푸아송 다지관

In differential geometry, a Poisson structure on a smooth manifold ${\displaystyle M}$ is a Lie bracket ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ (called a Poisson bracket in this special case) on the algebra ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$ of smooth functions on ${\displaystyle M}$, subject to the라이프니츠 규칙

${\displaystyle \{f,}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle h}$+ g${\displaystyle }${ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{f,gh\}=\{f,g\}h+g\{f,h$

Equivalently, ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ defines a Lie algebra structure on the vector space ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$ of smooth functions on ${\displaystyle M}$ such that ${\displaystyle X_{f}:=\{f,\cdot \}:$${C^{\infit }}(M)\to {C^{\infit }}}(M)$은 각 매끄러운 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}($$C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$($){\displaystyle{C^{\inft })$를 포아송 대수학으로 만드는$$ 벡터장이다.

포아송 건축물은 안드레 리흐네로위츠에 의해 1977년에 소개되었다.^[1]그들은 그들에게 앨런 Weinstein,[2]에 많은 기본적인 구조 이론 처음으로 증명되었다 고전적인 논문에서, 그리고 F의 이름을 대는 — 오늘 깊이non-commutative 기하학, 적분 가능한 시스템, 위상적인 분야 이론과 표현론에 휘말린 것이다 푸아송 기하학의 발전에 큰 영향력을 행사했다 연구되었다ew.

포아송 건축물은 프랑스의 수학자 시메온 데니스 포아송의 이름을 따서 지어졌다.

정의

포아송 구조를 정의하기 위한 두 가지 주요 관점이 있다. 포아송 구조를 바꾸는 것은 관습적이고 편리하며, 우리는 아래에서 그렇게 해야 한다.

애즈 브라켓

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$을(를) 매끄러운 다지관이 되게$$ 하고 $C{\displaystyle {}^{}}$ ∞${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle {}^{}}$M )${\displaystyle {C^{\infit }}}(M)$은 곱셈이 점으로 $정의되는$M$${\$displaystystyle M}$에서 매끄러운 실질 가치 함수의 실제 대수학을 나타내도록$$ 한다.$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 포아송 브래킷(또는 포아송 구조)은$$ $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ - 이선형$$ 맵이다.

${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{C^{\infit }}(M)\time {C^{\infit }}} {C^{\infit }} {C^{\inful }}$

$C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle M}$) ${\displaystyle {C^{\inflit }}$에 포아송 대수학의 구조를 정의, 즉$,$ 다음 세 가지 조건을 만족한다.

• 스큐 대칭:${\displaystyle }${ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \}}$=${\displaystyle }$-${\displaystyle }${ ${\displaystyle g,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f$
• 자코비 정체성: { f$,{\displaystyle }$ {${\displaystyle g,}$ h${\displaystyle \}}$ + { g${\displaystyle ,}$ {${\displaystyle h,}$ ${\displaystyle f\}}$+${\displaystyle }${ ${\displaystyle h,}${ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle g\}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \{f,\\{g,h\}\\{h,f\}\+\{h,$ {$f,g}\}=0$
• 라이프니츠의 규칙:${\displaystyle }${ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g,}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \}}$= f${\displaystyle }${ ${\displaystyle g,}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \}}$+ ${\displaystyle g}$ { ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle h}$ } {$}$ {\$displaystyle \{fg,$h\}=$f\{g,h\}+g\{f,h$

The first two conditions ensure that ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ defines a Lie-algebra structure on ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$, while the third guarantees that, for each ${\displaystyle f\in {C^{\infty }}(M)}$, the linear map ${\displaystyle X_f:=\{f,\cdot \}:C^{\mathrm{\infty }}(M)\to }$${\displaystyle X_{f}==\{f,\cdot \}:$${C^{\infty }}(M)\to {C^{\infty }}(M)}$ is a derivation of the algebra ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$, i.e., it defines a vector field ${\displaystyle X_{f}\in {\mathfrak {X}}(M)}$ called the Hamiltonian vector field associated to ${\displaystyle f}$.

일부 로컬 좌표$({\displaystyle U}$, ${\displaystyle x^{}}$ i${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle(U,x^{i$을 선택하면 모든 포아송 브래킷이

$\pi {\displaystyle {}^{}}$ i ${\displaystyle j^{}}$=${\displaystyle }${ x ${\displaystyle i^{}}$, x ${\displaystyle j^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \pi ^{ij}=\{x^{i}},x^{j}\}}}$ 좌표$$ 함수의 포아송 브래킷.

