필터(수학)

수학에서 필터(filter) 또는 순서 필터(order filter)는 부분 순서 집합(poset)의 특별한 부분 집합으로, "큰" 또는 "결과적" 요소를 설명합니다.필터는 순서 및 격자 이론뿐만 아니라 위상(topology)에서도 나타납니다.필터에 이중이라는 개념은 이상적인 순서입니다.

필터의 특수한 경우에는 확대할 수 없는 필터인 울트라 필터가 있으며 수학적 논리에서 비구조적 기술을 설명합니다.

세트의 필터는 1937년 앙리 카르탕(Henri Cartan)에 의해 도입되었습니다.Nicolas Bourbaki는 그들의 책 Topologie Genérale에서 E. H. Moore와 Herman L. Smith의 1922년 그물 개념에 대한 대안으로 필터를 대중화했습니다; 순서 필터는 이 개념을 포함 하에 있는 멱집합의 특정한 경우에서 임의의 부분 순서 집합으로 일반화합니다.그럼에도 불구하고, 전력 세트 필터 이론은 부분적으로 위상수학의 상당한 응용을 위해 그 자체의 권리에 대한 관심을 유지합니다.

동기

부분 순서 세트(포셋) $P$ 를 수정합니다.직관적으로, 필터 $F$ 는 어떤 기준을 만족시키기에 충분히 큰 원소를 가진 $P$ 의 부분집합입니다.^[1]예를 들어, $만약$ $x$ 가 P ∈이면, $x$ 위의 원소들의 집합은 $x$ 에 있는 주 필터라고 불리는 필터입니다. ( $만약$ $x$ 와 y가 $P$ 의 비교할 수 없는 원소라면, $x$ 에 있는 주 필터나 $y$ 는 다른 것에 포함되지 않습니다.)

마찬가지로, 집합 $S$ 의 필터는 주어진 것을 포함할 수 있을 만큼 충분히 큰 부분 집합을 포함합니다.예를 들어, $S$ 가 $실선$ 이고 x ∈ $S$ 인 경우 $내부$ 에 x를 포함하는 집합의 계열은 $x$ 에서 이웃 필터라고 하는 필터입니다.이 경우의 것은 $x$ 보다 약간 크지만 선의 다른 특정 점을 포함하지 않습니다.

위의 고려 사항은 아래 정의에서 상향 폐쇄 요구 사항에 동기를 부여합니다. "충분히 큰" 개체는 항상 더 크게 만들 수 있습니다.

다른 두 조건을 이해하려면 역할을 반대로 하고 대신 $F$ 를 $x$ 를 찾는 "위치 결정 체계"로 간주합니다.이 해석에서는 일부 공간 $X$ 에서 검색하고 F가 목표를 포함하는 $X$ 의 부분 집합을 $설명$ 할 것으로 예상합니다.목표는 어딘가에 위치해야 하므로 빈 집합∅는 $결코$ F에 있을 수 없습니다.그리고 두 개의 하위 집합이 모두 목표를 포함하는 경우, 공통 영역으로 "확대"해야 합니다.

울트라필터는 각 스킴 구성요소가 새로운 정보를 제공하는 "완벽한 위치 찾기 스킴"을 설명합니다("여기를 보라" 또는 "다른 곳을 보라").콤팩트성은 "모든 검색이 효과적", 즉 "모든 위치 찾기 체계는 검색 결과로 끝난다"는 속성입니다.

필터의 일반적인 용도는 일부 위상 공간의 "일반적인" 요소가 만족하는 속성을 정의하는 것입니다.^[2]이 응용 프로그램은 "위치 찾기 체계"를 일반화하여 명시적으로 기록하기 어려울 수 있는 점을 찾습니다.

정의.

부분 순서 집합 $(P$ , $\leq)$ 의 부분 집합 $F$ 는 다음과 같은 경우 필터 또는 이중 아이디얼입니다.

