세트 필드

수학에서 집합의 장은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$로 $구성$된 쌍$$$($X $F$ ) $displaystyle(X,{\$$mathcal{F})$과 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$에 대한 대수라고 불리는$$ 부분$$ $집합{\displaystyle \mathcal{}}$F ${\displaystyty$ X$}$로 구성된 수학 구조다. 요소로서 빈 집합이며, $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle X,}$ 유한 조합 및 유한 교차로에서 보완을 취하는 작업 하에서 폐쇄된다.

세트 필드는 링 이론의 필드 또는 물리학의 필드와 혼동해서는 안 된다. 이와 유사하게"X에 X위의 앨지브라(대수{X}\displaystyle)"라는 용어는 부울 대수의 의미로 사용되며 링 이론에서 필드나 링 위의 알헤브라와 혼동해서는 안 된다.

세트장은 부울 알헤브라의 대표이론에 필수적인 역할을 한다. 모든 부울대수는 집합의 한 분야로 표현될 수 있다.

정의들

집합 필드($X{\displaystyle }$${\displaystyle }$, ${\displaystyle F}$) ${\displaystyle{F}$ 집합 X ${\displaystyle X}$와 X , {\displaystyle X} 하위 $집합$ F ${\displaystyle$ {$F$$}$ $패밀리{\displaystyle \mathcal{}}$ F ${\$displaystystyle ${$F}로 구성된 쌍$({\displaystyle }$$X{\displaystyle }$,$$${\$$displaystystystystytype$ X})이며$,$ {\})에는 다음과 같은 속성이 있다$.$

1. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 보완 아래 닫힘$:$

   ${\displaystyle X}$∈ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle F\mathcal{}}$ ${\$ 모든$$ $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle$F\$in${\$mathcal {F}}.$$}$

2. 빈 집합 포함($또는{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle$X} 포함$)$ 요소: $\varnothing {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle F}$. ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}.$$}$
   • (1)이 유지된다고 가정할 때, 이 조건 (2)는 $다음$과 같다: X ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle F}$. ${\displaystyle$ X$\in {\mathcal {F}.$$}$
3. 다음과 같은 모든^{[note 1]} 동등한 조건이 유지된다.
   1. 이진 유니언으로 닫힘:

      ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle F\mathcal{}}$ ${\$ 모든 $F{\displaystyle }$, ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \in }$ F${\displaystyle }$. ${\displaystyle F,G\in {\mathcal {F}$에 대해$$ {\mathcal}.$}$

   2. 이항 교차로에서 닫힘:

      ${\displaystyle }$$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle F\mathcal{}}$ ${\$ 모든 F${\displaystyle }$, ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle F}$. ${\displaystyle F,G\in {\mathcal {F}$에 대해$$.$}$

   3. 유한 유니언에 따라 폐쇄됨:

      ${\displaystyle F_{1}\cup \cdots \cup F_{n}\in {\mathcal {F}}}$ for all integers ${\displaystyle n\geq 1}$ and all ${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}.$$}$

   4. 유한 교차로에 따라 폐쇄됨:

      ${\displaystyle F_{1}\cap \cdots \cap F_{n}\in {\mathcal {F}}}$ for all integers ${\displaystyle n\geq 1}$ and all ${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}.$$}$

즉, $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 전원 집합 부울 대수(동일한 ID 요소 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle F\mathcal{}}$ ${\$의 하위 문자열을 형성한다$$.$$$$ 많은 저자들이 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ 자체를$$ 집합의 한 분야로 언급하고 있다. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 원소를 포인트라고 하고$$ $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ {$F}$의 원소를 콤플렉스로 부르며 허용 가능한 $X{\displaystyle }$ .${\displaystyle X.}$라고 한다.

세트 필드$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle F}$) ${\displaystyle(X,{\mathcal$${F$$}})$는 σ-algebra라고 하며$$ $대수{\displaystyle \mathcal{}}$F {\$displaystyle${\$mathcal{$F}는 다음과 같은 추가 조건 (4)이 충족되면 σ-algebra라고 한다$$.

