&, &, \\&, =&, a_{\text{)}}b_{\text{)}}\mathbf{e}_{\text{)}}\otimes\mathbf{e}_{\text{)}}+a_{\text{)}}b_{\text{y}}}{e}_{\text{)}\mathbf};및\mathbf{e}_{\text{z}}\\& \otimes,{}+a_{\text{y}}b_{\text{)}}{e}_{\text{y}\mathbf}\mathbf{e}\otimes_{\text{{e}_{\text{)}}\otimes\mathbf{e}_{\text{y}}+a_{\text{)}}b_{\text{z}\mathbf.x}}+a_{\text{y}}b_{\text{y}}{e}_{\text{y}}\otimes\mathbf{e}_{\text{y}}+a_{\text{y}}b_{\text{z}}}\mathbf{e}_{\text{z}}\\& \otimes, 및{e}_{\text{y}\mathbf,{}+a_{\text{z}}b_{\text{)}}\mathbf{e}_{\text{z}}\otimes\mathbf{e}_{\text{)}}+a_{\text{z}}b_{\text{y}}{e}_{\text{z}}\otimes\mathbf{e}_{\text{y}}+a_{\text{z}}b_{\text{z}\mathbf}{e}\mathbf_{\t \mathbf.ext{z}})Otimes \mathbf {e} _{\text{z}\\end{array}}}}$

각 기준 텐서를 행렬로 표시:

${\displaystyle{\mathbf{e}_{\text{)}}}}\equiv\mathbf{e}_{\text{xx}}={\begin{pmatrix}1&, 0&, 0\\0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0\end{pmatrix}}\,,\quad{\mathbf{e}_{\text{)}}}\mathbf{e}_{\text{y}\otimes};1&, 0\\0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0\end{pmatrix}}\,,\\mathbf{e}_{\text{)}\equiv\mathbf{e}_{\text{xy}}={\begin{pmatrix}0& \otimes.Cdots(_{\text{z}}\mat \otimes \quad.hbf {e} _{\text{z}}\equiv \mathbf {e} _{\text{z}}={\\pmatrix}0&0\\0&0\0&0&0\&1\end{pmatrix}}}}}$

그 다음 T를 행렬로 보다 체계적으로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {T} ={\begin{pmatrix}a_{\text{x}}b_{\text{x}}&a_{\text{x}}b_{\text{y}}&a_{\text{x}}b_{\text{z}}\\a_{\text{y}}b_{\text{x}}&a_{\text{y}}b_{\text{y}}&a_{\text{y}}b_{\text{z}}\\a_{\text{z}}b_{\text{x}}&a_{\text{z}}b_{\text{y}}&a_{\text{z}}b_{\text{z}}\end{pmatrix}}}$

행렬과 점 및 텐서 제품 간의 공칭적 대응은 행렬 곱셈을 참조하십시오.

보다 일반적으로 T가 두 벡터의 텐서 제품인지 아닌지는 몰라도, 그것은 항상 좌표_xx T_xy, T, ...와 함께 기본 텐서의 선형 결합이다.T_zz:

${\displaystyle {\begin{array}{ccl}\mathbf {T} &=&T_{\text}}\mathbf {e} _{\text{x}}+T_{\text{xy}\mathbf {e} _{\text{xy}}+T_{\text{xz}}\mathbf {e} _{\text{xz}\\&}+T_{\text{yx}\mathbf {e} _{\text{yx}}+T_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{y}}+T_{\text{yz}}\mathbf {e} _{\text{yz}\\&}+T_{\text{zx}\mathbf {e} _{\text{zx}}+T_{\text{zy}}\mathbf {e} _{\text{zy}}+T_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{z}\end{array}}}$

텐서 지수의 관점에서 보면 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {T} =T_{ij}\mathbf {e} _{ij}\equiv \sum \ij}T_{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\...}$

행렬 형식:

${\displaystyle \mathbf {T} = {\begin{pmatrix}T_{\text{xx}}&T_{\text{xy}}&T_{\text{xz}\\T_{\text{yx}}&T_{\text{y}}&T_{\text{yz}\\T_{\text{zx}}&T_{\text{zy}}&T_{\text{z}\end{pmatrix}}$

물리학과 공학에서 물리적인 양이 시스템의 방향 의존성을 가질 때, 종종 "stimulus-response" 방식으로 자연적으로 2차 시제가 발생한다.이것은 텐서의 한 측면을 통해 수학적으로 볼 수 있다. 텐서는 다중선 함수다.어떤 크기와 방향의 벡터 u를 취하는 두 번째 순서 텐서 T는 일반적으로 크기가 다른 벡터 v; 다른 방향의 벡터 v;를 반환한다.수학 분석에서 함수에 사용되는 표기법은 v - T(u)를 쓰도록 유도하는 반면,^[1] 같은 발상은 각각 행렬과 지수 표기^[2](합계 규약 포함)로 표현할 수 있다.

${\displaystyle {\pmatrix}v_{\text{x}\\v_{\text{y}}\v_{\text{z}\end{pmatrix}={\matrix}T_{\text{xx}}&T_{\text{xy}}&T_{\text{xz}\\T_{\text{yx}}&T_{\text{y}}&T_{\text{yz}\\T_{\text{zx}}&T_{\text{zy}}&T_{\text{z}}\end{pmatrix}{\begin{pmatrix}u_{\text{x}\u_{\text{y}}\u_{\text{z}}\end{pmatrix}\nd{pmatrix}}\quad v_{i}=T_{ij}u_{j}}}$

"선형"에 의해, u = ρr + σs가 두 개의 스칼라 ρ과 σ과 벡터 r과 s에 대해 있다면, 기능 및 지수 표기에서:

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {r} +\sigma \mathbf {s}=\rho \mathbf {T}(\mathbf {r})+\sigma \mathbf {T}(\mathbf {s})}$

${\displaystyle v_{i}=T_{ij}(\rho r_{j}+\sigma s_{j}=\rho T_{ij}r_{j}+\sigma T_{ij}s_{j}}}})$

행렬 표기법도 이와 유사하다.함수, 행렬, 색인 표기는 모두 같은 것을 의미한다.매트릭스 양식은 구성요소를 명확히 표시하는 반면, 색인 양식은 소형으로 공식을 보다 쉽게 텐서-알지브레이크 방식으로 조작할 수 있다.둘 다 방향의 물리적 해석을 제공한다; 벡터는 한 방향을 가지고 있는 반면, 두 번째 순서 텐서는 두 방향을 서로 연결한다.텐서 인덱스 또는 좌표 레이블을 기준 벡터 방향과 연결할 수 있다.

두 벡터의 도트 곱은 항상 스칼라인 반면 두 벡터의 교차 곱은 벡터에 의해 정의된 평면에 수직인 유사 벡터이므로 이 벡터의 제품만으로는 벡터의 새로운 벡터를 얻을 수 없기 때문에 두 번째 순서 텐셔의 사용은 벡터의 크기와 방향의 변화를 설명하는 최소값이다.어느 방향에서건 천진난만함(도트 및 교차 제품에 대한 자세한 내용은 아래를 참조하십시오.)벡터 2개의 텐서 제품은 2차 텐서인데, 그 자체로 명확한 방향 해석은 없다.

T가 두 벡터 p와 q를 가져간다면 스칼라 r을 돌려줄 것이라는 이전의 생각은 계속될 수 있다.함수 표기법에서는 r = T(p, q)를 쓰는 반면 행렬과 색인 표기법(합계 규약 포함)에는 각각 다음과 같이 쓴다.

