투영(측정 이론)

측정 이론에서, 투영 맵은 종종 제품 공간과 함께 작업할 때 나타난다.측정 가능한 공간의 시그마-알지브라 제품은 투영 매핑을 측정할 수 있도록 가장 우수한 것으로 정의된다.때때로 어떤 이유로 제품 공간에는 제품 시그마-알지브라와는 다른 시그마-알지브라(Sigma-Algebra)가 장착되어 있다.이 경우 예측은 전혀 측정할 필요가 없다.

측정 가능한 집합의 투영된 집합을 분석 집합이라고 하며, 측정 가능한 집합이 될 필요는 없다.그러나 어떤 경우에는 시그마-알지브라 제품에 상대적으로 또는 다른 시그마-알지브라에 상대적으로 측정 가능한 세트의 투영된 세트가 실제로 측정 가능하다.

척도 이론의 창시자 중 한 명인 앙리 르베그 자신은 그 사실에 대해 잘못 알고 있었다.1905년의 논문에서 그는 비행기에 설치된 보렐의 투영이 다시 실제 선에 보렐 세트라고 썼다.^[1]수학자 미하일 야코블레비치 수슬린은 약 10년 후 오류를 발견했고, 그의 다음 연구는 서술적 세트 이론으로 이어졌다.^[2]르베그에 대한 근본적인 실수는 투영법이 교차로 감소에 통한다고 생각하는 반면 그에 대한 간단한 반증들이 있다는 것이었다.^[3]

기본 예시

As an example for a non-measurable projection, one can take the space ${\displaystyle X:=\left\{0,1\right\}}$ with the sigma-algebra ${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{\emptyset ,\left\{0\right\},\left\{1\right\},\left\{0,1\right\}\right\}}$ and the space ${\displaystyle }$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle :=}${ ${\displaystyle 0\mathrm{},}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \}}$ $시그마-알게브라$ $G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle :=}${$$${\displaystyle \varnothing ,}${ ${\displaystyle 0\mathrm{},}$ ${\displaystyle 1}$$$${\displaystyle \}}$ ${\$mathcal ${\G}:\{\empteset,\{0,1\right\}}}}}}$을(를) 포함한$$ ${\$$displaystystyleft$\{0$,\{$0$,\$1\\\}\}\\\\\\\\$right$The diagonal set ${\displaystyle \left\{\left(0,0\right),\left(1,1\right)\right\}\subset X\times Y}$ is not measurable relatively to ${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {G}}}$, although the both projections are measurable sets.

측정 가능한 집합의 투영인 측정 불가능한 집합의 일반적인 예는 Lebesgue 시그마-알게브라에 있다.Let ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ be Lebesgue sigma-algebra of ${\displaystyle \mathbb {R} }$ and let ${\displaystyle {\mathcal {L}}'}$ be the Lebesgue sigma-algebra of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. For any bounded ${\displaystyle N\subset \mathbb {R} }$ not in ${\displaystyle \mathcal{L}}$${\displaystyle {\mathcal${${\displaystyle \mathrm{L}}$$\},$ 세트 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }${ 0${\displaystyle \}}$ ${\$은(는) $L{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}${$${\$displaystyle${\$mathcal {L}$에 있으며$$$,$ 제품 세트는 0의 세트에 포함되어 있다.

$아직$도 L$′{\$이(가) ${\displaystyle 제품\mathcal{}}$ $시그마-알지브라{\displaystyle \mathcal{}}$ L${\$이(가) 아니고$$$$ $완료되었음$을 알 수 있다$.$As for such example in product sigma-algebra, one can take the space ${\displaystyle \left\{0,1\right\}^{\mathbb {R} }}$ (or any product along a set with cardinality greater than continuum) with the product sigma-algebra ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}=\bigotimes _{t\in$$\mathbb {R} }{\mathcal {F}}_{t}}$ where ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\left\{\emptyset ,\left\{0\right\},\left\{1\right\},\left\{0,1\right\}\right\}}$ for every ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$. In fact, in this case "most" of the projected sets are not measurable, since the cardinality of ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ is ${\displaystyle \aleph _{0}\cdot 2^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}}$, whereas the cardinality of the projected sets is ${\displaystyle 2^{2^{\aleph _{0}}}}$.또한 수슬린이 보여준 것처럼 실제 선으로 투영하는 것이 보렐 세트가 아닌 평면에 보렐 세트의 예도 있다.^[2]

측정 가능한 투영 정리

다음 정리는 측정 가능한 집합의 투영에 충분한 조건을 제공한다.

렛$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle F}$) ${\$은 측정 가능한 공간이고$$,$$렛$({\displaystyle Y}$, ${\displaystyle B}$) {\$displaystyle \left(Y$$,{\mathcal {B}\$$righ)$은 ${\$인 광택 공간이다.그런 다음 제품 시그마-알지브라 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\$ {F$}\mathcal{B}}$의 모든 세트에$$$대해{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$에 대한 투영 설정은 F$${\$displaystyle${\$mathcal {F}$에 상대적으로 측정할 수 있는 범용 집합이다$.$^[4]

정리의 중요한 특별한 경우는 보렐이 $반드시{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ 집합이 아니더라도 R -${\displaystyle {}^{}}$k ${\$$displaystyle$ $\$$mathb{R}{n$$}{$n-k$}$에 대해 R- ${\displaystyle k^{}}$ {\$displaystyle$ \$mathb{$$R}$ ^{$n-k}}$에 대해 투영하는 것이다.또한 일부 측정 가능한 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ $2{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\mathb$ {R$} ^{$2}의 투영된$$ R ${\$ $\mathb${R$}}$의 이전 예시만 그러한 예시라는 것을 의미한다$.$

참고 항목

• 분석 집합
• 서술 집합론

참조

외부 링크

• "측정 가능한 투영 정리", PlanetMath