경계(토폴로지)

이 문서에는 일반적인 참조 목록이 포함되어 있지만 대응하는 충분한 인라인 인용이 없습니다. 좀 더 정확한 인용문을 도입하여 이 기사의 개선에 도움을 주시기 바랍니다. (2013년 3월) (이 템플릿메시지 삭제 방법 및 삭제 시기 확인)

일반적으로 위상 및 수학에서 위상공간 X의 부분집합 S의 경계는 S의 내부에 속하지 않는 S의 폐쇄점 집합이다.S의 경계 원소를 S의 경계점이라고 한다.경계 연산이라는 용어는 집합의 경계를 찾거나 취하는 것을 의미합니다.세트 S의 경계에 사용되는 표기법에는 ${\displaystyle \mathrm{bd}}$" (${\displaystyle S}$) , ${\displaystyle \mathrm{fr}}$" (${\displaystyle S}$)$$, \ $display$style \$operatorname${ $bd$} ($S$ ) , \$operatorname${$fr$} ( $S$$$) ${\displaystyle s}$ s s {\${\$ s {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ S ( \ $display$style \ $partial$S$$)가 있습니다.예를 들어 Willard, General Topology의 경계용어가 아닌 경계에 사용되고 있습니다.대수 위상과 다양체 이론에서 사용된다.경계와 프런티어라는 용어의 의미는 널리 받아들여지고 있지만, 때때로 다른 집합을 가리키는 데 사용됩니다.예를 들어 Metric Spaces by E와 같습니다.T. Copson은 하우스도르프의 경계를 나타내기 위해 경계라는 용어를 사용합니다. 이 경계는 집합과 집합의 경계선의 ^[1]교점으로 정의됩니다.하우스도르프는 또한 잔차라는 용어를 도입했는데, 이는 집합의 경계와 집합의 보체의 ^[2]닫힘의 교점으로 정의된다.

S의 경계에서 연결된 성분을 S의 경계 성분이라고 한다.

공통 정의

토폴로지 $공간{\displaystyle }$X의 $(\$$displaystyle$ S$\subseteq$ X$)$ 경계에는${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$X, \${\displaystyle {}_{}}$ $\partial _{X$$S$,\displaystyle \$opereq$ $X$$,\$dorn으로 표시되는 $등가정의$가$$몇 $가지$ $있습니다.$$X(\$$displaystyle$ X$)$가 이해되는 $경우{\displaystyle }$ al S:

1. S$(디스플레이$ 스타일 S$)$에서 X$(디스플레이 스타일$ X$)$의 $(디스플레이 스타일$ S$)$ 내부를 뺀 것입니다.
   $${\displaystyle \displaystyle S~:=~{\overline {S}}\setminus \operatorname {int}_{X}S}$$

   
   $여기$서 S ${\displaystyle \stackrel{}{¯}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {cl}_{}}$ X ${\displaystyle {}_{}}$ $S${ $displaystyle {$S } = \$operatorname${ $cl }$= \operatorname { cl } $S$는$$X의$$ S$(\$$displaystyle$$$X$)$의 닫힘을 ${\displaystyle {\mathrm{나타내고}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}\mathrm{int}}$ X${\$ S(\$displaystyle$ \$operatorname {int}_X}$ S$)$는 S의 $최상위{\displaystyle }$ 표시 $스타일$을 나타냅니다.
2. S$(\displaystyle$ S$)$의 폐쇄와 보완의 폐쇄의 교차점이다.
   $$\displaystyle \setminus S~:=~{\overline {S}}\cap {(X\setminus S)}$$

   
3. p$\displaystyle$ p$\in$X의$$ $포인트{\displaystyle }$ 세트이며 p$\$$displaystyle$ p$\$in X의$$ 모든$$ 네이버에 $적어도1개$의 S$(\$$displaystyle$ S$)$와 S(\$displaystyle$ S$)$ $이외의1개$의 포인트가 포함됩니다.
   $${\displaystyle \setminus S~:=~\{p\in X:{\text{}}p},\O\cap S\neq \varnothing,{\text{ 및 }}},O\cap(X\setminus S)\neq \varnothing.$$

   

집합의 경계점은 해당 집합의 경계 요소를 참조합니다.위에서 정의한 경계${\displaystyle {\mathrm{}}_{\delta }}$ ${\displaystyle {}_{}}$ S$(\style \partial$ _${X}S})$는 종종 집합의 위상 경계라고 불리며, 예를 들어 경계가 있는 다양체의 경계 또는 모서리가 있는 다양체의 경계와 같은 유사한 이름의 다른 개념과 구별된다.

