완전한 헤이팅 대수학

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수학, 특히 순서 이론에서 완전한 헤이팅 대수학은 격자로 완성되는 헤이팅 대수학이다.Complete Heyting Algebras는 세 가지 다른 범주의 개체로, CHey 범주, Locales 범주, 그리고 그 반대 범주인 Frm 범주 프레임의 범주가 있다.이 세 가지 범주는 동일한 객체를 포함하지만 형태에 차이가 있어 별개의 명칭을 얻는다.오직 CHey의 형태만이 완전한 Heyting Algebras의 동형상일 뿐이다.

로케인과 프레임은 무의미한 위상의 기초를 형성하며, 포인트 세트 위상에 구축되는 대신, 프레임과 로케일에 대한 문장으로서, 일반 위상의 개념을 범주형 용어로 재탕한다.

정의

부분적으로 주문한 세트(P, ≤)가 완전한 격자임을 고려한다.그 다음 P는 다음과 같은 동등한 조건 중 하나가 유지되는 경우 완전한 헤잉 대수 또는 프레임이다.

• P는 헤이팅 대수학이다. 즉, 연산$({\displaystyle x}$ ${\displaystyle \wedge }$ $){\displaystyle (x\land \cdot )}$은 P의 각 원소 x에 대해 오른쪽 부선("모노톤" 갈루아 연결의 하단 부선이라고도 함)을 가진다$$.

• P의 모든 요소 x와 P의 모든 하위 집합 S에 대해, 다음의 무한 분배 법칙은 다음을 포함한다.

$\displaystyle x\land \bigvee _{s\s}s=\bigvee _{s\in S}(x\land s).}$

• P는 분배 격자, 즉 P의 모든 x, y, z에 대해 우리는

$[\displaystyle x\land(y\lor z)=(x\land y)\lor(x\land z)}$

미팅 작업$({\displaystyle x}$∧ ${\displaystyle \cdot }$ )${\displaystyle (x\land \cdot )}$은(는) P의 모든 x에 대해 Scott 연속(즉, 지시된 세트의 우월성을 보존한다)이다$$.

Heyting 시사점에 수반되는 정의는 $a{\displaystyle }$→ ${\displaystyle b}$= ${\displaystyle \bigvee }${ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \}}$. ${\displaystyle$ a$\to b=\bigve \{c\mid a\land c\leq$ b$\}$이다.$}$

좀 더 많은 범주 이론을 사용하여, 우리는 프레임을 동등하게 완전한 데카르트 닫힌 포셋으로 정의할 수 있다.

예

포함에 의해 정렬된 주어진 위상학적 공간의 모든 열린 집합의 시스템은 완전한 헤이팅 대수학이다.

프레임 및 로케일

범주 CHEY, 범주 프레임 Frm, 범주 Locales는 완전한 Heyting Algebras이다.이러한 범주는 형태론을 구성하는 요소가 다르다.

• Frm의 형태는 유한한 만남과 임의의 결합을 보존하는 (필요적으로 단조로운) 함수다.

• 헤이팅 알헤브라의 정의는 2진수 일치 연산에 대한 우위 조정의 존재를 결정적으로 포함하며, 이는 함께 추가적인 함축 연산을 정의한다.따라서 CHey의 형태는 함축성을 추가로 보존하는 프레임의 형태다.

• 로크의 형태는 Frm의 형태와 정반대여서 보통 (로케인의) 지도라고 부른다.

위상학적 공간 및 연속적 기능에 대한 로케인과 그 지도와의 관계는 다음과 같이 볼 수 있다.$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$을(를) 아무 지도로$$ 두십시오.파워셋 P(X)와 P(Y)는 완전한 부울알헤브라가 되며, $지도{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle P}$( ${\displaystyle Y}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle P}$( ${\displaystyle X}$) ${\디스플레이스타일$ f$^{-1}:P(Y)\to P(X)}$는 완전한$$ 부울알헤브라의 동형상이다.X와 Y의 공간이 X와 Y의 열린 세트의 토폴로지 O(X)와 O(Y)가 부여된 위상학적 공간이라고 가정합시다.O(X)와 O(Y)는 P(X)와 P(Y)의 하위 프레임이라는 점에 유의하십시오.$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 연속 함수인 경우 ${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}}$- ${\displaystyle 1{}^{}}$: ${\displaystyle O}$( Y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle O}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle f^{-1}:O(Y)\to$ O$(X)}$는 이러한 서브프레임의 유한 일치 및 임의 조인을 보존한다$$.이는 O가 위상학적 공간의 상위에서 Loc까지 범주의 functor이며, 모든 연속적인 지도를 취한다는 것을 보여준다.

