일반 속성

수학에서, "일반적인" 예시를 위해 보유하는 속성을 일반적 속성이라고 한다.예를 들어, 함수 클래스의 일반적 속성은 "일반적인 다항식은 0에 루트를 가지고 있지 않다" 또는 "일반적인 제곱 행렬은 변환할 수 없다"라는 문장에서와 같이 그러한 함수의 "거의 거의 모든"에 해당하는 속성이다.또 다른 예로, 공간의 일반적 특성은 "f : M → N이 매끄러운 다지관들 사이의 부드러운 함수라면, N의 일반적 지점은 f의 임계값이 아니다"(이것은 사르드의 정리)라는 진술에서처럼 공간의 "거의" 지점을 차지하고 있는 성질이다.

수학에는 "일반적인" (대부분의 "전부"로 의미되는 것)에 대한 많은 다른 개념들이 있으며, 그에 상응하는 "거의 거의 없는" (neglic set)의 이중 개념은 다음과 같다.

측정 이론에서, 일반적 속성은 거의 모든 곳에서 보유하는 것으로 이중 개념은 "확률 0"을 의미하는 null 집합이다.
위상 및 대수 기하학에서 일반적 특성은 밀도 높은 오픈셋트 또는 더 일반적으로 잔차 집합에 고정된 것으로 이중 개념은 어디에도 없는 밀도 집합이거나 더 일반적으로 미미한 집합이다.

그러한 관념들이 같지 않은 몇 가지 자연적인 예가 있다.^[1]예를 들어, Louville 숫자의 집합은 위상학적으로 일반적이지만, Lebesgue는 0을 측정한다.^[2]

측량 이론으로

측량 이론에서, 일반적 재산은 거의 모든 곳에 있는 재산이다.이중 개념은 null 집합, 즉 측정값 0 집합이다.

확률로

확률적으로, 일반적 속성은 거의 확실히 일어나는 사건이며, 확률 1과 함께 발생한다는 것을 의미한다.예를 들어, 큰 숫자의 법칙에 따르면 표본 평균은 거의 확실히 모집단 평균으로 수렴된다.확률공간에 특화된 측정이론 사례의 정의다.

이산수학에서는

이산 수학에서, 사람들은 충분히 큰 숫자에 대해 거의 모든 용어를 코피나이트를 의미하기 위해 사용한다. 또는 때로는 거의 무증상적으로 거의 확실히.이 개념은 특히 랜덤 그래프의 연구에서 중요하다.

위상

위상 및 대수 기하학에서, 일반적 특성은 밀도가 높은 오픈 세트 또는 더 일반적으로 잔차 세트(밀도가 높은 오픈 세트의 계수 가능한 교차점)에서 고정되는 속성이며, 이중 개념은 닫힌 곳 없는 밀도 세트 또는 더 일반적으로 미미한 집합(어느 곳에서도 밀도가 높은 집합의 계수 가능한 조합)이다.

그러나 밀도만으로는 일반적 성질을 특성화하기에 충분하지 않다.이는 합리적 숫자와 그 보완성, 즉 비합리적인 숫자가 밀도 있는 실수에서도 알 수 있다.한 세트와 그것의 보완물 모두 전형적인 행동을 보인다는 것은 말이 되지 않기 때문에, 이성적인 것과 비합리적인 것 둘 다 전형적일 만큼 큰 세트의 예가 될 수 없다.결과적으로, 우리는 비합리적인 것들이 전형적이고 이성적인 것들이 그렇지 않다는 것을 암시하는 위의 더 강한 정의에 의존한다.

적용의 경우, 속성이 잔여 집합을 보유하는 경우, 그것은 모든 점을 보유하지는 않을 수 있지만, 약간 혼란스럽게 하는 것은 일반적으로 잔여 집합 내부에 하나를 착륙시킬 것이다(미량 집합의 구성요소의 전혀 없는 밀도로). 따라서 이것들은 이론과 알고리즘에서 다루어야 할 가장 중요한 사례다.

함수 공간에서

이 속성을 가진 집합이 C^r 토폴로지의 잔여 하위 집합을 포함하는 경우 속성은 C에서^r 일반적이다.여기서 C는^r 구성원이 다지관 M에서 다지관 N까지의 r 연속 유도체로 연속 기능하는 기능 공간이다.

M과 N 사이의 C^r 매핑의 공간 C^r(M, N)는 Baire 공간이기 때문에 모든 잔여 집합은 밀도가 높다.함수 공간의 이 속성이 일반적 속성을 전형적으로 만드는 것이다.

