베티 수

대수적 위상에서는 n차원 단순화 콤플렉스의 접속성에 근거한 위상학적 공간을 구분하는 데 베티 숫자를 사용한다. 가장 합리적인 유한차원 공간(예: 콤팩트 매니폴드, 유한 단순화 콤플렉스 또는 CW 콤플렉스)의 경우, 베티 번호의 순서는 어느 시점부터 0이며(베티 번호는 공간의 치수 위로 사라짐), 모두 유한하다.

n^th 베티 번호는 H로^th_n 표기된 n 호몰로지 그룹의 순위를 나타내며, 이는 표면을 두 조각 또는 0 사이클, 1 사이클 등으로 분리하기 전에 할 수 있는 최대 절단 횟수를 알려준다.^[1] For example, if ${\displaystyle H_{n}(X)\cong 0}$ then ${\displaystyle b_{n}(X)=0}$, if ${\displaystyle H_{n}(X)\cong \mathbb {Z} }$ then ${\displaystyle b_{n}(X)=1}$, if ${\displaystyle H_{n}(X)\cong \mathbb {Z} \oplus$$\mathbb {Z} }$ then ${\displaystyle b_{n}(X)=2}$, if ${\displaystyle H_{n}(X)\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$ then ${\displaystyle b_{n}(X)=3}$, etc. Note that only the ranks of infinite groups are considered, so for example if ${\displaystyle H_{n}(X)\cong \mathbb {Z} ^{k}\oplus \mathbb {Z} /(2)}$ , where ${\displaystyle \mathbb {Z} /(2)}$ is the finite cyclic group of order 2, then ${\displaystyle b_{$$n}(X)=k$ 호몰로지 그룹의 이러한 유한 구성요소는 이의 비틀림 부분군이며 비틀림 계수로 표시된다.

베티 넘버라는 용어는 엔리코 베티의 이름을 따서 앙리 푸앵카레(Henri Poincaré)가 만들었다. 현대적인 제형은 에미 노에더 덕분이다. 베티 번호는 오늘날 간단한 호몰로지, 컴퓨터 과학, 디지털 이미지 등과 같은 분야에서 사용된다.

기하학적 해석

비공식적으로 k번째 베티 번호는 위상학적 표면에 있는 k-차원 구멍의 수를 가리킨다. "k차원 구멍"은 a(k+1)차원 물체의 경계가 아닌 k차원 순환이다.

처음 몇 개의 베티 번호는 0차원, 1차원, 2차원 단순화 콤플렉스에 대해 다음과 같은 정의를 가지고 있다.

• b는₀ 연결된 구성 요소의 수입니다.
• b는₁ 1차원 또는 "circular" 구멍의 수입니다.
• b는₂ 2차원 "음향" 또는 "음향"의 수입니다.

따라서 예를 들어, 토러스에는 하나의 연결된 표면 성분이 있으므로 b₀ = 1, 2개의 "원형" 구멍(적도와 경맥 1개)이 있고, 표면 내에₁₂ 둘러싸인 하나의 공동이 b = 1이다.

b에_k 대한 또 다른 해석은 객체가 연결된 상태에서 제거할 수 있는 k-차원 곡선의 최대 수입니다. 예를 들어, torus는 두 개의 1차원 곡선(동등 및 경맥)을 제거한 후에도 연결된 상태를 유지하므로 b₁ = 2이다.^[2]

2차원 베티 숫자는 세계를 0, 1, 2, 3차원 단위로 보기 때문에 이해하기 쉽지만, 그 뒤를 이은 베티 숫자는 겉보기 물리적 공간보다 더 높은 치수다.

형식 정의

음이 아닌 정수 k의 경우, 공간 X의 k번째 베티 번호 b_k(X)는 X의 k번째 호몰로지 그룹인 아벨리아 그룹 H_k(X)의 순위(선형 독립 생성기 수)로 정의된다. The kth homology group is ${\displaystyle H_{k}=\ker \delta _{k}/\mathrm {Im} \delta _{k+1}}$, the ${\displaystyle \delta _{k}}$s are the boundary maps of the simplicial complex and the rank of H_k is the kth Betti number. 동등하게, 이 경우 호몰로지 그룹은 Q에 걸친 벡터 공간이기 때문에 H_k(X; Q)의 벡터 공간 차원으로 정의할 수 있다. 범용 계수 정리는 매우 단순한 비틀림 없는 경우에서 이러한 정의가 동일하다는 것을 보여준다.

