총변동

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수학에서, 총 변동은 함수 또는 측정의 코도메인의 (국소 또는 전역) 구조와 관련된 몇 가지 약간 다른 개념을 식별한다.[a, b] ⊂ R 간격으로 정의되는 실제 값 연속함수 f의 경우, 정의 간격에 대한 총 변동은 x equation [a, b]에 대한 모수 방정식 x dimensional f(x)를 갖는 곡선의 1차원 arclength의 측정값이다.총변동이 유한한 함수를 경계변동의 함수라고 한다.

역사 노트

하나의 실제 변수의 기능에 대한 총변동 개념은 카밀 조던에 의해 논문에서 처음 소개되었다(Jordan 1881).^[1]그는 변동에 한계가 있는 불연속 주기함수의 푸리에 시리즈에 대한 수렴 정리를 증명하기 위해 새로운 개념을 사용했다.그러나 둘 이상의 변수의 함수로 개념을 확장하는 것은 여러 가지 이유로 간단하지 않다.

정의들

한 실제 변수의 함수에 대한 총 변동

정의 1.1.${\displaystyle 간격\mathbb{}}{\displaystyle }$[${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b]}$ r R$${\$displaystyle [a,b]\subset \mathb {R}$에 정의된 실제 값(또는 더 일반적으로 복잡한 값) 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f$의 총 변동은 수량이다$$.

${\displaystyle V_{b}^{a}(f)=\sup _{\mathcal {P}\sum _{i=0}^{n_{P}-1} f(x_{i+1})-f(x_{i}},},}$

여기서 supremeum이 모든 $칸막이{\displaystyle \mathcal{}}$ P =${\displaystyle }${ P${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, x n ${\displaystyle {P_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$partition ${\displaystyle P}$는${\displaystyle }$[ a${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$ ${\$=\{x_${0},\dots ,x_{$n_{$n_{$n_{{{{}}}}{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}의 ${\displaystyle \mathrm{파티션}}$의 파티션의 ${\displaystyle \text{파티션}}$의 파티션의 ${\displaystyle \text{파티션}}$이다.$P}\}\mid P{\text{}$는 지정된 간격의 $}}}[a,b]\right\}}}의 파티션$이다.

n > 1 실제 변수의 함수에 대한 총 변동

정의 1.2.Ω을 R의ⁿ 개방된 부분 집합으로 한다. 함수 f가 L¹(Ω)에 속하는 경우, Ω의 f의 총 변동은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle V(f,\Omega ):=\sup \left\{\int _{\Omega }f(x)\operatorname {div} \phi (x)\,\mathrm {d} x\colon \phi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\ \Vert \phi \Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\},}$

어디에

• ${\displaystyle C_{}^{}}$ ${\displaystyle C_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ (${\displaystyle {}_{}^{}\mathrm{\Omega }}$, ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle C_{c}^{1}(\Oomega$,\$mathb {R}$^{$n}})$은 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$에 포함된 콤팩트 서포트의 연속적으로 다른 벡터 함수 집합이다$.$
• ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle \Vert {}_{}}$ ${\displaystyle {L{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{\infty \mathrm{}}^{}}_{}}$(${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_{}}$) ${\$은(는) 본질적인 우월적 규범이며,
• ${\displaystyle \mathrm{div}}$ {$div}은$$(는)$ 다이버전스 연산자다$.$

이 정의에서는 주어진 함수의 도메인$$ $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$가 경계 집합이 될 필요가 없다.

측정 이론의 총 변동

고전적 총 변동 정의

Following Saks (1937, p. 10), consider a signed measure ${\displaystyle \mu }$ on a measurable space ${\displaystyle (X,\Sigma )}$: then it is possible to define two set functions ${\displaystyle {\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,\cdot )}$ and ${\displaystyle {\underline {\mat$$hrm {W} }}(\mu ,\cdot )},$ 각각 다음과 같이 상한 변동과 하한 변동이라고 한다$.$

${\displaystyle {\mathrm {W}}}}}}}}}(\mu ,E)=\suppet\{\mu(A)\mid A\in \Sigma {\text{ 및 }A\subset E\right\}}\qquad \all E\in \in \in }}}$