특성.

$세트{\displaystyle }$ S$(\displaystyle$ S$)$의 닫힘은 세트와 그 경계선의 합계와 같습니다.

$여기$서 S ${\displaystyle \stackrel{}{¯}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {cl}_{}}$ X$s$ S$${\$displaystyle {S$} = \$operatorname$ {$cl}$ _${X} S}$는${\displaystyle }X$에서$$S {\$displaystyle$ S$$$}$의 닫힘을 나타냅니다$.$ {$displaystyle$ X$}$ 세트가$$ 경계를 포함하는 경우에만 닫히고 경계에서 분리된 경우에만 열립니다.집합의 경계가 ^[3]닫힙니다$.{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$은 X S${\displaystyle }$: ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \text{S}\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle ¯¯\stackrel{}{}}$ （ $X$ S${\displaystyle \stackrel{}{}}$） $、$ { $X } S$ ~ : = ~ { \ $overline${ $S$} 、 cap { $overline {$( X \ $setminus$ S ) $}$ } 。${\displaystyle {이것}_{}}$은$XSCISPLAY$ \$DISPLAY$ \ $S }$ 。

("Tricosomature")$$X의 $서브셋{\displaystyle }$ S${\displaystyle x}$X$,$ {\$displaystyle$ S$\subseteq$ X$,$ {\$displaystyle$ X$}$의 각 포인트는 X${\displaystyle {}_{}{\mathrm{}}_s}$ $,$ {\$displaystyle \operatorname {int}, {$X}, \$partial {X}$의 ${\displaystyle {\mathrm{3가지}}_{}}$ 세트 중 하나에 있습니다.} 다르게$$ 말하면$,$

그리고 이 세 세트는 쌍으로 분리된 것입니다.따라서 이들 세트가 비어 있지 않으면^{[note 1]} X $.\displaystyle$ X의 $파티션$을 형성합니다$.$

$포인트{\displaystyle }$ p${\displaystyle x}$X { $display style$p \ $in$ X$$}는$$ p$${ $display style$ p$$}의$$ $모든{\displaystyle }$ 근방이 세트 내에 적어도1개의 포인트를 포함하고 있는 경우 및 세트 내에 없는1개의 포인트를 포함하는 경우에만 세트의 경계점이 됩니다.세트의 내부 경계와 세트의 폐쇄 경계는 둘 다 세트의 경계에 포함됩니다.

${\displaystyle {}^{}}$ n$.$의 $서브셋{\displaystyle }$ S$.$의 서로 다른 포인트 간의 관계를 나타내는 개념적인 벤 다이어그램. \$displaystyle \mathbb {R}$^{n$}$$}$$${$displaystyle$ A$}$ $$$=$$$S의 $한계점{\displaystyle }$ $집합$, ${{$$displaystyle$$S$${\displaystyle }$$,}$의 $경계점{\displaystyle }$ $집합$, {{$displaystyle$ B=} 영역의 녹색 음영 $=$$S$의 내부 점 $집합{\displaystyle }$, {\$displaystyle$S,} 영역의 노란색 음영 = S$$$,$ {\displaystyle$$S} 영역의 음영역 집합, $검은색$의 $고립점$ 집합= 빈 세트입니다.$S(\displaystyle$ S$)$의 모든 점은 내부 지점 또는 경계 지점입니다.또한$$S의 $모든$은 누적점 또는 고립점 중 하나입니다.마찬가지로 S$$\style$S$ \$display$ S의$$ $모든{\displaystyle }$ 경계점은 누적점 또는 고립점입니다.격리된 점은 항상 경계점입니다.

예

특성화 및 일반적인 예

집합의 경계는 집합의 보완 경계와 같습니다.

$세트{\displaystyle }$U({$displaystyle$U})는$$ X$({displaystyle$X})의 고밀도 오픈 서브셋으로, ${\displaystyle {만약}_{}}{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$} ${\displaystyle {}_{}}$U $= X$ ${\displaystyle \setminus U}$. {X} U$=$ X \ $setminus$ U .

