호모토피군

수학에서, 호모토피 그룹은 위상 공간을 분류하기 위해 대수적 위상학에서 사용된다.첫 번째 가장 간단한 호모토피 그룹은 공간 내 루프에 대한 정보를 기록하는 기본 그룹입니다.이 $\pi _{1}(X),$ 그룹은 " $\pi _{1}(X),$ $\pi _{1}(X),$ ) $\pi _{1}(X),$ , \ $displaystyle \pi$ _ ${1$ } (X $)$ 。직관적으로 호모토피 그룹은 위상 공간의 기본 모양 또는 구멍에 대한 정보를 기록합니다.

n번째 호모토피 그룹을 정의하기 위해 n차원 구(기준점 포함)에서 주어진 공간(기준점 포함)으로의 기준점 보존 맵이 호모토피 클래스라고 하는 동등성 클래스로 수집됩니다.한 매핑을 다른 매핑으로 연속적으로 변형할 수 있는 경우 두 매핑은 동질적입니다. $이러한$ 호모토피 클래스는 기점과 함께 주어진 공간 X의 $\pi _{n}(X),$ 호모토피 그룹이라고 $불리는 그룹$ 을 $\pi _{n}(X),$ 형성합니다 $.$ 호모토피 그룹이 다른 위상 공간은 절대 동일하지 않지만(동형) 동형이 아닌 위상 공간은 동일한 호모토피 그룹을 가질 수 있습니다.

패스의 호모토피 개념은 카밀 ^[1]조던에 의해 도입되었다.

서론

현대 수학에서는 이 범주의 모든 물체와 여전히 관심 물체에 대한 충분한 정보를 유지하는 단순한 물체를 연관시켜 범주를 연구하는 것이 일반적이다.호모토피 그룹은 그룹을 위상 공간에 연관짓는 방법입니다.

토러스

구

위상과 그룹 사이의 연결은 수학자들이 그룹 이론에서 위상에 대한 통찰력을 적용할 수 있게 해줍니다.예를 들어, 두 토폴로지 객체가 서로 다른 호모토피 그룹을 갖는 경우, 동일한 토폴로지 구조를 가질 수 없습니다. 이는 토폴로지 평균만을 사용하여 증명하기 어려울 수 있습니다.예를 들어, 토러스는 구와 다릅니다: 토러스는 "구멍"을 가지고 있지만 구에는 없습니다.그러나 연속성(토폴로지의 기본 개념)은 국소 구조만을 다루기 때문에 명확한 글로벌 차이를 공식적으로 정의하기는 어려울 수 있습니다.그러나 호모토피 그룹은 글로벌 구조에 대한 정보를 가지고 있다.

예시로 $T의$ 첫 번째 호모토피 그룹은

\displaystyle \pi _{1}(T)=\mathbb {Z} ^{2}

Torus의 유니버설 커버는 유클리드

\mathbb {R} ^{2},

R2

\mathbb {R} ^{2},

{\

displaystyle

\

mathbb

{R}

^{2

}

T\cong \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}.

T

T\cong \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}.

T\cong \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}.

T\cong \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}.

T\cong \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}.

매핑됩니다

\mathbb {R} ^{2},

.

{\

displaystyle

\mathbb {R} ^{2},

T

\cong \mathbb {R}

^{

2}/\mathbb {Z}

^{

2}

} 여기서 지수는

T\cong \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}.

상단 링의 범주의 공간 그룹에 속하지 않습니다.한편,

S^{2}

2

(\

S

^{2})

는

S^{2}

다음을 만족합니다.

\displaystyle \pi _{1}\left(S^{2}\right)=0,}

왜냐하면 모든 루프는 일정한 지도에 수축될 수 있기 때문이다(이러한 호모토피 그룹의 보다 복잡한 예는 구의 호모토피 그룹 참조).그러므로 토러스는 구와 동질적이지 않다.

정의.

$S^{n}$ $S^{n}$ n $\$ S $^{n}$ 에서는 $S^{n}$ 기준점 a를 선택합니다.기준점 b를 가진 공간 X에 $\pi _{n}(X)$ 지도의 호모토피 클래스 $\pi _{n}(X)$ 으로 $\pi _{n}(X)$ $\pi _{n}(X)$ ( $\pi _{n}(X)$ X ) \ $displaystyle \pi _{n$ }( $X)$ 을 $\pi_n(X)$ 정의합니다.

f:S^{n}\to X\mid f(a)=b

베이스 포인트a를 베이스 포인트b에 매핑합니다.특히, 동등성 클래스는 구의 기저점에서 일정한 호모토피에 의해 주어진다.

