시그마링

수학에서 세트의 비어 있지 않은 집합의 집합은 계수 가능한 결합과 상대적 보완으로 닫히면 if링(pronled sigma-ring)이라고 한다.

형식 정의

$R{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) 세트의 비어 있지 않은 집합이 되도록 하십시오$$.$다음{\displaystyle \mathcal{}}$ 중 R ${\${\$mathcal{R}}$은(는) 𝜎-링이다.

1. Closed under countable unions: ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}}$ if ${\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {R}}}$ for all ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
2. 상대적 보완 하에 닫힘:${\displaystyle }$$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle B\mathcal{}}$ ${\displaystyle \in }$ R ${\$인 경우, A${\displaystyle }$, ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathcal{}}$ ${\$

특성.

이 두 가지 속성은 다음을 암시한다.

${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{A\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle }$… ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$은(는) $R{\displaystyle \mathcal{}}$. ${\displaystyle {\mathcal {R}$의 요소임$$.

왜냐하면

모든 Δ-링은 Δ-링이지만 Δ-링이 아닌 Δ-링이 존재한다.

유사개념

If the first property is weakened to closure under finite union (that is, ${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {R}}}$ whenever ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$) but not countable union, then ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ is a ring but not a 𝜎-ring.

사용하다

측정과 통합 이론의 개발에 있어서 if-fields( integration-alge-algebras) 대신 𝜎-링( (-rings)을 사용할 수 있다.모든 𝜎필드도 𝜎링이지만, ring링도 𝜎필드일 필요는 없다.

A 𝜎-ring ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ that is a collection of subsets of ${\displaystyle X}$ induces a 𝜎-field for ${\displaystyle X.}$ Define ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{A\cup B^{c}:A,B\in {\mathcal {R}}\}.}$$$ 그러면 $A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) $설정$된 X ${\displaystyle X}$ 위에 있는 $$𝜎 필드 - 카운트 가능한 유니언에서 폐쇄를 확인하려면 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma}$ - 링이$$ 카운트 가능한 교차점에서 닫혔는지 확인하십시오.실제로 $A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) $R{\displaystyle \mathcal{}.}$ ${\displaystyle$ ${\mathcal {R}$을(를) 포함하는 모든 𝜎 필드에 포함되어야 하므로$$ $R{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$displaystyle ${\mathcal$ {$R}$을(를) 포함하는 최소 field 필드다.

참고 항목

• Δ-링 – 계산 가능한 교차로에서 링 닫힘
• 세트장 – 측정 이론에서 대수 개념으로, 집합의 대수라고도 한다.
• 조인(시그마 대수)
• 𝜆-시스템(Dynkin 시스템) – 보완 및 계산 가능한 분리 연합에 의해 폐쇄된 제품군
• 측정 가능한 기능 – 측정 가능한 집합의 사전 이미지를 측정할 수 있는 기능
• 모노톤급
• π-시스템 – 교차점에서 닫힌 세트 패밀리
• 세트 링 – 유니언 및 상대적 보완 하에 패밀리 마감
• 샘플 공간
• 𝜎 긍적적
• σ알게브라 – 집합대수의 알헤브릭 구조
• 𝜎 이상 – 하위 집합 및 카운트 가능한 조합에 의해 폐쇄된 가족

참조

• 월터 루딘, 1976년수학 분석의 원리, 3번째 에드.맥그로힐마지막 장은 르베그 이론의 개발에 in링을 사용한다.

제품군 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$$mathcal$${F}$$Ω$ 이상 세트
$반드시{\displaystyle \mathcal{}}$F :$${\$displaystyle${\$mathcal {F}\colon}$에 해당됨 $또는{\displaystyle \mathcal{}}$ F ${\$이(가) 다음 조건에 따라 닫힘:	연출된 by ${\displaystyle \,\supseteq }$	$A\cap B}$	$A\컵 B}$	$B\setminus A}$	$\displaystyle \Oomega \setminus A}$	${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots }$	${\displaystyle A_{1}\컵 A_{2}\컵 \cdots }$	${\displaystyle \Oomega \in {\mathcal {F}}$	${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}$	F.I.P.
π-시스템
세미닝										결코 하지 않다
세미날게브라 (세미필드)										결코 하지 않다
모노톤급						${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{i}\searrow }$인 경우에만 해당됨	$A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}${$${\$displaystyle A_{i}\nearrow }$인 경우에만 해당됨
𝜆-시스템 (Dynkin 시스템				할 때만 $A\subseteq B}$			$A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{i}\nearrow }$ 또는$$ 그들은 서로 단절되어 있다.			결코 하지 않다
반지(순서가론)
링(측정 이론)										결코 하지 않다
Δ-링										결코 하지 않다
𝜎-링										결코 하지 않다
대수(필드)										결코 하지 않다
𝜎알게브라 (필드-필드)										결코 하지 않다
이중 이상
필터				결코 하지 않다	결코 하지 않다				${\displaystyle \varnot \in {\mathcal {F}}$
프리필터 (필터 베이스)				결코 하지 않다	결코 하지 않다				${\displaystyle \varnot \in {\mathcal {F}}$
필터 서브베이스				결코 하지 않다	결코 하지 않다				${\displaystyle \varnot \in {\mathcal {F}}$
위상							(임의의 조합도)			결코 하지 않다
$반드시{\displaystyle \mathcal{}}$F :$${\$displaystyle${\$mathcal {F}\colon}$에 해당됨 $또는{\displaystyle \mathcal{}}$ F ${\$이(가) 다음 조건에 따라 닫힘:	연출된 아래쪽으로	유한한 교차점	유한한 조합	상대적 보완물	보완물 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega }$	셀 수 있는 교차점	셀 수 있는 조합	$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$ 포함	포함 ${\displaystyle \varnothing }$	유한한 교차로 속성
또한 의미 부여는 모든 보완 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B\setminus A$}이(가)${\displaystyle }$F .$${\$displaystyle${\$mathcal {F}$에서 집합의 유한 분리 결합과 동일한 π-시스템이다.$}$ 세미메이지브라(semialgebra)는$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ . {\$displaystyle \Oomega .}$을(를) 포함하는 기호다. ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$A ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle A,B,A_{1},A_{2},\ldots }$은(는) $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 임의적인 요소이며$$$$, $≠.{\displaystystyle. {\\f}\neqvarnot.}$라고 가정한다.