지시 집합

수학에서 지시된 집합(또는 지시된 사전 순서 또는 필터링된 집합)은 반사적 및 전이적 이진 관계 ${\displaystyle \le }$ ${\$\,}($$즉, 사전 순서$$)와 함께 비어 $있지{\displaystyle }$ 않은 집합 A {\$displaystystyle A}$이며, 각 요소 쌍이 상한으로 되어 있는 추가 속성이다.^[1] 즉, $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 $모든{\displaystyle }${\$displaystyle$ $a}$ 및 $b{\displaystyle }$$${\$displaystyle$$a$$\$$leq c}$에 $c{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle c$$}$이(가) 있어야$$ 하며, directed ${\displaystyle c}$${\displaystyle$ b\$leq c.}$ 방향 ${\displaystyle \mathrm{지시}}$된 집합의 사전 순서가 있어야 한다.

위에서 정의한 개념을 상향 지시 집합이라고 부르기도 한다. 하향 방향 집합은 유사하게 정의되며,^[2] 이는 모든 원소 쌍이 아래에 경계되어 있다는 것을 의미한다.^[3] 일부 저자들(그리고 이 기사)은 달리 명시되지 않는 한 지시된 집합이 위로 향한다고 가정한다. 다른 작가들은 만약 그것이 위아래로 향한다면 그리고 오직 그것이 지시된 세트를 부른다는 것을 알아라.^[4]

지시된 세트는 비어 있지 않은 완전 주문 세트의 일반화다. 즉, 완전히 정렬된 세트는 모두 지시된 세트(대조 부분 정렬된 세트, 지시할 필요가 없음)이다. 조인 세미라티(부분적으로 정렬된 집합)도 방향 집합이지만 반대로 정렬된 집합은 아니다. 마찬가지로 격자는 위아래로 모두 지시된다.

위상에서는 유도된 집합이 그물을 정의하는데 사용되는데, 이는 시퀀스를 일반화하고 분석에 사용되는 다양한 한계 개념을 결합하는 것이다. 지시 집합은 추상 대수학 및 (더 일반적으로) 범주 이론에서도 직접적인 한계를 야기한다.

등가정의

위의 정의 외에도 등가 정의가 있다. 방향 집합은 사전 순서가 있는$$ 집합 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이며, $따라서{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$의 모든 유한 부분 집합은 상한이다$$. 이 정의에서 빈 부분 집합의 상한이 $존재$한다는$$것은 A {\$displaystyle$ A$}$이(가) 비어$$ 있지 않다는 것을 의미한다.

예

한preordered 집합(나는, ≤){\displaystyle(I,\leq)}의 요소 m{m\displaystyle}은 최대 요소 모든 j에 ∈ 나는,{\displaystyle j\in 나는}m≤ j{\displaystyle m\leq j}j≤ m{\displaystyle j\leq m}.[5]그것은 위대한 요소를 암시하는 경우 모든 j∈ 나는{\displaystyle j\in 나는}, j≤ m {)$displaystyle j\leq m}$ 정의의 몇 가지 직접적인 의미는 다음과 같다$.$

• 가장 큰 요소를 가진 사전 주문 집합은 동일한 사전 주문 집합이다.
• 지시된 사전 정렬된 세트의 모든 최대 요소는 가장 큰 요소다. 실제로, 지시된 사전 정렬된 세트는 최대 요소와 최대 요소 세트의 동일성을 특징으로 한다.

지시된 집합의 예는 다음과 같다.

