등변도

수학에서 평정성은 대칭이 있는 한 공간에서 다른 공간(대칭 공간 등)까지 함수에 대한 대칭의 한 형태다. 함수는 그 영역과 코도메인이 동일한 대칭 그룹에 의해 작용하고, 함수가 그 집단의 작용에 의해 통용될 때 등변 지도라고 한다. 즉, 대칭 변환을 적용한 다음 함수를 계산하는 것은 함수를 계산한 다음 변환을 적용하는 것과 같은 결과를 낳는다.

등가 지도는 불변성의 개념을 일반화하는데, 불변성의 개념은 그들의 논거의 대칭적 변환에 의해 값이 변하지 않는 기능이다. 등가 지도 값은 흔히 불변이라고 불린다.

통계적 추론에서, 데이터의 통계적 변환에 따른 등가성은 다양한 추정 방법의 중요한 특성이다. 자세한 내용은 불변 추정기를 참조한다. 순수 수학에서 등가변성은 등가위상과 그 하위 주제인 등가변 공동학 및 등가안정적 호모토피 이론에서 연구의 중심 대상이다.

예

기본 기하학

삼각형의 기하학에서 삼각형의 면적과 둘레는 불변형이다: 삼각형을 번역하거나 회전시키더라도 삼각형의 면적이나 둘레는 변하지 않는다. 그러나 삼각형을 이동하면 중심도 이동하기 때문에 중심, 원심, 인센티브 및 직교점 같은 삼각형 중심은 불변성이 아니다. 대신 이들 중심은 등가성이 있다: 어떤 유클리드 화합물(번역과 회전의 조합)을 삼각형에 적용하고, 그 중심부를 구성하면, 먼저 센터를 건설하는 것과 같은 점이 생성되고, 그 다음에도 같은 조화를 중심에 적용하는 것이다. 보다 일반적으로 모든 삼각형 중심은 유사성 변환(번역, 회전, 스케일링의 조합)에서도 등가선이며,^[1] 중심은 부착형 변환에서도 등가선이다.^[2]

동일한 함수는 하나의 대칭 그룹에 대해 불변성일 수 있으며 다른 대칭 그룹에 대해서는 등가성일 수 있다. 예를 들어, 일치 대신 유사성 변환에서는 면적과 둘레가 더 이상 변하지 않는다. 즉 삼각형의 크기 조정은 면적과 둘레를 변화시킨다. 그러나 이러한 변화는 예측 가능한 방식으로 발생한다: 삼각형이 s의 인수에 의해 스케일링되는 경우, 둘레도 s에 의해 스케일링되고 면적도² s에 의해 스케일링된다. 이러한 방식으로 각 삼각형을 영역 또는 둘레에 매핑하는 함수는 양의 실수에 대한 스케일링 변환의 승수 그룹 작용에 대한 등가성으로 볼 수 있다.

통계

또 다른 종류의 간단한 예는 통계적 추정에서 나온다. 표본의 평균(실수의 집합)은 표본의 중심 경향으로 일반적으로 사용된다. 실제 숫자의 선형 변환에서는 등가선적이므로 예를 들어 숫자를 나타내기 위해 사용하는 단위의 선택에 영향을 받지 않는다. 이와는 대조적으로, 평균은 지수 같은 비선형 변환에 대해 등거리적이지 않다.

표본의 중위수는 실제 숫자의 (엄격한) 단일 함수인 변환의 훨씬 더 큰 그룹에 대해 등가리다. 이 분석은 데이터 집합에 대한 특정 종류의 변화에 대해 중위수가 더 강하며 (평균과 달리) 순서형 데이터에 의미가 있음을 나타낸다.^[3]

불변 추정기와 등가 추정기의 개념은 이러한 분석 스타일을 공식화하기 위해 사용되어 왔다.