바이벡터로서

부드러운 다지관 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 포아송 바이벡터는 바이벡터 필드 $\pi$ X ${\displaystyle {\mathfrak{}}^{}}$ (${\displaystyle {}^{}M}$) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$ (${\displaystyle \wedge {}^{}}$ 2 ${\displaystyle {T\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle M}$ $){\$$TM{\big )}}:$ 비선형 부분 미분 방정식${\displaystyle }$[${\displaystyle \pi }$ ,${\displaystyle }$] ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0$ 여기서$$

$[\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{{\mathfrak{X}}^{p}}}{p}}}}}\time {{\mathfrak{X}}}}}}(M)\to {{\mathfrak{X}^{p+q-1}(M)}}}}}$

다중 벡터 필드에서 쇼텐-니젠후이스 브래킷을 나타낸다.일부 로컬 좌표$({\displaystyle U}$, x ${\displaystyle i^{}}$) ${\displaystyle(U,x^{i})$을 선택하면$$포아송 바이벡터가

{$$${\displaystyle i^{}}$ j {\$displaystyle \$pi ^{$ij{\displaystyle }$$}$ U {\$displaystyle U}$의 스큐 대칭$$ 매끄러운 기능$.$

정의의 등가성

{${\displaystyle \cdot }$ ,${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \}}$ $}$ {\$displaystyle$\{\$cdot$,\$cdot$\}}을(를) 라이프니츠의 규칙을 만족하는 이선형 스큐 대칭괄호로 하고$$, 그 다음$,{\displaystyle }$ 기능 ${\displaystyle \{f}$ , ${\displaystyle g\}}$ ${\displaystyle \{f,g\}}}$을(를)로 기술할 수 있다$$.

${\displaystyle \{}$ ${\displaystyle f}$, g ${\displaystyle \}}$= ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle (d}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle \{f,g\}=\pi (df\g$

for a unique smooth bivector field ${\displaystyle \pi \in {\mathfrak {X}}^{2}(M)}$. Conversely, given any smooth bivector field ${\displaystyle \pi }$ on ${\displaystyle M}$, the same formula ${\displaystyle \{f,g\}=\pi (df\wedge dg)}$ defines a bilinear skew-symmetric b자동으로$$ 라이프니츠의 룰에 순응하는 라켓${{\cdot$ \}.

마지막으로, 다음 조건은 동일하다.

• ${\displaystyle }${${\displaystyle \cdot }$ ,${\displaystyle \cdot }$} $}$ {\$displaystyle$\{\$cdot$,\$cdot$\}}}은(는) Jacobi 아이덴티티를$$ 만족한다(포아송 브래킷임을 확인).
• $【\displaystyle$${\displaystyle }$$\$${\displaystyle \mathrm{pi}}$$$${\displaystyle 】}$ =${\displaystyle }$0 ${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}$ ${\displaystyle \mathrm{충족}}$$($Poisson 바이브레이터라고 함)
• the map ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)\to {\mathfrak {X}}(M),f\mapsto X_{f}}$ is a Lie algebra homomorphism, i.e. the Hamiltonian vector fields satisfy ${\displaystyle [X_{f},X_{g}]=X_{\{f,g\}}}$
• the graph ${\displaystyle Graph(\pi )\subset TM\oplus T^{*}M}$ defines a Dirac structure, i.e. a Lagrangian subbundle ${\displaystyle D\subset TM\oplus T^{*}M}$ which is closed under the standard Courant bracket.

심플렉틱 잎

포아송 다지관은 아마도 다른 차원으로 정기적으로 담근 다지관, 즉 그것의 다지관이라고 불리는 다지관으로 자연적으로 분할된다.이것들은 해밀턴 벡터 장에 의해 확장되는 완전히 통합 가능한 단일한 엽의 최대 통합적 하위매니폴드로 발생한다.

포아송 구조물의 순위

모든 바이벡터 장은 스큐 동형성 $\pi {\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle T}$ M${\displaystyle }$, ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mapsto \pi }$ (${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \pi ^{\sharp }:$$T^{*}M\to TM,\alpha \mapsto \pi(\alpha ,\cdot$ $)\}$The image ${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)\subset TM}$ consists therefore of the values ${\displaystyle {X_{f}}(x)}$ of all Hamiltonian vector fields evaluated at every ${\displaystyle x\in M}$.

The rank of ${\displaystyle \pi }$ at a point ${\displaystyle x\in M}$ is the rank of the induced linear mapping ${\displaystyle \pi _{x}^{\sharp }}$. A point ${\displaystyle x\in M}$ is called regular for a Poisson structure ${\displaystyle \pi }$ on ${\displaystyle M}$ if and only$∈$ {\$displaystyle$ $\pi$$$$}$의 $순위$가 $x{\displaystyle m}$ $M의 열린$ 근린에서 일정하다면$,$ 그 이외에는 단수점이라고 한다.Regular points form an open dense subspace ${\displaystyle M_{\mathrm {reg} }\subseteq M}$; when ${\displaystyle M_{\mathrm {reg} }=M}$, i.e. the map ${\displaystyle \pi ^{\sharp }}$ is of constant rank, the Poisson structure ${\displaystyle \pi }$ is called regular.일반적인 포아송 구조물의 예로는 사소한 구조와 비감속적인 구조(아래 참조)가 있다.