\pi _{n}(X)

로, n 큐브에서 b로 향하는 n큐브까지의 경계를 이루는 x

displaystyle \pi

_

{n}(X)

를 g

\pi _{n}(X)

g:[0,1]^{n}\to X

: [0

g:[0,1]^{n}\to X

g:[0,1]^{n}\to X

g:[0,1]^{n}\to X

g:[0,1]^{n}\to X

(\displaystyle

g

:[0,1]^{n}\to

X

)

맵

g:[0,1]^{n}\to X

: [

g:[0,1]^{n}\to X

,1]의 호모토피 클래스 그룹으로 정의합니다.

기본 그룹 내 구성

n $n\geq 1,$ 1 $n\geq 1,$ 、 \ $displaystyle$ n \ $geq$ 1, $n\geq 1,$ 、 homotopy 클래스가 그룹을 형성합니다.그룹 동작을 정의하려면 기본 그룹에서 g $f,g:[0,1]\to X$ : $f,g:[0,1]\to X$ [ $f,g:[0,1]\to X$ , $f,g:[0,1]\to X$ ] $→$ $f,g:[0,1]\to X$ {\ $displaystyle f,g$ : [ 0 , 1 ]의 $f\ast g$ f $f,g:[0,1]\to X$ $f\ast g$ g $f\ast g$ { \ $displaystyle$ f , g : [ 0 , $1$ ]\ $to$ X $f,g:[0,1]\to X$ }가 $f\ast g$ $f,g:[0,1]\to X$ 설정에 의해 정의된다는 점에 유의하십시오.

\displaystyle f*g=param{case}f(2t)&t\left[0,{\tfrac {1}{2}\right]\g(2t-1)&t\in \left[{\tfrac {1}{1},1\right}\end{cases}}}

기본 그룹에서 구성 개념은 첫 번째 경로와 두 번째 경로를 연속적으로 이동하거나, 동등하게 두 개의 도메인을 함께 설정하는 것입니다.우리가 n번째 호모토피 그룹에 원하는 구성 개념은 동일하지만, 우리가 함께 붙이는 도메인은 큐브이고, 우리는 그것들을 면을 따라 붙여야 합니다. $f,g:[0,1]^{n}\to X$ 맵 f $f,g:[0,1]^{n}\to X$ : [ $f,g:[0,1]^{n}\to X$ , $f,g:[0,1]^{n}\to X$ ] $f,g:[0,1]^{n}\to X$ $f,g:[0,1]^{n}\to X$ {\ $displaystyle$ f $,g:[0,1]^{n}\to$ X $}$ 의 $f,g:[0,1]^{n}\to X$ 합계를 다음 공식으로 정의합니다.

\displaystyle (f+g)(t_{1},\ldots,t_{n})=syslog {cases}f(2t_{1},t_{2},\ldots,t_{n}&t_{1}\in left[0,{\tfrac {1},{1}\g(2)\{n}\ldots}

구에 대한 해당 정의를 위해 지도 $f,g:S^{n}\to X$ $f,g:S^{n}\to X$ : S $f,g:S^{n}\to X$ $f,g:S^{n}\to X$ {\ $displaystyle$ f $,g}$ 의 $f + g$ $f+g$ f + $g$ {displaystyle f, $g:$ $S$ X는 $\Psi$ h로 구성되는 $\Psi$ (\ $displaystyle$ $\Psi$ \ $Psi$ ）이다. $display$ (\ $displaystyle$ \Psi $\Psi$ ）는 $\Psi$ $(\$ })에서 적도를 접는 2개의 n축의 쐐기합에서 f에 이르는 2개의 구에 이르는 지도이다.

$n\geq 2,$ 2 $n\geq 2,$ 、 \ $displaystyle$ n \ $geq$ 2, $n\geq 2,$ $\pi _{n}$ n \ $displaystyle \pi$ _ { $n}$ 은 $\pi _{n}$ 아벨리안입니다.^[2]또한 기본 그룹과 마찬가지로 경로 연결 공간에 대해 두 가지 기준점 선택이 모두 동형 $\pi _{n}.$ n $.\displaystyle \pi$ _ ${n}$ 을 발생시킨다. $}$ ^[3]

기준점을 생략하여 호모토피 그룹의 정의를 단순화하려고 시도하지만, 일반적으로 단순히 연결되지 않은 공간, 즉 경로로 연결된 공간에서는 작동하지 않습니다.구에서 경로 연결 공간까지의 지도의 호모토피 클래스 집합은 호모토피 그룹이 아니라 본질적으로 호모토피 그룹 상의 기본 그룹의 궤도 집합이며 일반적으로 자연적인 그룹 구조를 가지지 않는다.