보다 일반적으로 필드 F를 지정하면 F에 계수가 있는 k번째 베티 번호인 b_k(X, F)를 H_k(X, F)의 벡터 공간 치수로 정의할 수 있다.

푸앵카레 다항식

표면의 푸앵카레 다항식은 베티 번호의 생성 함수로 정의된다. 예를 들어, 토루스의 베티 번호는 1, 2, 1이므로 푸앵카레 다항식은 $1{\displaystyle \mathrm{}}$+ 2 ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 동일한 정의가 정확히 생성된 호몰로지를 가진 위상학적 공간에 적용된다.

세부적으로 생성된 호몰로지를 가진 위상학적 공간인 경우, 푸앵카레 다항식은 x$$ {\$displaystyle x^{$n}의 $계수$가 ${\displaystyle b_{}}${\$displaystyle b_{$n$$}인 다항식을 통해 Betti 번호의 생성 함수로 정의된다$.$

예

그래프의 베티 번호

꼭지점 집합이 V이고, 가장자리 집합이 E이며, 연결된 구성요소 집합이 C인 위상 그래프 G를 고려한다. 그래프 호몰로지 페이지에서 설명한 바와 같이, 호몰로지 그룹은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle H_{k}(G)={\begin{case}\mathb {Z} ^{C}&k=0\\\\mathb {Z}{E + C - V }&k=1\\{0\}\text{otherwise}}\case}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\case}}}}}}}}}}}?$

이것은 가장자리 수에 대한 수학적 유도에 의해 직접적으로 증명될 수 있다. 새로운 에지는 1주기 수를 증가시키거나 연결된 구성 요소의 수를 감소시킨다.

따라서 "제로th" 베티 번호 b₀(G)는 단순히 연결된 구성 요소의 수인 C와 같다.^[3]

첫 번째 베티 번호 b₁(G)는 E + C - V. 구스타프 키르흐호프가 베티의 논문 이전에 소개한 용어인 사이클로메틱 번호라고도 불린다.^[4] 소프트웨어 엔지니어링에 대한 응용프로그램의 경우 자전거의 복잡성을 참조하십시오.

다른 베티 번호는 모두 0이다.

단순 복합체의 베티 수

a, b, c, d, 1-단순: E, F, G, H, I 등 0-단순의 단순화 단지를 고려해 보십시오. 단 2-단순은 그림의 음영 영역인 J. 이 그림 (b₀)에 연결된 구성 요소가 하나 있고, 음영 처리되지 않은 영역 (b₁)인 구멍이 하나 있으며, "음영"이나 "케이비티" (b₂)가 없다는 것은 분명하다.

즉, H ${\$의 순위는 1이고$$, ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$1}의 순위는 1이며$$, $H{\displaystyle {}_{}}$ 2$${\$displaystyle H_{2$}}의 순위는 0이다$$.

이 그림의 베티 번호 순서는 1, 1, 1, 0, 0, ...; Poincaré 다항식은 ${\displaystyle 1}$+ x ${\$ 입니다$.$

투영 평면의 베티 번호

투영 평면 P의 호몰로지 그룹은 다음과 같다.^[5]

${\displaystyle H_{k}(P)={\begin{case}\mathb {Z} &k=0\\\\\mathb {Z} _{2}&k=1\\\{0\}{otherwise}\ext}\case}}}}}}}}\case}}}}}}}}}}?$

여기서 Z는₂ 순서 2의 순환집단이다. 0번째 베티 번호는 다시 1이다. 그러나 1번째 베티 번호는 0이다. 이것은₁ H(P)가 유한한 그룹이기 때문에 무한한 구성요소를 가지고 있지 않다. 집단의 유한성분을 P의 비틀림 계수라고 한다. (합리적) 베티 수 b(X)는_k 호몰로지 그룹에서 어떤 비틀림도 고려하지 않지만, 매우 유용한 기초 위상학 불변제들이다. 가장 직관적인 용어로 다른 차원의 구멍 수를 셀 수 있다.