닫힌 집합의 경계 내부는 빈 ^{[proof 1]}집합입니다.이것에 의해, 집합의 폐색 경계 내부는 빈 집합이 된다.열린 집합의 경계 내부도 빈 ^{[proof 2]}집합입니다.따라서 세트 내부 경계 내부는 빈 세트이다.특히, ${\$ X ( \ $displaystyle$S \ $subseteq$X$$ )가$X$ ( \ $displaystyle$X )의 닫힌 $서브셋{\displaystyle }$ 또는 열린 서브셋인 ${\displaystyle {}_{}}$, U${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$( \ $displaystyle$U \ $subseteq$ \ $partial _$ { X $S$)는 비어 있지 $,$$$$U$ ( \ $displaystyle$${\displaystyle }$U \ subseteq $)$도 열려 있습니다.고밀도 서브셋, 빈약한 서브셋 및 베어 공간의 정의와 사용을 위해 사용된다.

집합은 닫혀 있고 밀도가 높은 곳이 없는 경우에만 열린 집합의 경계입니다.집합의 경계가 비어 있는 것은 집합이 닫혀 있고 열려 있는 경우(즉, 열린 집합)뿐입니다.

구체적인 예

일반 토폴로지(즉, 기본 세트가 열린 토폴로지)와 $Q{\displaystyle \mathbb{},}$ ${{displaystyle \mathbb {Q}}$의 유리수 부분 집합(R$${\$displaystyle \mathbb {R}}$의 토폴로지 내부가 비어 있음)을 가진 $실선{\displaystyle \mathbb{}}$ R$(\$을 검토합니다.그리고나서

• $\displaystyle \displaystyle (0,5)=\displays [0,5]=\displays [0,5]=\{0,5\}$
• $\displaystyle \varnothing =\varnothing }$
• $\displaystyle \mathbb {Q} = \mathbb {R}$
• $\displaystyle \partial (\mathbb {Q} \cap [0,1])=[0,1]}$

이 마지막 두 가지 예는 빈 내부가 있는 조밀한 집합의 경계가 폐쇄라는 사실을 보여줍니다.또한 부분 $S$의 경계$$ S {\$displaystyle$ $\displaystyle S$$}$는 X :$=$ {\$displaystyle$ X:=\$mathbb {R$의 비어 있지 않은 부분 집합, 즉$$X $디스플레이$ ${\displaystyle \mathrm{스타일}}$ $X의$$$S {\$displaystyle \display$ S$}$의 내부가 비어 있지 않음을 알 수 있습니다.그러나 닫힌 부분 집합의 경계에는 항상 빈 내부가 있습니다.

일반 토폴로지(R$\$의 서브스페이스 토폴로지)의 유리수 공간에서는 ${\displaystyle (-}$ ${\displaystyle \infty ,a),}$(\$displaystyle$ -$\infty, a)$의 경계$(\backslash {\displaystyle }$$displaystyle$ a$)$가 비어 있습니다.

세트의 경계는 토폴로지 개념이며 토폴로지를 변경하면 변경될 수 있습니다.예를 들어, ${\displaystyle {}^{}}$2의 $일반적$인 토폴로지에 대해$$$${{$displaystyle \mathbb {R}$^{$2}$ ${\displaystyle =}${ (${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle y}$) : ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$2 + $y$ 1$}$ { $displaystyle \Omega$= \ $left$\ { x , $y$} : $x ^{$2 } + y ^{ $2$ }$}\leq 1\$right$$\}는 디스크의 ${\displaystyle \mathrm{주변}}$ 원입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \delta }{\displaystyle \mathrm{}}$=${\displaystyle }${${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$,${\displaystyle {}^{}}$ ) :${\displaystyle {}^{}{x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ + ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$= $1 }$ . ( \ $displaystyle$\ $Omega =$ \$left$ \ { ( x ,$y$ ) : $x^{2}$ $+$ $y^{1$ \ right$$} .} 디스크가$$ 통상적인 토폴로지와 함께$R3(\displaystyle$ \$mathbb$ {R$} ^{$3$$})의 세트로 표시되는 ${\displaystyle {경우\mathrm{}}^{}}$$,$ $즉{\displaystyle \mathrm{}\delta {}^{}}${ (${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle \mathrm{y}}$, 0 ) : ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle \mathrm{y}{}^{}}$1 $1$} , \$displaystyle$ \ = \$left$ \ { ( $x$ , $y$, 0 ) : { 2 } + y † 1${\displaystyle }$} ^2 } ^$2$ ^2 } { 2 } ^2 ^2 } { 2 } } { display }$}\leq 1$\right$\}$$$은(는) 디스크 그 자체입니다$.{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle =}$ $ω$ . {$$display $style$ \$$$\ \Omega$$=$ \Omega . $}.$ 디스크가$$ 자체 토폴로지 공간($2$의 하위 공간 $토폴로지$와 $함께$)으로 표시되는 경우 디스크의 경계는 비어 있습니다.

