실린더 세트

수학에서, 실린더 세트는 세트 생산물의 제품 위상의 기초를 형성한다; 그것들은 또한 실린더 σ-알지브라에서 생성되는 제품군이다.

일반적 정의

집합 $집합$의 집합 S$${\$displaystyle$S}을(를) 지정하면 집합의 모든 집합 중$$ 카트리지 제품 X =${\displaystyle \underset{}{}}$product${\displaystyle }Y{\displaystyle }$ $∈$ ${\displaystyle \underset{}{}}$ {\$displaystyle \textstyle$ X$=\prod _{Y\in S}Y\}}}$을(를) 고려하십시오.일부 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y\in S}$에 해당하는 표준 투영은 $함수$ p${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle X}$ →${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p_{$제품의 모든 요소를 해당 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$ 구성$$ 요소에 매핑하는$$ $Y:X\to$ Y$}$실린더 세트는 그러한 프리이미지들의 표준 투영 또는 유한 교차점의 프리이미지 이다.분명히, 이건 양식의 집합이고,

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}p_{{Y_{i}^{1}^{-1}\왼쪽(A_{i}\오른쪽)=\왼쪽(x\오른쪽)\X\mid x_{{}Y_{1}}\in A_{1},\dots,x_{{}Y_{n}}\in A_{n}\오른쪽\}}}}$

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 임의 선택$,$ 집합 Y ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ , .${\displaystyle }$.${\displaystyle }$Y n${\displaystyle {}_{}n}$ S ${\displaystyle Y_{1},...$$Y_{n}\in S}$과(와) ${\displaystyle {하위}_{}}$ 집합 $A{\displaystyle {}_{}}$ { ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle Y_{}}$ ⊆ Y$$⊆ Y {\$displaystyle A_{i}\subseteq Y_{i$}} 1$$${\displaystyle i}$ $i{\displaystyle \mathrm{}\le }$ n ${\displaystystyleq i\leq n$ 여기 ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ Y ${\displaystystylex_{{{}$$Y}\in Y}$은(는) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ X$${\$displaystyle$ x\$in X}$의 Y ${\displaystyle$ $Y$$}$ 구성요소를$$ 가리킨다$$$.$

그런 다음 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ S$}$의 모든 세트가 위상학적 공간인 경우$$ 구성 요소의 오픈 세트에 해당하는 실린더 세트에 의해 제품 위상이 생성된다.저것은 $\bigcap {\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ p ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {i_{}}_{}^{}}$- ${\displaystyle 1_{}^{}}$( ${\displaystyle U_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$) ${\$n}p_{displaysty style.$Y_{i}}^{-1}\left(U_{i}\right)}$ where for each ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle U_{i}}$ is open in ${\displaystyle Y_{i}}$. In the same manner, in case of measurable spaces, the cylinder σ-algebra is the one which is generated by cylinder sets corresponding to the components' measurable sets.

실린더가 한정된 수의 열린 실린더의 교차점이 되는 제한은 중요하다. 무한 교차를 허용하면 일반적으로 위상이 더 미세해진다.후자의 경우 결과 위상은 박스 위상이며 실린더 세트는 힐버트 큐브가 아니다.

이산형 집합 제품의 실린더 세트

$Let{\displaystyle }$ S${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$…,${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle S=\{1,2,\ldots,n\}}$은(는) 유한 집합으로$$, n개의 객체나 문자를 포함한다.이 글자에 있는 모든 바이 무한 문자열의 모음은 다음과 같다.

${\displaystyle S^{\mathb {Z} }=\{x=(\ldots,x_{-1},x_{0},x_{1},\ldots }):x_{k}\in S\;\in \mathb {Z}\}}}}$

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 자연 위상은 이산 위상이다.이산 위상의 기본 오픈 세트는 개별 문자로 구성되므로, ${\displaystyle {S\mathbb{}}^{}}$ Z ${\$에 있는 제품 위상의 오픈 실린더는 다음과 같다$$.

