위치(지오메트리)
Position (geometry)기하학에서 위치 벡터 또는 반지름 벡터라고도 하는 위치 또는 위치 벡터는 임의의 기준 원점 O와 관련하여 공간에서 점 P의 위치를 나타내는 유클리드 벡터다. 일반적으로 x, r 또는 s로 표시되며, O에서 P까지의 직선 세그먼트에 해당한다. 즉, 기원을 P:[1]에 매핑하는 것은 변위 또는 번역이다.
위치 벡터(position vector)라는 용어는 주로 미분 기하학, 역학, 때로는 벡터 미적분학 분야에서 사용된다.
흔히 이것은 2차원 공간이나 3차원 공간에서 사용되지만 유클리드 공간에는 쉽게 일반화될 수 있고 어떤 차원의 공간에도 붙일 수 있다.[2]
정의
삼차원
3차원에서는 3차원 좌표 세트와 그에 상응하는 기본 벡터를 사용해 한 점의 공간 위치를 정의할 수 있다. 그 중 어느 것이든 당면한 과제에 가장 간단한 것이 사용될 수 있다.
일반적으로 익숙한 데카르트 좌표계 또는 때로는 구형 극좌표 또는 원통형 좌표를 사용한다.
여기서 t는 직사각형 또는 원형 대칭으로 인해 매개변수다. 이러한 서로 다른 좌표와 해당 기본 벡터는 동일한 위치 벡터를 나타낸다. 보다 일반적인 곡선 좌표를 대신 사용할 수 있으며 연속체 역학과 일반 상대성 같은 맥락에 있다(후자의 경우 추가 시간 좌표가 필요하다).
n 치수
선형대수는 n차원 위치 벡터의 추상화를 허용한다. 위치 벡터는 기본 벡터의 선형 조합으로 표현될 수 있다.[3][4]
모든 위치 벡터 세트는 위치 공간(위치가 위치 벡터인 벡터 공간)을 형성하는데, 그 이유는 위치 추가(벡터 추가) 및 길이 축척(scalar 곱셈)이 가능하기 때문이다. "공간"의 개념은 직관적이다. 각 xi(i = 1, 2, n)는 어떤 값도 가질 수 있기 때문에, 값의 집합은 공간의 점을 정의한다.
위치 공간의 치수는 n이다(dim(R) = n로도 표시됨). 기본 벡터 e에i 대한 벡터 r의 좌표는 x이다i. 좌표 벡터는 좌표 벡터 또는 n-투플(x1, x2, x, …, xn)을 형성한다.
각 좌표 x는i 다수의 매개변수 t로 매개변수화할 수 있다. 하나의 매개변수 xi(t)는 곡선 1D 경로를, 두 매개변수i x1(t2, t)는 곡선 2D 표면을, 세 개의i x(t1, t23, t)는 곡선 3D 공간을 설명한다.
기본 집합 B = {e1, e2, …, en}의 선형 스팬은 위치 공간 R, 표시된 스팬(B) = R과 동일하다.
적용들
미분 기하학
위치 벡터 필드는 연속적이고 가변적인 공간 곡선을 설명하기 위해 사용된다. 이 경우 독립 매개변수는 시간이 아니라 곡선의 호 길이일 수 있다.
역학
어떤 움직임의 방정식에서, 위치 벡터 r(t)은 이 함수가 입자(즉, 점 질량)의 움직임 - 어떤 시간 t에서 주어진 좌표계에 상대적인 위치를 정의하기 때문에 일반적으로 가장 추구하는 수량이다.
위치의 측면에서 움직임을 정의하기 위해, 각 좌표는 시간에 따라 파라메트리될 수 있다. 각 연속적인 시간의 값은 좌표에 의해 주어진 연속적인 공간 위치의 순서에 해당하기 때문에, 연속적인 많은 위치의 연속적인 한계는 입자 트레이스의 경로다.
1차원의 경우 그 위치는 한 가지 요소만 가지고 있어 효과적으로 스칼라 좌표로 퇴보한다. 예를 들어 X 방향의 벡터 또는 방사형 r 방향일 수 있다. 등가 공명은 다음을 포함한다.
포지션 파생상품
시간 t의 함수인 위치 벡터 r의 경우 시간 파생상품은 t에 대해 계산할 수 있다. 이러한 파생상품은 운동학, 제어 이론, 공학 및 기타 과학 연구에 공통의 효용을 가진다.
여기서 dr은 무한히 작은 변위(vectorvector)이다.
위치의 첫 번째, 두 번째, 세 번째 파생상품에 대한 이러한 명칭은 기본 운동학에서 일반적으로 사용된다.[5] 더 나아가 고차파생상품도 비슷한 방식으로 계산할 수 있다. 이러한 고차 파생상품에 대한 연구는 원래 변위함수의 근사치를 개선할 수 있다. 변위 함수를 무한 시퀀스의 합으로 정확하게 나타내기 위해서는 이러한 고차 항이 필요하며, 공학과 물리학의 여러 해석 기법이 가능하다.
참고 항목
메모들
- ^ 변위라는 용어는 주로 기계학에서 사용되는 반면, 번역은 기하학에서 사용된다.
- ^ 켈러, F. J. 게티스, W. E. 외 연구진(1993) 페이지 28-29
- ^ Riley, K. F.; Hobson, M. P.; Bence, S. J. (2010). Mathematical methods for physics and engineering. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
- ^ Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). Linear Algebra. McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.
- ^ Stewart, James (2001). "§2.8. The Derivative As A Function". Calculus (2nd ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-37718-1.
참조
- 켈러, F. J. 게티스, W. E. 외 연구진(1993) "물리학: 고전적이고 현대적인" 2차 개정판 맥그로 힐 출판사.
외부 링크
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