사소하지 않음: 집합 $F$ 는 비어 있지 않습니다.
아래쪽으로: 모든 $x,$ $y$ ∈ $F$ 에 대하여 $z$ ≤ $x$ , $z$ ≤ $y$ 인 $z$ ∈ $F$ 가 있습니다.
상방폐쇄: 모든 $x$ ∈ $F$ 와 $p$ ∈ $P$ 에 대해 조건 $x$ ≤ $p$ 는 $p$ ∈ $F$ 를 의미합니다.

$F$ 가 $P$ ≠이면 F가 $적절한$ 필터라고 합니다.집합론과 수학적 논리학의 저자들은 종종 모든 필터가 적합하도록 요구합니다. 이 글은 이 관습을 피할 것입니다.^[3]울트라 필터는 다른 적절한 필터에 포함되지 않은 필터입니다.

필터베이스

$S$ 에 의해 생성된 상위 집합(즉, $S$ 를 포함하는 최소 상향 폐쇄 집합)이 모두 $F$ 인 경우, $F$ 의 부분 집합 $S$ 는 $F$ 의 기저 또는 기저입니다.모든 필터는 그 자체의 기본으로 합니다.

또한 $B$ ⊆ $P$ 가 비어 있지 않고 아래쪽으로 향하면 $B$ 는 필터인 상위 집합 $F$ 를 생성합니다( $B$ 가 기저인 경우).이와 같은 집합을 프리필터(prefilter)라고 하며, 앞서 언급한 필터 베이스/베이스(base)라고도 하며, $F$ 는 $B$ 에 의해 생성되거나 스패닝된다고 합니다.프리필터는 적절한 필터를 생성하는 경우에만 적합합니다.

$p$ ∈ $P$ 가 주어졌을 때, 집합 { $x$ : $p$ ≤ $x}$ 는 p를 포함하는 가장 작은 필터이며, 때로는 ↑ $p$ 로 표기되기도 합니다.이러한 필터를 주 필터(principal filter)라고 합니다. $p$ 는 $F$ 의 주 요소 또는 $F$ 를 생성한다고 합니다.

세련미

$B$ 와 $C$ 가 $P$ 의 두 프리필터이고, $각각$ 의 c∈ $C$ 에 $대하여$ b ≤ $c$ 인 b ∈ $B$ 가 있다고 가정합니다.그 다음 $B$ 가 C보다 미세하다고 말합니다. $마찬가지$ 로 $C$ 가 B보다 더 조잡합니다.정제는 프리필터 집합의 사전 순서입니다.실제로 $C$ 가 $B$ 도 정제하면 $B$ 와 $C$ 는 동일한 필터를 생성하므로 동등하다고 합니다.따라서 프리필터에서 필터로의 전달은 프리오더링에서 관련 부분 순서로의 전달의 한 예입니다.

특수한 경우

역사적으로 필터는 임의의 부분 순서 이전에 순서 이론 격자에 일반화되었습니다.격자의 경우, 아래 방향은 유한한 만남 하에서 닫힘으로 쓸 수 있습니다: 모든 $x,$ $y$ ∈ $F$ 에 대하여, 하나는 $x$ ∧ $y$ ∈ $F$ 를 갖습니다.

선형 필터

선형(ultra) 필터는 주어진 벡터 공간의 벡터 부분 공간의 격자 위에 있는, 포함에 의해 순서가 정해지는 (ultra 필터.명시적으로, 벡터 공간 $X$ 위의 선형 필터는 $A,$ $B$ ∈ $B$ 및 $C$ 가 $A$ 를 포함하는 $X$ 의 벡터 부분 공간이라면, $A$ ∩ $B$ ∈ $B$ 및 $C$ ∈ $B$ 를 포함하는 $X$ 의 벡터 부분 공간의 패밀리 $B$ 입니다.

선형 필터는 ${0}$ ^[5]을(를) 포함하지 않는 경우 적합합니다.

