이동 표면의 미적분

이동 표면의 미적분(CMS)은 다지관을 변형시키기 위한 고전적인 텐서 미적분의 확장이다. CMS의 중심에는 Jacques Hadamard에 의해 원래 정의가 제시된$$ Tensorial Time Derival $∇{\$이(가) 있다. 텐서(tensor)에 적용했을 때 텐서$($tensor)를 생성한다는 점에서 차동 다지관의 공변량 파생상품${\displaystyle {\mathrm{}}_{\alpha }}$ {\$displaystyle \nabla_{\alpha }}$과 유사한 역할을 한다.

$\sigma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$이(가) 시간 유사 $파라미터{\displaystyle }$ t ${\displaystyle t}$에 의해$$ 색인화된 표면 $surface{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Sigma }$의 진화라고$$ 가정합시다$.$ 표면 속도 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$ 및$$ 연산자 $\nabla {\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$ ${\${\$nabla }}$의 정의는 CMS의 기하학적 기초가 된다$$. 속도 C는 표면 ${\displaystyle \Sigma }$의 순간 정상 방향의 변형률이다. 점 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$에서 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$의 값은 한계로 정의됨$$

${\displaystyle C=\lim _{h\to 0}{\frac {{\text{Distance}(P,P^{*}){h}}}}}$

여기서 $P{\displaystyle {}^{}}$ $∗{\$는 P 지점에서$$ $\sigma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$에 수직인 직선에 있는 the$$ t ${\displaystyle {+}_{}}$ ${\displaystyle h_{}}$의 포인트다. 이 정의는 아래의 첫 번째 기하학적 도형에 설명되어 있다. 속도 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$은 서명된 수량: $P{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{}^{}}}$ ∗$∗{\$이(가) 선택한 정상 방향으로 가리킬$$ 때 양이고, 그렇지 않을 경우 음이다. $\sigma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$와 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$의 관계는 기초 미적분학에서 위치와 속도 사이의 관계와 유사하다$$. 두 가지 양을 알면 분화 또는 통합으로 다른 것을 구성할 수 있다.

$\sigma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$에 정의된 스칼라 필드 F에 대한$$ Tensorial Time 파생상품 ${\displaystyle \stackrel{}{\nabla }}$ ${\$은(는) 순간적으로$$ $정상{\displaystyle }$방향으로 F {\$displaysty F}$의 변화율이다.

${\displaystyle {\fracta {\delta t}=\lim _{h\to 0}{\frac {F^{*}-F(P)}{h}}}}}$

이 정의는 두 번째 기하학적 그림에도 설명되어 있다.

위의 정의들은 기하학적이다. 해석적 설정에서는 이러한 정의를 직접 적용할 수 없을 수 있다. CMS는 미적분학 및 미분 기하학으로부터의 기초적 연산의 관점에서$$ C와 ${\displaystyle \stackrel{}{\nabla }}$ ${\dot{\nabla }}$에 대한 해석적 정의를 제공한다.

분석적 정의

$C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$ 및$$ $\nabla {\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$ ${\$의 분석적 정의에 대해서는 다음이 $제공$하는 S ${\displaystyle S}$의 진화를 고려하십시오$.$

${\displaystyle Z^{i}=Z^{i}\왼쪽(t, S\오른쪽)}$

여기서 $Z{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\$ Z$^{i}$는 일반 곡선 공간 좌표, $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\$ S$^{\alpha }}$은 표면 좌표다. 관례에 따라 함수 인수의 텐서 인덱스는 삭제된다. 따라서 위의 방정식은 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\$이 아니라$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$을(를) 포함한다$.$ 속도 객체 $V{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle Z_{}}$ i ${\$ {$V}=V^{i}{\textbf {Z}_{i$}}은 부분파생물로 정의된다$$.

${\displaystyle V^{i}={\frac {\partial Z^{i}\왼쪽(t, S\right)}{\partial t}}{\partial t}}}$

속도 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$은 공식으로 가장 직접적으로 계산할 수 있다$$.