대수 기하학에서

대수 품종

불가해한 대수학 품종 X의 속성은 X의 적절한 자리스키 닫힌 부분집합을 제외하고, 즉 비어 있지 않은 자리스키 열린 부분집합을 붙들고 있으면 일반적으로 참이라고 한다.이 정의는 위의 위상학적 정의에 동의한다. 왜냐하면 수정 불가능한 대수적 변종의 경우 비어 있지 않은 오픈 세트는 밀도가 높기 때문이다.

예를 들어, Jacobian의 규칙성 기준에 의해 특징 0의 분야에 걸친 다양성의 일반적 지점이 매끄럽다.(이 진술은 일반적 매끄러움이라고 알려져 있다.)이는 제이콥의 기준이 매끄럽지 않은 점들에 대한 방정식을 찾는 데 사용될 수 있기 때문에 사실이다.그것들은 정확히 X의 점의 자코비안 행렬이 완전한 순위를 가지지 못하는 지점들이다.특성 0에서 이러한 방정식은 비교가 되지 않기 때문에 다양성의 모든 점에 대해 진실일 수는 없다.따라서 X의 모든 비정규 지점 세트는 X의 적절한 자리스키 닫힌 부분집합이다.

여기 다른 예가 있어.f : X → Y를 두 대수 품종 사이의 정규 지도가 되게 한다.Y의 모든 점 Y에 대해 f over y, 즉 dim f⁻¹(y)의 섬유 치수를 고려한다.일반적으로 이 숫자는 일정하다.그것은 어디에서나 반드시 일정한 것은 아니다.만약, 예를 들어, X가 한 지점에서 Y의 블로업이고 f가 자연 투영이라면, f의 상대적 치수는 0이며, 폭발한 지점은 희미한 Y - 1이다.

어떤 성질은 매우 일반적이라고 한다.이는 종종 지상 필드를 계산할 수 없으며 적절한 자리스키 닫힌 하위 집합의 계수 가능한 결합(즉, 그 속성은 밀도가 높은_δ G 집합에 유지됨)을 제외하고 그 속성이 참임을 의미한다.예를 들어, 이러한 매우 일반적인 개념은 합리적인 연결성을 고려할 때 발생한다.그러나 매우 일반적인 다른 정의는 다른 맥락에서 발생한다.

제네릭 포인트

대수 기하학에서 대수적 다양성의 일반적 지점은 좌표가 그 다양성의 모든 지점이 만족하는 지점이 아닌 다른 대수적 관계를 만족하지 않는 지점이다.예를 들어, 필드 $k$ 위에 부착된 공간의 일반 지점은 $좌표$ 가 k에 대해 대수적으로 독립된 지점이다.

점들이 하위 품종인 체계 이론에서, 한 품종의 일반적인 점은 자리스키 위상의 폐쇄가 전체 품종인 지점이다.

일반적 속성은 일반적 점의 속성이다.합리적인 속성의 경우, 일반적 시점에서 해당 속성이 참인 경우에만 (개방형 밀도 부분집합에서 참이라는 의미에서) 하위변수에 대해 일반적으로 그 속성이 참인 것으로 밝혀진다.그러한 결과는 EGA IV 8에서 개발된 첨부 방법의 한계 방법을 사용하여 자주 증명된다.

일반직

대수 기하학에서 관련된 개념은 일반적인 위치인데, 정확한 의미는 문맥에 따라 다르다.예를 들어 유클리드 평면에서 일반 위치의 3개 지점은 공선형이 아니다.왜냐하면 콜린어되지 않는 속성은 R에² 있는 3개의 점의 구성 공간의 총체적인 속성이기 때문이다.

계산 가능성에서

계산 능력지만 알고리즘 무작위성, 자연수의 무한한 문자열에서 디렉터리 만약, 모든 c.e.에 W⊆ ω<>ω{\displaystyle W\subseteq\omega ^{<>\omega}}세트1-generic, f{\displaystyle f}초기 부분 σ{\displaystyle \sigma}이라 불린다ω ω{\displaystylef\in\omega ^{\omega}∈ f. 에서 $W$ ${\displaystyle$ $W$ $}$ $또는$ f ${\displaystyle \$ $sigma }$ 의 $f$ 초기 $\sigma$ $\tau \succcurlyeq \sigma$ ${\displaystyle$ \sigma }이(^[3]가 $\sigma$ ) 있으므로 모든 확장자 { $\tau \succcurlyeq \sigma$ $\$ {\ $displaysty \tau \sucleyq \sigma$ }은 W에 $\tau \succcurlyeq \sigma$ 있지 않다. 많은 시공은 적절한 1세대 연산성에 중요하다.일부 주요 속성은 다음과 같다.