일반 케이스

일반적인 포아송 다지관의 경우 $\pi {\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ M${\displaystyle }$) ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}}}(T^{*}M)\subset TM}$은 정규 분포로, 비자발적인지 쉽게 확인할 수 있으므로 프로베니우스 정리로는 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyty M}$이 칸막이를 허용한다$$.게다가 포아송 바이벡터는 각 잎에 대해 잘 제한하고, 따라서 복합적인 다지관이 된다.

부정기 사건

For a non-regular Poisson manifold the situation is more complicated, since the distribution ${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)\subset TM}$ is singular, i.e. the vector subspaces ${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T_{x}^{*}M)\subset T_{x}M}$ have different dimensi온스

An integral submanifold for ${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)}$ is a path-connected submanifold ${\displaystyle S\subseteq M}$ satisfying ${\displaystyle T_{x}S={\pi ^{\sharp }}(T_{x}^{\ast }M)}$ for all ${\displaystyle x\in S}$. Integral subm$\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi}$의 애니폴드는 자동으로$$ 정기적으로 담그는 다지관이며, manifold ${\displaystyle \pi}$의 최대 적분 서브매니폴드는 $\pi$의 잎이라고 한다$$$.$

Moreover, each leaf ${\displaystyle S}$ carries a natural symplectic form ${\displaystyle \omega _{S}\in {\Omega ^{2}}(S)}$ determined by the condition ${\displaystyle [{\omega _{S}}(X_{f},X_{g})](x)=-\{f,g\}(x)}$ for all ${\displaystyle f,g\in C^{\mathrm{\infty }}}$${\displaystyle f,g\in {C^{\infty }}(M)}$ and ${\displaystyle x\in S}$. Correspondingly, one speaks of the symplectic leaves of ${\displaystyle \pi }$. Moreover, both the space ${\displaystyle M_{\mathrm {reg} }}$ of regular points and its complement are saturated by symplectic leaves, so symplectic나뭇잎은 규칙적이거나 단수적일 수 있다.

와인스타인 분할 정리

비정기적인 경우에도 공감각적 잎의 존재를 보여주기 위해 와인스타인 분할 정리(또는 다부스-웨인슈타인 정리)를 사용할 수 있다.^[2]It states that any Poisson manifold ${\displaystyle (M^{n},\pi )}$ splits locally around a point ${\displaystyle x_{0}\in M}$ as the product of a symplectic manifold ${\displaystyle (S^{2k},\omega )}$ and a transverse Poisson submanifold ${\displaystyl$$e (T^{n-2k},\pi _{T})}$ vanishing at ${\displaystyle x_{0}}$. More precisely, if ${\displaystyle \mathrm {rank} (\pi _{x_{0}})=2k}$, there are local coordinates ${\displaystyle (U,p_{1},\ldots ,p_{n},q^{1},$$\ldots,q^{n},x^{1},\ldots,x^{n-2k}}$ 이렇게 하여$$ 포아송 바이벡터 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$이(가) 합으로 분할됨$$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle j^{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle \pi ^{ij}(x)=0}.$$rank{\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$의 순위가 최대일$$ 때(예: 포아송 구조는 비감소 구조일 때) 동정적 구조에 대한 고전적인 Darboux 정리를 회복한다는 점에 유의한다.

예

사소한 포아송 구조

모든 다지관 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은$($는) $바이벡터{\displaystyle }$${$$$= 0 {\$displaystyle \pi$ =0$}$에 의해 동등하게 묘사된 사소한 포아송 구조${\displaystyle }${$,g\}=0}$을(를) 운반한다$.$ $따라서{\displaystyle }$ M ${\displaystym M}$의 모든 지점은 0차원적인 공감엽이다$$.

비감속 포아송 구조물

ive : T$$π${\displaystyle {}^{}}$M${\displaystyle }$→ T ${\displaystyle {}^{}}$ {\$displaystyle \pi$}: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{필드}}$ $\$ {\$displaystyle \pi$^{\$sharp$}::$T^{*}M\to TM}$은 벡터 번들 이형성이다.비degenerate Poisson 바이벡터 필드는 실제로 동일하다$.{\displaystyle }$ (${\displaystyle M}$, ${\displaystyle \Omega }$) ${\displaystyle (M,\omega )}$.