세트의 필터; 하위베이스

ω ${\displaystyle$ \ $Omega$ }에 $\Omega$ 대한 집합 ${\$ displaystyle ${\mathcal$ {F $}}$ 패밀리 F v t
${\mathcal {F}}\colon$ ${\mathcal {F}}\colon$ 에 대해 반드시 해당됩니다. 또는, ${\mathcal {F}}$ ${\$ 이 ${\mathcal {F}}$ (가) 다음에 닫혀 있습니까?	연출된 ⊇ $\,\supseteq$ 기준 $\,\supsequ$	$A\cap B$	$A\cup B$	$B\set 빼기 A$	$\Omega \setminus A$	$A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots$	$A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots$	$\Omega \in {\mathcal {F}}$	$\varnothing \in {\mathcal {F}}$	F.I.P.
$π$ 계통의
세미링										절대.
반대수 (세미필드)										절대.
모노톤급						$A_{i}\searrow$ ↘ $A_{i}\searrow$ 인 경우에만 해당	$A_{i}\nearrow$ ↗ $A_{i}\nearrow$ 인 경우에만 해당됩니다.
𝜆 계통의 (Dynkin 시스템)				만일의 경우에만 $A\subseteq B$			$A_{i}\nearrow$ ↗ $A_{i}\nearrow$ 또는 이 경우에만 해당됩니다. 그들은 서로 단절되어 있습니다.			절대.
링 (순서론)
링 (계측이론)										절대.
δ-링										절대.
𝜎-링										절대.
대수(필드)										절대.
𝜎-대수 (𝜎-필드)										절대.
이중이상
필터				절대.	절대.				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
프리필터 (필터베이스)				절대.	절대.				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
필터하위베이스				절대.	절대.				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
토폴로지 열기							$\cup$ 임의 ∪도 ${\displaystyle \cup})$			절대.
닫힌 토폴로지						(임의 ∩도 ${\displaystyle \cap$				절대.
${\mathcal {F}}\colon$ ${\mathcal {F}}\colon$ 에 대해 반드시 해당됩니다. 또는, ${\mathcal {F}}$ ${\$ 이 ${\mathcal {F}}$ (가) 다음에 닫혀 있습니까?	연출된 아래쪽으로	유한한 교차점	유한한 조합들	관련있는 보약	보약 ω에서 ${\displaystyle\Omega}$	헤아릴 수 있는 교차점	헤아릴 수 있는 조합들	ω ${\displaystyle$ \ $Omega}$ 포함	$\varnothing$ ∅ 포함	유한 교차로 소유물
또한 *세미링*은 $B\setminus A$ 보 $B\setminus A$ ∖ A $B\setminus A$ 가 ${\mathcal {F}}.$ . ${\mathcal {F}$ 의 집합들의 유한한 분리 결합과 같은 π 시스템입니다. $\Omega .$ 는 ω를 포함하는 반구형입니다 $\Omega .$ $\Omega .$ $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ A $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ … $A,B,A_{1},A_{2},\ldots}$ 은(는 $)$ F {\ $displaystyle$ {\ $mathcal$ {F $}}$ 의 임의 요소이며 $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ ≠ ∅이라고 가정합니다 ${\mathcal {F}}\neq \varnothing .$ ${\mathcal {F}}\neq \varnothing.$

집합 $S$ 가 주어지면, 멱집합 $P (S)$ 는 집합 포함에 의해 부분적으로 순서가 정해집니다. 이 집합의 필터는 용어를 남용하여 "필터 온 S"라고 부르는 경우가 많습니다.이러한 포지트의 경우 아래 방향과 위쪽 폐쇄는 다음과 같이 줄어듭니다.^[3]

유한교차로 하에서의 닫힘: $A,$ $B$ 가 $F$ 를 ∈하면 $A$ ∩ $B$ 도 $F$ 를 ∈합니다.
아이소토니^[6]: $A$ 가 $F$ 를 ∈하고 $A$ 가 $B$ 를 ⊆ $하면$ $B$ 가 $F$ 를 ∈합니다.

적합/비퇴성 필터는 ∅를 포함하지 않는 필터이며, 이 세 조건(비퇴성 포함)은 Henri Cartan의 원래 필터 정의입니다.보편적이지는 않지만 세트의 필터가 적합하도록 요구하는 것은 일반적인 일입니다. (양체 필터에 대한 입장이 무엇이든 간에) 우리는 다시 이 규칙을 회피할 것입니다.

