베이어 세트

Baire set
Baire 집합이라고도 하는 Baire의 속성을 가진 세트는 Baire의 속성을 참조하십시오.

수학에서, 더 구체적으로 측정 이론에서, 바이어 집합은 보렐 집합의 병리학적 특성 일부를 회피하는 위상학적 공간의 al-알제브라(al-algebra)를 형성한다.

Baire 집합에 대한 몇 가지 불평등 정의가 있지만, 가장 널리 사용되고 있는 바이어 집합은 가장 작은 σ-알지브라에서 가장 작은 지역 소형 하우스도르프 공간을 형성하여 모든 압축적으로 지원되는 연속 기능을 측정할 수 있다.따라서 이 σ-알지브라에 정의된 조치(Baire measures)는 지역적으로 콤팩트한 하우스도르프 공간에서의 통합을 위한 편리한 프레임워크다.특히, 그러한 공간에서 압축적으로 지원되는 모든 연속적 기능은 유한한 Baire 측정과 관련하여 통합할 수 있다.

모든 베이어 세트는 보렐 세트다.그 역은 위상학적으로 많은 공간을 차지하고 있지만 전부는 아니다.Baire 집합은 토폴로지에 대한 카운트 가능한 기반이 없는 공간에서 보렐 집합의 일부 병리학적 특성을 피한다.실제로, Baire 세트에 대한 Baire 조치의 사용은 종종 Borel 세트에 대한 정기적인 Borel 조치의 사용으로 대체될 수 있다.

베이어 세트는 고다이라 구니히코(1941, Definition 4)와 고다이라 시즈오, 고다이라 구니히코(1944), 할모스(1950, 220쪽)가 차례로 레네루이 바이어의 이름을 따서 이름을 붙였다.

기본 정의

지역적으로 컴팩트한 하우스도르프 공간에는 적어도 3개의 불평등 정의가 있으며, 심지어 일반 위상학적 공간에 대한 정의도 더 많다. 이 모든 정의는 지역적으로 컴팩트한 하우스도르프 공간과 동일하지만 말이다.더욱이 일부 저자들은 Baire 집합이 정의되는 위상적 공간에 제한을 추가하며, 컴팩트한 하우스도르프 또는 국소적으로 컴팩트한 하우스도르프 또는 σ콤팩트 공간에만 Baire 집합을 정의한다.

첫 번째 정의

고다이라 구니히코는 우리가 특정 위상학적 공간의 (혼란스럽게 "보렐 세트"라고 부르지만)라고 부르는 것을 Baire 함수(모든 연속적인 실제 가치 함수를 포함하고 시퀀스의 점별 한계 하에서 닫히는 함수 중 가장 작은 종류)로 정의했다.더들리(1989년, 제7.1장)는 동등한 정의를 내리고, 모든 연속적 기능을 측정할 수 있도록 위상학적 공간의 세트를 가장 작은 σ-알지브라 요소들로 정의한다.국소적으로 콤팩트한 하우스도르프 공간의 경우 이는 다음 정의와 동일하지만, 일반적으로 정의는 동일하지 않다.

반대로, Baire 함수는 정확히 Baire가 측정할 수 있는 실제 가치 함수들이다.미터법 공간의 경우 Baire 세트는 Borel 세트와 동일하다.

두 번째 정의

Halmos(1950, 220페이지)는 국소적으로 컴팩트한 하우스도르프 공간의 Baire 세트를 컴팩트 Gδ 세트에 의해 생성되는 σ링의 요소로 정의했다.이 정의는 longer링이 다소 유행이 지났기 때문에 더 이상 많이 사용되지 않는다.공간이 σ-compact인 경우 이 정의는 다음 정의와 동일하다.

닫힌 Gδ 세트보다는 컴팩트 G 세트로δ 작업하는 한 가지 이유는 Baire 측정이 자동으로 규칙적이기 때문이다(Halmos 1950, 정리 G 228쪽).

세 번째 정의

셋째로 가장 널리 사용되는 정의는 바이어가 단순한 σ링이 아닌 σ알게브라(σ sets-algebra)를 형성하도록 수정하는 할모스의 정의와 유사하다.