${\displaystyle r={\pmatrix}p_{\text{x}}&p_{\text{y}}{\text{z}}\end{pmatrix}}{\pmatrix}T_{\text{xx}}&T_{\text{xy}}&T_{\text{xz}\\T_{\text{yx}}&T_{\text{y}}&T_{\text{yz}\\T_{\text{zx}}&T_{\text{zy}}&T_{\text{z}}\end{pmatrix}{\begin{pmatrix}q_{\text{x}\q_{\text{y}}\q_{\text{z}}\end{pmatrix}\\quad r=p_{i}}T_{ij}q_{j}}}$

텐서 T는 두 입력 벡터에서 모두 선형이다.벡터와 텐서가 구성요소를 참조하지 않고 작성되고 지수를 사용하지 않을 때, 때로는 지수에 대한 합계(텐서 수축이라고 함)를 취하는 곳에 점 ⋅을 배치하기도 한다.위의 경우:^[1][2]

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {T} \cdot \mathbf {u} }$

${\displaystyle r=\mathbf {p} \cdot \mathbf {T} \cdot \mathbf {q} }$

도트 제품 표기법에 의해 동기 부여:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \equiv a_{i}b_{i}}}}$

보다 일반적으로 n 벡터(n이 0과 m 사이인 경우 포함)를 사용하는 주문 m의 텐서(tensor)는 주문 m - n의 텐서(tensor)를 반환한다. 자세한 일반화 및 세부사항은 Tensor § 멀티라인 맵을 참조한다.위의 개념은 벡터에 대해서도 동일한 방법으로 유사벡터에도 적용된다.벡터와 텐서 자체는 공간 전체에 걸쳐 다양할 수 있으며, 이 경우 우리는 벡터장과 텐서장을 가지고 있으며, 또한 시간에 따라 달라질 수 있다.

몇 가지 예는 다음과 같다.

적용되거나 부여된...	...의 물질이나 물건에...	...에 참가하다...	...재료 또는 물체에서 다음과 같이 주어진다.
단위 벡터 n	코치 스트레스 텐서 σ	견인력 t	${\displaystyle \mathbf {t} ={\bmbol {\cdma }\cdot \mathbf {n}}$
각도 속도 ω	관성 모멘트 I	각운동량J	${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega}}}$
	관성 모멘트 I	회전 운동 에너지 T	${\displaystyle T={\frac{1}{2}}:{\boldsymbol {\\omega}}\mathbf {I}\cdot {\boldsymbol {\\omega}}}}}$
전기장 E	전기 전도도 σ	전류 밀도 흐름 J	${\displaystyle \mathbf {J} ={\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {E}}$
	편광성 α(허용도 ε 및 전기 민감도 χ과E 관련)	유도 양극화장 P	${\displaystyle \mathbf {P} ={\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {E}}$
자기 H장	자기 투과성 μ	자기 B장	${\displaystyle \mathbf {B} ={\boldsymbol {\mu }\cdot \mathbf {H}}$

전기 전도 예제의 경우, 색인과 행렬 표시는 다음과 같다.

${\displaystyle J_{i}=\sigma _{ij}E_{j}\equiv \sum _{j}\sigma _{ij}E_{j}}$

${\displaystyle {\pmatrix}J_{\text{x}\\J_{\text{y}\\\J_{\text{z}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sigma _{\text{xx}}&\sigma _{\text{xy}}&\sigma _{\text{xz}}\\\sigma _{\text{yx}}&\sigma _{\text{yy}}&\sigma _{\text{yz}}\\\sigma _{\text{zx}}&\sigma _{\text{zy}}&\sigma _{\text{zz}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}E_{\text{x}}\\E_{\text{y}\\\E_{\text{z}\end{pmatrix}}$

회전 운동 에너지 T:

${\displaystyle T={\frac {1}{1}:{2}}\오메가_{i}I_{ij}\omega _{j}\equiv {\frac {1}{1}:{2}}\sum _{ij}\omega _{i}I_{ij}\omega _{j}\...}$

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}{1}:{\begin{pmatrix}\omega _{\text{x}}\opene_{\text{y}}\omega _{\text{z}\end{pmatrix}}}}}}{\begin{pmatrix}}}}}}.I_{\text{x}}&I_{\text{xy}}&I_{\text{xz}\\I_{\text{yx}}&I_{\text{y}}&I_{\text{yz}\\I_{\text{zx}}&I_{\text{zy}}&I_{\text{z}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{\text{x}\\omega _{\text{y}\\\omega _{\text{z}\end{pmatrix}}}\,\,\,\,\,\,\,\,},>,>,>}$

보다 전문화된 예는 구성 방정식을 참조하십시오.

n차원의 벡터 및 텐서

실제 숫자에 대한 n차원 유클리드 공간, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$n$\}\}$에서 표준기준은 e₁, e, e₂₃, ...e로_n 표시되며, 각 기준 벡터 e는_i 양 x축을_i 따라 정사각형으로 표시된다.e의_i 성분 j는 Kronecker 델타에 의해 제공된다.

${\displaystyle(\mathbf {e}_{i}_{j}=\cHB_{ij}})$

${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 벡터 형식$$:

${\displaystyle \mathbf {a} =a_{i}\mathbf {e} _{i}\equiv \sum \{i}a_{i}\mathbf {e} _{i}\,}$

위의 순서 2 텐서에서도 ${\displaystyle {}^{}}$로 R $n{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$$^{n}}$의 각 벡터 a 및 b에 대해 :

${\displaystyle \mathbf {T} =a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{ij}a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}_}}$

또는 더 일반적으로:

${\displaystyle \mathbf {T} =T_{ij}\mathbf {e} _{ij}\equiv \sum \ij}T_{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\,}$

데카르트 벡터의 변환(모든 치수)

좌표 변환에서 "invariance"의 의미

${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 위치 벡터 x는 벡터의 단순하고 일반적인 예로서$$ 어떤 좌표계에서도 나타낼 수 있다.직사각형 좌표계의 경우 정사각형 베이스만 고려하십시오.기본 벡터가 모두 상호 수직이고 정규화되지 않은 경우, 이 경우 기본이 직교이지만 직교하지 않은 경우 직사각형 형상이 있는 좌표계를 가질 수 있다.그러나 정형근은 조작하기가 더 쉬우며 실제 사용되기도 한다.다음 결과는 직교 베이스가 아닌 직교 베이스에 적용된다.

하나의 직사각형 좌표계에서 x는 좌표 x와ⁱ 기본 벡터 e를_i 가지고 있는 반면, x는 좌표 x와_i 기본 벡터 e를ⁱ 가지고 있고, 우리는 다음을 가지고 있다.

${\displaystyle \mathbf {x} =x^{i}\mathbf {e} _{i}\\mathbf {x} =x_{i}\mathbf {e} ^{i}}}}}$

또 다른 직사각형 좌표계에서 x는 좌표 x와ⁱ 기준 e를_i 갖는 반면, x는 코브레이터로서 좌표 x와_i 기준 e를ⁱ 가지며, 우리는 다음과 같이 한다.

${\displaystyle \mathbf {x} ={\bar {x}^{i}{{i}}\mathbf {e}}}}{\bar {x}}{\bar {x}{bar {\mathbf{e}}}}}}}{\bar {\mathbf {}}}}^{i}}}}}}:{i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

각각의 새로운 좌표는 모든 구 좌표들의 함수이며, 역함수의 경우 그 반대도 다음과 같다.

${\displaystyle {\bar {x}}{}^{i}={\bar {x}}{}^{i}\left(x^{1},x^{2},\cdots \right)\quad \rightleftharpoons \quad x{}^{i}=x{}^{i}\left({\bar {x}}^{1},{\bar {x}}^{2},\cdots \right)}$

${\displaystyle {\bar {x}}{}_{i}={\bar {x}}{}_{i}\left(x_{1},x_{2},\cdots \right)\quad \rightleftharpoons \quad x{}_{i}=x{}_{i}\left({\bar {x}}_{1},{\bar {x}}_{2},\cdots \right)}$

그리고 유사하게 각각의 새로운 기본 벡터는 모든 오래된 기본 벡터의 함수로서, 역 함수의 경우 그 반대도 다음과 같다.

${\displaystyle {\bar {\mathbf {e} }}{}_{j}={\bar {\mathbf {e} }}{}_{j}\left(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\cdots \right)\quad \rightleftharpoons \quad \mathbf {e} {}_{j}=\mathbf {e} {}_{j}\left({\bar {\mathbf {e} }}_{1},{\bar {\mathbf {e} }}_{2}\cdots \right)}$

${\displaystyle {\bar {\mathbf {e} }}{}^{j}={\bar {\mathbf {e} }}{}^{j}\left(\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2}\cdots \right)\quad \rightleftharpoons \quad \mathbf {e} {}^{j}=\mathbf {e} {}^{j}\left({\bar {\mathbf {e} }}^{1},{\bar {\mathbf {e} }}^{2}\cdots \right)}$

나, j.