집합의 프리필터는 ∅이 포함되어 있지 않은 경우에만 적합합니다.

$P (S$ )의 모든 부분 집합 $T$ 에 대해 $T$ 를 포함하는 가장 작은 필터 $F$ 가 있습니다 $.$ 프리필터와 마찬가지로 $T$ 는 F를 $생성$ 하거나 확장한다고 합니다. $F$ 의 기저는 $T$ 의 모든 유한 교차점의 집합 $U$ 입니다.집합 $T$ 는 $F$ (따라서 $U$ )가 적절할 때 필터 서브베이스라고 합니다.

집합의 적절한 필터는 유한 교차 특성을 갖습니다.

$S$ = ∅인 경우 $S$ 는 잘못된 필터 {∅}만 승인합니다.

프리필터

필터는 구성원의 교차점이 비어 있으면 무료라고 합니다.적절한 주 필터가 비어 있지 않습니다.

필터의 임의의 유한한 수의 부재들의 교집합 또한 하나의 부재이기 때문에, 유한 집합에 대한 어떤 적절한 필터도 자유롭지 않고, 실제로는 모든 부재들의 공통 교집합에 의해 생성된 주 필터입니다.그러나 무한 집합에서 비주력 필터가 반드시 자유로운 것은 아닙니다. 필터는 Féchet 필터를 포함하는 경우에만 자유롭습니다(§ 예제 참조).

예

유한 포셋 $P ({1, 2, 3, 4})$ 의 필터에 대한 간단한 예는 이 문서의 맨 위에 있는 이미지를 참조하십시오.

$점별$ 비교를 통해 ℝ의 실제 값 함수 공간인 ℝ → ℝ를 부분 순서화합니다.그 다음 함수들의 집합은 무한대로 커집니다.

\left\{f:\lim _{x\to \pm \infty}{f(x)}=\infty \right\}{\text{,}

는 ℝ → ℝ의 필터입니다.도메인을 압축하고 코드 도메인을 완성하면 이 구성을 꽤 멀리 일반화할 수 있습니다.

X

가 구별된 부분 집합

S

이고

Y

가 구별된 원소

m

을 가진 포셋이면 {

f

:

f

≥ m

}

은

X

→

Y

의 필터입니다.

${{k$ : $k$ ≥ $N}$ : $N$ ∈ ℕ $}$ 집합은 $P ($ ℕ)의 필터입니다 $.$ 일반적으로, $D$ 가 임의의 방향 집합이면,

\{k:k\geq N\}:N\in D\

는

P (D

)에서 tail filter라고 불리는 필터입니다

.

마찬가지로 임의의 net

{x}

는 이벤트 필터 {

x

:

α

≤

β}

:

α

∈

α}

를 생성합니다.테일 필터는

x

=

α

에 대한 이벤트성 필터입니다.

무한 집합 $X$ 의 프레셰 필터는

\{A:X\setminus A{\text{finite}}\}{\text{.}

(X, μ)

가 측정 공간이면

{

A

:

μ(X

∖

A)

=

0}

집합은 필터입니다.

μ(X)

= ∞이면 {

A

:

μ(X

∖

A)

< ∞}도 필터입니다. Fréchet 필터는

μ

가 카운트 측정인 경우입니다.

순서 $a$ 가 주어졌을 때, $a$ 의 부분 집합은 $a$ 의 순서 위상에서 닫히지만 알짜 이론적 한계 $a$ 를 가지면 클럽이라고 합니다. $필터$ 의 클럽: 클럽 필터, ♣( $a).$

이전 구성은 다음과 같이 일반화됩니다. 임의의 클럽 $C$ 는 또한 $a$ 의 조밀한 부분집합의 집합이고, ♣( $a)$ 는 C의 각 원소를 만납니다. $C$ 를 임의의 집합인 조밀 집합 C ̃로 대체하면 일반 필터라고 불리는 C ̃의 각 요소를 충족하는 필터가 "일반적으로" 존재합니다.셀 수 있는 C ̃에 대해 라시오와-시코르스키 보조정리는 그러한 필터가 존재해야 한다는 것을 암시합니다; "작은" 셀 수 없는 C ̃에 대해, 그러한 필터의 존재는 마틴의 공리를 통해 강제될 수 있습니다.