열린 공과 그 주변 구의 경계

이 예는 반지름 r의 열린 공의 지형적 경계>0{\displaystyle r>0} 아닌 반지름 r의 해당 영역에{r\displaystyle}( 같은 시점 중심) 같습니다;그것은 반지름 r의 열린 공의 폐쇄하는지를 보여 줍니다. 0{\displaystyle r>0}nec지 않다 방법을 보여 줍니다.essarily equ$반지름{\displaystyle }$r\$displaystyle$ r$}$의 닫힌 공에 도달합니다(또한 같은 지점에서 중심).$R$ 2$(\$displaystyle$\mathbb {R}$^{2$})$에 대한 일반적인 $유클리드$ 메트릭을$$ 다음과 같이 나타냅니다.

이는 R $(\displaystyle \mathbb$ {$R} ^{$2})에서 일반적인 유클리드 토폴로지를 유도합니다.$X{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$2 {\$style$ X$\subseteq \mathbb {R}$^{$2}}$는 $y{\displaystyle }${\$displaystyle$ y$}$ - 축$$${\displaystyle }Y{\displaystyle }$ :$=$ { ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$ ×$$ {\$displaystyle$ Y:=\{$0\}\times \mathbb {R}$의 결합을 나타냅니다. $0{\displaystyle \mathbf{}}$ :${\displaystyle =}$( ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 0}$ ) ) R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$\$displaystyle$ \$mathbf$ { $0 }$ : = ( 0 ,$0$ ) \ $in$\ $mathbb${$R }^$ {2}$$; 즉, $X{\displaystyle }$ : ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle Y{}^{}}$ S${\displaystyle {}^{}{1\mathrm{}}^{}}$, \ $displaystyle$X :=$Y\cup$$$S$^{$1$}$는$R2$의 위상$$ 부분 $공간$이며$,$ 위상이 $메트릭{\displaystyle }$d에$$ 의해 유도되는 위상({$displaystyle$$$d$.})$과 동일하다. 특히 $집합{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{},}$ ${\displaystyle S{}^{}}$ Y${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}=}$ { ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 、}$ $1$${\displaystyle \}}$× [${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$1$$]({$style \{0\}\$times [-$1,1$$])$는 모두$$ 2(\style$\mathbb$ {$R} ^{$2$$})의 닫힌 부분 $집합$이며, 따라서 하위 $공간{\displaystyle }$X의 닫힌 부분 $집합$이기도 합니다.\$displaystyle$X.\displaystyle X.\style은 특별히 명시되지$$ 않는 한 열린 볼, 닫힌 공 및 구체의 중심을 중심으로 가정해야 합니다${\displaystyle .}$${\displaystyle \mathbf{0}}$ ${\displaystyle =}$ ( ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle 0}$) { $displaystyle$\ $mathbf { 0$ } = ($0$ , $0$)$$} moreover$$ moreover moreover moreover ( ( ( ${\displaystyle }$ ( ( ${\displaystyle （}$ X , $d$） $the$ the (${\displaystyle \mathrm{공간}}$만 고려됩니다(초공간$({\displaystyle {}^{}}$2,${\displaystyle d}$ $){$ $displaystyle$( \ $mathbbb {$ $R}^{ d$} } $$} ） 。경로컬하게 연결된 경로는 완전합니다.