벡터는 어떤 기준의 변화에도 불변하므로, 좌표가 변환 행렬 L에 따라 변하면, 기본은 변환 행렬 역 L에⁻¹ 따라 변하며, 반대로 좌표가 역 L에⁻¹ 따라 변하면 기본은 행렬 L에 따라 변한다.이러한 각 변환의 차이는 지수를 통해 종래적으로 왜곡에 대한 상위첨자 및 공분산에 대한 첨자로 표시되며 좌표와 베이스는 다음 규칙에 따라 선형 변환된다.

벡터 원소	상쇄변환법	공변량 변환 법칙
좌표	${\displaystyle {\x}^{j}^{j}=x^{i}({\boldsymbol {\\mathsf{L}}}}}}{}^{}}{j}=x^{}{\mathsf{L}_{}}^{j}}}}}}}}}}}}}$	${\displaystyle {\x}_{j}=x_{k}({\boldsymbol {\\mathsf{L}^{1}^{j}{}^{k})}$
기본	${\displaystyle {\bar {e}}}}}_{j}=({\boldsymbol {\mathsf {L}^-1})_{j}{}^{k}\mathbf {e} _{k}}}}}$	${\displaystyle {\bar {\mathbf {e}}}^{j}=({\boldsymbol {\\mathsf{L}}}}}}{}^{{i}={\mathsf{L}_{}}}}^{j}\mathbf {e}}}^{{i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}^{i}}}}}}}}}}}}}$
임의 벡터	${\displaystyle {\bar {x}}^{j}{\bar {\mathbf {e} }}_{j}=x^{i}{\mathsf {L}}_{i}{}^{j}({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{j}{}^{k}\mathbf {e} _{k}=x^{i}\delta _{i}{}^{k}\mathbf {e} _{k}=x^{i}\mathbf {e} _{i}}$	${\displaystyle {\bar {x}}_{j}{\bar {\mathbf {e} }}^{j}=x_{i}({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{j}{}^{i}{\mathsf {L}}_{k}{}^{j}\mathbf {e} ^{k}=x_{i}\delta ^{i}{}_{k}\mathbf {e} ^{k}=x_{i}\mathbf {e} ^{i}}$

여기서 L은_i^j 변환 행렬의 항목(행 번호는 i이고 열 번호는 j)을 나타내고, (L⁻¹)_i^k은 행렬 L의_i^k 역행렬 항목을 나타낸다.

L이 직교 변환(직교 행렬)인 경우 L에 의해 변환되는 객체는 데카르트 텐서로 정의된다.이 기하학적으로 직사각형 좌표계가 다른 직사각형 좌표계에 매핑된다는 해석을 가지고 있는데, 벡터 x의 규범이 보존(및 거리는 보존)된다.

L의 결정인자는 det(L) = ±1이며, 이는 회전 시 (+1)와 부적절한 회전(반사 포함)의 두 가지 직교 변환 유형에 해당한다.

상당한 대수적 단순화가 있으며, 전치 행렬은 직교 변환의 정의에서 역행하는 것이다.

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\Rightarrow ({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{i}{}^{j}=({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{\mathrm {T} })_{i}{}^{j}=({\boldsymbol {\mathsf {L}}})^{j}{}_{i}={\mathsf {L}}^{j}{}_{i}}$

앞의 표에서, 탐촉자와 반대방향의 직교 변환은 동일하다.지수 상승과 하강 사이에 차이가 있을 필요는 없으며, 이러한 맥락에서 지수를 물리학과 공학에 적용하기 위해 지수를 모두 첨자로 하여 지수의 혼동을 제거한다.이 글의 나머지 부분에서는 모든 지수가 내려갈 것이다.어떤 수량이 탐촉자인지 역추적자인지, 관련 변환규칙을 고려해 실제 상승·하강지수를 판단할 수 있다.

위치 벡터뿐만 아니라 어떤 벡터 a에도 정확히 동일한 변환 규칙이 적용된다.만약 그것의 구성요소_i a가 규칙에 따라 변형되지 않는다면, a는 벡터가 아니다.

위의 표현들이 유사함에도 불구하고, x^j = Lx와_i^ji 같은 좌표의 변화, 그리고_i b = Ta와_ijj 같은 벡터에 대한 텐서의 작용에 대해서, L은 텐서가 아니라 T는 텐서가 된다.좌표 변화에서 L은 두 개의 직사각형 좌표계와 정사각형 기준선을 함께 연결하는 데 사용되는 행렬이다.벡터와 벡터와 관련된 텐서의 경우 방정식 전체에서 벡터와 텐서는 모두 동일한 좌표계 및 기초에 속한다.

파생상품 및 자코바 행렬 요소

L의 기재는 각각 구좌표 또는 신좌표와 관련하여 신좌표 또는 구좌표 부분파생이다.

x와_k 관련하여 x를_i 구분:

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {x}}_{i}}{\partial x_{k}}}={\frac {\partial }{\partial x_{k}}}(x_{j}{\mathsf {L}}_{ji})={\mathsf {L}}_{ji}{\frac {\partial x_{j}}{\partial x_{k}}}=\delta _{kj}{\mathsf {L}}_{ji}={\mathsf {L}}_{ki}}$

그렇게

${\displaystyle {\mathsf{L}_{i}{}^{j}\equiv {\mathsf{L}}}={\frac {\partial {\x}}{j}}{\partial x_{i}}}}}}}}}$

제이콥 매트릭스의 한 요소야L과 부분파생상품에 부착된 지수 위치 사이에 (부분적으로 연상되는) 일치성이 있다. 각 경우 상단의 i와 하단의 j가 있지만, 데카르트 텐서의 경우 지수를 낮출 수 있다.

반대로 x에_i 대해 x를_j 구분:

${\displaystyle {\frac {\partial x_{j}}{\partial {\bar {x}}_{k}}}={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}_{k}}}({\bar {x}}_{i}({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{ij})={\frac {\partial {\bar {x}}_{i}}{\partial {\bar {x}}_{k}}}({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{ij}=\delta _{ki}({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{ij}=({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{kj}}$

그렇게

${\displaystyle({\boldsymbol {\mathsf{-1}}^{1}{{i}}}{{}}}}{\boldsmbol {\\mathsf{L}^-1}}}}}}}={\frac {\partial x_}{x_{i}}}}}:{i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

역 Jacobian 행렬의 요소로서, 유사한 지수 대응성을 가지고 있다.

많은 출처가 부분파생상품의 관점에서 변형을 설명한다.

3d의 명시적 행렬 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\bar {x}}}={\boldsymbol {\mathsf {L}\mathbf {x}}}$

${\displaystyle{\begin{pmatrix}{\bar{)}}_{1}\\{\bar{)}}_{2}\\{\bar{)}}_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac{\partial{\bar{)}}_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac{\partial{\bar{)}}_{1}}{\partial x_{2}}}&{\frac{\partial{\bar{)}}_{1}}{\partial x_{3}}}\\{\frac{\partial{\bar{)}}_{2}}{\partial x_{1}}}&{\frac{\partial{\bar{)}}_{.2}}{\partialx_{2}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{2}}{\partial x_{3}}}\\{\frac {\partial {\bar {x}}_{3}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{3}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{3}}{\partial x_{3}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}}$

유사하게

${\displaystyle \mathbf {x} ={\boldsmbol {\mathsf {L}^{1}{\bar {\mathbf {x}}}}}={\boldsmbol {\mathsf {L}^{}}^{\mathrmathbf {x}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

좌표 축을 따른 투영

모든 선형 변환과 마찬가지로 L은 선택한 기준에 따라 달라진다.두 개의 직교 기준

${\displaystyle {\bar {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\bar {\mathbf {e} }}_{j}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}\,,\quad \left \mathbf {e} _{i}\right =\left {\bar {\mathbf {e} }}_{i}\right =1\,,}$

• projecting x to the x axes: ${\displaystyle {\bar {x}}_{i}={\bar {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \mathbf {x} ={\bar {\mathbf {e} }}_{i}\cdot x_{j}\mathbf {e} _{j}=x_{i}{\mathsf {L}}_{ij}\,,}$
• projecting x to the x axes: ${\displaystyle x_{i}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {x} =\mathbf {e} _{i}\cdot {\bar {x}}_{j}{\bar {\mathbf {e} }}_{j}={\bar {x}}_{j}({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{ji}\,.}$

따라서 구성 요소는 x_i 축과 x 축_j 사이의 방향 코사인까지 감소한다.

