통합의 시간 진화

이 글은 주제를 잘 모르는 사람들에게 불충분한 맥락을 제공한다. 독자에게 더 많은 맥락을 제공하여 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오.(2012년 7월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

많은 애플리케이션에서 통합 영역뿐만 아니라 통합 영역이 특정 매개변수의 함수인 볼륨 또는 표면 적분의 변화 속도를 계산해야 한다.물리적 애플리케이션에서 그 매개변수는 종종 time t이다.

소개

충분히 매끄러운 통합체를 가진 1차원 적분들의 변화율은 미적분학의 근본적인 정리의 연장선에 의해 결정된다.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{a\left(t\right)}^{b\left(t\right)}f\left(t,x\right)dx=\int _{a\left(t\right)}^{b\left(t\right)}{\frac {\partial f\left(t,x\right)}{\partial t}}dx+f\left(t,b\left(t\right)\right)b^{\prime }\left(t\right)-f\left(t,a\left(t\right)\right)a^{\prime }\left(t\right)}$

이동 표면의^[1] 미적분은 유클리드 영역의 볼륨 통합과 이동 등고선 경계가 있는 곡면 위의 통합을 포함하여 표면, 곡면, 곡면의 차등 기하학적 구조를 통한 표면 통합에 대해 유사한 공식을 제공한다.

볼륨 통합

시간과 같은 매개변수가 되도록 하고 매끄러운 표면 경계 S를 갖는 시간에 의존하는 도메인 Ω을 고려한다.F는 Ω의 내부에 정의된 시간에 의존하는 불변성 장으로 한다.그러면 적분 integral${\displaystyle {}_{\Omega \mathrm{}}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle \int _{\Oomega }F\,d\Oomega }$의 변화율

다음 법률이 적용된다.^[1]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}\int _{\Oomega}F\,d\Oomega =\int _{\frac {\partial F}{\partial t}\,d\Oomega +\int _{S}$

여기서 C는 인터페이스의 속도다.인터페이스 C의 속도는 움직이는 표면의 미적분학의 기본 개념이다.위의 방정식에서 C는 외부 정규와 관련하여 표현되어야 한다.이 법칙은 미적분학의 근본 정리를 일반화한 것으로 볼 수 있다.

표면 통합

관련 법률은 표면 적분율의 변화율을 지배한다.

${\displaystyle \int _{S}F\,dS}$

법률에 따르면

${\dplaystyle {\frac {d}{dt}\int _{S}F\,dS=\int _{S}{\delta F}{\dS-\int _{S}CB_{\alpha }^{\alpha }F\,dS}$

여기서 $\Delta {\displaystyle }$/ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\delta }/{\delta }t}$ -deivative는 원래 자크 하다마드가 제안한 이동 표면의 미적분학의 기본 연산자다.${\displaystyle B_{}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}^{}}$ {\$displaystyle$ B_${\alpha$}^{\\$alpha$}}}}은$$(는) 평균 곡률 텐서(tensor)의 흔적이다.이 법칙에서 정상의 선택이 C와 $B{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$에 대해 일관성이 있는 한, C는 외부 정상과 관련하여 표현될 필요가 없다$.$위의 방정식의 첫 번째 항은 F의 변화율을 나타내고 두 번째 항은 넓히거나 줄어드는 면적을 수정한다.평균 곡면성이 면적의 변화율을 나타낸다는 사실은 $\int {\displaystyle {}_{}}$ S ${\displaystyle d{}_{}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \int _{S}\dS}$이 면적이므로$$ 위의 방정식을 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle \equiv }$ $[\displaystyle F\equiv1}$에 적용한 것에서 비롯된다.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}\int _{S}\,dS=-\int _{S}CB_{\alpha }^{\alpha }\,dS}$

위의 방정식은 평균 곡률 $B{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$을(를) 면적의 형상 구배라고 적절하게 부를 수 있음을$$ 보여준다.에 의해 지배되는 진화

${\displaystyle C\equiv B_{\alpha }^{\alpha }}}}}$

대중적인 평균 곡률 흐름이며 면적에 대한 가장 가파른 내리막이다.Note that for a sphere of radius R, ${\displaystyle B_{\alpha }^{\alpha }=-2/R}$, and for a circle of radius R, ${\displaystyle B_{\alpha }^{\alpha }=-1/R}$ with respect to the exterior normal.

움직이는 등고선 경계가 있는 표면 통합

S가 움직이는 등고선이 moving인 움직이는 표면이라고 가정한다.S에 대한 등고선 γ의 속도는 c라고 가정한다.그 다음 시간 의존적분율의 변화율은 다음과 같다.

${\displaystyle \int _{S}F\,dS}$

이다

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{S}F\,dS=\int _{S}{\frac {\delta F}{\delta t}}\,dS-\int _{S}CB_{\alpha }^{\alpha }F\,dS+\int _{\gamma }c\,d\gamma }$

오른쪽 그림에서 알 수 있듯이 마지막 항은 합병에 따른 영역의 변화를 포착하고 있다.

참조