양수 및 음수 집합

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측정 이론적으로, μ에{\displaystyle \mu}, A∈ Σ{A\in \Sigma\displaystyle}는 .mw-parser-output .vanchor&gt이라고 불리는 집합:모든 Σ target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}positive μ{\displaystyle \mu}로 설정한 측정 가능한 공간(X, Σ){\displaystyle(X,\Sigma)}와 서명된 조치다. A{A\displaystyle}의{\displaystyle \Sigma}-measurable 집합입니다.음수가 아닌 측정값을 가지고 있다. 즉, $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ σ${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$ , ${\displaystyle A\in \Sigma ,}$${\displaystyle (E}$) μ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mu (E)\geq$ 0$}$을(를) 충족하는 $모든{\displaystyle }$ E ${\displaystyle \subseteq }$ ⊆$${\$displaystystyleaseeq A}$ hold$$.

Similarly, a set ${\displaystyle A\in \Sigma }$ is called a negative set for ${\displaystyle \mu }$ if for every subset ${\displaystyle E\subseteq A}$ satisfying ${\displaystyle E\in \Sigma ,}$ ${\displaystyle \mu (E)\leq 0}$ holds.

직관적으로 측정 가능한 집합 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ A$}$은(resp) 양수다$$.$음{\displaystyle }$) A.${\displaystyle A}$의 모든 곳에서 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \$$mu$$}$이(가) 음이 아닌 경우$($resp. nonpositive). 물론$$ $\mu {\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystyle$\$Sigma$$}$의 모든 $요소$가 μ${\displaystyle .}${\$displaystystyled.$

In the light of Radon–Nikodym theorem, if ${\displaystyle \nu }$ is a σ-finite positive measure such that ${\displaystyle \mu \ll \nu ,}$ a set ${\displaystyle A}$ is a positive set for ${\displaystyle \mu }$ if and only if the Radon–Nikodym derivative ${\displaystyle d\mu /d\nu }$ is 음이 아닌 $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \$$nu$$}$ $-A$. ${\displaystyle$ A$.}$ 마찬가지로$$ 음의 집합은 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$/ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \le }$ ${\d\nu \leq$ 0$}$ $\nu$${\displaystyle }$ ${\displaystystyle \nu$ \nu$}$ -almost$$ everywhere이다.

특성.

이는 양수 또는 음수 집합의 모든 측정 가능한 부분집합도 양수 또는 음수라는 정의에서 따온 것이다.또한 양수 또는 음수 집합의 조합도 양수 또는 음수이므로, 보다 형식적으로 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$2 ,${\displaystyle }$… ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$이 양수 집합의 조합이라면$$, 그 다음

또한 긍정적인 집합이다; "긍정적"이라는 단어가 "부정적"으로 대체되는 경우에도 마찬가지다.

A set which is both positive and negative is a ${\displaystyle \mu }$-null set, for if ${\displaystyle E}$ is a measurable subset of a positive and negative set ${\displaystyle A,}$ then both ${\displaystyle \mu (E)\geq 0}$ and ${\displaystyle \mu (E)\leq 0}$ must hold, and therefore, $$${\displaystyle \mu(E)=0.$$}$

한 분해

The Hahn decomposition theorem states that for every measurable space ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ with a signed measure ${\displaystyle \mu ,}$ there is a partition of ${\displaystyle X}$ into a positive and a negative set; such a partition ${\displaystyle (P,N)}$ is unique up to ${\display$$스타일 \mu }$ -null$$ 집합으로, 서명된 측정 $\mu {\displaystyle .}$ ${\displaystyle \mu .}$의 한 분해라고 한다.

Given a Hahn decomposition ${\displaystyle (P,N)}$ of ${\displaystyle X,}$ it is easy to show that ${\displaystyle A\subseteq X}$ is a positive set if and only if ${\displaystyle A}$ differs from a subset of ${\displaystyle P}$ by a ${\displaystyle \mu }$-null set; equivalently, if ${\displaystyle A}$${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A\setminus P}$은(는) $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$ -null이다$$.$음수{\displaystyle }$ 집합에서도 P${\displaystyle }$. ${\displaystyle N}$이($)$ 아닌 N {\$displaystyle$ N}이(가) 사용되는$$ 경우 동일하다.

참고 항목

• 기능 설정 – 세트에서 숫자로 기능

참조