이러한 어려움에서 벗어날 수 있는 방법은 필터링된 공간과 n개의 큐브 공간의 상위 호모토피 그룹오이드를 정의함으로써 발견되었습니다.이들은 각각 상대적 호모토피 그룹과 n-adic 호모토피 그룹과 관련이 있습니다.더 높은 호모토피 반 캄펜 정리는 호모토피 그룹과 호모토피 유형에 대한 몇 가지 새로운 정보를 도출할 수 있게 한다.자세한 배경과 참조는 "고차원 그룹 이론"과 아래의 참조를 참조하십시오.

호모토피 그룹 및 구멍

위상공간은 단일점까지 연속적으로 축소할 수 없는 d차원 구체를 포함하는 경우 d차원 경계 if-only를 갖는 구멍을 가진다.이것은 상수 함수와 동질적이지 않은 ${\textstyle S^{d}\to X}$ d ${\textstyle S^{d}\to X}$ $(\textstyle$ S $^{d}\to$ X $)$ 매핑이 ${\textstyle S^{d}\to X}$ 있는 경우에만 유지됩니다.이것은 X의 d번째 호모토피 그룹이 단순하지 않은 경우에만 유지됩니다.즉, X에는 d차원 경계 if-and-only-if $\pi _{d}(X)\not \cong 0$ d ( $\pi _{d}(X)\not \cong 0$ ) $\pi _{d}(X)\not \cong 0$ 0 \ $displaystyle \pi$ _ ${d}(X)\cong 0$ 이 아닌 $\pi _{d}(X)\not \cong 0$ 구멍이 있습니다 $.$

길고 정확한 교정 시퀀스

$p:E\to B$ p : $p:E\to B$ $p:E\to B$ {\ $displaystyle$ p $:$ $E\to$ B는 $p:E\to B$ 섬유 $,\displaystyle$ F $,$ 즉 $F,$ CW 복합체에 대한 호모토피 리프팅 특성을 가진 맵을 가진 베이스포인트 보존 Serre 교정입니다.B가 패스 접속되어 있다고 합니다.그리고 호모토피 그룹의 길고 정확한 순서가 있다.

\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(E)\to \pi _{n}(B)\to \pi _{n-1}(F)\to \cdots \{0}(E)\to 0.

$\pi _{0}$ 서 0 $(\$ _ ${0})$ 을 $\pi _{0}$ 포함하는 맵은 0 $(\$ _ ${0})$ 은 $\pi _{0}$ 그룹이 아니기 때문에 그룹 동형사상은 아니지만 이미지가 커널과 동일하다는 점에서 정확합니다.

예: 홉프 교정. $S^{2}$ 를 $({$ S $^{$ $2$ $}},$ $S^{3}.$ 를 $S^{3}.$ 으로 $합니다$ .{ $displaystyle S^{$ 3 $S^{3}.$ }) $S^{3}.$ p를 Hopf 교정으로 합니다.이것은 $S^{1}.$ 을 가지고 있습니다 $.\$ $displaystyle$ S $^{1}.$ 긴 $S^{1}.$ 시퀀스에서 나온 것입니다.

\displaystyle \to \pi _{n1}(S^{1})\to \pi _{n}(S^{3})\to \pi _{n}(S^{2})\to \pi _{n-1}(S^{1}\to \cdots }

n $n\geq 2,$ 2의 $n\geq 2,$ $\pi _{n}(S^{3})=\pi _{n}(S^{2})$ $\pi _{n}(S^{1})=0$ n ( $\pi _{n}(S^{1})=0$ ) $n\geq 2,$ $=$ 0 ( \ $displaystyle$ $\pi$ _ { n } ( $S^$ { 1 } ) $=$ $\pi _{n}(S^{3})=\pi _{n}(S^{2})$ ( \ $\pi _{n}(S^{3})=\pi _{n}(S^{2})$ n ) $\pi _{n}(S^{3})=\pi _{n}(S^{2})$ $\pi _{n}(S^{3})=\pi _{n}(S^{2})$ ( $\pi _{n}(S^{3})=\pi _{n}(S^{2})$ 2 $\pi _{n}(S^{3})=\pi _{n}(S^{2})$ ) \ $display$ style \ $pi _$ { $n$ } ( $S$ ^ { $3$ ) = { $n$ \ $\pi _{n}(S^{3})=\pi _{n}(S^{2})$ ( S $\pi _{n}(S^{1})=0$ $n\geq 2,$ （ $\pi _{n}(S^{3})=\pi _{n}(S^{2})$ S ） $n\geq 2,$ $（$ S ） ^ 2 } $.$

