특수 수학 함수의 유형
s의 일부 값에 대한 상위 불완전 감마 함수: 0(파란색), 1(빨간색), 2(녹색), 3(주황색), 4(보라색) 수학 에서 위 와 아래 불완전 감마함수 는 특정 통합 과 같은 다양한 수학 문제에 대한 해결책으로 발생하는 특수함수 의 유형이다.
각각의 이름은 감마 함수 와 유사하지만 서로 다르거나 "불완전한" 적분 한계로 정의되는 적분 정의에서 유래한다. 감마 함수는 0에서 무한대까지의 적분으로 정의된다. 이는 0부터 가변 상한까지의 적분으로 정의되는 하한 미완성 감마함수와 대비된다. 마찬가지로, 상한 불완전 감마함수는 가변 하한에서 무한대로의 적분으로 정의된다.
정의 상위 미완성 감마 함수는 다음과 같이 정의된다.
Γ ( s , x ) = ∫ x ∞ t s − 1 e − t d t , {\displaystyle \Gamma(s,x)=\int_{x}^{\\not}t^{s-1}\,e^{-t}\,dt,}
하한 미완성 감마 함수는 다음과 같이 정의된다.
γ ( s , x ) = ∫ 0 x t s − 1 e − t d t . {\displaystyle \cHB(s,x)=\int _{0}^{x^{s-1}\,e^{-t}\,dt. }
두 경우 모두 s 는 복잡한 매개변수여서 s 의 실제 부분은 양수적이다.
특성. 부품별 통합 을 통해 우리는 재발 관계 를 발견한다.
Γ ( s + 1 , x ) = s Γ ( s , x ) + x s e − x {\displaystyle \감마(s+1,x)=s\감마(s,x)+x^{s}e^{-x}}} 그리고 γ ( s + 1 , x ) = s γ ( s , x ) − x s e − x . {\displaystyle \property (s+1,x)=s\properties (s,x)-x^{s^{-x}. }
일반 감마 함수는 다음과 같이 정의되므로
Γ ( s ) = ∫ 0 ∞ t s − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma(s)=\int _{0}^{{0}^{\t^{s-1}\, e^{-t}\,dt}
우리는 가지고 있다.
Γ ( s ) = Γ ( s , 0 ) = 임이 있는 x → ∞ γ ( s , x ) {\displaystyle \감마(s)=\감마(s,0)=\lim _{x\to \inflit }\감마(s,x)} 그리고 γ ( s , x ) + Γ ( s , x ) = Γ ( s ) . \displaystyle \감마(s,x)+\감마(s,x)=\감마(s) }
복잡한 가치로 계속 실제 양의 s 와 x 에 대해 위에서 정의한 바와 같이 하한 미완성 감마 및 상한 미완성 감마 함수는 복합 x 와 s 의 거의 모든 조합에 대해 정의된 x 와 s 에 관해서 모두 홀로모르프 함수 로 개발할 수 있다.[1] 복잡한 분석은 실제 불완전한 감마함수의 특성이 어떻게 그들의 홀로모르프 함수로 확장되는지를 보여준다.
하부 불완전 감마 함수 홀로모르프 확장 하한 미완성 감마함수 에 대한 반복적인 재발관계 적용은 동력 시리즈 확장으로 이어진다. [2]
γ ( s , x ) = ∑ k = 0 ∞ x s e − x x k s ( s + 1 ) ⋯ ( s + k ) = x s Γ ( s ) e − x ∑ k = 0 ∞ x k Γ ( s + k + 1 ) . {\displaystyle \gamma (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{s}e^{-x}x^{k}}{s(s+1)\cdots (s+k)}}=x^{s}\,\Gamma (s)\,e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{\Gamma (s+k+1)}}. }
Γ(z+k)의 절대 값에서 k→ ∞의 고속 성장에 실제로는 Γ(z)의 역수는 온전한 함수를 감안하면,는 최우측 합계는 계수, 지역적으로 합을 한결같이 Weierstraß,[2]의 원칙은 제한 기능까지 모든 복잡한 s, 그리고인데에 전진, 때때로γ ∗{\displayst으로를 설명되어 있다.yle \cHB ^{*},[ 3]
γ ∗ ( s , z ) := e − z ∑ k = 0 ∞ z k Γ ( s + k + 1 ) {\displaystyle \gamma^{*}{*}(s,z):=e^{-z}\sum _{k=0}^{\frac {z^{k}}{\gamma(s+k+1) }}}
Hartog의 정리 [5] 에 의한 C C 고정 s의 경우)와 s (고정 z 의 경우) 모두에 관한 전체 로서, C × C에 대한 홀로모르픽이다. 따라서 다음과 같은 분해 는 분해된다.
γ s z S γ s z {\displaystyle \gamma (s,z)=z^{s}\,\Gamma (s)\,\gamma ^{*}(s,z)} [ 6], 실제 하한 불완전 감마 함수를 홀로모르프 함수로 확장하며, z 와 s 로 합동 및 분리한다. 이 z displaystyle z^{s} function-함수 의 속성에서 따르며, 처음 두 요인은 γ( s z ){\displaystyle \gamma(s, z )}(z = 0 또는 non-positive 정수)의 특이점 을 포착하는 반면, 마지막 요인은 0에 기여한다.