${\displaystyle f:X\to Y})$

정확히

$[\displaystyle O(f):O(X)\to O(Y)}$

Frm에서 역 이미지 프레임 동형성으로 정의되는 Loc에서

${\displaystyle f^{-1:O(Y)\to O(X).}$

locales $f{\displaystyle }$ :${\displaystyle A}$→ B ${\displaystyle f:$로크에서 $A\to B}$ $f{\displaystyle {}^{}}$, : ${\displaystyle B}$→ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f^{*}$를 쓰는 것이 일반적이다.Frm에서 이를 정의하는 프레임 동형성에 대한$$ $B\to A}$$이{\displaystyle }$ 표기법을 사용하여 O${\displaystyle }$( ${\displaystyle f}$) ${\displaystyle O(f)}$은(는) $O{\displaystyle }$( f${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {\ast }^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$.${\displaystyle O(f)^{*}=f^{-1}$ 등식으로 정의된다$$.$}$

반대로, 모든 로케일 A에는 해당 로케일에 가장 근접한 S(A)라는 위상학적 공간이 있다.또한 locales $f{\displaystyle }$ :${\displaystyle A}$→ B ${\displaystyle f:$$A\to B}$은(는) ${\displaystyle \mathrm{연속}}$ 지도 $S{\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle S}$(${\displaystyle }$) .${\$디스플레이 $스타일 S(A)\to S(B$)를 결정한다$.$$}$ Moreover this assignment is functorial: letting P(1) denote the locale that is obtained as the power set of the terminal set ${\displaystyle 1=\{*\},}$ the points of S(A) are the maps ${\displaystyle p:P(1)\to A}$ in Loc, i.e., the frame homomorphisms ${\displaystyle p^{*}:$$A\$$to P(1)$$}$

For each ${\displaystyle a\in A}$ we define ${\displaystyle U_{a}}$ as the set of points ${\displaystyle p\in S(A)}$ such that ${\displaystyle p^{*}(a)=\{*\}.}$ It is easy to verify that this defines a frame homomorphism ${\displaystyle A\to P(S(A)),}$$$ 따라서 S(A)의 위상이 되는 이미지$그런{\displaystyle }$ 다음${\displaystyle f}$ : ${\displaystyle A}$→ B ${\displaystyle f:$$A\to B}$ is a map of locales, to each point ${\displaystyle p\in S(A)}$ we assign the point ${\displaystyle S(f)(q)}$ defined by letting ${\displaystyle S(f)(p)^{*}}$ be the composition of ${\displaystyle p^{*}}$ with ${\displaystyle f^{*},}$ hence obtain연속 지도 $S{\displaystyle }$( ${\displaystyle f}$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle S}$( ${\displaystyle A}$)${\displaystyle }$→ S${\displaystyle }$( ${\displaystyle B}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ S$(f):$$S(A)\to S(B).$$}$ 이것은$$ Lock에서 Top까지 functor $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$을(를) 정의하며, 이는 O에 오른쪽 맞춤입니다.

스펙트럼의 위상에 이형성이 있는 모든 로케일은 공간이라고 하며, 개방된 집합의 로케일의 스펙트럼에 동형성이 있는 위상학적 공간은 무정음이라고 한다.위상적 공간과 국소 사이의 연관성은 정상 공간과 공간적 국소 사이의 범주의 동등성으로 제한된다.

모든 결합(따라서 어떤 프레임 동형성)을 보존하는 모든 함수는 오른쪽 정렬을 가지며, 반대로 모든 결합을 보존하는 함수는 왼쪽 정렬을 가진다.따라서, Lock 범주는 물체가 프레임이고 형태변형이 유한성을 유지하는 왼쪽 부위가 만나는 보존함수인 범주에 이형성이 있다.이것은흔히로크의 표현으로 간주되지만, 형식적으로는 반대 방향의 프레임 동형식과 동일한 형태인 로크 그 자체와 혼동해서는 안 된다.

문학

• P. T. Johnstone, Stone Spaces, Cambridge University Press, Cambridge University Press, 1982.( ISBN0-521-23893-5)

여전히 지역 주민들과 완벽한 알제브라스를 위한 훌륭한 자원이다.

• G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. M. Mislove 및 D. S. Scott, 연속 래티스와 도메인, 수학 및 응용분야, 2003년 제93권, 캠브리지 대학 출판부.ISBN 0-521-80338-1

연속성 충족 측면에서 특성화를 포함한다.

• Francis Borceux: 범주형 대수학 III편, 수학 백과사전 52권 및 그 적용.케임브리지 대학교 출판부, 1994.

지역 주민들과 헤잉 알제브라에 대한 놀랍도록 광범위한 자원.좀 더 단정적인 관점을 취한다.

• 스티븐 비커즈, 로직을 통한 토폴로지, 캠브리지 대학 출판부, 1989년 ISBN 0-521-36062-5

• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Vol. 97. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001.

외부 링크

• nLab의 로케일