4. 다음과 같은 동등한 조건의 일부/두 가지 모두 유지:
   1. 카운트할 수 있는 유니언에 따라 닫힘:

      ${\$$i$$=F_{1}\cup F_{2}\cdots \in {\mathcal{F}}$ 모든$$ ${\displaystyle F\mathcal{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$…${\displaystyle \in }$ F${\displaystyle }$. ${\displaystyle F_{1}, F_{2},\ldotsin {\mathcal {F}}.$$}$

   2. 셀 수 없는 교차점 폐쇄:

      ${\$$=$${\displaystyle {F\_\mathrm{}}_{}}$${1}\cap F_{2}\cap \cdots \in {\mathcal{F}}$ 모든$$ ${\displaystyle F\mathcal{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}}$F ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle F_{1}, F_{2},\ldotsin {\mathcal {F}}.$$}$

부울알헤브라의 표현 이론에 나타난 집합 필드

석재 표현

임의 집합 $Y{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ Y$,}$ 전원 집합 ${\displaystyle 2^{}}$ $Y {\$ 2$^{Y}}($또는 다소 페디컬적으로 이 집합과 해당 전원 집합의$$ 쌍$({\displaystyle Y}$, ${\displaystyle {2Y}^{}}$) ${\displaystyle(Y,2^{Y})$은 집합의 필드다. $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가$)$ 유한한 경우($이름{\displaystyle }$, n {\$displaystyle$ n$}$ -element$$), ${\displaystyle 2^{}}$ Y ${\$$Y}$은 유한함($이름{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$, ${\displaystyle {2n}^{}}$ ${\$ 2$^{n}}$ -element$$)이다. It appears that every finite field of sets (it means, ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ with ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ finite, while ${\displaystyle X}$ may be infinite) admits a representation of the form ${\displaystyle (Y,2^{Y})}$ with finite ${\displaystyle Y}$; it $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$과(와) ${\displaystyle 2^{}}$Y {\displaystyle $2^{{\$$displaystyle$ {F} 사이에 일대일 대응관계를 설정하는$$ 함수 $f{\displaystyle }$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to$ Y$}$를 의미한다.반전 이미지를 통한$$ Y$}:$ ${\displaystyle S=f^{-1}[B]=\{x\in X\mid f(x)\in B\}}$ where ${\displaystyle S\in {\mathcal {F}}}$ and ${\displaystyle B\in 2^{Y}}$ (that is, ${\displaystyle B\subset Y}$). 한 가지 주목할 만한 결과: 단지 수는 유한하다면 항상 ${\displaystyle {2n}^{}}$ .${\displaystyle$ 2$^{n}$ 형식이다.$}$

이를 위해 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$을(를) 지정된 세트 필드의 모든 원자의 집합으로 선택하고$$, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle f}$을(를$)$ $f{\displaystyle }$(x )${\displaystyle }$=$$ {\$displaystyle f}$$A}$ whenever ${\displaystyle x\in A}$ for a point ${\displaystyle x\in X}$ and a complex ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ that is an atom; the latter means that a nonempty subset of ${\displaystyle A}$ different from ${\displaystyle A}$ cannot be a complex.

즉, 원자는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 분할이고$,$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$은(는) 해당 지수 $집합$이며$,$ f {\$displaystyle f}$은(는) 해당 표준 추론이다.

마찬가지로, 모든 유한 부울 대수는 동력 집합, 즉 원자 집합의 동력 집합으로 나타낼 수 있다. 부울 대수의 각 원소는 그 아래에 있는 원자의 집합에 해당한다(그 결합은 원소). 이 동력 집합 표현은 완전한 원자 부울 대수에 대해 더 일반적으로 구성될 수 있다.