다중값 복합 로그 z 로그 z + i arg z 2i 다중값 을 렌더링한다. 복잡한 로그와 관련된 함수는 일반적으로 이 속성을 상속한다. 이 중에는 복합적 인 힘도 있고, 그 분해에 z s
다중값 함수의 불변성은 값을 선택하는 방법을 명시해야 하기 때문에 복잡성을 야기한다. 이를 처리하기 위한 전략은 다음과 같다.
(가장 일반적인 방법) 다중값 함수의 도메인 C Riemann surface 라 불리는 C C 이렇게 하면 다액의 가치가 없어지지만, 그 이면의 이론을 알아야 한다[ 7; 다중값 함수가 개별적인 단일값 분기 로 분해되도록 도메인을 제한한다. 다음 규칙 집합을 사용하여 이 절의 공식을 올바르게 해석할 수 있다. 달리 언급되지 않을 경우, 다음과 같이 가정한다.
섹터 꼭지점이 z 0인 C 섹터 D 는 z α 0 과 α Δ < α + Δ 를 충족시키는 모든 복합 z로 구성되며, 일부 α 와 0 < Δ ≤ π α 를 임의로 선택할 수 있으며 그 때 지정되지 않는다. Δ 가 주어지지 않으면 Δ 로 가정하고, 그 섹터는 사실상 평면 0 에서 발원하여 -α 의 방향을 가리키는 것을 제외하면, 보통 가지 절단 역할을 한다. 참고: 많은 용도와 텍스트에서 α 는 조용히 0으로 간주되며, 이는 섹터가 양의 실제 축을 중심으로 한다.
나뭇가지 특히 D 섹터의 가상 부분이 범위에 바인딩되어 있는(α - Δ ,α Δ . 그러한 제한된 로그에 기초하여, z s 차례 로 D(또는 D α 에 2㎛의 배수를 더하면 동일한 집합 D 에 서로 다른 세트의 상관관계가 있는 가지를 산출한다. 그러나 여기서 주어진 어떤 맥락에서든 α 는 고정된 것으로 가정하고 관련된 모든 분기는 그것과 연관되어 있다. 만약 α < Δ 가 있다면 가지는 양수 실축에서 실제 아날로그와 같기 때문에 원주 라고 부른다. 참고: 많은 응용 프로그램 및 텍스트에서 공식은 주요 분기에 대해서만 유지된다.
가지 간 관계 복합 전력함수와 하한 미완성 감마함수의 서로 다른 가지 값은 k 에 적합한 정수에 대해 π i s {\ displaystyle ^{2\pi iks 8] 의 곱으로 서로서 도출할 수 있다.
분기점 근처 동작 위의 분해는 다음과 같이 asy 0 에 가깝게 작용한다는 것을 추가로 보여준다.
γ ( s , z ) ≍ z s Γ ( s ) γ ∗ ( s , 0 ) = z s Γ ( s ) / Γ ( s + 1 ) = z s / s . \displaystyle \gammp z^{s}\,\Gamma(s,0)=z^{s}\*(s,0)=z^{s}\Gamma(s+1)=z^{s}/s. }
양의 real x , y 및 s , x y 0일 때(x , y) → (0, s ) 이는 실제 s 0 에 대해 γ (s , 0) 설정 을 정당화하는 것으로 보인다. 그러나 복잡한 영역에서 문제는 다소 다르다. (a) s 의 실제 부분이 양이고, (b) 유한한 가지 집합에서 u v u ,v ) →0 ,) 로서 0으로 수렴할 수 있으며 , ((u , v . γ (b )분기 에는 자연적으로 충족되므로, 양의 실제 부품을 갖는 γ (s , 0) 0 이 연속적인 한계 로 나타난다 . 또한 그러한 지속은 결코 분석적인 연속 이 아니라는 점에 유의한다.
대수적 관계 실제 γ ) 에 의해 관측된 모든 대수적 관계와 미분 방정식은 또한 그것의 홀로모르픽 상대방에 대해서도 유지된다. 이는 정체성 정리[9 ]의 결과로서, 실제 간격에 유효한 홀로모르픽 함수 사이의 방정식은 어디에서나 유효하다고 명시하고 있다. 특히 재발관계[10] 와 ∂γ (s ,)/∂z = z s −1e −z [11] 가 해당 가지에 보존되어 있다.
적분표현 마지막 관계는 우리에게 고정 s에 대해 γ 은 홀로모르픽 함수 s −1z −z e의 원시적 또는 반분해적임 을 말해준다. 따라서 [12], 모든 복합 u 에 대해 v 0 ,
∫ u v t s − 1 e − t d t = γ ( s , v ) − γ ( s , u ) {\displaystyle \int _{u}^{v}^{s-1}\,e^{-t}\,dt=\cHB(s,v)-\cHB(s,u)}
통합의 경로 가 통합의 분기의 영역에 완전히 포함되는 한, 보유한다. 추가로 s 의 실제 부분이 양수인 경우, γ (s u ) → u 0 의 한계치가 적용되어 최종적 [[13] 의 복잡한 적분 정의에 도달한다.