${\displaystyle {\mathsf{L}_{ij}={\bar {\mathbf{e}}}}\cdot \mathbf {e} _{j}=\cos \theta _{ij}}}}}$

${\displaystyle({\boldsmbol {\mathsf{L}}^{-1}_{ij}=\mathbf {e}_{i}\i}\cdot {\\\bar {}{j}}}=\cos \teta _{ji}}}}}}}$

여기서 θ과_ij θ은_ji x축과_i x축_j 사이의 각이다.일반적으로 θ은_ij θ과_ji 같지 않다. 예를 들어 θ과₁₂ θ은₂₁ 서로 다른 두 각이기 때문이다.

좌표 변환은 다음과 같이 기록할 수 있다.

3d의 명시적 행렬 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\bar {x}}}={\boldsymbol {\mathsf {L}\mathbf {x}}}$

${\displaystyle{\begin{pmatrix}{\bar{)}}_{1}\\{\bar{)}}_{2}\\{\bar{)}}_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\bar{\mathbf{e}}}_{1}\cdot\mathbf{e}_{1}&,{\bar{\mathbf{e}}}_{1}\cdot\mathbf{e}_{2}&,{\bar{\mathbf{e}}}_{1}\cdot\mathbf{e}_{3}\\{\bar{\mathbf{e}}}_{2}\cdot\mathbf{e}_{1}&,{\bar{\mathbf{e}}}_{2}\cdot \mathb.f{e}_{2}&,{\bar{\mathbf{e}}}_{2}\cdot\mathbf{e}_{3}\\{\bar{\mathbf{e}}}_{3}\cdot\mathbf{e}_{1}&,{\bar{\mathbf{e}}}_{3}\cdot\mathbf{e}_{2}&,{\bar{\mathbf{e}}}_{3}\cdot\mathbf{e}_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos\theta _{11}&,\cos \theta _{12}&, \cos\theta _{13}\\\cos \th.에타 _{21}&, \cos)_{22}&\cos \theta _{23}\\cos \theta _{31}&\cos \cos \cos \{32}&\cos \cos \theta _{33}\end{pmatrix}x_{1}\2}\x_{3}\end{pmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

유사하게

${\displaystyle \mathbf {x} ={\boldsmbol {\mathsf {L}^{1}{\bar {\mathbf {x}}}}}={\boldsmbol {\mathsf {L}^{}}^{\mathrmathbf {x}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

기하학적 해석은 x_j 성분들을 x축에_j 투영하는 합과 동일한 x 성분들이다_i.

행렬로 배열된 숫자 e_i⋅e는_j 도트 제품의 대칭으로 인해 대칭 행렬(자체 전치 행렬과 동일한 행렬)을 형성할 수 있는데, 실제로는 미터법 텐서 g이다.대조적으로 e_i⋅e_j 또는 e_i⋅e는_j 위에 표시된 것처럼 일반적으로 대칭 행렬을 형성하지 않는다.따라서 L 행렬은 여전히 직교하는 반면 대칭은 아니다.

어떤 축에 대한 x와_i x가_i 일치하는 어떤 축을 중심으로 회전하는 것을 제외하고, 각도는 오일러 각도와 같지 않기 때문에 L 행렬은 회전 행렬과 같지 않다.

점 및 교차 제품의 변환(3차원만 해당)

도트 제품과 교차 제품은 매우 자주 발생하며, 벡터 분석을 물리학과 공학에 적용할 때 예는 다음과 같다.

• 직선 경로를 따라 속도 v로 F의 힘을 발휘하는 물체에 의해 전달된 P:
  $${\displaystyle P=\mathbf {v} \cdot \mathbf {F} }$$

  
• 회전하는 강체 차체의 x 지점에서 각 속도 Ω의 접선 속도v:
  $${\displaystyle \mathbf {v} ={\mathsymbol {\omega}}\mathbf {x}}$$

  
• 균일한 외부 자기장 내 자기 모멘트 쌍극자의 잠재적 에너지B:
  $${\displaystyle U=-\mathbf {m} \cdot \mathbf {B} }$$

  
• 위치 벡터 및 모멘텀펌프가 있는 입자에 대한 각도 모멘텀J:
  $${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$$

  
• 균일한 외부 전기장에서 전기 쌍극자 모멘트의 전기 쌍극자에 작용하는 토크값 E:
  $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {p} \time \mathbf {E}}$$

  
• 단위 정규 분포를 갖는 표면에서 자기화M 자성 재료의 유도 표면 전류 밀도j_S:
  $${\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {S} }=\mathbf {M} \times \mathbf {n} }}$$

  

직교 변환 시 이러한 제품이 어떻게 변하는지 아래에 설명되어 있다.

도트 제품, Kronecker 델타 및 미터법 텐서

기본 벡터의 가능한 각 쌍의 도트 제품 ⋅은 기초가 정형화된 것에서 따온 것이다.수직 쌍의 경우

${\displaystyle{\begin{배열}{cccc}\mathbf{e}_{\text{)}}\cdot\mathbf{e}_{\text{y}}&=\mathbf{e}_{\text{y}}\cdot\mathbf{e}_{\text{z}}&=\mathbf{e}_{\text{z}}\cdot\mathbf{e}_{\text{)}}\\\mathbf{e}_{\text{y}}\cdot\mathbf{e}_{\text{)}}&=\mathbf{e}_{\text{z}}\cdot\mathbf{e}_{\text{y}}&=\mathbf{e}_{\text{)}}\cdot. \mathbf{e}_{\text{z}&=0\end{array}}$

우리는 평행한 쌍을 가지고 있다.

${\displaystyle \mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}=\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}=\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}=1.}$

상기와 같이 색인 표기법으로 데카르트 라벨을 대체하면, 이 결과는 다음과 같이 요약할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\mathbf _{ij}}}$

여기서 Δ는_ij 크로네커 삼각주의 성분이다.데카르트 기초는 이러한 방법으로 Δ를 나타내기 위해 사용될 수 있다.

또한 어떤 기준으로든 각 미터법 텐서 성분_ij g는 기본 벡터 쌍의 점 산물이다.

${\displaystyle g_{ij}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}.}$

데카르트 기준으로 행렬로 배열된 구성 요소는 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf{g}={\begin{pmatrix}g_{\text{xx}}&g_{\text{xy}}&g_{\text{xz}}\\g_{\text{yx}}&g_{\text{yy}}&g_{\text{yz}}\\g_{\text{zx}}&g_{\text{zy}}&g_{\text{zz}}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf{e}_{\text{)}}\cdot\mathbf{e}_{\text{)}}&\mathbf{e}_{\text{)}}\cdot\mathbf{e}_{\text{y}}&\mathbf. {e}_{\text{)}}\cdot\mathbf{e}_{\text{z}}}\cdot\mathbf{e}_{\text{)}}&\mathbf{e}_{\text{y}}\cdot\mathbf{e}_{\text{y}}&\mathbf{e}_{\text{y}}\cdot\mathbf{e}_{\text{z}}{e}_{\text{z}\\\mathbf};\mathbf{e}_{\text{z}}\cdot\mathbf{e}_{\text{y}}&\mathbf{e}_{\text{z}}\cdot\mathbf{e}_{\text{z}}\\\{e}_{\text{y}\cdot\mathbf{e}_{\text{)}}및 \\\mathbf.end{pmatrix}}){\cHB{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}$

따라서 미터법 텐서 즉 Δ에 대해 가능한 가장 간단한 것이 있다.

${\displaystyle g_{ij}=\cHB_{ij}}$

일반 베이스의 경우 그렇지 않다. 직교 좌표는 다양한 스케일 인자를 포함하는 대각선 지표를 가지고 있으며(즉, 반드시 1은 아니다) 일반 곡선 좌표도 비대각 구성 요소에 대해 0이 아닌 입력을 가질 수 있다.

두 벡터 a와 b의 도트 제품은 다음과 같이 변환한다.

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\bar {a}}_{j}{\bar {b}}_{j}=a_{i}{\mathsf {L}}_{ij}b_{k}({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{jk}=a_{i}\delta _{i}{}_{k}b_{k}=a_{i}b_{i}}$

두 벡터의 도트 곱은 어떤 좌표와는 무관한 단일 스칼라이기 때문에 직관적이다.이것은 직사각형뿐만 아니라 어떤 좌표계에도 더 일반적으로 적용된다. 한 좌표계의 점 산물은 다른 좌표계에서도 동일하다.