${\displaystyle {\mathrm {W}}}}}}}}(\mu, E)=\inf \left\{\mu(A)\mid A\in \Sigma {\text{ 및 }A\subset E\rigma\}\qquad \all E\in }}$

명백하게

${\displaystyle {\mathrm {W}}}}}}}(\mu,E)\geq 0\geq {\underline {\mathrm {W}}}}}}(\mu,E)\qquad \forall E\in \Sigma }}$

정의 1.3.부호화된 측정 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$의 변동(절대 변동이라고도 함)은$$ 설정 함수임

${\displaystyle \mu(E)={\overline {\mathrm {W}}}}}}}{\mathrm {W}}}{\mathrm {W}}}}}}오른쪽 \qquad \forall \Sigma }}}$

그리고 그것의 총 변동은 정의의 전체 공간에 대한 이 측정값으로 정의된다.

$\displaystyle \mu \ = \mu(X)}$

총 변동 규범에 대한 현대적 정의

삭스(1937, 페이지 11)는 한-조르단 분해를 증명하기 위해 상한과 하한 변동을 사용한다. 그의 이 정리 버전에 따르면 상하의 변이는 각각 음이 아닌 척도와 양성이 아닌 척도로 되어 있다.보다 현대적인 표기법을 사용하여 정의

${\displaystyle \mu ^{+}(\cdot )={\overline {\mathrm {W}}}}}}}(\mu ,\cdot )\}$

${\displaystyle \mu ^{-}(\cdot )=-{\underline {\mathrm {W}}}}}}}(\mu ,\cdot )\}$

그러면 $\mu {\displaystyle {}^{}}$+ ${\$와 $\mu {\displaystyle {}^{}}$- ${\$은(는) 다음과 같은 두 가지 비음수 측정이다.

${\displaystyle \mu =\mu ^{+}-\mu ^{-}}}$

${\displaystyle \mu =\mu ^{+}+\mu ^{-}}}$

마지막 척도는 때때로 표기법 남용에 의해 총변동 척도라고 불린다.

복합 측정값의 총 변동 규범

측정 $[\displaystyle \mu }$이(가) 복합적인 값인 경우, 즉 그 상하의 변동을 정의할 수 없고 한-조단 분해 정리는 그 실제와 상상의 부분에만 적용할 수 있다.단, 루딘(1966, 페이지 137–139)을 따르고 복합값 측정 $[\$디스플레이 스타일 $\mu$}의 총 변동을 다음과 같이$$ 정의할 수 있다.

정의 1.4.복합값 측정 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$의 변동은 설정 함수임

$\displaystyle \mu(E)=\sup _{\pi }\sum _{A\in \pi } \mu(A) \qquad \forall E\in \Sigma }}$

측정 가능한 $집합{\displaystyle }$ E ${\displaystyle E}$의 모든 파티션 partitions ${\displaystyle \pi }$을(를) 계산 가능한 수의 측정 불가 부분 집합으로 가져간다$$.

이 정의는 실제 값 서명된 조치의 경우$$ 위의 정의 ${\displaystyle \mu }$= ${\displaystyle {}^{}}$+${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {-}^{}}$ ${\$와 일치한다.

벡터 값 측정의 총 변동 규범

그렇게 정의된 변동은 양의 측정치(1966, 페이지 139 참조)이며 $\mu {\displaystyle }$ ${\디스플레이$ 스타일 $\mu}$이(가) 서명된 측정치인 경우 1.3으로 정의한 측정치와 일치한다. 전체 변동은 위와 같다.이 정의는 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$이(가) 벡터 측정값인 경우에도 작동하며, 다음과 같은 공식으로 변동을 정의한다.

$\displaystyle \mu(E)=\sup _{\pi }\sum _{A\in \pi }\mu(A)\\qquad \forall E\in \Sigma }}$

위와 같은 우월감이 있는 곳이지이 정의는 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 유한 분할만 고려하면 되기 때문에 루딘(1966, 페이지 138)이 제시한 정의보다 약간 더 일반적이다$.$ 이는 유한가중성 측정에 대한 총 변동을 정의하는 데도 사용할 수 있음을 의미한다.

