랜덤 컴팩트 세트

수학에서 랜덤 콤팩트 세트는 기본적으로 콤팩트 세트 값 랜덤 변수다.무작위 콤팩트 세트는 무작위 동적 시스템을 위한 유인기의 연구에 유용하다.

정의

$({\displaystyle M}$, ${\displaystyle d}$) ${\displaystyle$ ($M,d)}$을(를) 완전한 분리 가능한 메트릭 공간이 되도록$$ 하십시오.Let $K{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 모든 컴팩트 하위 집합 집합을 나타내며$$$,$ $K{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 Hausdorff 메트릭 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ h$}$은 $다음$과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle h(K_{1},K_{2}):=\max \left\{\sup _{a\in K_{1}}\inf _{b\in K_{2}}d(a,b)\inf _{b\in K_{1}{1}d(a,b)\right\}.}$

${\displaystyle (K}$, ${\displaystyle h}$) ${\displaystyle({\mathcal{K},h)}$도 완전한 분리 가능한 메트릭 공간이다$$.해당 개방형 하위 집합은 $K{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\${${\displaystyle K\},}$ K ${\$$displaystyle$ ${\$$mathcal$ {$B}({\mathcal {K})$의 K {\$displaystyle$ {\mathcal {$K}$에 on-algebra를 생성한다$.$

A random compact set is а measurable function ${\displaystyle K}$ from а probability space ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ into ${\displaystyle ({\mathcal {K}},{\mathcal {B}}({\mathcal {K}}))}$.

다른 방법으로 말하면, 랜덤 콤팩트 세트는 측정 가능한 $함수{\displaystyle }$K : ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle {2M}^{}}$ $[\$K\$colon \Oomega \to$ 2$^{M}}$가 K${\displaystyle }$(${\displaystyle \Omega }$) ${\displaysty K(\omega )}$가 거의 확실히 컴팩트하고

${\displaystyle \mapsto \inf _{b\in K(\omega )}d(x,b)}$

모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\in M}$에 대해 측정할 수 있는 함수$.$

토론

이러한 의미에서 랜덤 콤팩트 세트도 매더론(1975년)과 같이 랜덤 클로즈드 세트다.결과적으로, 반송파 공간이 국소적으로 좁다는 추가적인 가정 하에서, 이들의 분포는 확률에 의해 주어진다.

${\displaystyle }$${\displaystyle P\mathcal{}}$${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle K}$= ${\displaystyle \mathrm{\varnothing }}$) ${\displaystyle \mathb {P}(X\cap K=\emptyet )}$에 대한 K${\displaystyle ..}${\$displaystyle$ K$\in${\$mathcal {K}.}$

(${\displaystyle \mathrm{Asa}}$ 랜덤 콤팩트 볼록 세트 분포도 $모든{\displaystyle \mathbb{}}$ 포함 확률 P${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \subset }$ K${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \mathb {P} (X\subset$K)에 의해 주어진다$.$$}$)

$K{\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle$ K$=\{x\}}$의 경우$,$ $만족$하는 ${\displaystyle \mathrm{확률}}$ P$($x${\displaystyle }$x ${\displaystyle X}$) {\$displaystyle \mathb {P}(x\in$ X$)}$을 얻는다$$$.$

${\displaystyle \mathb {P}(x\in X)=1-\mathb {P}(x\not \in X)}$

따라서 피복함수 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$는 다음과 같이 주어진다$$.

${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$(${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle P\mathbb{}}$( x ${\displaystyle \in }$ X${\displaystyle }$) = p ( ${\displaystyle x}$ ∈ ${\displaystyle X}$ ) ${\displaystyle p_{X$}(x$)=\mathb$ {$P}(x\in$ X$)}$에 대한 x${\displaystyle .}$ $.$ {\$displaystyle$ x$\in$ M$.}$

물론 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$는 지표함수 1 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$1$} _{X}$의 평균으로도 해석할 수 있다$$$.$

${\displaystyle p_{X}(x)=\mathb {E} \mathbf {1} _{X}(x)}$

피복 함수는 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$에서 1 ${\displaystyle 1}$ 사이의 값을 취한다$.$ ( )> 0 ${\displaystyle p_{X(x)0}$이(가) 있는 $모든{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$m M$${\$displaystyle x\in$M}의$$ $세트{\displaystyle {}_{}}$ b ${\displaystyle X_{}}$ ${\$를 $X{\displaystyle }$ ${\displaysty X}$의 지원이라고 한다$.$The set ${\displaystyle k_{X}}$, of all ${\displaystyle x\in M}$ with ${\displaystyle p_{X}(x)=1}$ is called the kernel, the set of fixed points, or essential minimum ${\displaystyle e(X)}$. If ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$, is а sequence of i.i.d.무작위 콤팩트 세트, 그리고 거의 확실히

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infit }X_{i}=e(X)}$

및 $\bigcap {\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\$는 $거의{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{확실히}}$ e (${\displaystyle }$X )${\displaystyle }$.${\displaysty$ e$(X$)로 수렴한다$.$$}$

참조

• Matheron, G. (1975) 랜덤 세트 및 적분 기하학.J.Wiley & Sons, 뉴욕.
• 몰차노프, I. (2005) 무작위 집합론.스프링거, 뉴욕
• 스토얀 D, 그리고 H.Stoyan(1994) 프랙탈, 랜덤 형상 및 점 필드.뉴욕 치체스터의 존 와일리 & 선즈였습니다.