γ ( s , z ) = ∫ 0 z t s − 1 e − t d t , ℜ ( s ) > 0. \displaystyle \gamma(s,z)=\int_{0}^{z}t^{s-1}\,e^{-t}\,dt,\,\Re>0. }
0 과 z 를 연결하는 직선과 같이 통합의 시작 부분에서만 0을 포함하는 통합의 경로는 여기에서 유효하다.
z + 호텔 제한실제 가치 γ s 에 대해 유지 된다, x:[14]
Γ ( s ) = ∫ 0 ∞ t s − 1 e − t d t = 임이 있는 x → ∞ γ ( s , x ) {\displaystyle \Gamma(s)=\int_{0}^{}}{{0}^{s-1}\,e^{-t}\,dt=\lim_{x\infty \}\inma(s,x)}
s 콤플렉스이 결과는 복잡한 s 까지 확장된다. 첫 번째 1 ≤ Re(s ) 2 2 와 1 < a < b > 그러면
γ ( s , b ) − γ ( s , a ) ≤ ∫ a b t s − 1 e − t d t = ∫ a b t ℜ s − 1 e − t d t ≤ ∫ a b t e − t d t {\displaystyle \gamma (s,b)-\gamma (s,a) \leq \int _{a}^{b} t^{s-1} e^{-t}\,dt=\int _{a}^{b}t^{\Re s-1}e^{-t}\,dt\leq \int _{a}^{b}te^{-t}\,dt} 어디에[15] z s = z ℜ s e − ℑ s 아그 z {\displaystyle z^{s} = z^{\Re s}\, e^{-\\Im s\arg z}} 중간에 사용된 적이 있다. 최종 s (s ,스트립 1 ≤ Re (s) ≤ 2 의 x ∞ 에 대해 균일하게 수렴하여 홀모픽 함수를 향하는데,[3] [16]. 반복관계의 한계 (s , x) = (s ) γ (s - 1, x ) - x s − 1e −x 취하고 lim x −x e n 0 for ∞ 과 모든 n 을 나타내는 것을 보면 γ (s ,x ) 그 뒤를 잇다.
Γ ( s ) = 임이 있는 x → ∞ γ ( s , x ) {\displaystyle \Gamma(s)=\lim _{x\to \infit }\gamma(s,x)}
모든 콤플렉스 s 에 대해 비양수 정수, x real 및 γ
부문별 융합 이제 어느 정도 고정된 Δ (α = 0)를 가진 섹터 arg z Δ from /2 > 에서 나오도록 하고, γ
Γ ( s ) − γ ( s , u ) = Γ ( s ) − γ ( s , u ) + γ ( s , u ) − γ ( s , u ) . \displaystyle \감마(s)-\감마(s,u)=\감마(s, u )+\감마(s, u )-\감마(s,u) }
위와 같이 첫 번째 차이는 u가 충분히 크면 임의로 작게 만들 수 있다. 두 번째 차이는 다음과 같은 추정을 가능하게 한다.
γ ( s , u ) − γ ( s , u ) ≤ ∫ u u z s − 1 e − z d z = ∫ u u z ℜ s − 1 e − ℑ s 아그 z e − ℜ z d z , {\displaystyle \gamma (s, u )-\gamma (s,u) \leq \int _{u}^{ u } z^{s-1}e^{-z} \,dz=\int _{u}^{ u } z ^{\Re s-1}\,e^{-\Im s\,\arg z}\,e^{-\Re z}\,dz,}
여기서 우리는 γ 일체적s 표현과 위의 z에 대한 공식을 사용했다. 만약 우리가 radius u 를 약 0으로 연결하는 호를 따라 통합한다면, 마지막 적분은
≤ R 아그 u R ℜ s − 1 e ℑ s 아그 u e − R cas 아그 u ≤ δ R ℜ s e ℑ s δ e − R cas δ = M ( R cas δ ) ℜ s e − R cas δ {\displaystyle \leq R\left \arg u\right R^{\Re s-1}\,e^{\Im s\, \arg u }\,e^{-R\cos \arg u}\leq \delta \,R^{\Re s}\,e^{\Im s\,\delta }\,e^{-R\cos \delta }=M\,(R\,\cos \delta )^{\Re s}\,e^{-R\cos \delta }}
여기서 M Δ (cosΔ )−Re s e Im sδ u 또는 R 과 무관한 상수다. 다시 large x 에 대한 x n e −x 동작을 언급하면서, 우리는 R 이 ∞ 쪽으로 증가함에 따라 마지막 식이 0에 가까워지는 것을 본다. 이제 모두 다음과 같은 이점을 얻으십시오.
Γ ( s ) = 임이 있는 z → ∞ γ ( s , z ) , 아그 z < π / 2 − ϵ , {\displaystyle \Gamma(s)=\lim _{z \to \inflit }\g z(s,z),\quad \좌측 \arg z\우측 <\pi-\epsilon ,}}
s 가 음이 아닌 정수가 아닌 경우, 0 < ε π /2γ
개요 γ s z {\displaystyle \gamma (s,z)}
고정, 양의 정수 s 의 경우 전체 (z 단위) 정수가 아닌 고정 s 에 대해 z 의 다중값 홀모픽 , z 0 의 분기점 ; 고정 z 0 의 경우 s 의 각 지점의 meromorphic 에 단순 폴을 비양성 정수로 표시한다. 상부 불완전 감마 함수 상부 불완전 감마 함수 의 경우, z 또는 s 에 대한 홀로모르픽 확장은 [17] 에 의해 주어진다.