확률 측정값의 총 변동

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확률 측정의 총 변동은 정확히 1이므로 그러한 측정의 특성을 조사하는 수단으로 흥미롭지 않다.그러나 μ와 μ가 확률 측정인 경우, 확률 측정의 총 변동 거리는${\displaystyle \mu }$ -${\displaystyle \mu }$ μ { ${\displaystyle \Vert }${\$displaystyle \mu -\nu$\ $\}$로 정의할 수 있다. 여기서$$ 표준은 서명된 측정의 총 변동 규범이다.$({\displaystyle \mu }$ -${\displaystyle \nu }$)${\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathrm{X}}$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle (\mu -\nu )(X)=0}$의 속성을 사용하면 결국 동등한 정의에 도달하게 된다$.$

$\displaystyle \mu -\nu \ = \mu -\nu(X)=2\suppose \left\{\\,\왼쪽 \mu(A)-\nu(A)\right :A\in \Sigma \,\right\}}$

그리고 그것의 가치는 비논리적이다.위의$$ 요인 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 2}$은(확률 측정의 기사 총 변동 거리) 일반적으로 삭제된다.비공식적으로, 이것은 두 확률 분포가 동일한 사건에 할당할 수 있는 확률 사이의 가장 큰 차이다.범주형 분포의 경우 총 변동 거리를 다음과 같이 작성할 수 있다.

$\displaystyle \cHB(\mu ,\nu )=\sum _{x}\왼쪽 \mu(x)-\nu(x)\오른쪽 \;.}$

또한 이전 정의를 다음과 같이 절반으로 줄여$$ [ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,1]$의 값으로 정규화할 수 있다.

${\displaystyle \cHB(\mu ,\nu )={\frac {1}{1}:{2}}\sum _{x}\왼쪽 \mu(x)-\nu(x)\오른쪽 }$^[2]

기본 속성

상이한 함수의 총 변동

C ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$($){\displaystyle$ C$^{1}({\overline {\Oomega }})$ 함수$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 총 변동을 1.1과 1.2의 함수의 우월성 대신 해당 함수를 포함하는 적분으로 표현할 수 있다$$.

한 변수의 서로 다른 함수의 총 변동 형태

정리 1.$f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$이$($${\displaystyle 가}$) R$$ ] ⊂ ⊂ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ {\$displaystyle [a,$b]\$subset \mathb${R$\}\}\}$에 정의된 다른 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ f$}$의 총 변동은 Riemann 통합 가능한 경우$$ 다음과 같은 식을 갖는다.

${\displaystyle V_{b}^{a}(f)=\int _{a}^{b}f'(x) \mathrm {d}x}$

여러 변수의 서로 다른 함수의 총 변동 형태

정리2.Given a ${\displaystyle C^{1}({\overline {\Omega }})}$ function ${\displaystyle f}$ defined on a bounded open set ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$, with ${\displaystyle \partial \Omega }$ of class ${\displaystyle C^{1}}$, the total variation of ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$은(는) 다음과 같은 표현으로

${\displaystyle V}$(${\displaystyle f}$ ,${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \int {}_{}\mathrm{}}$ ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle d\mathrm{}}$ ${\displaystyle x}$(f$,\Displaystyle V(f$,\$Oomega )=\int_{\Oomega }\왼쪽 \nabla f(x)\오른쪽 \mathrm$ {d$}x}.$

증명

증거의 첫 번째 단계는 가우스-오스트로그라스키 정리에서 따르는 평등을 먼저 증명하는 것이다.

보조정리

정리의 조건하에서는 다음과 같은 평등이 유지된다.

${\displaystyle \int _{\Oomega }f\operatorname {div} \varphi =-\int _{\Oomega }\nabla f\cdot \varphi }}$

보조정리 증빙

가우스-오스트로그라스키 정리:

${\displaystyle \int _{\Oomega }\operatorname {div} \mathbf {R} =\int \partial \Oomega }\mathbf {R} \cdot \mathbf {n}}}}}$

$R{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\$을$($를) 대체함으로써 다음을 달성했다.