표현 이론

유한집단의 표현론에서는 공간의 선형변환에 의해 작용하는 집단을 갖춘 벡터공간을 집단의 선형표현이라고 한다. 작용과 통용되는 선형 지도를 인터트위너라고 한다. 즉, 인터트위너(intertwiner)는 두 표현 사이의 등가선형 지도일 뿐이다. 또는 필드 K에 대한 그룹 G의 표현을 위한 인터트위너(intertwiner)는 K[G]-modules의 모듈 동형성과 같은 것으로 여기서 K[G]는 G의 그룹 링이다.^[4]

어떤 조건에서는 X와 Y가 모두 수정할 수 없는 표현인 경우, 두 표현이 동일할 경우에만 인터트위너(영점 지도 제외)가 존재한다(즉, 모듈처럼 이형이다). 그런 다음 이 인터트위너(K에서 0이 아닌 스칼라)는 곱셈 인자까지 고유하다. 이러한 특성은 K[G]의 이미지가 중심 K를 갖는 단순한 대수일 때 유지된다(Schur's Lema: 단순 모듈 참조). 결과적으로, 중요한 경우, 상호승인을 건설하는 것은 그 대표성이 사실상 동일하다는 것을 보여주기에 충분하다.^[5]

공식화

그룹 G에 대한 G-set의 개념을 사용하여 등식성을 공식화할 수 있다. 이것은 S에 대한 G의 수학적 집합 S와 그룹 작용(왼쪽)으로 구성된 수학적 물체다. X와 Y가 동일한 그룹 G에 대해 모두 G-set이면 함수 f : X → Y는 다음과 같은 경우 등가변성이 있다고 한다.

f(g·x) = g·f(x)

모든 g ∈ G와 모든 x in X에 대하여.^[6]

둘 중 하나 또는 둘 다 옳은 행동인 경우, 평형상태는 적절히 수정될 수 있다.

f(x·g) = f(x)·g; (우측)

f(x·g) = g⁻¹·f(x); (우측-좌측)

f(g·x) = f(x)·g⁻¹; (좌우)

등차 지도는 G-set의 범주(고정 G의 경우)에 있는 동형상이다.^[7] 따라서 그들은 G-모형,^[7] G-맵,^[8] 또는 G-호모형이라고도 알려져 있다.^[9] G-set의 이소모르피즘은 단순히 편향적 등가변성 지도일 뿐이다.^[7]

평형상태는 다음과 같은 대응도로도 이해할 수 있다. $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle g\cdot }$은(는) $요소{\displaystyle }$ z ${\displaystyle z}$을(를) 취하고 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$ z ${\displaysty g\cdot z}$을(를) 반환하는 맵을 가리킨다는$$ 점에 유의하십시오$.$

일반화

이 절은 출처를 인용하지 않는다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 섹션을 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다. (2016년 4월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 학습)

등가 지도는 직설적으로 임의의 범주로 일반화할 수 있다. 모든 그룹 G는 하나의 개체를 가진 범주로 볼 수 있다(이 범주의 모형은 G의 요소일 뿐이다). 임의 범주 C가 주어지면 범주 C에서 G의 표현은 G에서 C까지의 functor이다. 그러한 functor는 C의 물체와 그 물체의 자동화 하위그룹을 선택한다. 예를 들어, G-set은 G에서 집합의 범주인 Set까지 functor와 동일하며, 선형 표현은 필드 위에_K 있는 벡터 공간의 범주에 대한 functor와 동일하다.

C에서 G의 ρ과 σ의 두 가지 표현을 볼 때, 그러한 표현들 사이의 등가선 지도는 단순히 from에서 σ까지의 자연스러운 변화일 뿐이다. 자연적 변환을 형태론으로 사용하면 C에서 G의 모든 표현 범주를 형성할 수 있다. 이것은 단지 functor 범주 C이다^G.

다른 예로 위상학적 공간의 범주인 C = Top을 들 수 있다. Top에서 G의 표현은 G가 지속적으로 작용하는 위상학적 공간이다. 등차 지도는 G의 작용에 통용되는 표현 사이의 연속 지도 f : X → Y이다.

참고 항목

• Curtis-Hedlund-Lyndon 정리, 등가선 지도 측면에서 셀룰러 오토마타의 특성화

참조