완전하지 않고 원자적인 부울 알헤브라의 경우, 우리는 여전히 전체 동력 집합 대신 집합의 필드를 고려함으로써 동력 집합 표현을 일반화할 수 있다. 이를 위해 우리는 먼저 유한 부울 대수의 원자가 그것의 초 여과기와 일치하고 원자가 원자에 해당하는 초 여과기에 포함된 경우에만 유한 부울 대수의 원소 아래에 있다는 것을 관찰한다. 이것은 우리가 그 초 여과기 세트를 취하고 그 원소를 포함하는 초 여과기 세트를 부울 대수학의 각 요소와 연관시켜 콤플렉스를 형성함으로써 부울 대수학의 표현을 구성하도록 이끈다. 이 구조는 실제로 집합의 한 분야로서 부울 대수를 표현하고 스톤 표현으로 알려져 있다. 그것은 부울 알헤브라에 대한 스톤 대표 정리의 기초가 되며, 드데킨드 컷과 유사한 이상이나 필터에 기초한 순서 이론에서의 완성 절차의 예다.

또는 부울대수의 각 원소를 상위 원소에 매핑하는 그러한 동형체 집합과 연관시켜 두 원소 부울대수에 대한 동형체 집합을 고려할 수 있다.(접근법은 부울대수의 초유형이 정확히 상위 원소의 사전 이미지로 동일하다.이러한 동형성을 희롱한다.) 이 접근법을 통해 스톤 표현은 또한 진리표에 의한 유한 부울 알헤브라의 표현을 일반화한 것으로 간주할 수 있다고 본다.

분리형 및 콤팩트한 세트장: 스톤 이중성 방향

• 세트 필드를 구분점 쌍마다 다른 점이 아닌 복합체가 있는 경우에만 분리형(또는 구별형)이라고 한다.
• $X{\displaystyle }$ ${\$을(를) 초과하는 모든 적절한 필터에 대해 필터에 포함된 모든 콤플렉스의 교차점이$$ 비어 있지 않은 경우에만 세트 필드를 콤팩트라고 한다.

이러한 정의는 세트 영역의 콤플렉스에 의해 생성되는 위상 고려에서 비롯된다. (그것은 주어진 점 집합에서 주목할 만한 위상 중 하나일 뿐, 특히 0차원이 아닌 상당히 다른 속성으로 다른 위상이 주어지는 경우가 많다.) 집합 $X{\displaystyle \mathbf{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle F}$) ${\displaystyle \mathbf {X}$ = $(X,{\mathcal{F})}$ 집합 필드를 지정하면 복합체는$$ 위상의 기초를 형성한다. T(${\displaystyle X\mathbf{}}$) ${\displaystyle T(\mathbf {X})}$에 해당하는$$ 위상 공간, $({\displaystyle X}$ ,${\displaystyle T\mathcal{}}$ )${\displaystyle(X,$ {\$mathcal$ {$T})$을 가리킨다. $여기$서 T ${\$ {$T}$은 복합체를$$ 임의 조합하여 형성된 위상이다. 그러면

• ${\displaystyle T}$( ${\displaystyle X\mathbf{}}$) ${\displaystyle T(\mathbf {X} )}$은 항상 0차원 공간이다.
• ${\displaystyle T}$( ${\displaystyle X\mathbf{}}$) ${\displaystyle$ T$(\mathbf {X} )}$은(는) X ${\$이(가) 분리된 경우에만 Hausdorff 공간이다.
• ${\displaystyle T}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle T(\mathbf {X} )}$은(는) $X{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$${\mathcal {F}}$이$($가) 압축된$$ 경우에만 컴팩트 오픈 세트 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ {\$mathbf {X$}이(가)가 있는 컴팩트 공간이다.
• ${\displaystyle T}$( ${\displaystyle X\mathbf{}}$) ${\displaystyle T(\mathbf {X} )}$은(는) $X{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$${\$$mathbf {X}}$이(가) 분리 및 압축된 경우에만 열린 집합 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ {\$mathcal {F}$이(가)가 있는 부울 공간이다.

부울 대수의 스톤 표현은 항상 분리적이고 압축적이다; 해당 부울 공간은 부울 대수의 스톤 공간이라고 알려져 있다. 스톤 공간의 열린 세트는 스톤을 대표하는 콤플렉스가 된다. 스톤 이중성으로 알려진 수학 영역은 부울 대수의 스톤 표현은 부울 알헤브라와 부울 공간 사이에 이중성이 존재하는 해당 스톤 공간으로부터 순수하게 회복될 수 있다는 사실에 기초한다.