Γ ( s , z ) = Γ ( s ) − γ ( s , z ) {\displaystyle \감마(s,z)=\감마(s)-\감마(s,z)} 우측이 있는 지점(s , z γ {\displaystyle \gamma} γ {\displaystyle \Gamma} 제한 displaystyle \Gamma} .
s 가 위의 방정식에서 비양수 정수일 경우, 차이의 어느 부분도 정의되지 않으며, 여기서 s 0 에 대해 개발된 제한 프로세스 는 결측값을 채운다. 복잡한 분석 은 γ s ) displaystyle \Gamma s,z)} 고정 z[18] 에 대해 해당 제한의 인접 지역에서 경계 된다는 것을 증명하기홀로모르핀 을 보장한다.
한계를 결정하기 위해서는 z 0 에서 displaystyle γ {\ displaystyle \gamma } 정의 x displaystyle x} 현재 x,s positive realses:
γ ( s , x ) = ∫ 0 x t s − 1 e − t d t = ∫ 0 x ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k t s + k − 1 k ! d t = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k x s + k k ! ( s + k ) = x s ∑ k = 0 ∞ ( − x ) k k ! ( s + k ) {\displaystyle \cHB(s,x)=\int_{0}^{x}^{s-1}e^{-t}\,dt=\int_{0}^{0}^{x}\sum_{k=0}^{k}^{k},{\frac {t^{t+k-1}! }}}\dt=\sum _{k=0}^{{k}^{{k(1)^{k}\,{\frac {x^{s+k}}}}{k=0}}}},\sum _{k=0}^{\frac {(-x)^{k!(s+k}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.
또는 [19]
γ ∗ ( s , x ) = ∑ k = 0 ∞ ( − x ) k k ! Γ ( s ) ( s + k ) . {\displaystyle \gamma^{*}(s,x)=\sum _{k=0}^{\frac {(-x)^{k!}}{k!\,\Gamma(s+k)}}}. }
전체 γ{\ displaystyle \gamma ^{*} 모든 복합 x (그리고 모든 복합 s 는 비양수 정수가 아님)에 대해 수렴한다.
실제 가치에 대한 제한이 풀리면서 시리즈는 다음과 같은 확장을 허용한다.
γ ( s , z ) − 1 s = − 1 s + z s ∑ k = 0 ∞ ( − z ) k k ! ( s + k ) = z s − 1 s + z s ∑ k = 1 ∞ ( − z ) k k ! ( s + k ) , ℜ ( s ) > − 1 , s ≠ 0. {\displaystyle \gamma (s,z)-{\frac {1}{s}}=-{\frac {1}{s}}+z^{s}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k!(s+k)}}={\frac {z^{s}-1}{s}}+z^{s}\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k!(s+k)}},\quad \Re (s)>-1,\,s\neq 0.}
s 0 인 경우:[4]
z s − 1 s → ln ( z ) , Γ ( s ) − 1 s = 1 s − γ + O ( s ) − 1 s → − γ , {\displaystyle {\frac{z^{s}-1}{s}}{s}}\ln(z),\quad \Gamma(s)-{\frac {1}{s}={\frac{s}-\gamma +O(s)-{\frac {1}{s}}}. (여기 오일러-마스케로니 상수 인\displaystyle \gamma }) , Γ ( 0 , z ) = 임이 있는 s → 0 ( Γ ( s ) − 1 s − ( γ ( s , z ) − 1 s ) ) = − γ − ln ( z ) − ∑ k = 1 ∞ ( − z ) k k ( k ! ) {\displaystyle \Gamma (0,z)=\lim _{s\to 0}\left(\Gamma (s)-{\tfrac {1}{s}}-(\gamma (s,z)-{\tfrac {1}{s}})\right)=-\gamma -\ln(z)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k\,(k!) }}} s 0 으로 상부 불완전 감마함수에 대한 제한함수로, 지수 적분 E 1 z {\displaystyle E_{1}(z)} . [5]
반복 관계를 통해 양의 정수 n 에 대한γ n z {\displaystyle \Gamma(-n,z)} [6]
Γ ( − n , z ) = 1 n ! ( e − z z n ∑ k = 0 n − 1 ( − 1 ) k ( n − k − 1 ) ! z k + ( − 1 ) n Γ ( 0 , z ) ) {\displaystyle \감마(-n,z)={\frac {1}{n! }}}}\{\frac{e^{-z^{n}}\sum _{k=0}^{n-1(-1)^{k}(-k-1)!\,z^{k}+(-1)^{n}\감마(0,z)\right)}}}
따라서 상위 불완전 감마 0 에 대해 z 와 s 에 대해 모두 존재하는 것으로 증명되고 홀로모르핀이다.