교차 및 제품, Levi-Civita 기호 및 유사 벡터

두 벡터의 교차 제품 ×의 경우 결과는 (대부분) 반대로 나타난다.다시, 오른손잡이 3d 데카르트 좌표계를 가정하면 수직 방향의 주기적 순열은 벡터의 주기적 집합에서 다음 벡터를 산출한다.

${\displaystyle \mathbf {e} _{\text{x}}\times \mathbf {e} _{\text{y}}=\mathbf {e} _{\text{z}}\,\quad \mathbf {e} _{\text{y}}\times \mathbf {e} _{\text{z}}=\mathbf {e} _{\text{x}}\,\quad \mathbf {e} _{\text{z}}\times \mathbf {e} _{\text{x}}=\mathbf {e} _{\text{y}}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{\text{y}}\times \mathbf {e} _{\text{x}}=-\mathbf {e} _{\text{z}}\,\quad \mathbf {e} _{\text{z}}\times \mathbf {e} _{\text{y}}=-\mathbf {e} _{\text{x}}\,\quad \mathbf {e} _{\text{x}}\times \mathbf {e} _{\text{z}}=-\mathbf {e} _{\text{y}}}$

병렬 벡터가 분명히 사라지는 동안:

${\displaystyle \mathbf {e} _{\text{x}}\times \mathbf {e} _{\text{x}}=\mathbf {e} _{\text{y}}\times \mathbf {e} _{\text{y}}=\mathbf {e} _{\text{z}}\times \mathbf {e} _{\text{z}}={\boldsymbol {0}}}$

위와 같은 색인 표기법으로 데카르트 라벨을 대체하는 것은 다음과 같이 요약할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{j}={\begin{cases}+\mathbf {e} _{k}&{\text{cyclic permutations: }}(i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\\[2pt]-\mathbf {e} _{k}&{\text{anticyclic permutations: }}(i,j,k)=(2,1,3),(3,2,1),(1,3,2)\\[2pt]{\boldsymbol {0}}&i=j\end{cases}}}$

여기서 i, j, k는 값 1, 2, 3을 취하는 지수다.그 다음은 다음과 같다.

${\displaystyle {\mathbf {e} _{k}\cdot \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{j}}={\begin{cases}+1&{\text{cyclic permutations: }}(i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\\[2pt]-1&{\text{anticyclic permutations: }}(i,j,k)=(2,1,3),(3,2,1),(1,3,2)\\[2pt]0&i=j{\text{ or }}j=k{\text{ or }}k=i\end{cases}}}$

이러한 순열 관계와 그에 상응하는 가치가 중요하며, 이 재산과 일치하는 사물이 있다: ε이 가리키는 Levi-Civita 기호.Levi-Civita 기호 항목은 Cartesian 기준으로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{k}}}}}$

이는 직교 기준 벡터에 의해 확장되는 큐브의 볼륨에 기하학적으로 대응하며 방향을 나타내는 부호가 있다("양 또는 음의 볼륨"이 아님).여기서 방향은 오른손잡이 시스템의 경우 ε₁₂₃ = +1로 고정된다.왼손잡이 시스템은 ε₁₂₃ = -1 또는 동등하게 ε₃₂₁ = +1을 수정한다.

스칼라 트리플 제품은 이제 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {c} \cdot \mathbf {a} \times \mathbf {b} =c_{i}\mathbf {e} _{i}\cdot a_{j}\mathbf {e} _{j}\times b_{k}\mathbf {e} _{k}=\varepsilon _{ijk}c_{i}a_{j}b_{k}}$

부피(a, b, c로 확장된 평행한 부피)의 기하학적 해석과 대수학적으로 결정요인을 가진다.^[3]

${\displaystyle \mathbf {c} \cdot \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}c_{\text{x}}&a_{\text{x}}&b_{\text{x}}\\c_{\text{y}}&a_{\text{y}}&b_{\text{y}}\\c_{\text{z}}&a_{\text{z}}&b_{\text{z}}\end{vmatrix}}}$

이를 통해 다음과 같이 두 벡터의 교차 제품을 다시 작성할 수 있다.

${\displaystyle{\begin{배열}{ 주어}&,(\mathbf{}\times \mathbf{b})_{나는}={\mathbf{e}_{나는}\cdot \mathbf{를}\times({b}}=\varepsilon _{\ell jk}{(\mathbf{e}_{나는})}_{\ell}a_{j}b_{k}=\varepsilon _{\ell jk}\delta _{i\ell}a_{j}b_{k}=\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}\\\Rightarrow&{\mathbf{}\times({b}}=(\mathbf{를}\times \mathbf.{b})_{i}\mathbf {e} _{i}=\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}\mathbf {e} _{i}\end{array}}}}}}}}$

외관과는 달리, Levi-Civita 기호는 텐서(tensor)가 아니라 가성( pseud性)으로 되어 있으며, 성분은 다음과 같이 변한다.

${\displaystyle {\bar {\barpsilon }_{pqr}=\det({\boldsymbol {\mathsf{L}}}}\varepsilon _{ijk}{\mathsf{L}}}{jq}}}}\mathsf {L_{{{L}, {l},{kr}},{kr},},},},},},},}.}$

따라서 a와 b의 교차 생산물의 변환은 다음과 같다.

${\displaystyle{\begin{정렬}({\bar{\mathbf{}}}\times{\bar{\mathbf{b}}})_{나는}&, ={\bar{\varepsilon}}_{ijk}{\bar{}}_{j}{\bar{b}}_{k}\\&, =\det({\boldsymbol{\mathsf{L}}})\^;\varepsilon _{pqr}{L\mathsf{}}_{파이}{L\mathsf{}}_{qj}{L\mathsf{}}_{rk}\.\;a_{m}{L\mathsf{}}_{mj}\.\;b_{n}{L\mathsf{}}_{nk}\\&, =\det({\boldsymbol{\math.sf{L}}})\;);\varepsilon _{pqr}\.\;{L\mathsf{}}_{파이}\.\;{L\mathsf{}}_ᆯ({\boldsymbol{\mathsf{L}}}^{-1})_{jm}\.\;{L\mathsf{}}_ᆲ({\boldsymbol{\mathsf{L}}}^{-1})_{kn}\.\;a_{m}\.\;b_{n}\\&, =\det({\boldsymbol{\mathsf{L}}})\^;\varepsilon _{pqr}\.\;{L\mathsf{}}_{파이}\, \,\delta _{qm}\, \,\delta _{rn}\.\;a_{m}\.\;b_{n}\\&, =\det({\boldsymbol{\mathsf.{L}}}));\;{\mathsf {L}}_{pi}\;\;\varepsilon _{pqr}a_{q}b_{r}\\&=\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}})\;\;(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )_{p}{\mathsf {L}}_{pi}\end{aligned}}}$

그래서 결정인자 때문에 × b는 가성체로서 변한다.

텐서 지수 표기법은 다차원 배열을 형성하는 실체가 있는 모든 개체에 적용된다. 기본적으로 인덱스를 포함한 모든 것이 텐서인 것은 아니다.대신 텐서는 좌표계 간의 변환에 따라 좌표와 기본 요소가 어떻게 변하느냐에 따라 정의된다.

두 벡터의 교차 생산물은 유사 벡터인 반면, 벡터를 가진 유사 벡터의 교차 생산물은 또 다른 벡터라는 점에 유의한다.

Δ 텐서 및 Δ 가성센서 적용

다른 정체성은 Δ 텐서(tensor)와 ∆ pseudotensor에서 형성될 수 있으며, 주목할 만하고 매우 유용한 정체성은 두 지수에 대해 인접하게 수축된 두 개의 Levi-Civita 기호를 Kronecker deltas의 비대칭 조합으로 변환하는 것이다.

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{pqk}=\cHB_{ip}\cHB_{jq}-\cHB_{iq}\cHB_{iq}\cHB}}}$

점과 교차 생산물의 지수 형태는 이러한 정체성과 함께 벡터 미적분학과 대수에서 다른 정체성의 조작과 유도를 크게 촉진하며, 이는 물리학과 공학에서 광범위하게 사용된다.예를 들어, 점 및 교차 제품이 벡터 추가에 비해 분배적이라는 것은 명백하다.

