약한 파생상품

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수학에서 약한 파생상품은 기능(강한 파생상품)의 파생상품 개념의 일반화로서, 기능(강한 파생상품)은 다르다고 가정하지 않지만 통합이 가능한 기능(즉, L 공간^p ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ $1{\displaystyle {}^{}}$ (${\displaystyle {}^{}}$[${\displaystyle a}$ ,${\displaystyle b])}$ ${\displaystyle L^{1}([a,b])})$에 놓여 있다$.$

부품별 통합 방법은 서로 다른 기능인 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$과($)$ $display$ {\displaystyle \$varphi }$을(를) 보유한다.

${\displaystyle {\begin{argin}\int_{a}^{b(x)\varphi '(x)\,dx&={\Big [}u(x)\varphi(x){b}-}-\{a}^{b}-\int_{a}^{b}u'(x)\dx\x\x\x\x\x\c.\[6pt]\end{aigned}}}$

함수 u'가 u의 약한 파생상품인 것은 본질적으로 이 방정식이 경계점( ${\displaystyle \varphi }$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \varphi }$ ( ) = ϕ ${\displaystyle (b}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \pi (a)=\phi (b)=0})$에서 소멸되는 무한히 다른 모든 함수에 대해 보유해야 한다는 요건에 의해 정의된다.$$

정의

Let ${\displaystyle u}$ be a function in the Lebesgue space ${\displaystyle L^{1}([a,b])}$. We say that ${\displaystyle v}$ in ${\displaystyle L^{1}([a,b])}$ is a weak derivative of ${\displaystyle u}$ if

${\displaystyle \int_{a}^{b}u(t)\varphi '(t)\,dt=-\int_{a}^{b(t)\varphi(t)\,dt}$

different( ) =$$${\displaystyle \phi (b}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$φ(${\displaystyle \mathrm{b}}$ ) = 0 {\displaystyle $\varphi$ }(으) = 0 ${\displaystyle \varphi (a)=\varphi (b)=0}$인 모든 무한하게 다른 함수$.$

Generalizing to ${\displaystyle n}$ dimensions, if ${\displaystyle u}$ and ${\displaystyle v}$ are in the space ${\displaystyle L_{\text{loc}}^{1}(U)}$ of locally integrable functions for some open set ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$, and if ${\displaystyle \al$$pha }$은(는) 다중 색인이며, $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$은(는) $\alpha {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\text{th}}^{}}$ ${\$일 경우 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$의 -properties$$ 파생 모델이라고$$ 한다.

${\displaystyle \int _{U}uD^{\alpha }\varphi =(-1)^{ \alpha }\int _{U}v\varphi ,}}$

for all ${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(U)}$, that is, for all infinitely differentiable functions ${\displaystyle \varphi }$ with compact support in ${\displaystyle U}$. Here ${\displaystyle D^{\alpha }\varphi }$ is defined as

$u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$이(가) 약한 파생상품이$$ 있는 경우 약한 파생상품은 고유하기 때문에$$(적어도 측정값 0의 집합까지, 아래 $참조{\displaystyle {}^{}}$) D$$ {\$displaystyle D^{\alpha }u}$u}라고 표기하는 경우가 많다.

예

• The absolute value function ${\displaystyle u:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{+},u(t)= t }$, which is not differentiable at ${\displaystyle t=0}$ has a weak derivative ${\displaystyle v:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ known as the sign function, and given by
  $${\displaystyle v(t)={\part{case}1&{\text{{{{}t}0;\[6pt]0&{\text{}}{}t=0;\[6pt]-1&{\text{}text{{}text}0}.\end{case}}}$$

  
  이것이 u에게 유일한 약한 파생상품은 아니다. 모든 곳에서 valmost와 동일한 w는 u에게도 약한 파생상품이다. (특히 위의 v(0)의 정의는 불필요하며 원하는 실제 번호 r로 대체될 수 있다.)보통^p L공간과 소볼레브공간 이론에서는 거의 모든 곳에서 동일한 기능이 확인되기 때문에 이것은 문제가 되지 않는다.
• 합리적인 숫자 $1{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {Q\mathbb{}}_{}}$ ${\$의 특성 함수는 전혀 다를 수 없지만$$ 파생상품이 약하다.합리적인 숫자의 르베그 측도가 0이기 때문에
  $${\displaystyle \int 1_{\mathb {Q} }(t)\varphi(t)\,dt=0.}$$

  
  ${\displaystyle \mathrm{따라서}}$ ${\displaystyle \mathrm{v}}$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle v(t)=0}$은(는) ${\displaystyle {1Q\mathbb{}}_{}}$ ${\$의 약한 파생상품이며$$, Lp 공간의 구성원으로 간주할 때 ${\displaystyle {1Q\mathbb{}}_{}}$ ${\$이 0 함수와 동일하므로 이는 우리의 직관과 일치한다는 점에 유의하십시오$.$
• 칸토어 함수 c는 거의 모든 곳에서 차별성이 있음에도 불구하고 약한 파생상품을 가지고 있지 않다.왜냐하면 어떤 약한 c의 파생상품도 거의 모든 곳에서 0인 c의 고전적인 파생상품과 같아야 하기 때문이다.그러나 영함수는 c의 약한 파생상품이 아니며, 이는 적절한 시험함수 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$과 비교해서 알 수 있다$.$ 더 이론적으로 c는 그것의 분포적 파생상품, 즉 칸토어 분포는 단일한 척도이므로 functio로 나타낼 수 없기 때문에 약한 파생상품을 가지고 있지 않다.n

특성.

두 함수가 같은 함수의 약한 파생상품인 경우, 레베그 측도가 0인 세트를 제외하고 거의 모든 곳에서 동일하다.거의 모든 곳에서 두 기능이 동일할 경우 등가함수 등급을 고려한다면 약한 파생상품은 독특하다.

또한, 만약 u가 전통적인 의미에서 차별화된다면, 그것의 약한 파생상품은 기존의 (강력한) 파생상품과 동일하다.그러므로 약한 파생상품은 강한 파생상품의 일반화다.더욱이, 총액과 함수 산출물의 파생상품에 대한 고전적 규칙은 약한 파생상품에도 적용된다.

확장

이 개념은 미분방정식의 문제와 기능분석에서 유용한 소볼레프 공간의 약한 해법에 대한 정의를 낳는다.

참고 항목

• 하위생성
• Weyl의 보조정리 (Laplace 방정식)

참조

• Gilbarg, D.; Trudinger, N. (2001). Elliptic partial differential equations of second order. Berlin: Springer. p. 149. ISBN 3-540-41160-7.
• Evans, Lawrence C. (1998). Partial differential equations. Providence, R.I.: American Mathematical Society. p. 242. ISBN 0-8218-0772-2.
• Knabner, Peter; Angermann, Lutz (2003). Numerical methods for elliptic and parabolic partial differential equations. New York: Springer. p. 53. ISBN 0-387-95449-X.