γ ( s z {\displaystyle \Gamma(s,z)}
고정된 양의 적분 s 의 경우 전체 z 단위, 0 이 아닌 양 s 에 대해 z 의 다중값 홀오모르픽 으로, 분점은 z = 0 이다.양의 실제 부분과 z 0인 s 의 경우γ s ) {\displaystyle \Gamma (s)} , 이 분석적인 확장 ( s_ {i},z_{i}}\to (s ,0 ) 고정 z 0 에 대해 s 전체 인 각 가지에. 특수값 γ s 1 ⌊ e s! ⌋ {\ displaystyle \Gamma (s+1,1)={\frac {\lfloor es!\rfloor }} s }s 인경우, γ ( s , s 1 )! e x ∑ k s x k ! {\ displaystyle \감마(s,x)=(s-1)!\,e^{-x}\sum _{k=0^{x ^-1}{x^{k}}}}}{k! }}} s 가 양의 정수 일 경우[7] γ s 0 γ ℜ {\displaystyle \Gamma (s,0)=\Gamma (s),\Re s)>0 γ 1 x e {\ displaystyle \Gamma (1,x)=e^{-x γ 1 x 1 x {\ displaystyle \gamma (1,x)=1-e^{-x γ ( 0 x Ei x {\displaystyle \Gamma (0,x)=-\operatorname {Ei}(-x)}( x x {\displaystyle >0 γ s x s E 1 s x {\displaystyle \Gamma (s,x)=x^{s}\operatorname {E} _{1-s}(x)} γ ( 2 x π erfc x {\ displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}},x\right)={\sqrt{\pi }\erfc}{\sqrt{x}\}\rig γ 1 2 x π erf {\ displaystyle \refrac {1}{1 }},x\right)={\sqrt pi }\erf} \left\sqrt {x 여기서 Ei {\ displaystyle \operatorname E} } 지수 적분 이고, En {\ displaystyle operatorname {erf} 일반 지수 적분 이고erfc displaysty operatorname {erfc} ( erfc erfc . x erf x {\displaystyle \propername {erfc}(x)=1-\propername {erf}(x)}
점근거동 γ ( s x 1초 {\ displaystyle {\frac {\ frac ,x)}{x^{s}}\to x → 0 {\ frac {1}{ s Γ ( s , x ) x s → − 1 s {\displaystyle {\frac {\Gamma (s,x)}{x^{s}}}\to -{\frac {1}{s}}} x → 0 {\displaystyle x\to 0} ℜ ( s ) < 0 {\displaystyle \Re (s)<0} s Γ(s , x ) ~ −x s s is on the order of O (x min{s + 1, 0} )s ≠ −1O (ln(x ))s = −1 Γ ( s , x ) ∼ Γ ( s ) − ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x s + n n ! ( s + n ) {\displaystyle \Gamma (s,x)\sim \Gamma (s)-\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{s+n}}{n!(s+n)}}} asymptotic series where x → 0 + {\displaystyle x\to 0^{+}} s ≠ 0 , − 1 , − 2 , … {\displaystyle s\neq 0,-1,-2,\dots } [8] Γ ( − N , x ) ∼ C N + ( − 1 ) N + 1 N ! ln x − ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x n − N n ! ( n − N ) {\displaystyle \Gamma (-N,x)\sim C_{N}+{\frac {(-1)^{N+1}}{N! }}\ln x-\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{n-N}}{n!(n-N)}}} asymptotic series where x → 0 + {\displaystyle x\to 0^{+}} N = 1 , 2 , … {\displaystyle N=1,2,\dots } C N = ( − 1 ) N + 1 N ! ( γ − ∑ n = 1 N 1 n ) {\textstyle C_{N}={\frac {(-1)^{N+1}}{N! }}}}\{nma -\sum _{n=1}^{N}{\frac }{n}}\오른쪽 γ displaystyle \gamma} 오일러-마스케로니 상수 이다.[9] γ s γ {\displaystyle \gamma (s,x)\ to \infit \ displaystyle x\to }, γ ( s x x 1 e x {\displaystyle {\frac frac {\\Gama(s,x)}{x^{-x}}\to 1} ( x ∞ {\displaysty x\to \ 점근는 일련은 z→∞{\displaystyle z\to\infty}과 arg z<32π{\displaystyle \left \argz\right &l로Γ(s, z)∼ zs− 1e− z∑ k=0Γ(s)Γ(s− km그리고 4.9초 만)z− k{\displaystyle \Gamma(s,z)\sim z^{s-1}e^{-z}\sum _{k=0}{\frac{\Gamma)}{\Gamma(s-k)}}z^{-k}}.t; {\tfrac {3}{2}}\pi }. [10] 평가공식 하부 감마 함수는 전력 시리즈 확장을 사용하여 평가할 수 있다. [20]
γ ( s , z ) = ∑ k = 0 ∞ z s e − z z k s ( s + 1 ) … ( s + k ) = z s e − z ∑ k = 0 ∞ z k s k + 1 ¯ {\displaystyle \gamma (s,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{s}e^{-z}z^{k}}{s(s+1)\dots (s+k)}}=z^{s}e^{-z}\sum _{k=0}^{\infty }{\dfrac {z^{k}}{s^{\overline {k+1}}}}} 여기서 s k 1 '{\ displaystyle s^{\overline{k+1}} Pochhammer 기호 다.