$제한$ 된 카디널리티, 모듈로 동형의 부분 순서 집합을 P라고 합니다.부분적으로 $P$ 를 기준:

엄격하게 증가하는 f

가

존재하는 경우

A

≤

B

:

A

\to

B

.

그런 다음 비원자 부분 순서의 부분 집합이 필터를 구성합니다.마찬가지로, 만약 $I$ 가 제한된 카디널리티, 모듈로 동형의 어떤 주어진 교환환 위의 주입 모듈의 집합이라면, $I$ 에 대한 부분 순서는 다음과 같습니다.

A ≤

B

인 경우, 주입형 선형 맵

f

:

A

\to

B

.

임의의 무한한 $기본$ κ가 주어지면, κ보다 적은 원소로 생성될 수 없는 $I$ 의 모듈은 필터를 형성합니다.

집합 $X$ 의 모든 균일한 구조는 $X X$ X 위의 필터입니다.

이상과의 관계

필터에 대한 이중 개념(즉, 모든≤를 반전시키고∨를 ∧와 교환하여 얻은 개념)은 차수 이상입니다.이러한 이중성 때문에 필터의 모든 질문은 기계적으로 이상과 그 반대에 대한 질문으로 변환될 수 있습니다. 특히, prime 또는 maximal 필터는 해당 이상이 (각각) prime 또는 maximal인 필터입니다.

필터는 해당 이상형이 최소인 경우에만 초필터입니다.

모형론에서

집합 $S$ 의 모든 필터 $F$ 에 대하여, 집합 함수는 다음과 같이 정의됩니다.

m(A)={\begin{case}1&{\text{if}}A\in F\0&{\text{if}}S\smallset minus A\in F\{\text{ is undefined}}&{\text{case}}&{\text{otherwise}}\end{case}

해당 용어가 다소 느슨하게 해석되는 경우, "측정치"는 유한하게 추가됩니다.또한,

F

가 울트라 필터인 경우 이렇게 구성된 측정값은 모든 곳에서 정의됩니다.그러므로 그 진술은

\left\{,x\in S:\varphi (x)\,\right\}\in F

φ가 "거의 모든 곳에" 보유하고 있는 문장과 다소 유사하다고 여겨질 수 있습니다.필터의 멤버쉽에 대한 해석은 수학적 논리학의 한 분야인 모델 이론의 울트라 프로덕트 이론에서 (실제 증명이 아닌 동기부여를 위해) 사용됩니다.

토폴로지에서

일반적인 토폴로지 및 분석에서 필터는 메트릭 공간에서 시퀀스의 역할과 유사한 방식으로 수렴을 정의하는 데 사용됩니다.그들은 다양한 임의의 위상 공간에 걸쳐 한계의 개념을 통일합니다.

필터의 필요성을 이해하기 위해서는 망의 등가 개념부터 시작합니다.시퀀스는 일반적으로 전체 순서 집합인 $자연수$ ℕ에 의해 인덱싱됩니다. $네트$ 는 ℕ를 임의의 지시 집합으로 대체함으로써 시퀀스의 개념을 일반화합니다.첫 번째 셀 수 있는 공간과 같은 위상 공간의 특정 범주에서 시퀀스는 대부분의 위상 속성을 특성화하지만 일반적으로 그렇지 않습니다.그러나 그물은 물론 필터도 항상 이러한 위상 속성을 특성화합니다.

필터는 위상 공간 $X$ 의 외부 집합을 포함하지 않는 반면, 시퀀스와 그물은 다른 방향 집합에 의존합니다.이러한 이유로 $X$ 에 있는 모든 필터의 집합은 항상 집합인 반면 모든 X 값 그물의 집합은 적절한 클래스입니다.