구조물이 추가된 세트 필드

시그마 알헤브라와 공간 측정

집합에 대한 대수학을 카운트 가능한 조합(계수 가능한 교차점에서도 함)에 따라 닫는 경우, 시그마 대수(sigma alge)라고 하며 해당 집합의 필드를 측정 가능한 공간이라고 한다.contractable space)이라고 한다. 측정 가능한 공간의 콤플렉스를 측정 가능한 집합이라고 한다. 루미스-시코르스키 정리는 셀 수 있을 정도로 완전한 부울 알헤브라스(추상 시그마 알헤브라스라고도 할 수 있음)와 측정 가능한 공간 사이에 스톤 타입의 이중성을 제공한다.

측정 공간은 3중${\displaystyle (X}$ , ${\displaystyle F\mathcal{}}$ ,${\displaystyle \mu }$) ${\displaystyle (X,$ {\$mathcal {F},\mu )$이며 여기서${\displaystyle }$($X,$ ${\mathcal {F})$는 측정 가능한 공간이고$$ $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu}$은(으$$)에 정의된 측정 공간이다. 만약 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu$}이$($가) 사실$$ 확률 측정값이라면, 우리는 확률 공간에 대해 말하고 그 기초가 측정 가능한 공간을 샘플 공간이라고 부른다. 표본 공간의 점은 표본이라고 하며 잠재적 결과를 나타내는 반면, 측정 가능한 집합(복합체)은 사건이라고 하며 우리가 확률을 할당하고자 하는 결과의 속성을 나타낸다.(특히 모든 부분집합이 있는 경우, 많은 사람들은 확률 공간의 기초 집합에 대해 단순히 표본 공간이라는 용어를 사용한다. 사건) 측정 공간과 확률 공간은 각각 측정 이론과 확률 이론에서 기초적인 역할을 한다.

물리학에 응용할 때 우리는 종종 내부 제품 공간이나 이미 그것과 연관된 위상이 있는 위상 그룹과 같은 풍부한 수학 구조에서 파생된 측정 공간과 확률 공간을 다루는데, 이것은 임의의 콤플렉스를 취함으로써 생성된 위상과 혼동해서는 안 된다.

집합의 위상학 필드

A topological field of sets is a triple ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}},{\mathcal {F}})}$ where ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ is a topological space and ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ is a field of sets which is closed under the closure operator of ${\disp$$레이스타일 {\mathcal{T}$ 또는$$ 인테리어 운영자 밑에서 동등하게. 즉, 모든 단지의 폐쇄와 내부도 복잡하다. 즉$,{\displaystyle }$ $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) on (${\displaystyle X\mathcal{}}$, T${\displaystyle ).}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {T})$에 설정된 전원 집합 내부 대수학의 하위 표본을 형성한다$$.$}$

세트들의 위상학 분야는 인테리어 알헤브라와 헤이팅 알헤브라의 표현 이론에 근본적인 역할을 한다. 이 두 가지 등급의 대수적 구조는 각각 모달 논리 S4(인식적 논리의 형식적 수학적 추상화)와 직관적 논리에 대한 대수적 의미론을 제공한다. 이러한 대수 구조를 나타내는 세트의 위상학적 장은 이러한 로직들에 관련된 위상학적 의미론을 제공한다.

모든 내부 대수학은 집합의 위상학 분야의 콤플렉스에 해당하는 내부 대수의 기본 부울 대수 및 위상에 해당하는 내부 대수의 내부 및 폐쇄 연산자와 함께 위상학 세트의 위상학 분야로 나타낼 수 있다. 모든 헤이팅 대수학은 위상에 열려 있는 집합의 위상학장 복합체의 격자에 해당하는 헤이팅 대수학의 기초 격자로 위상학장 세트로 나타낼 수 있다. 게다가 헤잉 대수학을 대표하는 집합의 위상학 분야를 선택하여 개방된 콤플렉스가 부울 대수로서 모든 콤플렉스를 생성하도록 할 수 있다. 이러한 관련 표현은 진리 양식의 관계(아마도 참일 것이다 vs 필수적으로 참일 것이다, 모달논리로 연구된다)와 검증성과 반박성 개념(직관논리로 연구된다)을 연구하기 위해 잘 정의된 수학적 장치를 제공하며, 따라서 중간 l의 모달 동반자 이론과 깊은 관련이 있다.기괴한 사람