• $일반{\displaystyle \mathbb{}}$ 순서 ${\displaystyle \le }$ ${\$을(를) 갖는 $자연수$ N {\$displaystyle$\,\leq $\,}$ 집합은 지시된 집합이며$$, 모든 순서도 완전하다.
• $D{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$} 및 ${\displaystyle {}_{}}$ 2 ${\$}}개를 지시 집합으로 한다$$. Then the Cartesian product set ${\displaystyle \mathbb {D} _{1}\times \mathbb {D} _{2}}$ can be made into a directed set by defining ${\displaystyle \left(n_{1},n_{2}\right)\leq \left(m_{1},m_{2}\right)}$ if and only if ${\displaystyle n_$${1}\leq m_{1}$및 n$$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$≤ m ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$. ${\displaystyle n_{2}\leq m_{2}.}$ 제품 주문과 유사하게$$ 이것은 데카르트 제품의 제품 방향이다. For example, the set ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ of pairs of natural numbers can be made into a directed set by defining ${\displaystyle \left(n_{0},n_{1}\right)\leq \left(m_{0},m_{1}\right)}$ if and only if ${\displaystyle n_{$$0}\leq m_{0}$ 및$$ $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ m ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$. ${\displaystyle n_{1}\leq m_{1}.$$}$
• If ${\displaystyle T}$ is a topological space and ${\displaystyle x_{0}}$ is a point in ${\displaystyle T,}$ set of all neighbourhoods of ${\displaystyle x_{0}}$ can be turned into a directed set by writing ${\displaystyle U\leq V}$ if and only if ${\displaystyle U}$ contains ${\displaystyle V.}$${\displaystyle }$모든 $U{\displaystyle }$, ${\displaystyle U,}$${\displaystyle }$, ${\displaystyle V,}$ $및{\displaystyle }$ W$$ ${\displaystyle W}$에 대해:$$
  • ${\displaystyle }$$U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$이(가) 포함되어$$ 있기 ${\displaystyle \mathrm{때문}}$에 U${\displaystyle u}$ U ${\displaystyle$ U$\leq$ U$}$
  • if ${\displaystyle U\leq V}$ and ${\displaystyle V\leq W,}$ then ${\displaystyle U\supseteq V}$ and ${\displaystyle V\supseteq W,}$ which implies ${\displaystyle U\supseteq W.}$ Thus ${\displaystyle U\leq W.}$
  • because ${\displaystyle x_{0}\in U\cap V,}$ and since both ${\displaystyle U\supseteq U\cap V}$ and ${\displaystyle V\supseteq U\cap V,}$ we have ${\displaystyle U\leq U\cap V}$ and ${\displaystyle V\leq U\cap V.}$
• If ${\displaystyle x_{0}}$ is a real number then the set ${\displaystyle I:=\mathbb {R} \backslash \lbrace x_{0}\rbrace }$ can be turned into a directed set by defining ${\displaystyle a\leq _{I}b}$ if ${\displaystyle \left a-x_{0}\right \geq$$\left b-x_{0}\right }($따라서 "interflict" ${\displaystyle {요소}_{}}$는 x$$0 {\$displaystyle x_{$0}}에 가깝다.$$ 그리고 나서 우리는 실물이 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$을 향했다고 말한다$.$ 일부 주문도 완전 주문도 되지 않은 디렉티드 세트의 예다. 이는 비대칭이 모든 $쌍$에 대해 x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$$displaystyle a$$}$과 $b{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle x_{0}$에서 분해되기$$ 때문이며, 여기서$$ ${\displaystyle a}$과 $b{\displaystyle }$ ${\displaystystyle b}$이(가) $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystystysty x_{0}$의 반대쪽에 위치한다$$$$. { a${\displaystyle ,}$ $\{,{\displaystyle }$ {, {, ${\displaystyle b\}}$${\displaystyle \{a,b\}=\left\{x_{0}-r,x_{0}+r\right\}}$ for some real ${\displaystyle r\neq 0,}$ in which case ${\displaystyle a\leq _{I}b}$ and ${\displaystyle b\leq _{I}a}$ even though ${\displaystyle a\neq b.}$ Had this preorder been defined on ${\displaystyle \mathbb {R} }$ instead of ${\displaystyle \mathbb {R} \backslash \lbrace x_{0}\rbrace }$ then it would still form a directed set but it would now have a (unique) greatest element, specifically ${\displaystyle x_{0}}$; however, it still wouldn't be partially ordered. This example can be generalized to a metric space ${\displaystyle (X,d)}$ by defining on ${\displaystyle X}$ or ${\displaystyle X\setminus \left\{x_{0}\right\}}$ the preorder ${\displaystyle a\leq b}$ if and only if ${\displaystyle d\le$$ft(a,x_{0}\오른쪽)\geq d\left($$b,x_{0}\오른쪽).$$}$
• 지시되지 않은 부분 순서 집합의 (타원형) 예로는 세트${\displaystyle }${ ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b\}}$ ${\displaystyle \{a,b\}}$가 있는데, 유일한 순서 관계는 ${\displaystyle \le }$ $\displaysty a\leq a}$와 $b{\displaystyle .}$ ${\displaysty b\leq b.}$보다 사소한 예는 "$x0$을 향한 실제"의 이전 예와 같다$.$누군가가{\displaystyle}x0,{\displaystyle x_{0},의 왼쪽에 요소를 걸린다 스타일 x_{0}}" 하는데 순서 규칙은 요소의 x0( 의하면 같은 면에 쌍에,}과 이의 우측에 대한 largeenough이다{\displaystyle b},{\displaystyle}, b{\displaystyle b}, 비교할 수 없다 적용된다.d ${\displaystyle \mathrm{부분}}$ 집합${\displaystyle }${ a${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{a,b\}}$은(는) 상한 없음$$).
• 비어 있지 않은 세트 패밀리는 부분 순서 ${\displaystyle \supseteq }$ ${\$존중하게,${\displaystyle }${$${\$displaystyle \,\subseteq$에 대한 방향 집합이다(resp, union)이 일부 세 번째 멤버의 하위 집합으로 포함되는 경우에만 해당된다. 기호에서 집합의$$ $패밀리{\displaystyle }$I {\$displaystyle I}$은(는) ${\displaystyle \supseteq }$ ${\$존중, ${\displaystyle \{}$ ${\$ $\backslash ,\})$에 대해 다음과 같이 지시된다.$$

  for all ${\displaystyle A,B\in I,}$ there exists some ${\displaystyle C\in I}$ such that ${\displaystyle A\supseteq C}$ and ${\displaystyle B\supseteq C}$ (resp., ${\displaystyle A\subseteq C}$ and ${\displaystyle B\subseteq C}$)

  또는 동등하게

  모든 $A{\displaystyle }$, ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \in }$ I${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ $A$$,B\in$ $I}$에 $대해$ A ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \supseteq }$ C ${\displaystyle A\cap B\supseteq$ C$}($resp). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \subseteq }$ C ${\displaystyle A\cap B\subseteq C}$ $$.