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=a_{i}(b_{i}+c_{i})=a_{i}b_{i}+a_{i}c_{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} }$

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {e} _{i}\varepsilon _{ijk}a_{j}(b_{k}+c_{k})=\mathbf {e} _{i}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}+\mathbf {e} _{i}\varepsilon _{ijk}a_{j}c_{k}=\mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times \mathbf {c} }$

기하학적 구조에 의존하지 않고 - 각각의 경우에서 파생은 대수학의 빠른 선이다.시술이 덜 분명하지만 벡터 트리플 제품도 파생할 수 있다.색인 표기법으로 다시 쓰는 중:

${\displaystyle \left[\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right]_{i}=\varepsilon _{ijk}a_{j}(\varepsilon _{k\ell m}b_{\ell }c_{m})=(\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{k\ell m})a_{j}b_{\ell }c_{m}}$

그리고 ε 기호에 있는 지수의 주기적 순열은 그 값을 바꾸지 않기 때문에 ε을_ℓmk 얻기 위해 ε에_kℓm 있는 주기적 순열 지수를 δ을 얻기 위해 δ에 있는 주기적 순열은 위의 Δ-ε ID를 사용하여 use 기호를 Δ 텐서로 변환할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right]_{i}&=(\delta _{i\ell }\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{j\ell })a_{j}b_{\ell }c_{m}\\&=\delta _{i\ell }\delta _{jm}a_{j}b_{\ell }c_{m}-\delta _{im}\delta _{j\ell }a_{j}b_{\ell }c_{m}\\&=a_{j}b_{i}c_{j}-a_{j}b_{j}c_{i}\\\end{aligned}}}$

따라서:

${\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf {c}=(\mathbf {c})\cdot \mathbf {b} -(\mathbf {a}\cdot \mathbf {bf {b})\mathbf {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}"mathb {c}$

왼쪽에서 예상한 바와 같이, 이것은 b와 c에서 대칭이다.마찬가지로, 인덱스 표기법을 통해 또는 이전 결과에서 a, b, c를 반복적으로 다시 표시하고 음을 취한다.

${\displaystyle(\mathbf {a} \mathbf {b} )\mathbf {c} =(\mathbf {c}\cdot \mathbf {a})\mathbf {b} -(\mathbf {c} \cdot \mathbf {bf {b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {a}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그리고 결과의 차이는 교차 제품이 연관성이 없다는 것을 보여준다.4중 제품처럼 더욱 복잡한 ID;

${\displaystyle(\mathbf {a} \mathbf {b} )\cdot(\mathbf {c} \mathbf {d} \mathbf {a} \mathbf {b} )\mathbf \dots}$

이와 유사한 방법으로 도출할 수 있다.

데카르트 텐서 변환(모든 치수)

텐서는 좌표의 선형 변환 하에서 특정한 방식으로 변형되는 수량으로 정의된다.

두 번째 순서

a = ae와_ii b = 두 벡터가 되도록_ii 하여 a_j = aL_iij, b = bL에_jiij 따라 변환한다.

텐서 제품을 사용하면 다음과 같은 이점을 얻을 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {a}\mathbf {b} =a_{i}\mathbf {e} _{i}\otimes b_{j}\mathbf {e} _{j} _{j}} _{i}\otimes \mathbf {e}_{j}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그런 다음 구성 요소에 변환 적용

${\displaystyle {\bar {a}}_{p}{\bar {b}}_{q}=a_{i}{\mathsf {L}}_{i}{}_{p}b_{j}{\mathsf {L}}_{j}{}_{q}={\mathsf {L}}_{i}{}_{p}{\mathsf {L}}_{j}{}_{q}a_{i}b_{j}}$

그리고 완전히

${\displaystyle {\bar {\mathbf {e} }}_{p}\otimes {\bar {\mathbf {e} }}_{q}=({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{pi}\mathbf {e} _{i}\otimes ({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{qj}\mathbf {e} _{j}=({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{pi}({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{qj}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}={\mathsf {L}}_{ip}{\mathsf {L}}_{jq}\matsbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}}$

주문-2 텐서 변환 법칙을 부여한다.텐서 a⊗b는 이 변환에서 불변한다.

${\displaystyle{\begin{배열}{개}{\bar{}}_{p}{\bar{b}}_{q}{\bar{\mathbf{e}}};={L\mathsf{}}_{kp}{L\mathsf{}}{e}_{나는}\otimes \mathbf{e}_{j}\\& _ᆷa_ᆸb_ᆹ\,({\boldsymbol{\mathsf{L}}}^{-1})_ᆺ({\boldsymbol{\mathsf{L}}}^{-1})_{qj}\mathbf, ={L\mathsf{}}_{kp}({\boldsymbol{\mathsf{L.{\bar{\mathbf{e}}}_{q}& _{p}\otimes}}}^{)})_{pi}{\mathsf {L}}_{\ell q}({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{qj}\,a_{k}b_{\ell }\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\\&=\delta _{k}{}_{i}\delta _{\ell j}\,a_{k}b_{\ell }\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\\&=a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\end{array}}}$

일반적으로 모든 주문-2 텐서

${\displaystyle \mathbf {R} =R_{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\}}$

구성 요소는 다음에 따라 변한다.

${\displaystyle {\stackrel{"}{R}p}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$= ${\displaystyle {Li}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}{}_{}}$ l ${\displaystyle {ji}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{qi}}_{}}$ j ${\$ ,

기본은 다음과 같이 변화한다.

${\displaystyle {\bar {\mathbf {e} }}_{p}\otimes {\bar {\mathbf {e} }}_{q}=({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{ip}\mathbf {e} _{i}\otimes ({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{jq}\mathbf {e} _{j}}$

만약 R이 이 규칙에 따라 변형되지 않는다면(R의 양에 관계 없이) 그것은 주문 2 텐서가 아니다.

임의의 주문

일반적으로 모든 주문에 대해 p 텐서

${\displaystyle \mathbf{T} =T_{j_{1}j_{2}\cdots j_{p}\cdots j_{1}{1}\}\otimes \mathbf {e}_{j_2}}\cdots \mathbf {e}{j_{p}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

구성 요소는 다음에 따라 변한다.

${\displaystyle {\bar{T}_{1}_{1}j_{1}j_{p}}={\mathsf{L}_{1}j_{1}{1}:{\mathsf{L}}}}}{{2}j_}}}}}{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{p}}}$

기본은 다음과 같이 변화한다.

${\displaystyle {\bar {\mathbf {e} }}_{j_{1}}\otimes {\bar {\mathbf {e} }}_{j_{2}}\cdots \otimes {\bar {\mathbf {e} }}_{j_{p}}=({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{j_{1}i_{1}}\mathbf {e} _{i_{1}}\otimes ({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{j_{2}i_{2}}\mathbf {e} _{i_{2}}\cdots \otimes ({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{j_{p}i_{p}}\mathbf {e} _{i_{p}}}$

오더 p의 유사 분석기 S의 경우 구성요소는 다음과 같이 변한다.

${\displaystyle {\bar {S}}_{j_{1}j_{2}\cdots j_{p}}=\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}}){\mathsf {L}}_{i_{1}j_{1}}{\mathsf {L}}_{i_{2}j_{2}}\cdots {\mathsf {L}}_{i_{p}j_{p}}S_{i_{1}i_{2}\cdots i_{p}}\,.}$

비대칭 2차 순서 텐서로서의 유사벡터

교차 제품의 대칭성은 다음과 같이 시제 형태로 재시현할 수 있다.^[4]c는 벡터가 되고, a는 유사벡터가 되고, b는 또 다른 벡터가 되고, T는 다음과 같은 2차 시제가 된다.

${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} \timees \mathbf {b} =\mathbf {T} \cdot \mathbf {b} }}$

교차 제품은 a와 b에서 선형이기 때문에 T의 성분은 검사로 확인할 수 있으며, 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf{T} ={\begin{pmatrix}0&-a_{\text{z}}\{\text{x}}}\\cext{0&a}}\\text{x}-a}\cext{x&a}\x}\end{pmatrix}}}}}}}}}}.$

그래서 비대칭 텐서로서 가성자 a를 쓸 수 있다.이것은 가성방어가 아닌 텐서로서 변모한다.위의 기계적 예에서 강체 차체의 접선 속도에 대해, v = Ω × x로 주어진 경우, 이는 v = Ω x x로 다시 쓰여질 수 있으며, 여기서 Ω은 pseudector Ω에 해당하는 텐서이다.