는 섬유 분리된 공간의 경우, 우리는}n을에 n(B){\displaystyle \pi_{n}(B)}π에 동형은, 1,{\displaystyle n>, 1,}이π n(E){\displaystyle \pi_{n}(E)}injectivelyπ n(B){\displaystyle\에 내장한 그π n(E){\displaystyle \pi_{n}(E)다._{n파이 $}(B))$ 는 $\pi _{n}(B)$ 모든 $양$ 의 n $,$ {{ $displaystyle$ n,} 및 $n,$ $§$ $\pi _{1}(E)$ (E $)$ 의 $\pi _{1}(E)$ 매립에 대응하는 $\pi _{1}(B)$ $\pi _{1}(B)$ $($ $B)$ 의 $\pi _{1}(B)$ 서브그룹에 대해 $섬유성분$ 과 사출된 코제트를 가진다.

교정이 매핑 파이버 또는 듀얼일 경우, 코프레이션은 매핑 콘이며, 결과적으로 정확한(또는 듀얼 코엑스) 시퀀스가 Puppe 시퀀스에 의해 제공됩니다.

균일한 공간과 공간

구를 동질적인 공간으로 인식하는 것이 많은데, 이는 리 그룹의 호모토피 그룹을 계산하기 위한 좋은 도구와 구로 만들어진 공간의 주요 다발의 분류를 제공한다.

특수 직교군

교정이^[4] 있다.

\displaystyle SO(n-1)\to SO(n)/SO(n-1)\cong S^{n-1}

길고 정확한 순서를 제시하다

\displaystyle \cdots \to \pi _{i}(SO)(n)\to \pi _{i}(S^{n-1}\right)\to \pi _{i-1}(SO(n-1)\to \cdots }

이 $i<n-1,$ 는 $i<n-1,$ i < - $i<n-1,$ $S^{n-1}$ $i<n-1,$ 、 \ $\pi _{i}(SO(n-1))\cong \pi _{i}(SO(n))$ $i<n-1,$ i $\pi _{i}(SO(n-1))\cong \pi _{i}(SO(n))$ （ $\pi _{i}(SO(n-1))\cong \pi _{i}(SO(n))$ O ( $\pi _{i}(SO(n-1))\cong \pi _{i}(SO(n))$ - $\pi _{i}(SO(n-1))\cong \pi _{i}(SO(n))$ )≅ ( $\pi _{i}(SO(n-1))\cong \pi _{i}(SO(n))$ i ( $\pi _{i}(SO(n-1))\cong \pi _{i}(SO(n))$ ( $\pi _{i}(SO(n-1))\cong \pi _{i}(SO(n))$ $)\$ $displaystyle \pi$ _ { $i$ } ( $SO$ ( n - 1 )\ $cong \pi$ _ { $i$ } ( $SO$ ( n )\ cong \ pi _ { i （ so ( n ) $i<n-1,$ ） $\pi _{i}(SO(n-1))\cong \pi _{i}(SO(n))$ )n)) s s which which which which which which which of1 - 1 $S^{n-1}$ of s s s s1 $i<n-1,$ $s$ s s1 $S^{n-1}$ 특히 교정이 있습니다.

SO(3)\to SO(4)\to S^{3}

하위 호모토피 그룹을 명시적으로 계산할 수 있습니다. $SO(3)\cong \mathbb {RP} ^{3},$ O ( $SO(3)\cong \mathbb {RP} ^{3},$ ) $SO(3)\cong \mathbb {RP} ^{3},$ R P $SO(3)\cong \mathbb {RP} ^{3},$ 、 \ $displaystyle$ SO $( 3$ ) \ $cong$ \ $mathbb$ { RP $} ^$ {3} there $SO(3)\cong \mathbb {RP} ^{3},$ there there there there there there 。

\displaystyle \mathbb {Z} / 2 / S^{n} \ to \mathbb {RP} ^{n}

$\pi _{i}(SO(3))\cong \pi _{i}(S^{3})$ $i>1.$ > $displaystyle$ i > $1$ 의 $\pi _{i}(SO(3))\cong \pi _{i}(S^{3})$ ( $\pi _{i}(SO(3))\cong \pi _{i}(S^{3})$ $\pi _{i}(SO(3))\cong \pi _{i}(S^{3})$ ( $\pi _{i}(SO(3))\cong \pi _{i}(S^{3})$ 3 ) $\pi _{i}(SO(3))\cong \pi _{i}(S^{3})$ ( $S$ 3 $)\cong \pi _$ ${i }$ ( S^ { $3}$ )가 $\pi _{i}(SO(3))\cong \pi _{i}(S^{3})$ 있습니다 $.$ } 이것을 $i>1.$ 사용하여 Postnikov 시스템을 사용하여 계산할 수 있는 $4$ 4 ( $\pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2,$ S $\pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2,$ ) $\pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2,$ = $Z$ / $\pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2,$ , \ $displaystyle$ \ $pi _$ { $4$ } \ $left$ ( S $^$ { 3 \ right ) = \ $mathbb$ { $Z$ } / 2 $\pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2,$ , $\pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2,$ } 의 $\pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2,$ 한 시퀀스를 얻을 수 있습니다 $.$

