르베그 분해 정리

수학에서 측정 이론이 더 정확하게에서 르베그 분해 theorem[1][2][3]주 μ 측정 가능한 공간(Ω, Σ)에{\displaystyle \mu}과ν{\displaystyle \nu},{\displaystyle(\Omega ,\Sigma),}이 0{\displa ν 두 σ-finite을 체결했다 조치가 존재한다고 매 2에 σ-finite 대책으로 서명했다.ystyle \n$u _{0}}$ 및$$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$ _$$${1}:{$1}.

• ${\displaystyle \nu =\nu _{0}+\nu _{1}\,}$
• ${\displaystyle {\nu }_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$μ $[\$$displaystyle$ $\nu _{0}\ll \mu }}($즉, $\nu {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle$$\nu$_${0})$은 $\mu$에 대해 절대적으로 연속적이다$.$
• ${\displaystyle {\nu }_{}}$ $[\displaystyle \nu _{1}\perp \mu }},$ 즉 ${\displaystyle {\nu \mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$},$$$\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu$ }은$($는) 단수형이다.

이 두 가지 측정치는 $[\displaystyle \mu }$ 및$$ $.[\displaystyle \nu .}$에 의해 고유하게 결정된다.

정제

레베게의 분해 정리는 여러 가지 방법으로 정제할 수 있다.

첫째, 실제 선에서 정규 보렐 측정치의 단일한 부분의 분해는 다음과 같이 정제할 수 있다.^[4]

${\displaystyle \,\nu =\nu _{\mathrm {cont}+\nu _{\mathrm {sing}+\nu _{\mathrm {pp}}}}}}}}$

어디에

• ν은_cont 절대적으로 연속적인 부분이다.
• ν은_sing 단수 연속 부분이다.
• ν은_pp 순수 포인트 부분(별도의 측정)이다.

둘째, 절대적으로 연속적인 조치는 라돈-니코디름 정리(Radon-Nikodym organization)에 의해 분류되며, 이산적인 조치는 쉽게 이해된다.따라서 (노래형 연속 측정은 제쳐두고) Lebesgue 분해는 측정에 대한 매우 명시적인 설명을 제공한다.칸토어 측정치(Cantor 함수가 누적분포함수가 캔토함수인 실선의 확률 측정치)는 단수 연속 측정의 예다.

관련개념

레비-이토 분해

The analogous^{[citation needed]} decomposition for a stochastic processes is the Lévy–Itō decomposition: given a Lévy process X, it can be decomposed as a sum of three independent Lévy processes ${\displaystyle X=X^{(1)}+X^{(2)}+X^{(3)}}$ where:

• ${\displaystyle X^{}}$( ${\displaystyle 1^{}}$) ${\$는 절대 연속적인 부분에 해당하는 드리프트가 있는 브라운 운동이다$$.
• ${\displaystyle X^{}}$( ${\displaystyle 2^{}}$) ${\$은 순점 부분에 해당하는 복합 포아송 공정이다.
• ${\displaystyle X^{}}$( $){\$는 정사각형 통합형 순점프 마팅게일로, 단수 연속 부분에 해당하는 한정된 간격으로 셀 수 있는 점프 수가 거의 확실하다.

참고 항목

• 스펙트럼 분해
• 한 분해 정리 및 그에 상응하는 요르단 분해 정리

인용구

참조

• Halmos, Paul R. (1974) [1950], Measure Theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 18, New York, Heidelberg, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90088-9, MR 0033869, Zbl 0283.28001
• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and Abstract Analysis. A Modern Treatment of the Theory of Functions of a Real Variable, Graduate Texts in Mathematics, vol. 25, Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90138-1, MR 0188387, Zbl 0137.03202
• Rudin, Walter (1974), Real and Complex Analysis, McGraw-Hill Series in Higher Mathematics (2nd ed.), New York, Düsseldorf, Johannesburg: McGraw-Hill Book Comp., ISBN 0-07-054233-3, MR 0344043, Zbl 0278.26001

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