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}={\begin{pmatrix}0&-\omega _{\text{z}}&\omega _{\text{y}}\\\omega _{\text{z}}&0&-\omega _{\text{x}}\\-\omega _{\text{y}}&\omega _{\text{x}}&0\\\end{pmatrix}}}$

예를 들어 전자기학에서 전기장 E가 벡터장인 반면 자기장 B는 유사벡터장이다.이러한 장은 속도 v로 이동하는 전기 전하 q 입자에 대한 로렌츠 힘에서 정의된다.

${\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \time \mathbf {B})=q(\mathbf {E} -\mathbf {B} \time \mathbf {v}}}}}$

그리고 유사벡터 B와 속도벡터 v의 교차 산출물을 포함하는 두 번째 용어를 고려할 때, 그것은 행렬 형태로 쓰여질 수 있으며, F, E, v를 열 벡터로, 그리고 B를 대칭행렬로 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\pmatrix}F_{\text{x}\\F_{\text{y}\\F_{\text{z}\\end{pmatrix}=q{\begin{pmatrix}E_{\text{x}}\\E_{\text{y}\\\E_{\text{z}}\\\end{pmatrix}}-q{\begin{pmatrix}0&-B_{\text{z}}&B_{\text{y}}\\B_{\text{z}}&0&-B_{\text{x}}\\-B_{\text{y}}&B_{\text{x}}&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{\text{x}}\\v_{\text{y}}\\v_{\text{z}}\\\end{pmatrix}}}$

두 벡터의 교차 제품(다른 벡터와 함께 교차 제품을 입력하는 것과는 대조적으로)에 의해 유사 벡터가 명시적으로 주어진다면, 그러한 유사 벡터는 또한 각 항목이 교차 제품의 구성요소와 함께 2차 순서의 비대칭 텐서로서 기록될 수 있다.축을 중심으로 선회하는 고전적인 점 모양의 입자의 각도 운동량은 해당 비대칭 텐서(non-symmetric tensor)를 갖는 유사분석의 또 다른 예다.

${\displaystyle \mathbf{J} ={\begin{pmatrix}0&-J_{\text{z}}&J_{\text{y}\\\\\J_{\text{z}}&0&-J_{\text{x}}\\-J_{\text{y}}&J_{\text{x}}&0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-(xp_{\text{y}}-yp_{\text{x}})&(zp_{\text{x}}-xp_{\text{z}})\\(xp_{\text{y}}-yp_{\text{x}})&0&-(yp_{\text{z}}-zp_{\text{y}})\\-(zp_{\text{x}}-xp_{\text{z}})&(yp_{\text{z}}-zp_{\text{y}})&0\\\end{pmatrix}}}$

상대성 이론에서는 카르테시안 텐서가 발생하지 않지만, 궤도 각도 운동량 J의 텐서 형태는 상대성 각도 운동량 텐서의 공간적 부분으로 들어가고, 자기장 B의 위의 텐서 형태는 전자기 텐서의 공간적 부분으로 들어간다.

벡터 및 텐서 미적분학

다음 공식은 데카르트 좌표(일반적인 곡선 좌표에는 미터법과 그 결정인자가 있음)에서 매우 간단하다. 보다 일반적인 분석을 위해서는 곡선 좌표의 텐셔터를 참조하라.

벡터 미적분학

벡터 미적분학의 미분 연산자는 다음과 같다.전체적으로 φ(r, t)을 스칼라장이 되게 한다.

${\displaystyle \mathbf {A}(\mathbf {r},t)=A_{\text{x}}(\mathbf {r},t)\mathbf {e} _{\text{x}}+A_{\text{y}}(\mathbf {r},t)\mathbf {e} _{\text{y}}+A_{\text{z}}(\mathbf {r},t)\mathbf {e} _{\text{z}}}$

${\displaystyle \mathbf {B}(\mathbf {r},t)=B_{\text{x}}(\mathbf {r} ,t)\mathbf {e} _{\text{x}}+B_{\text{y}}(\mathbf {r} ,t)\mathbf {e} _{\text{y}}+B_{\text{z}}(\mathbf {r} ,t)\mathbf {e} _{\text{z}}}$

모든 스칼라와 벡터 필드가 위치 벡터 r과 시간 t의 함수인 벡터 필드다.

데카르트 좌표의 그라데이션 연산자는 다음과 같이 지정된다.

${\displaystyle \cla =\mathbf {e} _{\ext{x}}{\frac {\frac}{\preason x}}+\mathbf {e}{\frac {\\cHB}{\text{z}}{\frac {}{\fraps\fla}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그리고 색인 표기법에서는 일반적으로 다음과 같이 여러 가지 방법으로 축약된다.

${\displaystyle \cla _{i}\equiv \equiv _{i}\i}\equiv {\frac }{\frac }{\propert x_{i}}}}}}}}$

이 연산자는 스칼라 필드 φ에 작용하여 φ의 최대 증가율로 지시된 벡터 필드를 얻는다.

${\displaystyle \left(\nabla \Phi \right)_{i}=\nabla _{i}\파이 }$

점 및 교차 제품의 지수 표기법은 벡터 미적분학의 미분 연산자에게 전달된다.^[5]

스칼라장 φ의 방향 유도체는 a와 구배 성분으로 형성된 일부 방향 벡터 a(단위 벡터)를 따라 φ의 변화율이다.

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot(\nabla \Phi )=a_{j}(\nabla \Phi )_{j}}}$

벡터장 A의 차이는 다음과 같다.

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} =\nabla _{i}A_{i}}$

그라데이션과 벡터 필드의 구성 요소를 서로 교환하여 다른 차동 연산자를 산출한다는 점에 유의하십시오.

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \nabla =A_{i}\nabla _{i}}}$

스칼라나 벡터 필드에 작용하는 거야실제로 A가 유체의 속도장 u(r, t)로 대체되는 경우, 이는 연속체 역학의 물질적 파생상품(다른 많은 이름 포함)의 용어로서, 또 다른 용어는 부분 시간 파생상품이다.

${\displaystyle {\frac {D}{D}}={\frac {\partial t}{\partial t}+\mathbf {u}\cdot \nabla }}}$

일반적으로 Navier-Stokes 방정식의 비선형성으로 이어지는 속도장에 작용한다.

벡터 필드 A의 컬에 대해서는 ε 기호를 이용하여 유사벡터 필드로 정의할 수 있다.

${\displaystyle \left(\nabla \times \mathbf {A}\right)_{i}=\varepsilon _{ijk}\nabla _{j}A_{k}}}}}}}$

대칭이 아닌 지수를 대괄호로 구분하여 나타내는 3차원 또는 지수의 비대칭화를 통한 2차 순서의 대칭 텐서 필드에서만 유효하다(Ricci 미적분 참조).

${\displaystyle \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)_{ij}=\nabla _{i}A_{j}-\nabla _{j}A_{i}=2\nabla _{[i}A_{j]}}}}}$

어떤 차원에서도 유효하다.각 경우에 구배와 벡터장 성분의 순서는 서로 다른 미분 연산자가 될 수 있으므로 서로 바꾸어서는 안 된다.

$\displaystyle \varepsilon _{ijk}A_{j}\나블라 _{k}}$

${\displaystyle A_{i}\nabla _{j}-A_{j}\nabla _{i}=2A_{{[i}\nabla _{j]}}}$

스칼라나 벡터 필드에 작용하는 거야

마지막으로, 라플라크 연산자는 스칼라장 Ⅱ의 경사도 변화라는 두 가지 방법으로 정의된다.

$\\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \Phi )=\nabla _{nabla _{i}\Phi )}$

또는 스칼라 필드 φ 또는 벡터 필드 A에 작용하는 그라데이션 연산자의 제곱:

$\displaystyle(\displaystyle)(\displayla \cdPhi =(\nabla _{i}\nabla _{i})\Phi }$

${\displaystyle(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {A} =(\nabla _{i}\nabla _{i}\mathbf {A}}}}}$

물리학과 공학에서 구배, 발산, 컬, 라플라크 연산자는 유체역학, 뉴턴 인력학, 전자기학, 열전도학, 심지어 양자역학에서도 필연적으로 발생한다.