\displaystyle \begin{aligned}\cdots \to {4}(SO(3)\to \pi _{4}(S^{3})\to \pi _{3}(SO(3)\to \pi _3}(SO(4)\pi _33)\to \pi _{4}(SO)\to \pi _3}

$\pi _{2}\left(S^{3}\right)=0$ 2 $\pi _{2}\left(S^{3}\right)=0$ ( $\pi _{2}\left(S^{3}\right)=0$ 3 ) $\pi _{2}\left(S^{3}\right)=0$ $\pi _{2}\left(S^{3}\right)=0$ ( $\pi _{2}\left(S^{3}\right)=0$ \ $displaystyle \pi$ _ { $2}$ \ $left$ ( $S^$ { $3}$ \ $right$ ) $\pi _{3}(SO(4))\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ $0$ } 이므로 $\pi _{2}\left(S^{3}\right)=0$ $\pi _{2}(SO(4))=0.$ 2 ( $\pi _{3}(SO(4))\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ $\pi _{2}(SO(4))=0.$ （ $\pi _{2}(SO(4))=0.$ $\pi _{3}(SO(4))\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ $\pi _{2}(SO(4))=0.$ 0 . \ $displaystyle$ \ $pi _$ {2 $}$ $($ SO ( 4 ) $=$ 0 . } also $\pi _{2}(SO(4))=0.$ also $\pi _{3}(SO(4))\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ gives $\pi _{3}(SO(4))\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ 3 $\pi _{3}(SO(4))\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ ( $\pi _{3}(SO(4))\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ )가 됩니다 $\pi _{3}(SO(4))\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ $\pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2\to \mathbb {Z} =\pi _{3}\left(\mathbb {RP} ^{3}\right)$ = $\pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2\to \mathbb {Z} =\pi _{3}\left(\mathbb {RP} ^{3}\right)$ / 2 $\pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2\to \mathbb {Z} =\pi _{3}\left(\mathbb {RP} ^{3}\right)$ → $\pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2\to \mathbb {Z} =\pi _{3}\left(\mathbb {RP} ^{3}\right)$ 3 ( $R$ P $\pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2\to \mathbb {Z} =\pi _{3}\left(\mathbb {RP} ^{3}\right)$ ) \ $displaystyle$ \ $pi _$ { $4$ } \ $left$ ( $S ^$ { 3 \ right ) = \ $mathbb$ { $Z }$ / $2 =$ \ $pi _$ { 3 } \ $left$ ( \ $mathbb$ { RP } ^ { $3$ } \ right )는 $\pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2\to \mathbb {Z} =\pi _{3}\left(\mathbb {RP} ^{3}\right)$ 소량입니다 $\pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2\to \mathbb {Z} =\pi _{3}\left(\mathbb {RP} ^{3}\right)$ $\pi _{4}(SO(4))$ , $\pi _{4}(SO(4))$ $\pi _{4}(SO(4))$ ( $\pi _{4}(SO(4))$ S $\pi _{4}(SO(4))$ ( $\pi _{4}(SO(4))$ 4 $\pi _{4}(SO(4))$ ) $\pi _{4}(SO(4))$ 、 { $displaystyle \pi$ _ { $4$ （ $SO$ ( $4$ ) ） } 에는 $\pi _{4}(SO(4))$ 2개의 토션이 있습니다.

응용 프로그램/구 번들

Milnor[5]은 사실 π 3(SO(4)))Z⊕ Z{\displaystyle \pi_{3}( 그러니깐(4)){Z}\oplus \mathbb{Z}}S4,{\displaystyle S^{4},}에 대해 특별한에서, 그가 원활한 manifolds만 S7에homeomorphic 밀너의 영역이라고 불리는 매력적인 영역을 발견할 수 있었습니다3-sphere 다발을 분류하는 =\mathbb{\displ을 사용했다.ays $Tyle$ S $^{7}$ 이 $S^{7},$ (가) 미분형이 아닙니다. $(\$ S $^{3})$ 은 $S^{3}$ 지향성 리만 매니폴드의 구조를 가질 수 $S^{3}$ 구조 $(4)$ 를 $SO(4)$ 가진 4 $(\$ $displaystyle$ 4 $)$ - 벡터 $4$ $4$ 로 구성할 수 있습니다.