대안적 확장은
γ ( s , z ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! z s + k s + k = z s s M ( s , s + 1 , − z ) , {\displaystyle \cHB(s,z)=\sum _{k=0}^{\inflt }{\frac {(-1)^{k}}}{k! }}{\frac {z^{s+k}{s+k}}{s+k}={\frac {z^{s}}{s}}{s}}M(s,s+1,-z),} 여기서 M 결합초기하함수 다.
Kummer의 결합초기하함수와의 연결 z 의 진짜 부분이 양성이면
γ ( s , z ) = s − 1 z s e − z M ( 1 , s + 1 , z ) {\displaystyle \gamma(s,z)=s^{-1-1}z^{s^{-z}M(1,s+1,z)} 어디에 M ( 1 , s + 1 , z ) = 1 + 1 ! z ( s + 1 ) 1 ! + 2 ! z 2 ( s + 1 ) ( s + 2 ) 2 ! + 3 ! z 3 ( s + 1 ) ( s + 2 ) ( s + 3 ) 3 ! + ⋯ {\displaystyle M(1,s+1,z)=1+{\frac {1!z}{(s+1)1! }}}+{\frac {2!z^{2}}:{(s+1)(s+2)2! }}}+{\frac{3!z^{3}{{(s+1)(s+2)3! }}}+\cdots } 수렴 반경이 무한하다.
다시 합체초기하학적 기능 과 쿠머의 정체성을 이용하여
Γ ( s , z ) = e − z U ( 1 − s , 1 − s , z ) = z s e − z Γ ( 1 − s ) ∫ 0 ∞ e − u u s ( z + u ) d u = e − z z s U ( 1 , 1 + s , z ) = e − z ∫ 0 ∞ e − u ( z + u ) s − 1 d u = e − z z s ∫ 0 ∞ e − z u ( 1 + u ) s − 1 d u . {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (s,z)&=e^{-z}U(1-s,1-s,z)={\frac {z^{s}e^{-z}}{\Gamma (1-s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-u}}{u^{s}(z+u)}}du\\&=e^{-z}z^{s}U(1,1+s,z)=e^{-z}\int _{0}^{\infty }e^{-u}(z+u)^{s-1}du=e^{-z}z^{s}\int _{0}^{\infty }e^{-zu}(1+u)^{s-1}du. \end{정렬}}}
수치값의 실제 계산을 위해 가우스의 연속 분수는 유용 한 확장을 제공한다.
γ ( s , z ) = z s e − z s − s z s + 1 + z s + 2 − ( s + 1 ) z s + 3 + 2 z s + 4 − ( s + 2 ) z s + 5 + 3 z s + 6 − ⋱ . {\displaystyle \gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{s-{\cfrac {sz}{s+1+{\cfrac {z}{s+2-{\cfrac {(s+1)z}{s+3+{\cfrac {2z}{s+4-{\cfrac {(s+2)z}{s+5+{\cfrac {3z}{s+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}. }
s 만 음의 정수가 아닌 경우, 이 계속적인 분수는 모든 복잡한 z에 대해 수렴된다.
상위 감마 함수는 지속적인 분수를[11]
Γ ( s , z ) = z s e − z z + 1 − s 1 + 1 z + 2 − s 1 + 2 z + 3 − s 1 + ⋱ {\displaystyle \Gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{z+{\cfrac {1-s}{1+{\cfrac {1}{z+{\cfrac {2-s}{1+{\cfrac {2}{z+{\cfrac {3-s}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}} 그리고[citation needed Γ ( s , z ) = z s e − z 1 + z − s + s − 1 3 + z − s + 2 ( s − 2 ) 5 + z − s + 3 ( s − 3 ) 7 + z − s + 4 ( s − 4 ) 9 + z − s + ⋱ {\displaystyle \Gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{1+z-s+{\cfrac {s-1}{3+z-s+{\cfrac {2(s-2)}{5+z-s+{\cfrac {3(s-3)}{7+z-s+{\cfrac {4(s-4)}{9+z-s+\ddots }}}}}}}}}}}
곱셈 정리 다음과 같은 곱셈 정리 가 참이다.
Γ ( s , z ) = 1 t s ∑ i = 0 ∞ ( 1 − 1 t ) i i ! Γ ( s + i , t z ) = Γ ( s , t z ) − ( t z ) s e − t z ∑ i = 1 ∞ ( 1 t − 1 ) i i L i − 1 ( s − i ) ( t z ) . {\displaystyle \Gamma(s,z)={\frac {1}{t^{s}}\sum _{i=0}^{\inflt }{\frac}{1}\right) ^{i}}{i! }}}\감마(s+i,tz) =\감마(s,tz)-(tz)^{-e^{-tz}\sum _{i=1}^{{i=1}^{nflac {\frac({1}{t}-1\right) ^{i}}{i}}} L_{i-1}^{(s-i)}(tz) }
소프트웨어 구현 불완전한 감마 함수는 다양한 컴퓨터 대수 시스템 에서 이용할 수 있다.