  Every π-system, which is a non-empty family of sets that is closed under the intersection of any two of its members, is a directed set with respect to ${\displaystyle \,\supseteq \,.}$ Every λ-system is a directed set with respect to ${\displaystyle \,\subseteq \,.}$ Every filter, topology, and σ-algebra is a directed set w${\displaystyle \supseteq }$ ${\$ 및$$ ${\displaystyle \subseteq .}$ ${\displaystyle \,\displayeq \,.}$에 대한 존중
• 정의에 따르면 프리필터 또는 필터 베이스는 부분 순서 ${\displaystyle \supseteq }$ ${\$에 대해 지시된 세트인 비 빈 세트 제품군이며, 빈 세트 또한 포함하지 않는다(그렇지 않으면 빈 세트가 ${\displaystyle \supseteq }$ ${\$}에 대해 가장 큰 요소가 되기 때문에 이 조건은 사소한 것을 방지한다).$laystyle$\,\$supseteq$\,} $$.
• $poset{\displaystyle }$P ,$${\$displaystyle$ ${\displaystyle P}$$,}$ 요소의 모든 하부 닫힘,${\displaystyle }$즉 { ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle p}$ :$style$ x } {\displaystyle $\{a\in P:a\leq x\}}}$ 형식의 모든 부분 집합이${\displaystyle }$p , ${\$$displaystystyle$ x$}$의 고정 요소인$$ 경우 $방향$이다$.$

반일율과 대조

지시된 집합은 (조인) 반일률보다 더 일반적인 개념이다. 두 요소의 결합 또는 최소 상한은 $원하는{\displaystyle }$ c${\displaystyle .}$ ${\displaystyle c.}$이기 때문에 모든 결합 반일률 집합은 지시된 집합이다.그 반대는 하지만 목격한 집합{1000,0001,1101,1011,1111}이{1000,0001} 없지만 적어도 위 마련 3상부 경계가 비트(예를 들어 1000≤ 1011{1000\leq 1011}\displaystyle지만, 그레고리오력에서 서기 0001년 ≤ 1000은 마지막 한조각에서부터 1>{0001\leq 1000\displaystyle},지 않는다;0을 보유하고 있), 비교하라 지시했다. 사진입니다.(또한 부과하지 않는다. 1111이 없으면 세트 방향이 지정되지 않는다는 점에 유의하십시오.)

지시된 하위 집합

지시 집합의 순서 관계는 대칭적이지 않아도 되므로 지시 집합이 항상 부분적인 순서는 아니다. 그러나 지시된 집합이라는 용어는 또한 양성의 맥락에서 자주 사용된다. 이 설정에서 부분 순서 집합$({\displaystyle P}$, ${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle (P,\leq )}$의 부분 집합 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를) 동일한 부분 순서에 따라 지시 집합이면 지시된 부분 집합이라고 한다$$. 즉, 빈 집합이 아니고 모든 요소 쌍이 상한 집합이다. 여기서 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ 요소에 대한 주문 $관계$는 P ${\displaystyle P}$에서 상속된다$.$ 이러한 이유로 반사성과 전이성이 명시적으로 요구될 필요는 없다.

포셋의 방향 부분 집합은 아래쪽으로 닫힐 필요가 없으며, 포셋의 방향 부분 집합은 아래쪽으로 닫히는 것이 이상적일 경우에만 지시된다. 지시된 집합의 정의는 "상향 방향" 집합에 대한 것이지만(모든 요소 쌍에는 상한선이 있다) 모든 요소 쌍이 공통 하한을 갖는 하향 방향 집합도 정의할 수 있다. 포셋의 부분 집합은 상위 닫힘이 필터인 경우에만 아래로 향한다.

지시된 하위 집합은 지시된 완전한 부분 순서를 연구하는 도메인 이론에 사용된다.^[6] 이는 모든 상향 방향 집합이 최소 상한 값을 가져야 하는 포지션이다. 이 맥락에서 지시된 하위 집합은 다시 수렴 시퀀스의 일반화를 제공한다.^{[further explanation needed]}

참고 항목

• 중심 집합 – 순서 이론
• 필터링된 범주
• 링크 집합
• 순(수학) – 일련의 점의 일반화

메모들

참조

• J. L. 켈리(1955), 일반 위상.
• 기어즈, 호프만, 케이멜 등 (2003), Cambridge University Press의 Continuous Latties and Domains. ISBN 0-521-80338-1.