국소적 소형 Hausdorff 위상학적 공간의 부분집합을 모든 소형 Gδ 세트를 포함하는 가장 작은 σ–algebra의 구성원인 경우 Baire 집합이라고 부른다.즉, Baire의 σ–algebra 집합은 모든 컴팩트 Gδ 집합에 의해 생성되는 σ–algebra이다.대안적으로 Baire 집합은 소형 지지대의 모든 연속적인 기능을 측정할 수 있도록 가장 작은 σ-알제브라를 형성한다(최소한 국소 소형 Hausdorff 공간에서는: 일반 위상학적 공간에서는 이 두 조건이 동등할 필요는 없다).

σ-compact 공간의 경우 이는 Halmos의 정의와 동일하다.definition-compact가 아닌 공간의 경우, 이 정의에 따른 Baire 집합은 Halmos의 정의에 따른 공간과 그 보완물이다.그러나, 이 경우 유한한 Baire 측정치가 반드시 정규적이라는 것은 더 이상 사실이 아니다. 예를 들어, 계산할 수 없는 이산 공간의 모든 부분 집합에 측정치 0을 할당하고 모든 공동 카운트 가능한 부분 집합에 측정치 1을 할당하는 Baire 확률 측정치는 정규적이지 않다.

예

Baire 세트의 다른 정의는 동일하지 않다.

locally-compact가 아닌 국소적 소형 Hausdorff 위상학적 공간의 경우 위의 세 가지 정의가 동등할 필요는 없다.

분리된 위상학적 공간은 국소적으로 좁고 하우스도르프다.이산 공간에 정의된 모든 함수는 연속적이며, 따라서 첫 번째 정의에 따르면 이산 공간의 모든 하위 집합은 Baire이다.그러나, 이산 공간의 콤팩트한 서브스페이스는 정밀하게 유한 서브스페이스이기 때문에, 두 번째 정의에 따르면, 바이어 세트는 정확히 최대 카운트 가능한 세트인 반면, 세 번째 정의에 따르면, 바이어 세트는 최대 카운트 가능한 세트와 그 보완물이다.따라서 세 가지 정의는 헤아릴 수 없는 이산 공간에서는 동등하지 않다.

하우스도르프가 아닌 공간의 경우 연속함수의 측면에서 Baire 집합의 정의는 Gδ 컴팩트 집합과 관련된 정의와 같을 필요는 없다.예를 들어, X가 유한 집합과 전체 공간인 무한 카운트 가능 집합인 경우, X의 유일한 연속 실제 함수는 일정하지만 X의 모든 하위 집합은 컴팩트 클로즈드δ G 집합에 의해 생성된 σ-알지브라에 있다.

Baire 세트가 아닌 보렐 세트

1점 이상의 콤팩트한 하우스도르프 공간이 셀 수 없을 정도로 많은 카트리지안 제품에서 포인트가 닫혔음에도 불구하고 결코 베이어 세트가 아니며, 따라서 보렐 세트도 아니다.[2]

특성.

Baire 집합은 유클리드 공간에서 보렐 집합과 일치한다.

모든 콤팩트한 하우스도르프 공간에 대해 모든 유한한 바이어 측정(즉, 모든 바이어 집합의 of-알게브라에 대한 측정)은 규칙적이다.[3]

모든 콤팩트한 하우스도르프 공간에 대해, 모든 유한한 바이어 측정은 정기적인 보렐 측정치에 대한 고유한 확장성을 가진다.[4]

콜모고로프 확장정리는 유한차원 확률분포의 모든 일관성 있는 수집이 함수의 공간에 대한 바이어 측정으로 이어진다고 기술하고 있다.[5](주어진 공간과 기능 공간의) 콤팩트함을 가정할 경우, 정기적인 보렐 측도로 확장할 수 있다.완료 후 반드시 표준이 아닌 확률 공간을 얻는다.[6]

메모들

  1. ^ 고다이라 1941 페이지 21 데프 4
  2. ^ 더들리 1989, 정리 7.1.1 이후의 예
  3. ^ 더들리 1989, 정리 7.1.5
  4. ^ 더들리 1989, 정리 7.3.1
  5. ^ 더들리 1989, 정리 12.1.2
  6. ^ 그 표준성은 다음에서 조사된다.정리 1(c)을 참조한다Tsirelson, Boris (1981). "A natural modification of a random process and its application to stochastic functional series and Gaussian measures". Journal of Soviet Mathematics. 16 (2): 940–956. doi:10.1007/BF01676139. S2CID 119874519..

참조