${\displaystyle \int _{\Oomega }\operatorname {div} \left(f\mathbf {\varphi } \reight)=\int_{\partial \Oomega }\ref(f\varphi \right)\cdot \mathbf{n}}}}}}}}}}}}}}$

여기서$$ $\Omega {\displaystyle }$ ${\$}$}$은(는) $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$의 경계에 0으로 정의된다$$.

${\displaystyle \int _{\Oomega }\operatorname {div} \left(f\mathbf {\varphi } \right)=0}$

${\displaystyle \int _{\Oomega }\partial _{x_{i}}\왼쪽(f\mathbf {\varphi }} _{i}\오른쪽)=0}$

${\displaystyle \int _{\Oomega }\mathbf {\barphi } _{i}\partial _{x_}{i}}f+f\partial _{x_}\mathbf {\\varphi } _{i}=0}$

${\displaystyle \int _{\Oomega}f\partial _{x_{i}}\mathbf {\varphi } _{i}=-\int _\partial _{x_}f}$

${\displaystyle \int _{\Oomega }f\operatorname {div} \mathbf {\varphi } =-\int _{\Oomega }\mathbf {\varphi } \cdot \nabla f}$

평등의 증거

정리 조건에 따라, 우리가 가지고 있는 보조정리로부터:

${\displaystyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \mathbf {\varphi } =-\int _{\Omega }\mathbf {\varphi } \cdot \nabla f\leq \left \int _{\Omega }\mathbf {\varphi } \cdot \nabla f\right \leq \int _{\Omega }\left \mathbf {\varphi } \right \cdot \left \nabla f\right \leq \int _{\Omega }\left \nabla f\right }$

정의상 그것의 본질적 우월성이 기껏해야 하나이기 때문에 마지막 부분 $\phi {\displaystyle }$ ${\$은 생략될 수 있다$$.

On the other hand, we consider ${\displaystyle \theta _{N}:=-\mathbb {I} _{\left[-N,N\right]}\mathbb {I} _{\{\nabla f\neq 0\}}{\frac {\nabla f}{\left \nabla f\right }}}$ and ${\displaystyle \theta _{N}^{*}}$ which is the up to ${\displaysty$$le{\displaystyle {}_{}}$ $\varpsilon }$ C ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\$의 ${\displaystyle {approx}_{}}$ N ${\$에 동일한 적분으로$$ 근사치.$C{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle C_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$1}은(는) ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 1 ${\$에 밀도가 있으므로$$ 이 작업을 수행할 수 있다$.$ 이제 다시 보조정리기로 대체한다.

${\displaystyle{\begin{정렬}&, \lim,=\lim _{N\to \infty}\int _{){\nabla f\neq 0\}}\mathbb{나는}_{\left[-N,N\right]}\nabla f\cdot{f\frac{\nabla}{\left \nabla f\right}}\\[4pt]& _{\Omega}f\operatorname{div}\theta _ᆰ^ᆱ\\[4pt]& _{N\to \infty}\int,=\lim _{N\to \infty}\int _{\left[-N,N\right]\cap{년{\nabla f\neq 0\}}}\nabla f\cdot. {\frac{\nabla f}{{\\\nabla f\오른쪽 \}\[4pt]&=\int_{\Oomega}\왼쪽 \nabla f\오른쪽 \edged}}}}}$

This means we have a convergent sequence of ${\textstyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \mathbf {\varphi } }$ that tends to ${\textstyle \int _{\Omega }\left \nabla f\right }$ as well as we know that ${\textstyle \int _{\Omega }f\operatorname {di$$v} \mathbf {\varphi$}$\leq \int _{\Oomega}\왼쪽 \nabla$ f$\오른쪽$$}.$ Q.E.D.

그것은 그 우수성이라는 증거에서 알 수 있다.

${\displaystyle \varphi \to {\frac {-\bla f}{\\왼쪽 \bla f\오른쪽}}.}$

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$} 함수$는 전체 변동이 유한한 경우 정확히 경계 변동을 갖는다고 한다$$.