벡터 미적분학 정체성은 벡터 점 및 교차 제품과 조합의 그것과 유사한 방법으로 도출될 수 있다.예를 들어, 3차원에서는 두 벡터 필드 A와 B의 교차 제품의 컬이 다음과 같다.

${\displaystyle{\begin{정렬}[\nabla \times(\mathbf{A}\times \mathbf{B})\right]_{나는}&,=\varepsilon _{ijk}\nabla _ᆰ(\varepsilon_{k\ell m}A_{\ell}B_{m})\\&, =(\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{\ell mk미만})\nabla _ᆱ(A_{\ell}B_{m})\\&, =(\delta_{}i\ell \delta_{}jm -\delta_{나는}\delta_{j\ell})(B_{m}\nabla _{j}A_{\ell}+A_{\ell}\n.abla _{j}B_{m}\\&=(B_{j}\nabla _{j}A_{i}+A_{i}\nabla _{j}-(B_{i}\nabla _{j})A_{j}+A_{j}\nabla _{j}B_{i}\&=(B_{j}\nabla _{j})A_{i}+A_{i}(\nabla _{j}-{j}-B_{i}(\nabla _{j})A_{j}-(A_{j}\나블라 _{j})B_{i}\\&=\left[(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} (\nabla \cdot \mathbf {B} )-\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {A} )-(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} \right]_{i}\\\end{aligned}}}$

여기서 제품 규칙이 사용되었고, 차등 연산자 전체에서 A 또는 B와 상호 교환되지 않았다.따라서 다음과 같다.

${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} (\nabla \cdot \mathbf {B} )-\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {A} )-(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} }$

텐서 미적분학

한 사람이 더 높은 순서에 따라 작업을 계속할 수 있다.Let T = T(r, t)는 위치 벡터 r과 시간 t에 의존하는 두 번째 순서 텐서 필드를 나타낸다.

예를 들어, 두 개의 등가 표기("dynadi" 및 "tensor")에서 벡터 필드의 그라데이션은 다음과 같다.

${\displaystyle(\nabla \mathbf {A} )_{ij}\equiv(\nabla \otimes \mathbf {A})_{ij}=\nabla _{i}A_{j}}$

2차 순서의 텐서 필드야

텐서의 차이는 다음과 같다.

${\displaystyle(\nabla \cdot \mathbf {T} )_{j}=\nabla _{i}T_{ij}}$

벡터장이야이것은 카우치의 운동 법칙의 연속역학에서 발생한다 - 카우치 스트레스 텐서 σ의 분비는 벡터 장이며, 액체에 작용하는 신체 힘과 관련이 있다.

표준 텐서 미적분과의 차이

데카르트 텐서는 텐서 대수학에서와 같지만, 근거의 유클리드 구조와 제한은 일반 이론에 비해 다소 단순화를 가져온다.

일반 텐서 대수는 유형(p, q)의 일반 혼합 텐서로 구성된다.

${\displaystyle \mathbf {T} =T_{j_{1}j_{2}\cdots j_{q}}^{i_{1}i_{2}\cdots i_{p}}\mathbf {e} _{i_{1}i_{2}\cdots i_{p}}^{j_{1}j_{2}\cdots j_{q}}}$

기본 요소 포함:

${\displaystyle \mathbf {e} _{i_{1}i_{2}\cdots i_{p}}^{j_{1}j_{2}\cdots j_{q}}=\mathbf {e} _{i_{1}}\otimes \mathbf {e} _{i_{2}}\otimes \cdots \mathbf {e} _{i_{p}}\otimes \mathbf {e} ^{j_{1}}\otimes \mathbf {e} ^{j_{2}}\otimes \cdots \mathbf {e} ^{j_{q}}}$

구성 요소는 다음에 따라 변한다.

${\displaystyle {\bar {T}}_{\ell _{1}\ell _{2}\cdots \ell _{q}}^{k_{1}k_{2}\cdots k_{p}}={\mathsf {L}}_{i_{1}}{}^{k_{1}}{\mathsf {L}}_{i_{2}}{}^{k_{2}}\cdots {\mathsf {L}}_{i_{p}}{}^{k_{p}}({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{\ell _{1}}{}^{j_{1}}({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{\ell _{2}}{}^{j_{2}}\cdots ({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{\ell _{q}{}^{j_{q}}}T_{j_{1}j_{2}\cdots j_{q}^{i_{1}i_{2}\cdots i_{p}}}}$

베이스의 경우:

${\displaystyle {\bar {\mathbf {e} }}_{k_{1}k_{2}\cdots k_{p}}^{\ell _{1}\ell _{2}\cdots \ell _{q}}=({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{k_{1}}{}^{i_{1}}({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{k_{2}}{}^{i_{2}}\cdots ({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{k_{p}}{}^{i_{p}}{\mathsf {L}}_{j_{1}}{}^{\ell _{1}}{\mathsf {L}}_{j_{2}}{}^{\ell _{2}}\cdots {\mathsf {L}}}_{j_{q}}}{{}^{}\ell _{q}\mathbf {e} _{i_{1}i_{2}\cdots i_{p}^{j_{1}j_{2}\cdots j_{q}}}}}}}}}}}$

데카르트 텐서의 경우 직교 기준의 유클리드 공간에서 텐서 순서 p + q만이 중요하며 모든 p + q 지수만 낮출 수 있다.데카르트 기반은 벡터 공간에 양-확정성 메트릭스가 없는 한 존재하지 않으므로 상대론적 맥락에서 사용할 수 없다.

역사

역사적으로 디아디치 텐서는 2차 텐서, 3차 텐서용 3차 텐서 등을 형성하는 최초의 접근법이었다.데카르트 텐서는 지수를 올리고 낮추면 성분이 변하지 않기 때문에 분산이 얼버무릴 수 있고 무시되는 텐서 지수 표기법을 사용한다.

참고 항목

• 텐서 대수
• 텐서 미적분학
• 곡선 좌표의 텐서
• 회전군

참조

일반참조

• D. C. Kay (1988). Tensor Calculus. Schaum's Outlines. McGraw Hill. pp. 18–19, 31–32. ISBN 0-07-033484-6.
• M. R. Spiegel; S. Lipcshutz; D. Spellman (2009). Vector analysis. Schaum's Outlines (2nd ed.). McGraw Hill. p. 227. ISBN 978-0-07-161545-7.
• J.R. Tyldesley (1975). An introduction to tensor analysis for engineers and applied scientists. Longman. pp. 5–13. ISBN 0-582-44355-5.

추가 읽기 및 응용 프로그램

• S. Lipcshutz; M. Lipson (2009). Linear Algebra. Schaum's Outlines (4th ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.
• Pei Chi Chou (1992). Elasticity: Tensor, Dyadic, and Engineering Approaches. Courier Dover Publications. ISBN 048-666-958-0.
• T. W. Körner (2012). Vectors, Pure and Applied: A General Introduction to Linear Algebra. Cambridge University Press. p. 216. ISBN 978-11070-3356-6.
• R. Torretti (1996). Relativity and Geometry. Courier Dover Publications. p. 103. ISBN 0-4866-90466.
• J. J. L. Synge; A. Schild (1978). Tensor Calculus. Courier Dover Publications. p. 128. ISBN 0-4861-4139-X.
• C. A. Balafoutis; R. V. Patel (1991). Dynamic Analysis of Robot Manipulators: A Cartesian Tensor Approach. The Kluwer International Series in Engineering and Computer Science: Robotics: vision, manipulation and sensors. Vol. 131. Springer. ISBN 0792-391-454.
• S. G. Tzafestas (1992). Robotic systems: advanced techniques and applications. Springer. ISBN 0-792-317-491.
• T. Dass; S. K. Sharma (1998). Mathematical Methods In Classical And Quantum Physics. Universities Press. p. 144. ISBN 817-371-0899.
• G. F. J. Temple (2004). Cartesian Tensors: An Introduction. Dover Books on Mathematics Series. DOVER PUBN Incorporated. ISBN 0-4864-3908-9.
• H. Jeffreys (1961). Cartesian Tensors. The University Press. ISBN 9780521054232.

외부 링크

• 데카르트 텐서스
• V. N. 칼리아킨, 델라웨어 대학교 텐서스의 간략한 리뷰
• 케임브리지 대학교 카르트 텐서스 R. E. 헌트