인근기지

위상 공간 $X$ 의 임의의 점 $x$ 는 인접 필터 또는 시스템 $N$ 을_x 정의합니다. 즉, 내부에 $x$ 를 포함하는 모든 집합의 패밀리입니다.만약 $N$ 이 $N$ 을 생성한다면 $x$ 에서 이웃 기저의 $집합$ $N$ 은 x에서 이웃 기저입니다. 이와 동등하게, $S$ ⊆ $X$ 는 $N$ 이 S를 ⊆하는 $N개$ 의 ∈ $N$ 이 존재하는 경우에만 $x$ 의 이웃입니다.

수렴 필터 및 클러스터 포인트

$B$ 가 인접 필터 $N$ 을 포함하는 필터 $F$ 를 생성하는 경우에만, 예를 들어, $x$ 의 $모든$ 인접 $U$ 에 대해, $V$ 가 $U$ 를⊆하는 $V$ ∈ $B$ 가 존재하는 경우에만, 예를 들어, B → $x$ 로 $쓰여진$ 점 x로 수렴합니다. 이보다 덜 명백하게, $B$ 가 $N$ 을 정제하는 경우에만, $그리고$ $x$ 의 모든 인접 기저는 이 조건에서 $N$ 을 대체할 수 있습니다.분명히, $x$ 의 모든 이웃 기저는 $x$ 로 수렴합니다.

필터 $F$ (자체 생성)는 $N$ 이 $F$ 를⊆하면 $x$ 로 수렴합니다.이웃 필터 N: $N$ 은_x_x $x$ 로 수렴하는 각 필터보다 가장 조대한 필터입니다.

$B$ → $x이면$ $x$ 를 $B$ 의 극한(점)이라고 합니다.프리필터 $B$ 는 $B$ 의 각 원소가 $x$ 의 각 이웃과 비어 있지 않은 교집합을 갖는 경우에만 $x$ 에서 군집성(또는 $x$ 를 군집점으로 가짐)이라고 합니다. 모든 극한점은 군집점이지만 일반적으로 그 반대는 성립하지 않습니다.그러나 울트라 필터의 모든 클러스터 포인트는 한계 포인트입니다.

참고 항목

여과(수학)
여과(확률 이론) – 임의 프로세스의 특정 지점에서 사용 가능한 정보 모델
여과(추상대수)
일반 필터 – 집합 이론에서, 포셋의 조밀한 열린 부분 집합의 집합이 주어졌을 때, 해당 집합의 모든 집합을 충족하는 필터. 하는 페이지
이상적(집합 이론) – 유한 결합 및 부분 집합 아래에서 닫힌 비어 있지 않은 집합 계열

메모들

^ Koutras et al. 2021.
^ Igarashi, Ayumi; Zwicker, William S. (16 February 2021). "Fair division of graphs and of tangled cakes". arXiv:2102.08560 [math.CO].
^ ^a ^b Dugundi 1966, 211-213쪽
^ Davey, B. A.; Priestley, H. A. (1990). Introduction to Lattices and Order. Cambridge Mathematical Textbooks. Cambridge University Press. p. 184.
^ ^a ^b 베르그만 & 흐루쇼프스키 1998.
^ 돌레키 & 마이너드 2016, 27-29쪽
^ Goldblatt, R. Lectures on the Hyperreals: an Introduction to Nonstandard Analysis. p. 32.
^ Narici & Beckenstein 2011, pp. 2–7.
^ 카탄 1937a.
^ 카탄 1937b
^ Bumby, R. T. (1965-12-01). "Modules which are isomorphic to submodules of each other". Archiv der Mathematik. 16 (1): 184–185. doi:10.1007/BF01220018. ISSN 1420-8938.