그러나 직접 사용할 수 없는 경우에도 스프레드시트 (및 컴퓨터 대수 패키지)에 일반적으로 포함되는 기능을 사용하여 불완전한 함수 값을 계산할 수 있다. 예를 들어 엑셀 에서는 감마 분포 함수와 결합된 감마 함수 를 사용하여 이러한 함수를 계산할 수 있다.
하위 불완전 함수: γ( s {\displaystyle \gamma(s,x)} = EXP(GAMMALN(s))*GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE). 상위 s {\displaystyle \Gamma(s,x)} = EXP(GAMMALN(s))*(1-GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE)). 이는 감마 분포의 누적 분포 함수 의 정의에 따른 것이다.
정규화된 감마 함수와 포아송 랜덤 변수 두 가지 관련 함수는 정규화된 감마함수다.
P ( s , x ) = γ ( s , x ) Γ ( s ) , {\displaystyle P(s,x)={\frac {\gamma(s,x)}{\Gamma(s)},} Q ( s , x ) = Γ ( s , x ) Γ ( s ) = 1 − P ( s , x ) . {\displaystyle Q(s,x)={\frac {\gamma(s,x)}{\Gamma(s)}}}=1-P(s,x). }
P ( s x {\displaystyle P(s,x)} 형상 모수 {\displaystyle s} 척도 모수 1을 갖는 감마 랜덤 변수 에 대한 누적 분포 함수 다
s {\displaystyle s} Q( s λ {\displaystyle Q(s,\lambda )} 포아송 랜덤 변수 에 대한 누적 분포 함수: X {\displaystyle X} P o i λ ) {\displaystyle \mathrmat {Poi}(\lambda )}
Pr. ( X < s ) = ∑ i < s e − λ λ i i ! = Γ ( s , λ ) Γ ( s ) = Q ( s , λ ) . {\displaystyle \Pr(X)=\sum _{i<s}e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{i}}{i! }}}={\frac {\감마(s,\lambda )}{\\감마(s)}}}}}Q(s,\lambda). }
이 공식은 부품에 의한 반복적인 통합에 의해 도출될 수 있다.
파생상품 위의 적분 표현을 사용하여 x 에 대한함수 \( s x {\displaystyle \Gamma(s,x)}
∂ Γ ( s , x ) ∂ x = − x s − 1 e − x {\displaystyle {\frac {\partial \Gamma(s,x)}{\partial x}=-x^{s-1}e^{-x}}}} 첫 번째 주장 {\displaystyle s} [12] ∂ Γ ( s , x ) ∂ s = ln x Γ ( s , x ) + x T ( 3 , s , x ) {\displaystyle {\frac {\partial \Gamma(s,x)}{\partial s}=\ln x(s,x)+x\T(3,s,x)}} 그리고 에 의해 두 번째 파생상품. ∂ 2 Γ ( s , x ) ∂ s 2 = ln 2 x Γ ( s , x ) + 2 x [ ln x T ( 3 , s , x ) + T ( 4 , s , x ) ] {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Gamma(s,x)}{\partial s^{2}}=\ln ^{2}x(s,x)+2x[\ln (3,s,x)+T(4,s,x)]}}} 여기서 함수 T( m s {\displaystyle T(m,s,x)} Meijer G-함수 의 특별한 경우다 T ( m , s , x ) = G m − 1 , m m , 0 ( 0 , 0 , … , 0 s − 1 , − 1 , … , − 1 x ) . {\displaystyle T(m,s,x)=G_{m-1,\,m}^{\,m,\,0}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\cHB{0}0,0,0,\s-1,-1,\cHB,-1\end}\;\right \,x\right). } 이 특별한 경우는 모든 연속적인 파생상품의 표현에 사용될 수 있기 때문에 자체적인 내부 폐쇄 특성을 가지고 있다. 대체적으로. ∂ m Γ ( s , x ) ∂ s m = ln m x Γ ( s , x ) + m x ∑ n = 0 m − 1 P n m − 1 ln m − n − 1 x T ( 3 + n , s , x ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{m}\Gamma (s,x)}{\partial s^{m}}}=\ln ^{m}x\Gamma (s,x)+mx\,\sum _{n=0}^{m-1}P_{n}^{m-1}\ln ^{m-n-1}x\,T(3+n,s,x)} 여기서 P j n {\ displaystyle P_{j}^{n}}} Pochhammer 기호 로 정의된 순열 이다. P j n = ( n j ) j ! = n ! ( n − j ) ! . {\displaystyle P_{j}^{n}={\binom{n}{j}j! ={\frac {n!}{(n-j)! }}.} 그러한 모든 파생상품은 다음으로부터 연속적으로 창출될 수 있다. ∂ T ( m , s , x ) ∂ s = ln x T ( m , s , x ) + ( m − 1 ) T ( m + 1 , s , x ) {\displaystyle {\frac {\partial T(m,s,x)}{\partial s}=\ln x~T(m,s,x)+(m-1)T(m+1,s,x)} 그리고 ∂ T ( m , s , x ) ∂ x = − 1 x [ T ( m − 1 , s , x ) + T ( m , s , x ) ] {\displaystyle {\frac {\partial T(m,s,x)}{\partial x}=-{\frac {1}{x}}[T(m-1,s,x)+T(m,s,x)]}} 이 함수 T( m s {\displaystyle T(m,s,x)} z 1 {\displaystyle <1} . T ( m , s , z ) = − ( − 1 ) m − 1 ( m − 2 ) ! d m − 2 d t m − 2 [ Γ ( s − t ) z t − 1 ] t = 0 + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n z s − 1 + n n ! ( − s − n ) m − 1 {\displaystyle T(m,s,z)=-{\frac {(-1)^{m-1}{{(m-2)! }}}\왼쪽. {\frac {d^{m-2}}{dt^{m-2}}}\left[\Gamma (s-t)z^{t-1}\right]\right _{t=0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{s-1+n}}{n!