특성.

오일러 특성

유한 CW 복합 K의 경우,

${\displaystyle \chi(K)=\sum _{i=0}^{\infit }-1)^{i}b_{i}(K,F),\,}$

여기서 $\chi {\displaystyle }$( ${\displaystyle K}$) ${\displaystyle \chi (K)}$은 K와 모든 필드 F의 오일러 특성을 나타낸다$$.

데카르트 제품

X와 Y의 두 공간은

${\displaystyle P_{X\time Y}=P_{X}P_{Y}}}}$

여기서 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$는 X의 Poincaré 다항식(Hilbert-Puincaré 시리즈, 무한 차원 공간에 대한 힐버트-Puincaré 시리즈), 즉 X의 Betti 번호의 생성 함수를 나타낸다.

${\displaystyle P_{X}=b_{0}(X)+b_{1}(X)z+b_{2}(X)z^{2}+\cdots ,\,\!}$

쿤네쓰의 정리를 살펴보다

대칭

X가 n차원 다지관인 경우, 모든 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$에 $대해$ k ${\displaystyle$ k$}$ 및 $n{\displaystyle }$- k ${\displaystyle n-k$의 대칭 교체가 있다$.$

${\displaystyle b_{k}(X)=b_{n-k}(X),}$

조건(폐쇄 및 방향 다지관)에서 푸앵카레 이중성을 참조한다.

상이한 계수

F 분야에 대한 의존은 그 특성을 통해서만 나타난다. 만약 호몰로지 그룹이 비틀림 없는 경우, 베티 번호는 F와 무관하다. 특성 p에 대한 p-torsion과 betti 번호의 연결은 p 프라임 숫자에 대한 범용 계수 정리(Tor functors에 기초하지만, 간단한 경우)에 의해 상세하게 주어진다.

더 많은 예

1. 원의 베티 번호 순서는 1, 1, 1, 0, 0, 0, ...;

   푸앵카레 다항식은

   ${\displaystyle 1}$+ x ${\$

2. 3토루스의 베티 번호 순서는 1, 3, 3, 1, 0, 0, 0, 0, ...이다.

   푸앵카레 다항식은

   ${\displaystyle (1}$+ x${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$= 1${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle {}^{}2}$ + ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ x${\displaystyle {}^{}{3\mathrm{}}^{}}$ $displaystyle (1+x)^{3}=1+3x+3x^{2}+x^{3}\,}$.

3. 마찬가지로, 엔토러스 같은 경우에는

   푸앵카레 다항식은

   ${\displaystyle (1}$+ ${\displaystyle x{}^{}}$)${\displaystyle n^{}}$ $displaystyle (1+x)^{n}\,}($쿠네츠 정리 기준) 따라서 베티 번호는 이항 계수다.

본질적으로 무한 차원인 공간은 0이 아닌 베티 수의 무한 시퀀스를 가질 수 있다. 예를 들어, 무한 차원 복합 투영 공간이 있으며, 시퀀스 1, 0, 0, 1, ...은 주기적인 공간이며, 주기적인 공간은 2이다. 이 경우 푸앵카레 함수는 다항식이 아니라 무한 계열이다.

${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle \cdots }$ ${\displaystyle 1+x^{2}+x^{4}+\b$ $\},$

기하학적 연속체로서 이성적 함수로 표현될 수 있다.

${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}.}$

보다 일반적으로, 주기적인 모든 수열은 위의 내용을 일반화하면서 기하 계열의 합으로 표현할 수 있다. 예를 들어 $a{\displaystyle }$, b${\displaystyle }$, ${\displaystyle c}$, a${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle c}$, c${\displaystyle }$,${\displaystyle a,b,c,a,b,c,\dots ,}$에는 생성 함수가 있음$$

${\displaystyle \left(a+bx+cx^{2)}\\오른쪽)/\왼쪽(1-x^{3}\오른쪽)\,}$

그리고 보다 일반적으로 선형 재귀 시퀀스는 정확히 합리적인 함수에 의해 생성된 시퀀스다. 따라서 Poincaré 시리즈는 Betti 번호의 시퀀스가 선형 재귀 시퀀스인 경우에만 합리적인 함수로 표현 가능하다.