실제로 비디제너레이션 바이브레이터 필드 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$과(와) 비디제너레이션 2-폼 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega$} 사이에 다음과 같은 주관적 대응 관계가 있다$.$

여기서 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}$은(는) $\Omega {\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle {:\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ M${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ M${\displaystyle }$, ${\displaystyle v}$ω ${\displaystyle \Omega }$(${\displaystyle v}$ ,${\displaystyle \cdot }$) ${\displaystyle \omega ^{\flat }:$$TM\to T^{*}M,\quad v\mapsto \omega(v,\cdot$ $)\}$ 게다가 { ${\displaystyle \pi }}$은(는) $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaysty \omega }$이(가) 닫힌 경우에만 정확하게 포아송이다$$. 이 경우, 브래킷은 해밀턴 역학에서 표준형 포아쇠가 된다.비생식 포아송 구조물은 오직 하나의 공감각적인 잎, 즉 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$ 그 자체만을$$ 가지고 있으며, 그들의 포아송 대수학$({\displaystyle C\infty ,}${${\displaystyle }$⋅,${\displaystyle \cdot }$ } ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \})}$ ${\displaystyle({\mathc}^{C}}}}}}}{\$cdot$,cdot \}}}}}}}}}}}}$이 포아송 반지가 된다.

선형 포아송 구조물

벡터 공간 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$의 포아송 구조 {${\displaystyle \cdot }$ , ${\displaystyle \cdot \}}$ ${\displaystyle \cdot$ \cdot $\}}$은(는) 두 선형 함수의 브래킷이 여전히 선형일 때 선형이라고 한다$$.선형 포아송 구조를 가진 벡터 공간의 등급은 실제로 (이중) 리 알헤브라의 그것과 일치한다.

Indeed, the dual ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ of any finite-dimensional Lie algebra ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},[\cdot ,\cdot ])}$ carries a linear Poisson bracket, known in the literature under the names of Lie-Poisson, Kirillov-Poisson or KKS (Kostant-Kirillov-Souriau) structure:

${\displaystyle \{}$ ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \}}$ (${\displaystyle \xi }$) :${\displaystyle \xi }$(${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ f${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\xi \mathfrak{}}_{}}$ g ${\displaystyle {}_{}}$} ${\displaystyle \{f,g\}(\xi }):\xi ([d_{\xi }f,d_{\xi }g]_{\mathfak{g$

where ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }({\mathfrak {g}}^{*}),\xi \in {\mathfrak {g}}^{*}}$ and the derivatives ${\displaystyle d_{\xi }f,d_{\xi }g:$$T_{\xi }{\mathfrak{g}^{*}}\to \mathb$ {$R}^{n}}}$은(는) 입찰 $g{\displaystyle {\mathfrak{}}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ g ${\$ 포아송 바이벡터는 로컬로 표현할 수 있다.

여기서 $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\$ x$^{i}$는 g ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ {g$}^{*}}$의 좌표고 c$$$$ $k{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle j_{}^{}}$ ${\$는 $g$ ${\$의 관련 구조 상수이다$.$

반대로 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에 있는 모든 선형 포아송 구조${\displaystyle \{\cdot }$,${\displaystyle }$}$}$ {\$displaystyle \{\cdot$,\$cdot$\}}은(는) 이러한 형태여야$$ 한다. $즉{\displaystyle \mathfrak{}}$, g${\displaystyle }$:= ${\displaystyle {}^{}}${$${\$displaystyle {\\mathfrak {g}$에 유도된 자연적인 Lie 대수 구조가 존재한다.$=V^{*}}$ Li-Poisson 괄호가 복구되는${\displaystyle }$V^{*}}${\displaystyle \{\cdot$ $\backslash \}\}.$

$∗{\$에 있는 Li-Poisson 구조의 공감극 잎은 $g{\displaystyle {\mathfrak{}}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle$ {$g}{*}$에 $있는$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystystyle G}$의 공동 작용의 궤도로 되어$$ 있다$.$