1-generic은 모든 자연수를 원소로 포함한다.
계산 가능한 1-generic(또는 계산 가능한 함수에 의해 제한됨)은 없다.
모든 1세대 $f$ $f$ 은 $f$ (는) 일반화 낮음: $f'\equiv _{\mathrm {T} }f\oplus \varnothing '$ ′ $f'\equiv _{\mathrm {T} }f\oplus \varnothing '$ $f'\equiv _{\mathrm {T} }f\oplus \varnothing '$ $f'\equiv _{\mathrm {T} }f\oplus \varnothing '$ $f'\equiv _{\mathrm {T} }f\oplus \varnothing '$ ∅ $f'\equiv _{\mathrm {T} }f\oplus \varnothing '$ { $f'\equiv _{\mathrm {T} }f\oplus \varnothing '$ { {\ $displaystyle$ f'\ $equiv$ _{\ $mathrm$ { $T} }f$ \oplus $\varnoth$

1-generity는 다음과 같이 위상학적 개념인 "generic"와 연결된다.베르 공간 ω ω{\displaystyle\omega ^{\omega}}기본적인 오픈 세트 자연수의∈ ω<>σ마다 한정된 문자열에 대해[σ]){f:σ ≼ f}{\displaystyle[\sigma]=\{f:\sigma \preccurlyeq f\}};ω{\displaystyle \sigma \in\omega ^{<>\omega}}과. ∈ ω ω 그 때, 한 요소 f{\displaystyle 위상을 가지고 있다. f\in $\omega ^{\omega }}$ 은(는) 열린 집합의 경계에 있지 않은 경우에만 1-118이다 $f\in \omega ^{\omega }$ .특히 1세대에게는 모든 밀도 높은 오픈세트를 충족시켜야 한다(단, 이것은 엄격히 약한 1세대라고 불리는 속성이다).

일반성 결과

사르드의 정리: $f\colon M\to N$ : $f\colon M\to N$ → $f\colon M\to N$ $f\colon M\to N$ 이 $f\colon M\to N$ (가) 매끄러운 다지관들 사이의 부드러운 함수라면, N의 일반적 지점은 f의 임계값이 아니라 f의 임계값은 N의 null 집합이다.
자코비안 기준 / 일반적 부드러움 : 특징 0의 분야에 걸친 다양성의 일반적 포인트는 부드럽다.
선형 시간 변화 시스템의 제어 가능성과 관찰 가능성은 위상학적 및 측정 이론적 의미에서 일반적이다.^[4]

참조

^ Hunt, Brian R.; Kaloshin, Vadim Yu. (2010). Prevalence. Handbook of Dynamical Systems. Vol. 3. pp. 43–87. doi:10.1016/s1874-575x(10)00310-3. ISBN 9780444531414.
^ Oxtoby, John C. (1980). Measure and Category SpringerLink. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 2. doi:10.1007/978-1-4684-9339-9. ISBN 978-1-4684-9341-2.
^ Soare, Robert I. (2016), "Turing Reducibility", Turing Computability, Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, pp. 51–78, ISBN 978-3-642-31932-7, retrieved 2020-11-01
^ Polderman, Jan Willem; Willems, Jan C. (1998). Introduction to Mathematical Systems Theory SpringerLink. Texts in Applied Mathematics. Vol. 26. doi:10.1007/978-1-4757-2953-5. ISBN 978-1-4757-2955-9.

Wiggins, Stephen (2003), Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-00177-7
Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, doi:10.1002/9781118032527, ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523

[1] Hunt, Brian R.; Kaloshin, Vadim Yu. (2010). Prevalence. Handbook of Dynamical Systems. Vol. 3. pp. 43–87. doi:10.1016/s1874-575x(10)00310-3. ISBN 9780444531414.

[2] Oxtoby, John C. (1980). Measure and Category SpringerLink. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 2. doi:10.1007/978-1-4684-9339-9. ISBN 978-1-4684-9341-2.

[3] Soare, Robert I. (2016), "Turing Reducibility", Turing Computability, Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, pp. 51–78, ISBN 978-3-642-31932-7, retrieved 2020-11-01

[4] Polderman, Jan Willem; Willems, Jan C. (1998). Introduction to Mathematical Systems Theory SpringerLink. Texts in Applied Mathematics. Vol. 26. doi:10.1007/978-1-4757-2953-5. ISBN 978-1-4757-2955-9.

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