위상학적 공간이 주어진 클로닝 세트는 각각의 클로닝 세트가 자체 내부와 폐쇄이기 때문에 세트의 위상학적 영역을 사소한 것으로 형성한다. 부울 대수의 스톤 표현은 그러한 위상학 분야 집합으로 간주될 수 있지만, 일반적으로 위상학 영역의 위상은 단지들의 임의적인 결합을 취함으로써 생성된 위상과 다를 수 있으며, 일반적으로 위상학 분야 집합의 콤플렉스는 위상에서 개방되거나 폐쇄될 필요가 없다.

세트와 스톤 필드의 대수적 필드

집합의 위상학 분야는 복합체로 구성된 위상에 대한 기반이 있는 경우에만 대수학이라고 불린다.

만약 위상학 세트가 콤팩트하고 대수학적인 것이라면 위상은 콤팩트하고 그 콤팩트한 오픈 세트는 정확히 오픈 콤플렉스다. 게다가, 개방된 단지들은 토폴로지의 기반을 형성한다.

분리형, 콤팩트형, 대수형인 집합의 위상학적 장을 스톤필드라고 하며, 부울알헤브라의 스톤 표현에 대한 일반화를 제공한다. 내부 대수학에서 우리는 기초 부울 대수학의 스톤 표상을 형성한 다음 내부 대수학의 열린 요소(위상의 기초를 형성하는)에 해당하는 콤플렉스에 의해 생성된 위상을 취함으로써 이것을 위상학 세트의 영역으로 확장할 수 있다. 이 단지들은 정확히 개방된 단지들이며, 건설은 내부 대수학을 대표하는 스톤 필드를 생산한다 - 스톤 표현. (스톤 표현 위상은 부울 알헤브라가 내부 알헤브라에 대한 스톤의 결과를 처음으로 일반화한 수학자들의 이름을 따서 맥킨지-타스키 스톤 위상이라고도 하며, 보다 미세한 위상이 될 내부 대수의 기본 부울 대수학의 스톤 위상과 혼동해서는 안 된다.)

사전 주문 필드

사전 주문 필드는 트리플$({\displaystyle X\mathcal{}}$, ${\displaystyle \le }$, F${\displaystyle }$) ${\displaystyle (X,\leq ,{\$$mathcal$${F}})$이며$,{\displaystyle }$ 여기서 ${\displaystyle (X}$ ,${\displaystyle )}$ )$$${\displaystyle (X,$ {\$mathcal {F})}$은 사전 주문된 필드 집합이다.

집합의 위상학 분야와 마찬가지로, 프리오더 분야도 내부 알헤브라의 대표 이론에 중요한 역할을 한다. 모든 내부 대수학은 사전 순서에 의해 유도된 알렉산드로프 위상의 그것들에 해당하는 내부 및 폐쇄 연산자를 가진 사전 순서 분야로 표현될 수 있다. 즉, ${\displaystyle 모든\mathcal{}}$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ F ${\$에 대해 $:$

, 그리고

집합의 위상학 분야와 유사하게, 사전 순서 장은 모달 논리 S4에서 이론의 Kripke 의미론에서 가능한 세계를 나타내는 모달 논리학에서 자연적으로 발생하며, 사전 순서는 이 의미론에서 가능한 세계에 대한 접근성 관계를 나타내고, 복합체들은 가능한 세계의 집합을 나타낸다. 그 이론의 개별 문장은 린덴바움-의 표현을 제공하면서 유지된다.타르스키 이론 대수학 이들은 일반 모달 프레임의 특별한 경우로서, 모달 알헤브라의 표현을 제공하는 추가적인 접근성 관계가 있는 세트들이다.