복잡한 투영 공간

교정이 있다.

S^{1}\to S^{2n-1}\to \mathbb {CP}^{n}

$S^{2n-1}$ 서 S $S^{2n-1}$ n - $S^{2n-1}$ {{ $displaystyle$ S $^{2n-1}}$ 은 $S^{{2n-1}}$ C $\mathbb {C} ^{n}.$ . $\mathbb {C} ^{n}.$ { $displaystyle \mathbb {C}$ ^{ $n}$ 단위의 $\mathbb {C} ^{n}.$ .} 이 $\mathbb {C} ^{n}.$ 시퀀스를 $\mathbb {CP} ^{n}$ 하여모든 $n$ $.\$ $displaystyle$ $n.\mathbb {CP}^{$ n $\mathbb {CP} ^{n}$ }의 단순 $\mathbb {CP} ^{n}$ 을 나타낼 수 있습니다 $.$

계산방법

호모토피 그룹의 계산은 일반적으로 대수 위상에서 학습된 다른 호모토피 불변량보다 훨씬 더 어렵다.기본 그룹에 대한 세이퍼트-반 캄펜 정리 및 단수 호몰로지 및 코호몰로지에 대한 절제 정리와는 달리, 공간을 더 작은 공간으로 쪼개서 공간의 호모토피 그룹을 계산하는 간단한 방법은 없다.그러나, 1980년대에 개발된 더 높은 호모토피 그룹오이드에 대한 반 캄펜형 정리를 포함하는 방법들은 호모토피 유형 및 호모토피 그룹에 대한 새로운 계산을 가능하게 했다.엘리스와 미하일로프의 ^[6]2010년 논문의 샘플 결과에 대해서는, 을 참조해 주세요.

Tori와 같은 일부 공간에서는 상위 호모토피 그룹(즉, 두 번째 및 상위 호모토피 그룹)이 모두 사소한 것입니다.이것들은 이른바 비구면 공간이다.그러나 구체의 호모토피 그룹을 계산하기 위한 집중적인 연구에도 불구하고, 2차원에서도 완전한 목록은 알려지지 않았다. $S^{2}$ 의 $S^{2}$ 번째 호모토피 그룹(\ $displaystyle$ S $^{2})$ 을 $S^{2}$ 계산하려면 정의가 제시하는 것보다 훨씬 더 고도의 기술이 필요합니다.특히 Serre 스펙트럼 시퀀스는 이러한 목적을 위해 구성되었다.

n개의 연결된 공간의 특정 호모토피 그룹은 Hurewicz 정리를 통해 호몰로지 그룹과 비교하여 계산할 수 있습니다.

호모토피 그룹을 계산하는 방법 목록

보정의 호모토피 그룹의 길고 정확한 시퀀스입니다.
휴레비츠 정리, 몇 가지 버전이 있습니다.
Blakers-Massey 정리, 호모토피 그룹의 절제라고도 합니다.
프로이덴탈 현탁 정리, 호모토피 그룹의 절제의 결과.

상대 호모토피 그룹

또한 상대 호모토피 그룹 $\pi _{n}(X,A)$ n ( $\pi _{n}(X),$ ) $\pi _{n}(X),$ , \ $displaystyle \pi$ _ ${n}(X$ ) , \ $displaystyle \pi$ _ ${n}(X,A)$ 이라고 $\pi _{n}(X,A)$ 불리는 호모토피 그룹 $\pi _{n}(X),$ n ( $\pi _{n}(X,A)$ ,A)의 $\pi _{n}(X),$ 편리한 일반화가 있습니다.여기서 X $,A)$ 는 $(X,A),$ 서브스페이스의 $(X,A),$ 입니다 $.$