콤팩트한 심플한 Lie 그룹의 Poincaré 다항식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\reasoned}P_{SU(n+1)}(x)&=\왼쪽(1+x^{3)}\오른쪽)\왼쪽(1+x^{5}\\오른쪽)\cdots \left(1+x^{2n+1}\right)\\\P_{SO(2n+1)}(x)&=\왼쪽(1+x^{3)}\오른쪽)\왼쪽(1+x^{7}\\오른쪽)\cdots \왼쪽(1+x^{4n-1}\오른쪽)\\\P_{Sp(n)}(x)&=\왼쪽(1+x^{3)}\오른쪽)\왼쪽(1+x^{7}\\오른쪽)\cdots \왼쪽(1+x^{4n-1}\오른쪽)\\\P_{SO(2n)}(x)&=\좌측(1+x^{2n-1}\우측)\좌측(1+x^{3)}\오른쪽)\왼쪽(1+x^{7}\\오른쪽)\cdots \left(1+x^{4n-5}\right)\\\\P_{G_{2}}(x)&=\왼쪽(1+x^{3)}\\오른쪽)\왼쪽(1+x^{11}\오른쪽)\\P_{F_{4}}(x)&=\왼쪽(1+x^{3)}\오른쪽)\왼쪽(1+x^{11}\오른쪽)\왼쪽(1+x^{15}\오른쪽)\왼쪽(1+x^{23}\오른쪽)\\P_{E_{6}(x)&=\왼쪽(1+x^{3)}\오른쪽)\왼쪽(1+x^{9}\오른쪽)\왼쪽(1+x^{11}\오른쪽)\왼쪽(1+x^{15}\오른쪽)\왼쪽(1+x^{17}\오른쪽)\\P_{E_{7}(x)&=\왼쪽(1+x^{3)}\오른쪽)\왼쪽(1+x^{11}\오른쪽)\왼쪽(1+x^{15}\오른쪽)\왼쪽(1+x^{19}\오른쪽)\왼쪽(1+x^{23}\오른쪽)\왼쪽(1+x^{27}\오른쪽)\왼쪽(1+x^{35}\오른쪽)\\P_{E_{8}(x)&=\왼쪽(1+x^{3)}\right)\left(1+x^{15}\right)\left(1+x^{23}\right)\left(1+x^{27}\right)\left(1+x^{35}\right)\left(1+x^{39}\right)\left(1+x^{47}\right)\left(1+x^{59}\right)\end{aligned}}}$

미분형 공간의 치수와 관계

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 폐쇄 다지관인 기하학적 상황에서 베티 숫자의 중요성은 다른 방향, 즉 닫힌 미분형 모듈로 정확한 미분형식의 벡터 공간의 치수를 예측한다는 점에서 발생할 수 있다. 위에서 주어진 정의와의 연결은 세 가지 기본 결과인 데 람의 정리 및 푸앵카레 이중성(그 결과가 적용되는 경우)과 호몰로지 이론의 보편적 계수 정리를 통해 이루어진다.

베티 숫자가 조화 형태의 공간의 치수를 제공한다는 대체 판독이 있다. 이를 위해서는 호지 라플라시안(Hodge Laplacian)에 대한 호지 이론의 결과의 일부를 사용해야 한다.

이 설정에서 Morse 이론은 주어진 지수의 Morse 함수의 임계점 수 ${\$의 해당 교차점 수 측면에서 Betti 수의 교번수에 대한 일련의 불평등을 제공한다.

${\displaystyle b_{i}(X)-b_{i-1}(X)+\cdots \leq N_{i}-N_{i-1}+\cdots .}$

에드워드 위튼은 모스 함수를 사용하여 드 람 콤플렉스의 외부 파생물을 수정함으로써 이러한 불평등에 대해 설명했다.^[6]

참고 항목

• 위상학적 데이터 분석
• 비틀림 계수

참조

• Warner, Frank Wilson (1983), Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, New York: Springer, ISBN 0-387-90894-3.
• Roe, John (1998), Elliptic Operators, Topology, and Asymptotic Methods, Research Notes in Mathematics Series, vol. 395 (Second ed.), Boca Raton, FL: Chapman and Hall, ISBN 0-582-32502-1.