디지털 위상

디지털 토폴로지는 물체의 위상적 특성(예: 연결성)이나 위상학적 특징(예: 경계)에 해당하는 2차원(2D) 또는 3차원(3D) 디지털 이미지의 특성과 특징을 다룬다.

디지털 토폴로지의 개념과 결과는 씬닝, 테두리 또는 표면 추적을 위한 알고리즘, 구성요소 또는 터널의 계수 또는 지역 채우기 등을 포함한 중요한 (저준위) 이미지 분석 알고리즘을 지정하고 정당화하는 데 사용된다.

역사

디지털 토폴로지는 컴퓨터 이미지 분석 연구원 아즈릴 로젠펠트(1931–2004)에 의해 1960년대 후반에 처음 연구되었는데, 이 주제에 관한 출판물은 이 분야를 설립하고 발전시키는데 큰 역할을 했다.'디지털 위상'이라는 용어 자체가 1973년 출판물에 처음 사용했던 로젠펠트에 의해 발명된 것이다.

고전적인 결합 위상과의 연결고리로 생각할 수 있는 그리드 셀 위상이라 불리는 관련 작품이 파벨 알렉산드로프와 하인츠 홉프, 토폴로지 1세(1935년)의 저서에 등장했다.로젠펠드 외 연구진은 2차원의 4-연결성, 8-연결성 등 디지털 연결성과 3차원의 6-연결성 및 26-연결성을 제안했다.연결된 구성 요소를 유추하기 위한 라벨링 방법은 1970년대에 연구되었다.테오도시오스 파블리디스(1982)는 연결된 구성요소를 찾기 위해 깊이 우선 검색 방법과 같은 그래프-이론 알고리즘의 사용을 제안했다.블라디미르 코발레프스키(1989)는 알렉산드로프-홉프 2D 그리드 셀 위상을 3차원 이상까지 확장했다.그는 또한 (2008) 에른스트 슈타이니츠(1908)가 이전에 제안한 국소 유한 위상학적 공간과 추상적 세포 복합체에 대한 보다 일반적인 자명론도 제안했다.그것은 알렉산드로프 위상이다.2008년 책에는 지표와 무관한 위상학적 공과 구에 대한 새로운 정의와 디지털 이미지 분석에 대한 수많은 응용이 담겨 있다.

1980년대 초에는 디지털 표면이 연구되었다.데이비드 모겐탈러와 로젠펠트(1981)는 3차원 디지털 공간에서 표면에 대한 수학적 정의를 내렸다.이 정의는 총 9가지 유형의 디지털 표면을 포함한다.디지털 다지관은 1990년대에 연구되었다.디지털 k-manifold의 재귀적 정의는 1993년 첸과 장에 의해 직관적으로 제안되었다.이미지 처리와 컴퓨터 비전에서는 많은 응용 프로그램이 발견되었다.

기본결과

디지털 토폴로지의 기본(초기) 결과에 따르면 2D 이진 영상은 분리 및 연결성의 기본 위상학적 이중성을 보장하기 위해 4~8-접근성 또는 "픽셀 연결" ("객체" 또는 "비객체" 픽셀)의 대체 사용이 필요하다고 한다.이 대체 용도는 2D 그리드 셀 토폴로지에서 개방 또는 폐쇄된 세트에 해당하며, 결과는 3D로 일반화된다. 6- 또는 26-접근의 대체 용도는 3D 그리드 셀 토폴로지에서 개방 또는 폐쇄된 세트에 해당한다.그리드 셀 토폴로지는 가능한 영상 값의 총 순서에 기초하고 '최대 라벨 규칙'을 적용하는 등 다단계(예: 색상) 2D 또는 3D 영상에도 적용된다(Klette와 Rosenfeld, 2004년 책 참조).

디지털 위상은 결합 위상과 높은 관련이 있다.이들 사이의 주요 차이점은 (1) 디지털 위상은 주로 그리드 셀에 의해 형성되는 디지털 사물을 연구하며,^{[clarification needed]} (2) 디지털 위상은 비 조르단 다지관도 다룬다.

결합 다지관은 다지관의 일종으로 다지관의 탈색이다.그것은 보통 단순한 콤플렉스에 의해 만들어진 조각처럼 생긴 선형 다지관을 의미한다.디지털 다지관은 디지털 공간, 즉 그리드 셀 공간에서 정의되는 특별한 종류의 결합 다지관이다.

가우스-보넷 정리의 디지털 형식은: M을 직접 인접(즉, 3D의 a (6,26)-표면)에서 닫힌 디지털 2D 다지관이 되게 한다.속과의 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle g}$= ${\displaystyle 1}$+ (${\displaystyle }$M ${\displaystyle {5\mathrm{}}_{}}$+ 2 ${\displaystyle {M\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$- M ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 8\mathrm{}}$ ${\displaystyle g=1+(M_{5}+2M_{6}-M_{3}/8$

여기서 $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 표면 위에 I 인접 포인트가 있는 표면 포인트 집합을 나타낸다$$(Chen과 Long, ICPR 2008).간단히 M이 ${\displaystyle \mathrm{연결}}$된 경우, $즉{\displaystyle }$ g${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle g=0$ ${\displaystyle {M\mathrm{}}_{}}$ 3${\displaystyle {}_{}}$= 8${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {M\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 2}$ M ${\displaystyle {6\mathrm{}}_{}}$ ${\$ (Uiler 특성도 참조)

참고 항목

• 디지털 기하학
• 결합 위상
• 연산 기하학
• 계산 위상
• 위상학적 데이터 분석
• 위상
• 이산수학

참조

• Herman, Gabor T. (1998). Geometry of Digital Spaces. Applied and Numerical Harmonic Analysis. Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. ISBN 978-0-8176-3897-9. MR 1711168.
• Kong, Tat Yung; Rosenfeld, Azriel, eds. (1996). Topological Algorithms for Digital Image Processing. Elsevier. ISBN 0-444-89754-2.
• Voss, Klaus (1993). Discrete Images, Objects, and Functions in ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$. Algorithms and Combinatorics. Vol. 11. Berlin: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-46779-0. ISBN 0-387-55943-4. MR 1224678.
• Chen, L. (2004). Discrete Surfaces and Manifolds: A Theory of Digital-Discrete Geometry and Topology. SP Computing. ISBN 0-9755122-1-8.
• Klette, R.; Rosenfeld, Azriel (2004). Digital Geometry. Morgan Kaufmann. ISBN 1-55860-861-3.
• Morgenthaler, David G.; Rosenfeld, Azriel (1981). "Surfaces in three-dimensional digital images". Information and Control. 51 (3): 227–247. doi:10.1016/S0019-9958(81)90290-4. MR 0686842.
• Pavlidis, Theo (1982). Algorithms for graphics and image processing. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 877. Rockville, MD: Computer Science Press. ISBN 0-914894-65-X. MR 0643798.
• Kovalevsky, Vladimir (2008). Geometry of Locally Finite Spaces. Berlin: Publishing House Dr. Baerbel Kovalevski. ISBN 978-3-9812252-0-4.