기타 예제 및 구성

• 벡터 공간의 모든 상수 이벡터 장은 자동적으로 포아송 구조물이다. 실제로 자코비토르의 세 항은 모두 0이며, 상수 함수를 갖는 괄호가 된다.
• 2차원 다지관의 모든 바이벡터 필드는 자동으로 포아송 구조물이다. 실제로$,{\displaystyle }$ [ ${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [\pi ,\pi ]}$은 입체 2에서는 항상 0인 3벡터 필드다$$.
• The Cartesian product ${\displaystyle (M_{0}\times M_{1},\pi _{0}\times \pi _{1})}$ of two Poisson manifolds ${\displaystyle (M_{0},\pi _{0})}$ and ${\displaystyle (M_{1},\pi _{1})}$ is again a Poisson manifold.
• Let ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ be a (regular) foliation of dimension ${\displaystyle 2r}$ on ${\displaystyle M}$ and ${\displaystyle \omega \in {\Omega ^{2}}({\mathcal {F}})}$ a closed foliation two-form for which the power ${\displaystyle \omega ^{r}}$ is nowhere-vanis힌지. 이것은 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi$}의 합성 잎이 $\Omega$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle {\mathcal$ {$F}$의 잎$$$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 되도록 요구함으로써$$ ${\$$displaystystym _{S}$의 일반 포아송 구조를 고유하게 결정한다$.$
• $G{\displaystyle }$ {\$displaystyle G}$을(를$)$ 포아송의 차이점형식에 의해$$ 포아송 다지관$({\displaystyle M}$ ,$$ ) {\$displaystyle (M,\pi )}$에 작용하는 Lie 그룹이 되게$$ 하라.If the action is free and proper, the quotient manifold ${\displaystyle M/G}$ inherits a Poisson structure ${\displaystyle \pi _{M/G}}$ from ${\displaystyle \pi }$ (namely, it is the only one such that the submersion ${\displaystyle (M,\pi )\to (M/G,\pi _{M/G})}$$$ 포아송 지도)이다.

포아송 코호몰로지

포아송 다지관의$$ 포아송 공동 호몰로지 그룹 ${\displaystyle H^{}}$ k${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle M}$, ${\displaystyle \pi }$) ${\displaystyle H^{k}(M,\pi )}$는 코체인 복합체의^[1] 공동 호몰로지 그룹이다.

where ${\displaystyle d_{\pi }=[\pi ,-]}$ is the Schouten-Nijenhuis bracket with ${\displaystyle \pi }$. Note that such a sequence can be defined for every bivector on ${\displaystyle M}$; the condition ${\displaystyle d_{\pi }\circ d_{\pi }=0}$ is equivalent to ${\displaystyle [\pi ,\pi ]=}$${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0$ $즉{\displaystyle }$ M ${\displaystyle M}$이(가) 포아송(Poisson)이다$$.

형태론 $\pi {\displaystyle {}^{}}$ :${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle T}$ M ${\displaystyle \pi ^{\sharp }:$$T^{*}M\to TM}$, one obtains a morphism from the de Rham complex ${\displaystyle (\Omega ^{\bullet }(M),d_{dR})}$ to the Poisson complex ${\displaystyle ({\mathfrak {X}}^{\bullet }(M),d_{\pi })}$, inducing a group homomorphism ${\d$$isplaystyle H_{dR}^{}^{\bullet }(M$)\to $H^{\bullet }(M$,\pi $)\}\}\}.$ 비감소성 다지관의 포아송 공동 호몰로지($Poisson$ cohomology)가 그 de Rham cohomology를 완전히 회복하게 된다.

포아송 코호몰로지(Poisson cohomology)는 일반적으로 계산하기 어렵지만, 저급 그룹에는 포아송 구조에 관한 중요한 기하학적 정보가 포함되어 있다.

• ${\displaystyle H^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}M}$ ,${\displaystyle \pi }$) ${\displaystyle$ H$^{0}(M,\pi )}$은 카시미르 함수의 공간이며, 즉, 다른 모든 함수와 함께 있는 부드러운 함수 포아송 커밍(또는 동등하게, 동일하고 부드러운 함수)이다.
• ${\displaystyle H^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle M}$ ,${\displaystyle \pi }$) ${\displaystyle H^{1}(M,\pi )}$은 포아송 벡터 필드 모듈로 해밀턴 벡터 필드의 공간이다.
• ${\displaystyle H^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle \pi }$) ${\displaystyle H^{2}(M,\pi )}$는 포아송 구조 모듈로 사소한 변형의 극소 변형 공간이다.
• ${\displaystyle H^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle M}$ ,${\displaystyle \pi }$) ${\displaystyle H^{3}(M,\pi )}$은 극미량의 변형을 실제 변형으로 확장하기 위한 장애물의 공간이다$$.

포아송 지도

$원활$한 매핑 ${\displaystyle :}$ : ${\displaystyle M}$→ N ${\displaystyle \varphi$:포아송 다지관 사이의$$ $M\to N}$을(를) 포아송 구조물을 존중하면 포아송 지도라 한다. 즉, 다음 등가 조건 중 하나가 유지된다(위의 포아송 구조물의 다양한 정의 참조).