측정값의 총 변동

총 변동은 경계 변동의 측정 공간에 정의된 표준이다.σ-알지브라 세트의 측정 공간은 이 표준에 상대적인 바나흐 공간이라고 불리는 바나흐 공간이다.그것은 바 스페이스라고 불리는 더 큰 바나흐 공간에 들어 있는데, 같은 규범을 가진 미세한 첨가물(계산 가능한 첨가물과는 반대) 측도로 구성되어 있다.규범과 관련된 거리 함수는 두 측정 μ와 μ 사이의 총 변동 거리를 발생시킨다.

R에 대한 유한한 측도의 경우, 위에서 설명한 바와 같이 측정 μ의 총 변동과 함수의 총 변동 사이의 연결은 다음과 같다.주어진 μ에 따라 함수 ${\displaystyle \phi \mathbb{}}$: ${\displaystyle R\mathbb{}}$→ R ${\$을(를) 정의하십시오.

$\displaystyle \varphi(t)=\mu(-\fty ,t])~.}$

그렇다면 부호화된 측정 μ의 총변동은 위의 의미에서는 함수 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$의 총변동과 동일하다$.$ 일반적으로 부호화된 측정의 총변동은 요르단의 분해 정리를 이용하여 정의할 수 있다.

$\displaystyle \\mu \ _{TV}=\mu _{+}(X)+\mu _{-}(X)~~,}$

측정 가능한 공간$X$, ${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$)의 모든 부호 측정 μs에 대해$,$ ${\displaystyle(X$,\Sigma $)}$

적용들

총변동치는 실제값 함수의 공간(한 변수의 함수의 경우)이나 통합 가능한 함수의 공간(여러 변수의 함수의 경우)에 정의된 비음수 실질값 함수로 볼 수 있다.기능으로서, 총 변동은 최적의 제어, 수치 분석 및 변동의 미적분처럼 수학 및 공학의 여러 분야에서 응용 프로그램을 발견하는데, 여기에는 특정 문제에 대한 해결책이 그 가치를 최소화해야 한다.예를 들어, 총 변동 기능의 사용은 다음의 두 종류의 문제에서 공통적이다.

• 미분방정식의 수치적 분석: 미분방정식에 대한 근사적 해결책을 찾는 과학이다.이러한 문제에 대한 총변동 적용은 "총변동 감소" 기사에 자세히 설명되어 있다.
• 이미지 변성: 이미지 처리에서 변성(denoising)은 데이터 전송이나 감지 등 전자적 방법으로 얻은 데이터로부터 재구성된 영상의 노이즈를 줄이기 위해 사용되는 방법의 집합이다."총 변동 디노베이션"은 이미지 노이즈 감소에 총 변동을 적용하기 위한 명칭으로, (Rudin, Osher & Patemi 1992) 및 (Caselles, Chambolle & Novaga 2007)의 논문에서 자세한 내용을 확인할 수 있다.Color TV라고 불리는 컬러 영상에 대한 이 모델의 합리적인 확장은 (Blomgren & Chan 1998)에서 찾을 수 있다.

참고 항목

• 경계변동
• p-beat
• 총 변동 감소
• 총변동디노이즈
• 이차변동
• 확률 측정값의 총 변동 거리
• 콜모고로프-스미르노프 시험
• 비등방성 확산

메모들

이 글은 일반적인 참고문헌 목록을 포함하고 있지만, 그에 상응하는 인라인 인용구가 충분하지 않다. 보다 정확한 인용구를 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2012년 2월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