이 구축은 $i:(A,x_{0})\hookrightarrow (X,x_{0}),$ : ( $i:(A,x_{0})\hookrightarrow (X,x_{0}),$ , $i:(A,x_{0})\hookrightarrow (X,x_{0}),$ 0 ) $i:(A,x_{0})\hookrightarrow (X,x_{0}),$ $i_{*}:\pi _{n}(A)\to \pi _{n}(X)$ $i:(A,x_{0})\hookrightarrow (X,x_{0}),$ ( $i:(A,x_{0})\hookrightarrow (X,x_{0}),$ , $i:(A,x_{0})\hookrightarrow (X,x_{0}),$ 0 ) $i:(A,x_{0})\hookrightarrow (X,x_{0}),$ , \ $displaystyle$ i : ( $A$ , x $_$ { $0$ ) \ $hook$ rightarrow $( X$ , $x$ _ { $0$ } )의 $i:(A,x_{0})\hookrightarrow (X,x_{0}),$ 경우 각 호모토피 $i_{*}:\pi _{n}(A)\to \pi _{n}(X)$ i $i_{*}:\pi _{n}(A)\to \pi _{n}(X)$ : $i_{*}:\pi _{n}(A)\to \pi _{n}(X)$ $i_{*}:\pi _{n}(A)\to \pi _{n}(X)$ → $display$ n $i_{*}:\pi _{n}(A)\to \pi _{n}(X)$ （ $i_{*}:\pi _{n}(A)\to \pi _{n}(X)$ ） $i_{*}:\pi _{n}(A)\to \pi _{n}(X)$ 。 $f:I^{n}\to X$ . 실제로 커널의 원소는 대표 f $f:I^{n}\to X$ $f:I^{n}\to X$ $f:I^{n}\to X$ $f:I^{n}\to X$ $({displaystyle$ f $:$ $I^{n}\to$ X $}$ 및 $f:I^{n}\to X$ 기반 $F:I^{n}\times I\to X$ F $F:I^{n}\times I\to X$ $F:I^{n}\times I\to X$ n × $F:I^{n}\times I\to X$ $F:I^{n}\times I\to X$ (\ $displaystyle$ F: $x_{0},$ $^{n}\times$ I $\to$ X $x_{0},$ 즉 $x_{0},$ $H_{I^{n}\times 1}=f,$ $H_{I^{n}\times 1}=f,$ n × $H_{I^{n}\times 1}=f,$ $H_{I^{n}\times 1}=f,$ , \ $display style$ H_ ${$ $I^{n}\times1}=f,}$ 인 $H_{I^{n}\times 1}=f,$ 반면 $I^{n+1}$ n + $($ I $^{n+1})$ 의 $I^{n+1}$ 다른 경계 구성요소에 대한 제한은 미미하다.따라서 다음과 같은 구조를 가지고 있습니다.

이러한 그룹의 요소는 $S^{n-1}$ $S^{n-1}$ $S^{n-1}$ $(\$ S $^{n-1})$ 을 $S^{{n-1}}$ A로 전달하는 기반 $D^{n}\to X$ $D^{n}\to X$ $D^{n}\to X$ (\ $displaystyle$ D $^{n}\to$ X $)$ 의 $D^{n}\to X$ 호모토피 클래스이다.2개의 $맵$ f $, g$ (\ $displaystyle f,$ g $f,g$ )가 베이스포인트 보존 $F:D_{n}\times [0,1]\to X$ F : $F:D_{n}\times [0,1]\to X$ n $F:D_{n}\times [0,1]\to X$ × [ $F:D_{n}\times [0,1]\to X$ , $F:D_{n}\times [0,1]\to X$ ] $F:D_{n}\times [0,1]\to X$ $(\displaystyle$ F $:)$ 에 의해 호모토피컬인 경우 A에 대해 호모토피컬이라고 한다. $D_{n}\times$ [ $[0,1],$ $,1]\to$ X}, S $S^{n-1}$ - $S^{n-1}$ 의 $S^{n-1}$ p({ $displaystyle$ S^{ $n-1$ 및 $[0,1],$ [ $0$ 1 $}$ 의 $F:D_{n}\times [0,1]\to X$ $[0,1],$ t( $displaystyle$ [ $0,1]),$ $F(p,t)$ F $p,t)$ 가 $F(p,t)$ A에 있도록 합니다.A $=$ { $A=\{x_{0}\}$ 0 $}$ { $displaystyle$ A=\{ $x_{0}\}}$ 이 $A=\{x_{0}\}$ (가) 기준점을 포함하는 싱글톤인 $A=\{x_{0}\}$ 한 경우 일반 호모토피 그룹이 복구됩니다.

이러한 그룹은 n $n\geq 3(E)$ ( $n\geq 3(E)$ E $n\geq 3(E)$ ) { $displaystyle$ n \ $geq$ 3 ( $E$ ) $n\geq 3(E)$ 、 n $n=2$ ( \ $displaystyle$ n $n=2$ = 2 $n=2$ )의 $n=2$ 경우 하위 그룹 $\pi _{1}(A).$ $\pi _{1}(A).$ . \ $displaystyle \pi$ _ ${1}$ ( $\pi _{1}(A).$ A )의 교차 모듈의 상위 그룹을 형성합니다. $}$

또한 Puppe 시퀀스를 통해 얻을 수 있는 길고 정확한 호모토피 그룹의 시퀀스가 있습니다.