참고문헌

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Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Topological Vector Spaces: Chapters 1–5. Éléments de mathématique. Translated by Eggleston, H.G.; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC 17499190.
Burris, Stanley; Sankappanavar, Hanamantagouda P. (2012). A Course in Universal Algebra (PDF). Springer-Verlag. ISBN 978-0-9880552-0-9. Archived from the original on 1 April 2022.
Cartan, Henri (1937a). "Théorie des filtres". Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. 205: 595–598.
Cartan, Henri (1937b). "Filtres et ultrafiltres". Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. 205: 777–779.
Dolecki, Szymon; Mynard, Frederic (2016). Convergence Foundations Of Topology. New Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917.
Dugundji, James (1966). Topology. Boston: Allyn and Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485.
Koutras, Costas D.; Moyzes, Christos; Nomikos, Christos; Tsaprounis, Konstantinos; Zikos, Yorgos (20 October 2021). "On Weak Filters and Ultrafilters: Set Theory From (and for) Knowledge Representation". Logic Journal of the IGPL. doi:10.1093/jigpal/jzab030.
MacIver R., David (1 July 2004). "Filters in Analysis and Topology" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2007-10-09. (위상 및 메트릭 공간에서 필터에 대한 소개 검토를 제공합니다.)
Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Willard, Stephen (2004) [1970]. General Topology. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240.
Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.

추가열람

Bergman, George M.; Hrushovski, Ehud (1998). "Linear ultrafilters". Communications in Algebra. 26 (12): 4079–4113. CiteSeerX 10.1.1.54.9927. doi:10.1080/00927879808826396.

[FOOTNOTEKoutrasMoyzesNomikosTsaprounis2021-1] Koutras et al. 2021.

[2] Igarashi, Ayumi; Zwicker, William S. (16 February 2021). "Fair division of graphs and of tangled cakes". arXiv:2102.08560 [math.CO].

[FOOTNOTEDugundji1966211–213-3] Dugundi 1966, 211-213쪽

[4] Davey, B. A.; Priestley, H. A. (1990). Introduction to Lattices and Order. Cambridge Mathematical Textbooks. Cambridge University Press. p. 184.

[FOOTNOTEBergmanHrushovski1998-5] 베르그만 & 흐루쇼프스키 1998.

[FOOTNOTEDoleckiMynard201627–29-6] 돌레키 & 마이너드 2016, 27-29쪽

[7] Goldblatt, R. Lectures on the Hyperreals: an Introduction to Nonstandard Analysis. p. 32.

[FOOTNOTENariciBeckenstein20112–7-8] Narici & Beckenstein 2011, pp. 2–7.

[FOOTNOTECartan1937a-9] 카탄 1937a.

[FOOTNOTECartan1937b-10] 카탄 1937b

[11] Bumby, R. T. (1965-12-01). "Modules which are isomorphic to submodules of each other". Archiv der Mathematik. 16 (1): 184–185. doi:10.1007/BF01220018. ISSN 1420-8938.

[1]

[2]

[3]

[5]

[6]

v t 순서이론
토픽 용어집 카테고리
주요개념	이항관계 부울 대수 순환순서 격자 부분순서 선주문 총순서 약발주
결과.	부울 소 아이디얼 정리 칸토어-번스타인 정리 칸토어의 동형 정리 딜워스 정리 두쉬니크 밀러 정리 하우스도르프 극대원리 나스터-타르스키 정리 크루스칼의 나무 정리 김의 정리 미르스키 정리 Szpilrajn 확장 정리 조른의 보조개
속성 & 유형(목록)	반대칭성 비대칭 부울 대수 토픽들 완성도 연결된 커버링 밀도가 높은 연출된 (일부) 동치 기초 헤이팅 대수 동형 idempotent 격자 유계 보충하는 완성하다 분배 참여 및 만남 반사적 부분순서 체인 완성 등급이 매겨진 오일러의 엄격한. 접두사 순서 선주문 총 반격자 세미오더 대칭적인 총 공차 트랜지티브 근거있는 좋은 준순서 (Better) (사전)주문하기
시공	구성. 전환/전환 사전순서 선형확장 상품주문 반사마감 직렬-병렬 부분 순서 스타상품 대칭 폐색 경과적 폐쇄
토폴로지 & 오더	알렉산드로프 위상 및 전문화 사전주문 순서위상벡터 정상 원뿔 순서위상 순서위상 위상벡터격자 바나흐 프레셰 국부적으로 노메드
관련된	안티체인 코파이널 공종성 비교가능성 그래프 이중성 필터 하세도 이상적인 그물 서브넷 질서형태주의 임베딩 동형 사상 주문유형 순서 필드 순서벡터공간 부분주문 양의 원뿔 리에즈 상집합 영의 격자

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