• the Poisson brackets ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}_{M}}$ and ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}_{N}}$ satisfy ${\displaystyle {\{f,g\}_{N}}(\varphi (x))$$={\{f\circle \varphi ,g\circle \varphi \}$$_$${M$$}($$x$$)}$ $매$ x$,$ ${\displaystyle g}$,${\displaystyle \in }$ $displaystyle$ f$,g\in{C^{\ft(N)}$
• 바이벡터 필드 ${\displaystyle {\pi }_{}}$ M ${\$ 및$$ ${\displaystyle {\pi }_{}}$ N ${\$$displaystyle \pi$$_{N}}$ 관련$$$,$ 즉$$ ${\displaystyle {\pi }_{}}$ N${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {=}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ _${M}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

• 모든 매끄러운 $함수{\displaystyle }$ H${\displaystyle }$c ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {}^{}}$ (${\displaystyle N}$)$${\$displaystyle$ H$\in${\$mathcal{C}^{\\$mathcal$}{\barphi$$}}}}$과 연관된 해밀턴 벡터 필드는$$ ${\$$H}=\varphi _{*}X_{H\circle \pi }}}}}$
• 차동 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi }$: (${\displaystyle T}$ M${\displaystyle }$, ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle h}$ (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$ )${\displaystyle }$→${\displaystyle }$(${\displaystyle T}$ N${\displaystyle }$, ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle r}$ a ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle h}$ (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle N_{}}$ )$\displaystyle d\barphi$ : $(TM, Graph(\PI _{M})\to (TN, Graph(\pi _{N}))}$는 디락 형태론이다.

반포아송 지도는 한쪽에 마이너스 기호가 있는 유사한 조건을 만족시킨다.

포아송 다지관은 ${\displaystyle \mathfrak{P}}$ o i s ${\$ 범주의 ${\displaystyle \mathfrak{개체}}$로$,$ 포아송 지도를 형태론으로 한다.포아송 지도 ${\displaystyle \phi }$: ${\displaystyle M}$→ N ${\displaystyle \varphi$:$M\to N}$도 차이점형이고$$, 그 다음에 우리는 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi}$을 푸아송 차등형이라고 부른다.

예

• 포아송 다지관$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ M ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{0\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$× ${\displaystyle {\pi \mathrm{}}_{}}$1 ) ${\displaystyle (M_{0}\time M_{1},\pi _{0}\time \pi$ \pi $\{1$ 정식 $예상{\displaystyle {\mathrm{}}_{}{\mathrm{p}}_{}}$ : ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$× ${\displaystyle {M\mathrm{}}_{}}$1 → ${\displaystyle {Mi}_{}}${\$displaystymathr}_{i}:$${\displaystyle \mathrm{M\_}\{}$$0}\times M_{1}\to M_{i$에 대해 i { { 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle i\in \{0,1\}$은$($는) 포아송 맵이다.
• 연성 잎 또는 열린 하위 공간의 포함 매핑은 포아송 맵이다.
• Given two Lie algebras ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ and ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, the dual of any Lie algebra homomorphism ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$ induces a Poisson map ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}\to {\mathfrak {g}}^{*}}$ b선형 포아송 구조 사이에 위치한다.

포아송 지도의 개념은 공감지도의 개념과는 근본적으로 다르다는 점에 유의해야 한다.예를 들어, 그들의 표준 공통 선택적 구조를 가진 포아송 지도 R ${\displaystyle {}^{}}$→ R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$은 존재하지 않는 반면, \mathb {R} ^4}은 많다.

공감실현

포아송 다지관 M에 대한 동시적 실현은 포아송 지도 $\varphi {\displaystyle }$:${\displaystyle }$( P${\displaystyle }$,${\displaystyle }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle }$)${\displaystyle }$${\displaystyle (P$${\displaystyle ,\backslash }$$omega$ )과$$ 함께 simplex 다지관$($ ,$$) ${\pi$)으로 구성되며${\displaystyle ,}$ 이는$$ 돌출형 잠수형인 $\pi :$ $(M,\pi )$로 구성된다$.$대략적으로 말하면, 동정적 실현의 역할은 복잡하고(감소된) 포아송 다지관을 더 크지만 더 쉬운(비감소적인) 포아송 다지관에 전달함으로써 "설상화"하는 것이다.

일부 저자는 이 마지막 조건(예를 들어, 공감각 다지관에 공감각 잎을 포함시키는 것이 예) 없이 공감각적 실현을 정의하고, 여기서 $where{\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi}$은(는) 완전히 공감각적 실현이라고 부른다.(전체) 동시 실현의 예는 다음과 같다.