(-s-n)^{m-1}}}} s 가 음의 정수나 0이 아니라는 이해와 함께. 이럴 때는 한도를 써야 한다. z ≥ 1 {\displaystyle \geq 1} 분석 연속성 을 통해 얻을 수 있다 이 기능의 일부 특별한 경우는 단순화할 수 있다. For example, T ( 2 , s , x ) = Γ ( s , x ) / x {\displaystyle T(2,s,x)=\Gamma (s,x)/x} x T ( 3 , 1 , x ) = E 1 ( x ) {\displaystyle x\,T(3,1,x)=\mathrm {E} _{1}(x)} E 1 ( x ) {\displaystyle \mathrm {E} _{1}(x)} Exponential integral . 이러한 파생상품과 기능 T( m s x ){\displaystyle T(m,s,x)} [13] [14] 예를 들어, ∫ x ∞ t s − 1 ln m t e t d t = ∂ m ∂ s m ∫ x ∞ t s − 1 e t d t = ∂ m ∂ s m Γ ( s , x ) {\displaystyle \int _{x}^{\infty }{\frac {t^{s-1}\ln ^{m}t}{e^{t}}}dt={\frac {\partial ^{m}}{\partial s^{m}}}\int _{x}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{e^{t}}}dt={\frac {\partial ^{m}}{\partial s^{m}}}\Gamma (s,x)} 이 공식은 라플라스 변환 과 멜린 변환 의 거대한 종류로 더 부풀리거나 일반화될 수 있다. 컴퓨터 대수 시스템 과 결합했을 때, 특수 기능의 착취는 특히 실제 엔지니어링 응용 프로그램에 의해 접하게 되는 확실한 통합을 해결하는 강력한 방법을 제공한다(자세한 내용은 상징적 통합 참조).
무한정확정통합 다음 과 같은 비한정 통합은 부품별 통합(두 경우 모두 통합 상수 가 생략된 상태)을 사용하여 쉽게 얻을 수 있다.
∫ x b − 1 γ ( s , x ) d x = 1 b ( x b γ ( s , x ) − γ ( s + b , x ) ) , {\displaystyle \int x^{b-1}\cHB(s,x)dx={\frac {1}{1}{b}\왼쪽(x^{b}\cHB(s,x)-\cHB(s+b,x)\right),} ∫ x b − 1 Γ ( s , x ) d x = 1 b ( x b Γ ( s , x ) − Γ ( s + b , x ) ) . {\displaystyle \int x^{b-1}\Gamma (s,x)dx={\frac {1}{1}{b}\왼쪽(x^{b})-\Gamma (s+b,x)\오른쪽). }
하한 및 상한 불완전 감마 함수는 푸리에 변환 을 통해 연결된다.
∫ − ∞ ∞ γ ( s 2 , z 2 π ) ( z 2 π ) s 2 e − 2 π i k z d z = Γ ( 1 − s 2 , k 2 π ) ( k 2 π ) 1 − s 2 . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma \left({\frac {s}{2}},z^{2}\pi \right)}{(z^{2}\pi )^{\frac {s}{2}}}}e^{-2\pi ikz}dz={\frac {\Gamma \left({\frac {1-s}{2}},k^{2}\pi \right)}{(k^{2}\pi )^{\frac {1-s}{2}}}}. }
예를 들어 적절한 전문화(Gradshteyn & Ryzhik 2015, §7.642) harv error: no target : CITREFGradshyynRyzhik2015 (도움말 ).
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(는) 다중값이므로 
, 
, 
(는) 
. 
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Gamma (s,x)}{\partial s^{2}}}=\ln ^{2}x\Gamma (s,x)+2x[\ln x\,T(3,s,x)+T(4,s,x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a60a14278607f4979d30c0a2a23585b1413cda3)
(는) 
![{\displaystyle {\frac {\partial T(m,s,x)}{\partial x}}=-{\frac {1}{x}}[T(m-1,s,x)+T(m,s,x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c957c7a5141029b2b1fd438880810079f548a0f2)
![{\displaystyle T(m,s,z)=-{\frac {(-1)^{m-1}}{(m-2)!}}\left.{\frac {d^{m-2}}{dt^{m-2}}}\left[\Gamma (s-t)z^{t-1}\right]\right|_{t=0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{s-1+n}}{n!(-s-n)^{m-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1b162d729a1af244c0a6e62a2454f7cb4a87351)