${\displaystyle C_{t}[a]=\{x\in S^{\\\mathb {Z} }:x_{t}=a\}.}$

열린 실린더의 한정된 개수의 교차점은 실린더 세트다.

${\displaystyle {\reasoned}C_{t}[a_{0},\ldots ,a_{m}]&=C_{t}[a_{0}]\,\cap \,\cap \, \c_{t+1}[a_{1}],\cap \cdots \cap \,c_{t+m}[a_{m}]\\&=\{x\in S^{\mathb {Z} }:x_{t}=a_{0},\ldots,x_{t+m}=a_{m}\}\end{aged}}}.}$

실린더 세트는 클로닝 세트다.위상의 요소로서 실린더 세트는 정의상 개방 세트다.오픈 세트의 보어는 닫힌 세트지만 실린더 세트의 보어는 실린더의 결합이므로 실린더 세트도 닫히고, 따라서 클로닝된다.

벡터 공간에 대한 정의

필드 K에 대한 유한 또는 무한 벡터 공간 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$이(가) 주어지면(예: 실제 또는 복잡한 숫자) 실린더 세트는 다음과 같이 정의될 수 있다.

${\displaystyle C_{A}[f_{1},\ldots,f_{n}]=\{x\in V:(f_{1}(x), f_{2}(x),\ldots,f_{n}(x)\in A\}}}}}$

where ${\displaystyle A\subset K^{n}}$ is a Borel set in ${\displaystyle K^{n}}$, and each ${\displaystyle f_{j}}$ is a linear functional on ${\displaystyle V}$; that is, ${\displaystyle f_{j}\in (V^{*})^{\otimes n}}$, the algebraic dual space to ${\dis$$Playstyle V$ 위상학적 벡터 공간을 다룰 때, ${\displaystyle {\mathrm{요소}}^{}}$ f space $($$V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ) $⊗$ $displaystyle f_{j}\in (V^{\premy }}}^{\otimes n}},$ 연속적인 이중 공간인 f ${\displaystyle j_{}}$ ( (V ${\displaystyle \backslash )}$에 대해 대신 정의가 만들어진다.즉, ${\displaystyle {함수}_{}}$ $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 연속 선형 함수로 간주된다$$.

적용들

실린더 세트는 $종종{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {S\mathbb{}}^{}}$ Z ${\$ S$^{\mathb{Z}}}}$의 부분 집합이며$$ 심볼 역학 연구에서 자주 발생하는 세트의 위상을 정의하는데 사용된다. 예를 들어, 유한 유형의 하위 이동을 참조한다.실린더 세트는 Kolmogorov 확장 정리를 사용하여 측정치를 정의하는 데 종종 사용된다. 예를 들어, 길이 m의 실린더 세트의 측정치는 1/m 또는 1/2로^m 주어질 수 있다.

실린더 세트는 공간에 대한 메트릭스를 정의하는데 사용될 수 있다. 예를 들어, 하나는 문자열의 문자 중 1-12분의 1이 일치하면 두 문자열이 close-닫힌다고 말한다.

$S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {Z\mathbb{}}^{}}$ ${\$의 문자열은 p-adic 숫자로 간주할 수 있으므로$$ p-adic 숫자 이론의 일부를 실린더 세트에 적용할 수 있으며, 특히 p-adic 측정치와 p-adic 측정기준의 정의는 실린더 세트에 적용된다.이러한 유형의 측정 공간은 동적 시스템 이론에 나타나며 비경상적 주행 기록계라고 불린다.이러한 시스템의 일반화는 마르코프 주행 기록계다.

위상 벡터 공간 위의 실린더 세트는 양자장 이론의 파인만 경로 적분 또는 기능 적분, 그리고 통계 역학의 분할 함수의 공식^{[citation needed]} 정의에 핵심 성분이다.

참고 항목

• 원통형 σ-알지브라
• 실린더 세트 측정
• 울트라프로덕트

참조

• R.A. Minlos (2001) [1994], "Cylinder Set", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press