• 사소한 Poisson 구조${\displaystyle }$(${\displaystyle M}$,${\displaystyle 0}$ )$${\$displaystyle (M,0)}$의 경우$,$ 표준적인 공통적 구조와 함께 등각 번들 $T{\displaystyle {}^{}}${ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ T$^{*}M}$을$($를) 취하고, 투영사 $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle M}$ → M ${\displaystystyty$ T$^{*M$
• 비감속형 포아송 구조$({\displaystyle M}$, ${\displaystyle \Omega }$) ${\displaystyle (M,\omega )$의 경우 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$자체$$ 및 $ID{\displaystyle }$ M${\displaystyle }$→ ${\displaystyle M}$ → M ${\displaystyle M\to M}$자체를 취한다$.$

• For the Lie-Poisson structure on ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$, one takes the cotangent bundle ${\displaystyle T^{*}G}$ of a Lie group ${\displaystyle G}$ integrating ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ and the dual map ${\displaystyle \phi :$$T^{*}G\to {\mathfrak {g}^{*}}$번역 $G{\displaystyle }$→ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle$ G$\to G$의 아이덴티티에서 차등분$$.

완전한 해밀턴 벡터 필드 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle H_{}}$ ${\$에 대해$$벡터 필드 $X{\displaystyle {}_{}}$ $∘{\${H$\circle \pi$$$$}}}$도 완료되면$$ 동정적 $실현$을 완료라고 한다$$.모든 포아송 다지관에 대해 항상 동정적 실현이 존재하지만(몇 가지 다른 증거가 이용 가능),^[2][3][4] 완전한 실현은 포아송 다지관의 통합성 문제에 근본적인 역할을 한다(아래 참조).^[5]

포아송 다지관 통합

Any Poisson manifold ${\displaystyle (M,\pi )}$ induces a structure of Lie algebroid on its cotangent bundle ${\displaystyle T^{*}M\to M}$. The anchor map is given by ${\displaystyle \pi ^{\sharp }:$$T$$^{*}$${\displaystyle {}^{}\backslash }$$to$ ${\displaystyle {}^{}\},}$ lie(T bracket M )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$( M${\displaystyle }$) ${\displaystyle \Gamma(T^{*}M)=\Oomega ^{1}(M)}$의 Lie Bracket은 다음과 같이 정의된다$$.

포아송 다지관에 대해 정의된 여러 개념은 리알헤브로이드 $T{\displaystyle {}^{}}$∗ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle T^{*}M}$을(를) 통해 해석할 수 있다$.$

• 동정성 엽은 리알헤브로이드의 닻에 의해 유도되는 통상적인 (가수적) 엽이다.
• 동정엽은 리알헤브로이드의 궤도다.
• a $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 포아송 구조물은 연관된 $리알헤브로이드{\displaystyle {}^{}}$ T ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ T$^{*}M}$이(가) 있을$$ 때 정밀하게 규칙적이다$$.
• Poisson 코호몰로지 그룹은 T $∗$ M {\$displaystyle T^{*}M}$의 리알헤브로이드 코호몰로지 그룹과 일치하며, 사소한 표현에 계수가 있다$$.

리알헤브로이드 $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle T^{*}M}$이(가) 항상 리 그룹오이드와 통합될 수 있는 것은$$ 아니라는 점을 주목하는 것이 중요하다.

심플렉틱 조로이드

A symplectic groupoid is a Lie groupoid ${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightrightarrows M}$ together with a symplectic form ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{2}({\mathcal {G}})}$ which is also multiplicative (i.e. compatible with the groupoid structure).Equivalently, the graph of ${\displaystyle \omega }$ is asked to be a Lagrangian submanifold of ${\displaystyle ({\mathcal {G}}\times {\mathcal {G}}\times {\mathcal {G}},\omega \oplus \omega \oplus -\omega )}$.^[6]

A fundamental theorem states that the base space of any symplectic groupoid admits a unique Poisson structure ${\displaystyle \pi }$ such that the source map ${\displaystyle s:({\mathcal {G}},\omega )\to (M,\pi )}$ and the target map ${\displaystyle t:({\mathcal {G}},\om$$ega )\to(M,\pi )}$는 각각 포아송 지도와 반포아송 지도다$$.algebroid T∗ M{\displaystyle T^{*}M}는 푸아송 다양체(M, π){\displaystyle(M,\pi)}.[7]반대로 관련된 프와송 다양체의 여접 다발 T∗ M{\displaystyle T^{*}M}게다가 리 algebroid 나는 나는 에 들어간다면(G){Lie({\mathcal{G}})\displaystyle}은 cotangent에, 동형이다.i일부 Lie ${\displaystyle \mathrm{groupoid}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}\rightarrows M}$에 통합할 수 있으며$,$ 그러면 G ${\$은(는) 자동으로 공통적인 groupoid가 된다$$.^[8]

따라서, 포아송 다지관의 통합성 문제는 그것의 동위 알헤브로이드를 통합하는 공통적인 그룹노이드의 발견에 있다. 이러한 경우, 우리는 포아송 구조가 통합될 수 있다고 말한다.