(${\displaystyle X}$ ,${\displaystyle d}$)${\displaystyle }$\ $displaystyle$( X , d ) \ displaystyle ( X , $d$) \ displaystyle ( , ) < $$\$displaystyle$ B$_$ { $r$ : = \ $left$\ {$p$ \ $in$X : $d （ p$ , $0$ < $r$} < displaystyleft （ $p$ , d ） r > 0 \ r$0$ r 。 0 r。

y$$${\displaystyle =}$ -$$ {$displaystyle$ y=-$1}$과 $y{\displaystyle }$ 1. {$displaystyle$ y$=1}$ $사이$의 y축의 열린 하위 $항목$입니다.$$ ( X${\displaystyle }$,${\displaystyle d}$) \ $displaystyle ( X$ , $d$) $$$（{\displaystyle }$ " unit " "" = 1$$\ $displaystyle$ r $=$$1$ )의 ${\displaystyle \mathrm{단위구}}$(단위)는 다음과 같습니다.$({\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$,${\displaystyle d}$)의 닫힌 단위 볼({displaystyle $(X,d)})$은 열린 단위 볼과 이 같은 지점에서 중심을 맞춘 단위 구체의 결합이다:

단$,$ 오픈유닛볼 $({$$displaystyle$$B_{1$})의 $(\$${$1$})$과 ${\displaystyle {\mathrm{위상폐쇄}}_{}}$ $(\$은 다음과 같다.

특히, 열린 단위 볼의 위상 경계${\displaystyle {\mathrm{}}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ B 1$=$ {${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle }$1${\displaystyle }$) ,${\displaystyle }$(${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$)$$} { $displaystyle \time$ _ ${X}B_{$1}=\{($0, 1),$ ($0$,-$1)\}$은 단위${\displaystyle }$구 {${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \in X}$ :${\displaystyle d}$ (${\displaystyle p}$ , ${\displaystyle 0\mathbf{}}$) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}^{}}$}의 적절한 부분 집합이다${\displaystyle .}$$yle (X, d)$$}$ 그리고$$ 열린 단위 볼의 ${\displaystyle {위상폐쇄}_{}}$ cl X${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ B ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle \mathrm{B}}$ 1${\displaystyle {}_{}\{}$ {${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle 1}$) ,${\displaystyle }$(${\displaystyle }$0 ,${\displaystyle }$- 1)$}$ ${{style \operatorname {cl} _{X}B_{1$}\cup$$$$\{$0,1), (0-1)\}$ p 서브셋의 적절한 ${\displaystyle 폐구입니다}.{\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{bf}}$${0}\leq$ 1$\right\}=S^{1}\cup \left(\{0\}\times$[-$1,1]\right)}$ in$$${\displaystyle }$(${\displaystyle }$X ,${\displaystyle d}$) .$${ $displaystyle ( X$ , d )$$。} ${\displaystyle \mathrm{점<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; (X,d).\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/014222351a720c35a4dd1ba0264de5617076581d"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:6.686ex;\; height:2.843ex;">}}$(${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$0 )${\displaystyle x}$ X$,$ $예$를 들어${displaystyle (1,0$$$$)\in$X${\displaystyle {}_{}}$는${\displaystyle }$B ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$${\displaystyle {}_{}\mathrm{b}}$ B$1$에 $속할{\displaystyle {}_{}}$ 수 없습니다$.$${\displaystyle {B\mathrm{}}_{}}$$1$ ${\displaystyle =}$ { 0${\displaystyle \}}$× (${\displaystyle }$-${\displaystyle 1}$) = { 1 \ $displaystyle$ B$$$_ 1 }$ { $displaystyle$ { $cl$}따라서$X에서$$닫힌{\displaystyle }$ 하위${\displaystyle }$간격 { ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$×${\displaystyle }$[ - $]$ \ times [ - ${\displaystyle 1}$ ] \ times [ -$1 ]$이(가) ${\displaystyle {Cl}_{}}$ X${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {B1}_{}}$에 속하지 않는 이유를 설명하십시오$.\ displaystyle$$$\$operatorname {cl$$}$ _ {$X }B_{$$1$}의 상단 경계가$$ $설정$되었기 때문입니다.$({$ ${\displaystyle {B\_\mathrm{}}_{}}$${1$이 닫힘에 따라${\displaystyle {\mathrm{}}_{}{}_{}}$B $1({$displaystyle \$partial$ _${X$$}B_${1$})$도 {0${\displaystyle \}}$×${\displaystyle }$[-${\displaystyle 1,1]}$의$서브셋이어$야 합니다$.{$ displaystyle \{$0\}\times$[-$1,1]$$}$