대수 및 표준 사전 주문 필드

A preorder field is called algebraic (or tight) if and only if it has a set of complexes ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ which determines the preorder in the following manner: ${\displaystyle x\leq y}$ if and only if for every complex ${\displaystyle S\in {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle x\in S}$$$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle y\in S}$을 암시한다$.$ S4 이론에서 얻은 사전 순서 장은 항상 대수학이며, 사전 순서를 결정하는 콤플렉스는 필요에 따라 이론의 문장이 닫히는 가능한 세계의 집합이다.

분리형 콤팩트 대수 사전 순서 장은 표준적인 것이라고 한다. 내부 대수학을 주어, 스톤 표현 위상을 해당 표준 사전 순서(특수화 사전 순서)로 대체함으로써, 우리는 표준 사전 순서 분야로서 내부 대수의 표현을 얻는다. 사전 순서를 해당하는 알렉산드로프 위상에 의해 대체함으로써 우리는 집합의 위상학 분야로서 내부 대수학의 대체 표현을 얻는다. (이 "알렉산드로프 표현"의 위상은 스톤 표현 위상의 알렉산드로프 바이 코어 선택일 뿐이다.) 일반모달대수에 의한 모달알헤브라의 표현은 어떤 일반모달대수에 대해서도 가능하지만, 일반모달골격은 이러한 방식으로 집합의 위상학적 영역에 해당하는 것은 내부알헤브라의 경우(모달논리 S4에 해당)에만 해당된다.

복잡한 알헤브라와 관계 구조물의 세트장

사전 주문 필드에 의한 내부 알헤브라의 표현은 연산자가 있는 임의(정상) 부울 알헤브라의 표현 정리까지 일반화할 수 있다. 이를 위해 구조$({\displaystyle X}$,${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle {R_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$) I${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle F}$) ${\displaystyle (X,\좌측(R_{i}\우측)_$을 고려한다.${I},{\mathcal{F}}}$여기서${\displaystyle }$(${\displaystyle {{}_{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$( R ${\displaystyle {}_{{}_{}}}$) I${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (X,\좌측(R_{i}\오른쪽)_{{{}}}{{{}}}}{{{}}}}}}}{{}}}}}}}}}}}}}}$$I}}$은 관계 구조 즉, 지수화된 관계 계열이 정의된 집합이며$,{\displaystyle }$ (${\displaystyle X}$, ${\displaystyle F}$) ${\displaystyle (X,{\mathcal{F})$은 집합의 필드다$$. 집합 $X{\displaystyle \mathbf{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$,${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle {R_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$) ${\displaystyle I\mathcal{}{}_{}}$, F${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathbf {X} =(X,\좌$,\reft$(R_{i}\right)$_의 필드에 의해 결정되는 복합 대수(또는 콤플렉스의 대수)$___$관계 구조에서${I},{\mathcal {F}}$은(는) 연산자를 사용하는 부울 대수임

where for all ${\displaystyle i\in I,}$ if ${\displaystyle R_{i}}$ is a relation of arity ${\displaystyle n+1,}$ then ${\displaystyle f_{i}}$ is an operator of arity ${\displaystyle n}$ and for all ${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}\in {\mathcal {F}$$}}$

이 구조는 연산자로써 연산자와 관계를 모두 가지는 임의의 대수 구조에 관한 집합의 분야로 일반화될 수 있다. $F{\displaystyle }$ ${\$이(${\displaystyle 가\mathbf{}}$) X ${\displaystyle X}$의 전체 전원 집합이라면, $C$ (${\displaystyle }$X )${\displaystyle {\mathcal$ {$C}(\mathbf {X})}}$은(가) 완전 복합 대수 또는 전력 대수라고 불린다.

연산자와 함께 하는 모든 (정상) 부울대수는 장에 해당하는 복합대수에 대해 이형적이라는 의미에서 관계형 구조에서 집합의 장으로 나타낼 수 있다.