어떤 포아송 다지관도 국부적 통합(즉 곱셈이 국부적으로만 정의되는 유사체군)^[7]을 인정하지만, 리알헤브로이드의 통합성 이론에서 비롯되는 그것의 통합성에 대한 일반적인 위상학적 장애물이 있다.^[9]그러한 장애물을 사용하면 완전한 동시적 실현을 허용하는 경우에만 포아송 다지관이 통합 가능하다는 것을 보여줄 수 있다.^[5]

서브매니폴즈

A Poisson submanifold of ${\displaystyle (M,\pi )}$ is an immersed submanifold ${\displaystyle N\subseteq M}$ such that the immersion map ${\displaystyle (N,\pi _{\mid N})\hookrightarrow (M,\pi )}$ is a Poisson map.동등하게, ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle \in }$ C ${\displaystyle {\infty }^{\mathrm{}}}$( M$){\displaystyle f\in {\c}^{\infit }{\$displaystyle $N}$에 대해 모든 해밀턴 벡터 $필드{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$이$($$가)$ N ${\displaystystysty$ N}에 접선되도록 요청한다$.$

이 정의는 매우 자연스럽고 몇 가지 좋은 성질을 만족시킨다. 예를 들어, 두 포아송 서브매니폴드의 횡단 교차점이 다시 포아송 서브매니폴드가 된다.그러나 몇 가지 문제도 있다.

• 포아송 서브매니폴드는 드물다. 예를 들어, 복합 다지관의 유일한 포아송 서브매니폴드는 오픈 세트다.
• the definition does not behave functorially: if ${\displaystyle \Phi :(M,\pi _{M})\to (N,\pi _{N})}$ is a Poisson map transverse to a Poisson submanifold ${\displaystyle Q}$ of ${\displaystyle N}$, the submanifold ${\displaystyle \Phi ^{-1}(Q)}$ of ${\displayst$$yle M}$이(가) 반드시 포아송인 것은 아니다.

이러한 문제를 극복하기 위해서, 사람들은 종종 포아송 횡단 (원래는 cosymplectic submanifold라고 불림)의 개념을 사용한다.^[2]This can be defined as a submanifold ${\displaystyle X\subseteq M}$ which is transverse to every symplectic leaf ${\displaystyle S}$ and such that the intersection ${\displaystyle X\cap S}$ is a symplectic submanifold of ${\displaystyle (S,\omega _{S})}$. It follows that any Poisson transversal${\displaystyle X\subseteq (M,\pi )}$ inherits a canonical Poisson structure ${\displaystyle \pi _{X}}$ from ${\displaystyle \pi }$. In the case of a nondegenerate Poisson manifold ${\displaystyle (M,\pi )}$ (whose only symplectic leaf is ${\displaystyle M}$ itself), Poisson transveRsals는 synoptic submanifolds와 같은 것이다.

보다 일반적인 하위 매니폴드의 계급은 Lie-Dirac 하위 매니폴즈, Poisson-Dirac 하위 매니폴즈, 등방성 서브 매니폴즈 및 사전 포아송 하위 매니폴드를 포함한 포아송 기하학에서 중요한 역할을 한다.^[10]

참고 항목

• 남부포아송다지관
• 포아송-리군
• 포아송 슈퍼맨볼드
• 콘체비치 정량화 공식

참조

서적 및 설문 조사

• Bhaskara, K. H.; Viswanath, K. (1988). Poisson algebras and Poisson manifolds. Longman. ISBN 0-582-01989-3.
• Cannas da Silva, Ana; Weinstein, Alan (1999). Geometric models for noncommutative algebras. AMS Berkeley Mathematics Lecture Notes, 10.
• Dufour, J.-P.; Zung, N.T. (2005). Poisson Structures and Their Normal Forms. Vol. 242. Birkhäuser Progress in Mathematics.
• Crainic, Marius; Loja Fernandes, Rui; Mărcuț, Ioan (2021). Lectures on Poisson Geometry (PDF). Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society (to appear). [1]에서 사용 가능한 이전 버전
• Guillemin, Victor; Sternberg, Shlomo (1984). Symplectic Techniques in Physics. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-24866-3.
• Libermann, Paulette; Marle, C.-M. (1987). Symplectic geometry and analytical mechanics. Dordrecht: Reidel. ISBN 90-277-2438-5.
• Vaisman, Izu (1994). Lectures on the Geometry of Poisson Manifolds. Birkhäuser. AMS 게시판의 핑 쉬의 리뷰도 참조하십시오.
• Weinstein, Alan (1998). "Poisson geometry". Differential Geometry and Its Applications. 9 (1–2): 213–238. doi:10.1016/S0926-2245(98)00022-9.