가능성 이론

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가능성 이론은 특정 유형의 불확실성을 다루기 위한 수학 이론이며 확률 이론의 대안이다. 0과 1 사이의 가능성과 필요성의 척도를 각각 불가능에서 가능, 불필요에서 필요까지의 범위로 사용한다. 로트피 자데 교수는 퍼지 집합과 퍼지 논리학의 연장선상에서 1978년 가능성 이론을 처음 도입했다. 디디에 두부아, 앙리 프라데는 더욱 그 발전에 기여했다. 앞서 1950년대 경제학자 G. L. S. 섀클은 잠재적 놀라움의 정도를 설명하기 위해 최소/최대 대수학을 제안했다.

가능성의 공식화

단순성을 위해 담화 Ω의 우주가 유한 집합이라고 가정한다. 가능한 척도는 ${\displaystyle {2\Omega \mathrm{}}^{}}$ ${\$ $\operatorname {pos}$에서 [0,$1]$까지 다음과 같은 ${\displaystyle \mathrm{함수}}$pos이다.

Axiom 1: ${\displaystyle \mathrm{pos}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle \varnothing }$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \operatorname {pos}(\varnothy )=0}$

Axiom 2: ${\displaystyle \mathrm{pos}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \operatorname {pos}(\Oomega )=1$}

Axiom 3: ${\displaystyle \operatorname {pos} (U\cup V)=\max \left(\operatorname {pos} (U),\operatorname {pos} (V)\right)}$ for any disjoint subsets ${\displaystyle U}$ and ${\displaystyle V}$.

It follows that, like probability, the possibility measure is determined by its behavior on singletons:

${\displaystyle \operatorname {pos} (U)=\max _{\omega \in U}\operatorname {pos} (\{\omega \})}$

provided that U is finite or countably infinite.

Axiom 1 can be interpreted as the assumption that Ω is an exhaustive description of future states of the world, because it means that no belief weight is given to elements outside Ω.

Axiom 2 could be interpreted as the assumption that the evidence from which ${\displaystyle \operatorname {pos} }$ was constructed is free of any contradiction. Technically, it implies that there is at least one element in Ω with possibility 1.

Axiom 3 corresponds to the additivity axiom in probabilities. However there is an important practical difference. Possibility theory is computationally more convenient because Axioms 1–3 imply that:

${\displaystyle \operatorname {pos} (U\cup V)=\max \left(\operatorname {pos} (U),\operatorname {pos} (V)\right)}$ for any subsets ${\displaystyle U}$ and ${\displaystyle V}$.

Because one can know the possibility of the union from the possibility of each component, it can be said that possibility is compositional with respect to the union operator. Note however that it is not compositional with respect to the intersection operator. Generally:

${\displaystyle \operatorname {pos} (U\cap V)\leq \min \left(\operatorname {pos} (U),\operatorname {pos} (V)\right)\leq \max \left(\operatorname {pos} (U),\operatorname {pos} (V)\right).}$

Ω이 유한하지 않은 경우 Axiom 3은 다음과 같이 대체할 수 있다.

For all index sets ${\displaystyle I}$, if the subsets ${\displaystyle U_{i,\,i\in I}}$ are pairwise disjoint, ${\displaystyle \operatorname {pos} \left(\cup _{i\in I}U_{i}\right)=\sup _{i\in I}\operatorname {pos} (U_{i}).$$}$

필요성

확률 이론은 사건 발생 가능성을 설명하기 위해 확률이라는 단일 숫자를 사용하는 반면, 가능성 이론은 사건의 가능성과 필요성의 두 가지 개념을 사용한다. $설정$된 U ${\displaystyle U$에 대한 필요성 측정은

${\displaystyle \operatorname {nec}(U)=1-\operatorname {pos}({\overline {U})}$

상기 공식에서 $'{\$은(는) $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$$displaystyle$ $U}$의 요소인$$$U{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $\Oomega}$의 보완을 의미하며$,$ $이$는 다음과 같은 것을 보여주는 것이 간단하다.

${\displaystyle \mathrm{nec}(U}$) ${\$$displaystyle \operatorname {nec}(U)\leq \operatorname {pos}(U)$ 모든 $U{\displaystyle }$ {\$displaystyle U}$에 대한 neck ${\displaystyle \mathrm{pos}}$}

and that:

${\displaystyle \operatorname {nec} (U\cap V)=\min(\operatorname {nec} (U),\operatorname {nec} (V))}$

Note that contrary to probability theory, possibility is not self-dual. That is, for any event ${\displaystyle U}$, we only have the inequality:

${\displaystyle \operatorname {pos} (U)+\operatorname {pos} ({\overline {U}})\geq 1}$

However, the following duality rule holds:

For any event ${\displaystyle U}$, either ${\displaystyle \operatorname {pos} (U)=1}$, or ${\displaystyle \operatorname {nec} (U)=0}$

Accordingly, beliefs about an event can be represented by a number and a bit.