과거 참조

• Arzelà, Cesare (7 May 1905), "Sulle funzioni di due variabili a variazione limitata (On functions of two variables of bounded variation)", Rendiconto delle Sessioni della Reale Accademia delle Scienze dell'Istituto di Bologna, Nuova serie (in Italian), IX (4): 100–107, JFM 36.0491.02, archived from the original on 2007-08-07.
• Golubov, Boris I. (2001) [1994], "Arzelà variation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
• Golubov, Boris I. (2001) [1994], "Fréchet variation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
• Golubov, Boris I. (2001) [1994], "Hardy variation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
• Golubov, Boris I. (2001) [1994], "Pierpont variation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
• Golubov, Boris I. (2001) [1994], "Vitali variation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
• Golubov, Boris I. (2001) [1994], "Tonelli plane variation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
• Golubov, Boris I.; Vitushkin, Anatoli G. (2001) [1994], "Variation of a function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Jordan, Camille (1881), "Sur la série de Fourier", Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences (in French), 92: 228–230, JFM 13.0184.01 (갈리카에서 구입 가능).보리스 골루보프에 따르면, 이것은 경계 변동의 기능에 관한 첫 번째 논문이다.
• Hahn, Hans (1921), Theorie der reellen Funktionen (in German), Berlin: Springer Verlag, pp. VII+600, JFM 48.0261.09.
• Vitali, Giuseppe (1908) [17 dicembre 1907], "Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali (On groups of points and functions of real variables)", Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino (in Italian), 43: 75–92, JFM 39.0101.05, archived from the original on 2009-03-31. 비탈리 커버 정리의 첫 번째 증거가 들어 있는 논문.

참조

• Adams, C. Raymond; Clarkson, James A. (1933), "On definitions of bounded variation for functions of two variables", Transactions of the American Mathematical Society, 35 (4): 824–854, doi:10.1090/S0002-9947-1933-1501718-2, JFM 59.0285.01, MR 1501718, Zbl 0008.00602.
• Cesari, Lamberto (1936), "Sulle funzioni a variazione limitata (On the functions of bounded variation)", Annali della Scuola Normale Superiore, II (in Italian), 5 (3–4): 299–313, JFM 62.0247.03, MR 1556778, Zbl 0014.29605. Numdam에서 이용 가능.

• Leoni, Giovanni (2017), A First Course in Sobolev Spaces: Second Edition, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, pp. xxii+734, ISBN 978-1-4704-2921-8.
• Saks, Stanisław (1937), Theory of the Integral, Monografie Matematyczne, vol. 7 (2nd ed.), Warszawa–Lwów: G.E. Stechert & Co., pp. VI+347, JFM 63.0183.05, Zbl 0017.30004 {{citation}}: (도움말)의 외부 링크(폴란드 가상 과학 도서관에서 이용 가능).로렌스 치솔름 영의 프랑스어 원문에서 스테판 바낙의 두 권의 추가 음과 함께 영어로 번역되었다.
• Rudin, Walter (1966), Real and Complex Analysis, McGraw-Hill Series in Higher Mathematics (1st ed.), New York: McGraw-Hill, pp. xi+412, MR 0210528, Zbl 0142.01701.

외부 링크

한 변수

• PlanetMath의 "총 변동".

하나 이상의 변수

• 수학 백과사전의 경계변동 기능

측량 이론

• Rowland, Todd. "Total Variation". MathWorld..
• 플래닛매트릭스의 조던 분해..
• 수학 백과사전 요르단 분해

적용들

• Caselles, Vicent; Chambolle, Antonin; Novaga, Matteo (2007), The discontinuity set of solutions of the TV denoising problem and some extensions, SIAM, Multiscale Modeling and Simulation, vol. 6 n. 3, archived from the original on 2011-09-27 (이미지 처리를 위한 문제를 변성시키는 데 있어서 총변동적용에 관한 작업).

• Rudin, Leonid I.; Osher, Stanley; Fatemi, Emad (1992), "Nonlinear total variation based noise removal algorithms", Physica D: Nonlinear Phenomena, Physica D: Nonlinear Phenomena 60.1: 259-268, 60 (1–4): 259–268, Bibcode:1992PhyD...60..259R, doi:10.1016/0167-2789(92)90242-F.

• Blomgren, Peter; Chan, Tony F. (1998), "Color TV: total variation methods for restoration of vector-valued images", IEEE Transactions on Image Processing, Image Processing, IEEE Transactions on, vol. 7, no. 3: 304-309, 7 (3): 304, Bibcode:1998ITIP....7..304B, doi:10.1109/83.661180.

• Tony F. Chan and Jackie (Jianhong) Shen (2005), Image Processing and Analysis - Variational, PDE, Wavelet, and Stochastic Methods, SIAM, ISBN 0-89871-589-X (with in-depth coverage and extensive applications of Total Variations in modern image processing, as started by Rudin, Osher, and Fatemi).