어떤 계량 공간(M, ρ)에서, 반지름 r의 열린 공의 M{M\displaystyle}에;0{\displaystyle r>0} 점 c에 초점을 맞춰 온 위상 경계{\displaystyle(M,\rho),}∈ M{\displaystylec\in M}는 항상 부분 집합의 구의 반지름 r{r\displaystyle}중심에서 그 같은 점 c.{\d$isplaystyle$ c$\};$ 즉,

항상 버텨요.

게다가(X, d){\displaystyle(X,d)}에 있는 부대권이 포함되어 있X∖ Y)S1∖{(0,±1)},{\displaystyle X\setminus Y=S^{1}\setminus \{(0,\pm 1)\},}은 열린 부분 집합의 X.{X\displaystyle}[증거 3]이 것을 보여 준다, 특히, 단위구{p∈ X:d(p, 0)=1}{\displaystyle.\left\{p$\in$ X$:d(p,\mathbf {0})=1\right\}$ in$$ (${\displaystyle X}$,${\displaystyle }$d$$){ $displaystyle (X, d)}$에는 X${\displaystyle }$의 $열린{\displaystyle }$ 서브셋이 공백이 아닙니다$.{$ $displaystyle$ X $}$ }

한 boundary경계의의 경계 경계

임의의 $세트{\displaystyle }$S에 대해$,$ S, S$,$ $S$,$$S$\supseteq \partial$ S$,$ 여기서 "\$displaystyle$$",\supseteq"$는$S$의$$$경계$에 내부 포인트가 없는 $경우$에만 동등하게 유지되는 슈퍼셋을 나타냅니다.osed 또는 open.집합의$$ 경계는 닫혀 있으므로 집합${\displaystyle }S$에 대해 $\partial {\displaystyle \mathrm{}}$ S ${\displaystyle =}$ S ${\displaystyle \mathrm{=}}$ ${\displaystyle S}$ S = S$$ \ $displaystyle$$S$$$$=$ \ $partial \ partial$ \ s .$$} 경계 연산자는 약해진 등가성을 만족한다$.$

다양체 또는 단순체와 그 단순 복합체의 경계를 논할 때, 사람들은 종종 경계의 경계가 항상 비어있다는 주장을 충족시킨다.사실, 단일 호몰로지의 건설은 이 사실에 결정적으로 달려있다.명백한 부조화에 대한 설명은 위상 경계(이 기사의 주제)가 다양체 또는 단순 복합체의 경계와는 약간 다른 개념이라는 것이다.예를 들어, 다지체로 보이는 오픈 디스크의 경계는 비어 있고, 그 위상 경계는 자신의 서브셋으로 보이는 반면, 실평면의 서브셋으로 보이는 위상 경계는 디스크를 둘러싼 원이다.반대로, 다지체로 보이는 닫힌 원반의 경계는 경계 원이고, 실제 평면의 부분 집합으로 보이는 위상 경계는 공허한 반면, 다지체로 보이는 위상 경계는 경계원이다.특히 위상 경계가 주변 공간에 따라 달라지는 반면 다지관의 경계는 불변이다.

「」도 .

• 자세한 내용은 위상 다양체의 경계에 대한 설명을 참조하십시오.
• 의
• 경계점 – 벡터 공간의 부분 집합과 관련된 수학적 개념
• 클로즈(토폴로지) – 토폴로지 공간의 서브셋에 있는 모든 점 및 한계점
• 내부(토폴로지)– 특정 세트 중 가장 큰 오픈 서브셋
• Nowhere dense set(어디서든 조밀한 집합) – 닫힘에 빈 내부가 있는 수학 집합
• 측정이론 특성 및 경계 특성을 위한 르베그 밀도 정리
• 표면(토폴로지) – 2차원 매니폴드

• Munkres, J. R. (2000). Topology. Prentice-Hall. ISBN 0-13-181629-2.
• Willard, S. (1970). General Topology. Addison-Wesley. ISBN 0-201-08707-3.
• van den Dries, L. (1998). Tame Topology. ISBN 978-0521598385.