Interpretation

There are four cases that can be interpreted as follows:

${\displaystyle \operatorname {nec} (U)=1}$ means that ${\displaystyle U}$ is necessary. ${\displaystyle U}$ is certainly true. It implies that ${\displaystyle \operatorname {pos} (U)=1}$.

${\displaystyle \operatorname {pos} (U)=0}$ means that ${\displaystyle U}$ is impossible. ${\displaystyle U}$ is certainly false. It implies that ${\displaystyle \operatorname {nec} (U)=0}$.

${\displaystyle \operatorname {pos} (U)=1}$ means that ${\displaystyle U}$ is possible. I would not be surprised at all if ${\displaystyle U}$ occurs. It leaves ${\displaystyle \operatorname {nec} (U)}$ unconstrained.

${\displaystyle \mathrm{nec}}$ ${\displaystyle (U}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \operatorname {nec}($U)=$0}$은(는)$$U {\$displaystyle U}$이(가) 불필요하다는$$ 것을 의미한다$$. $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$이(가) 발생하지 않는다면 나는 전혀 놀라지 않을 것이다. ${\displaystyle \mathrm{pos}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle U}$) ${\displaystyle \operatorname {pos}(U)}$은(는) 구속되지$$ 않은 상태로 남는다.

The intersection of the last two cases is ${\displaystyle \operatorname {nec} (U)=0}$ and ${\displaystyle \operatorname {pos} (U)=1}$ meaning that I believe nothing at all about ${\displaystyle U}$. Because it allows for indeterminacy like this, possibility theory relates to the graduation of a ma고전적인 두 가지 가치 논리보다는 직관적 논리 같은 ny-값 논리.

가능성과는 달리 퍼지 논리는 조합과 교차로 운영자 모두에게 구성성이 있다. 퍼지 이론과의 관계는 다음과 같은 고전적인 예로 설명할 수 있다.

• 퍼지 논리: 병이 반쯤 차면 '병이 차 있다'는 명제의 진리 수준은 0.5라고 할 수 있다. "full"이라는 단어는 병 속의 액체의 양을 설명하는 퍼지 술어로 보여진다.
• 가능성 이론: 한 병이 있는데, 완전히 배부르거나 완전히 비어 있다. "병이 가득 찰 가능성 수준은 0.5"라는 명제는 어느 정도의 믿음을 설명한다. 그 명제에서 0.5를 해석하는 한 가지 방법은 그 의미를 다음과 같이 정의하는 것이다: 나는 승산이 짝수(1:1)나 더 나은 한 그것이 비어 있다는 것을 내기를 할 준비가 되어 있고, 그것이 가득 찼다는 것을 어떤 식으로든 내기를 하지 않을 것이다.

부정확한 확률 이론으로서의 가능성 이론

There is an extensive formal correspondence between probability and possibility theories, where the addition operator corresponds to the maximum operator.

A possibility measure can be seen as a consonant plausibility measure in Dempster–Shafer theory of evidence. The operators of possibility theory can be seen as a hyper-cautious version of the operators of the transferable belief model, a modern development of the theory of evidence.

Possibility can be seen as an upper probability: any possibility distribution defines a unique credal set set of admissible probability distributions by

${\displaystyle K=\left\{\,p:\forall S\ p(S)\leq \operatorname {pos} (S)\,\right\}.}$

This allows one to study possibility theory using the tools of imprecise probabilities.

Necessity logic

We call generalized possibility every function satisfying Axiom 1 and Axiom 3. We call generalized necessity the dual of a generalized possibility. The generalized necessities are related with a very simple and interesting fuzzy logic we call necessity logic. In the deduction apparatus of necessity logic the logical axioms are the usual classical tautologies. Also, there is only a fuzzy inference rule extending the usual Modus Ponens. Such a rule says that if α and α → β are proved at degree λ and μ, respectively, then we can assert β at degree min{λ,μ}. It is easy to see that the theories of such a logic are the generalized necessities and that the completely consistent theories coincide with the necessities (see for example Gerla 2001).

See also

• Fuzzy measure theory
• Logical possibility
• Modal logic
• Probabilistic logic
• Random-fuzzy variable
• Transferable belief model
• Upper and lower probabilities

References

• Dubois, Didier and Prade, Henri, "Possibility Theory, Probability Theory and Multiple-valued Logics: A Clarification", Annals of Mathematics and Artificial Intelligence 32:35–66, 2002.
• Gerla Giangiacomo, Fuzzy logic: Mathematical Tools for Approximate Reasoning, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 2001.
• Ladislav J. Kohout, "가능성의 이론: Meta-Axomatics and Semantics", Puzzy Sets and Systems 25:357-367, 1988.
• Zadeh, Lotfi, "Fuzzy Sets as a Fossibility", Puzzy Sets and Systems 1:3–28, 1978. (Puzzy Sets and Systems 100 (Supplement): 9–34, 1999).
• 1975년 5월 13일부터 16일까지 인디애나주 블루밍턴에서 열린 국제 다가치논리학 심포지엄의 브라이언 R. 게인즈와 라디슬라브 J. 코우트 "가능성 오토마타".