\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(A)\to \pi _{n}(X,A)\to \pi _{n-1}(A)\to \cdots }

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ Marie Ennemond Camille Jordan
^ 이를 증명하기 위해 2차원 이상에서는 2개의 호모토피가 서로 "회전"할 수 있습니다.Eckmann-Hilton 인수를 참조하십시오.
^ Allen Hatcher #Books 섹션 4.1을 참조하십시오.
^ Husemoller. Fiber Bundles. p. 89.
^ Milnor, John (1956). "On manifolds homeomorphic to the 7-sphere". Annals of Mathematics. 64: 399–405.
^ Ellis, Graham J.; Mikhailov, Roman (2010). "A colimit of classifying spaces". Advances in Mathematics. 223 (6): 2097–2113. arXiv:0804.3581. doi:10.1016/j.aim.2009.11.003. MR 2601009.
^ Wildberger, N. J. (2012). "An introduction to homology". Archived from the original on 2021-12-12.

레퍼런스

Ronald Brown, '대수 위상의 군집과 교차 객체', 호몰로지, 호모토피 및 응용, 1(1999) 1~78.
Ronald Brown, Philip J. Higgins, Rafael Sivera, Nonabelian 대수 위상: 필터링된 공간, 교차 복합체, 입체 호모토피 군체, EMS 수학 제15권, 703쪽, 유럽 수학.Society, 취리히, 2011.doi:10.4171/083 MR2841564
를 클릭합니다Čech, Eduard (1932), "Höherdimensionale Homotopiegruppen", Verhandlungen des Internationalen Mathematikerkongress, Zürich.
Hatcher, Allen (2002), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-79540-1
"Homotopy group", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
를 클릭합니다Hopf, Heinz (1931), "Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche", Mathematische Annalen, 104 (1): 637–665, doi:10.1007/BF01457962.
Kamps, Klaus H.; Porter, Timothy (1997). Abstract homotopy and simple homotopy theory. River Edge, NJ: World Scientific Publishing. doi:10.1142/9789812831989. ISBN 981-02-1602-5. MR 1464944.
Toda, Hiroshi (1962). Composition methods in homotopy groups of spheres. Annals of Mathematics Studies. Vol. 49. Princeton, N.J.: Princeton University Press. ISBN 0-691-09586-8. MR 0143217.
Whitehead, George William (1978). Elements of homotopy theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 61 (3rd ed.). New York-Berlin: Springer-Verlag. pp. xxi+744. ISBN 978-0-387-90336-1. MR 0516508.

[1] Marie Ennemond Camille Jordan

[2] 이를 증명하기 위해 2차원 이상에서는 2개의 호모토피가 서로 "회전"할 수 있습니다.Eckmann-Hilton 인수를 참조하십시오.

[3] Allen Hatcher #Books 섹션 4.1을 참조하십시오.

[4] Husemoller. Fiber Bundles. p. 89.

[5] Milnor, John (1956). "On manifolds homeomorphic to the 7-sphere". Annals of Mathematics. 64: 399–405.

[6] Ellis, Graham J.; Mikhailov, Roman (2010). "A colimit of classifying spaces". Advances in Mathematics. 223 (6): 2097–2113. arXiv:0804.3581. doi:10.1016/j.aim.2009.11.003. MR 2601009.

[7] Wildberger, N. J. (2012). "An introduction to homology". Archived from the original on 2021-12-12.

[1]

[2]

[3]

[4]

[6]

[7]

v t 토폴로지
필드	일반(포인트 세트) 대수적 조합 연속체 차동 기하학 저차원의 호몰로지 코호몰로지 집합 이론 디지털.
주요 개념	오픈 세트 / 클로즈드 세트 내부 연속성 공간 작은 연결된 하우스도르프 미터법 균일한 호모토피 호모토피군 기본군 단순 복합체 CW 콤플렉스 다면체 복합체 다지관 번들(수학) 두 번째 셀 수 있는 공간 코보디즘
메트릭 및 속성	오일러 특성 베티수 권선번호 체른 번호 방향성
주요 결과	바나흐 고정점 정리 드 람의 정리 영역의 불변성 푸앵카레 추측 티코노프의 정리 유리손의 보조군
카테고리 수학 포털 위키북 위키 다양성 토픽 일반적인 대수적 기하학적 출판물

Search

호모토피군

네임스페이스

더

목차

서론

정의.

호모토피 그룹 및 구멍