(역사적으로 콤플렉스라는 용어는 대수적 구조가 집단이고 집단 중 일부를 콤플렉스라고 부르는 19세기 집단 이론에서 유래를 가지고 있는 경우에 처음 사용되었다.

참고 항목

메모들

참조

• Goldblatt, R, 대수학 Polymodal Logic: A Survey, Logic Journal of the IGPL, 제8권, 제4권, 페이지 393-450, 2000년 7월
• Goldblatt, R, 복합 알헤브라의 품종, 순수 및 응용 논리 연보, 44, 페이지 173-242, 1989
• Johnstone, Peter T. (1982). Stone spaces (3rd ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-33779-8.
• C.A. Naturman, Internal Algebras and Topology, 박사 논문, 케이프 타운 수학과, 1991년
• Patrick Blackburn, Johan F.A.K. van Benthem, Frank Wolter Ed, Modal Logic의 핸드북, 논리 및 실제 추론에 관한 연구 제3권, Exvier, 2006

외부 링크

• "Algebra of sets", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 집합의 대수, 수학 백과사전.

제품군 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$$mathcal$${F}$$Ω$ 이상 세트
$반드시{\displaystyle \mathcal{}}$F :$${\$displaystyle${\$mathcal {F}\colon}$에 해당됨 $또는{\displaystyle \mathcal{}}$ F ${\$이(가) 다음 조건에 따라 닫힘:	연출된 by ${\displaystyle \,\supseteq }$	$A\cap B}$	$A\컵 B}$	$B\setminus A}$	$\displaystyle \Oomega \setminus A}$	${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots }$	${\displaystyle A_{1}\컵 A_{2}\컵 \cdots }$	${\displaystyle \Oomega \in {\mathcal {F}}$	${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}$	F.I.P.
π-시스템
세미닝										결코 하지 않다
세미날게브라 (세미필드)										결코 하지 않다
모노톤급						${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{i}\searrow }$인 경우에만 해당됨	$A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}${$${\$displaystyle A_{i}\nearrow }$인 경우에만 해당됨
𝜆-시스템 (Dynkin 시스템				할 때만 $A\subseteq B}$			$A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{i}\nearrow }$ 또는$$ 그들은 서로 단절되어 있다.			결코 하지 않다
반지(순서가론)
링(측정 이론)										결코 하지 않다
Δ-링										결코 하지 않다
𝜎-링										결코 하지 않다
대수(필드)										결코 하지 않다
𝜎알게브라 (필드-필드)										결코 하지 않다
이중 이상
필터				결코 하지 않다	결코 하지 않다				${\displaystyle \varnot \in {\mathcal {F}}$
프리필터 (필터 베이스)				결코 하지 않다	결코 하지 않다				${\displaystyle \varnot \in {\mathcal {F}}$
필터 서브베이스				결코 하지 않다	결코 하지 않다				${\displaystyle \varnot \in {\mathcal {F}}$
위상							(임의의 조합도)			결코 하지 않다
$반드시{\displaystyle \mathcal{}}$F :$${\$displaystyle${\$mathcal {F}\colon}$에 해당됨 $또는{\displaystyle \mathcal{}}$ F ${\$이(가) 다음 조건에 따라 닫힘:	연출된 아래쪽으로	유한한 교차점	유한한 조합	상대적 보완물	보완물 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega }$	셀 수 있는 교차점	셀 수 있는 조합	$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$ 포함	포함 ${\displaystyle \varnothing }$	유한한 교차로 속성
또한 의미 부여는 모든 보완 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B\setminus A$}이(가)${\displaystyle }$F .$${\$displaystyle${\$mathcal {F}$에서 집합의 유한 분리 결합과 동일한 π-시스템이다.$}$ 세미메이지브라(semialgebra)는$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ . {\$displaystyle \Oomega .}$을(를) 포함하는 기호다. 모든 가정은 비어 있지 않은 것으로 추정된다. ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}}$A ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle A,B,A_{1},A_{2},\ldots }$은(는) $F{\displaystyle \mathcal{}}$. ${\displaystyle {\mathcal {F}$의 임의 요소다.$}$