$C=V^{i}N_{{i}}}$

여기서 $N{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 정규 벡터 $N{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$ {\vec${N}}$의 공변량 성분이다$.$

Also, defining the shift tensor representation of the Surface's Tangent Space ${\displaystyle Z_{i}^{\alpha }={\textbf {S}}^{\alpha }\cdot {\textbf {Z}}_{i}}$ and the Tangent Velocity as ${\displaystyle V^{\alpha }=Z_{i}^{\alpha }V^{i}}$ , then the definition of the $$${\displaystyle \stackrel{}{\nabla }}$ ${\$변수 F 읽기용 파생 모델

${\dot}{\dot {\nabla }F={\frac {\partial F\left(t,S\right)}{\partial t}-V^{\alpha }\nabla _{\alpha }F}$

여기서${\displaystyle {\mathrm{}}_{\alpha }}$ ${\$은 S의 공변량 파생물이다.

텐셔너의 경우 적절한 일반화가 필요하다. 대표적인 텐서 $T{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle j_{}^{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}^{}}$ ${\$에 대한 적절한 정의

${\displaystyle {\dot {\nabla }}T_{j\beta }^{i\alpha }={\frac {\partial T_{j\beta }^{i\alpha }}{\partial t}}-V^{\eta }\nabla _{\eta }T_{j\beta }^{i\alpha }+V^{m}\Gamma _{mk}^{i}T_{j\베타 }^{k\알파 }-V^{m}\감마 _{mj}^{k}T_{k\beta }^{i\alpha }+{\dot {\Gamma }}_{\eta }^{\alpha }T_{j\beta }^{i\eta }-{\dot {\Gamma }}_{\beta }^{\eta }T_{j\eta }^{i\alpha }}$

where ${\displaystyle \Gamma _{mj}^{k}}$ are Christoffel symbols and ${\displaystyle {\dot {\Gamma }}_{\beta }^{\alpha }=\nabla _{\beta }V^{\alpha }-CB_{\beta }^{\alpha }}$ is the surface's appropriate temporal symbols (${\displaystyle B_{\beta }^{\alph$$a }}$은 표면의 곡률 모양 연산자를 행렬로 표현한 것이다$$.)

${\displaystyle \stackrel{}{\nabla }}$ ${\$ -파생물의$$ 속성

$∇{\$}} -분열은$$ 수축과 함께 통하며, 모든 지수 수집에 대한 제품 규칙을 만족한다.

${\displaystyle {\dot{\nabla }}}(S_{\alpha }^{i})T_{j}^{\beta }}=T_{j}^{\beta }{\dot {\nabla }}S_{\alpha }^{i}+S_{\\alpha }^{i}{\dot {\\nabla }}}}T_{j}^{\beta }}}}}}}}}$

공간 텐셔너의 표면 제한에 대한 체인 규칙을 준수한다.

${\dot}{\dot{\nabla{}}^{j}(Z,t)={\frac {\partial F_{k}^{j}}{j}}{\partial t}}+CN^{i}\nabla _{i}F_{k}^{j}}}}$

체인 규칙은 공간 "메트릭스"의 ${\displaystyle \stackrel{}{\nabla }}$ ${\$device가$$ 사라지는 것을 보여준다.

${\displaystyle {\dot {\nabla }}\delta _{j}^{i}=0,{\dot {\nabla }}Z_{ij}=0,{\dot {\nabla }}Z^{ij}=0,{\dot {\nabla }}\varepsilon _{ijk}=0,{\dot {\nabla }}\varepsilon ^{ijk}=0}$

where ${\displaystyle Z_{ij}}$ and ${\displaystyle Z^{ij}}$ are covariant and contravariant metric tensors, ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$ is the Kronecker delta symbol, and ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ and ${\displaystyle \varepsilon ^{ijk}}$ are the Levi-Civita 기호. Levi-Civita 기호에 관한 주요 기사는 그들을 데카르트 좌표계에 대해 설명한다. 앞의 규칙은 일반 좌표에서 유효하며, 여기서 Levi-Civita 기호의 정의는 공변량 미터법 텐서 $Z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$의 결정요인의 제곱근을 포함해야 한다$.$

${\displaystyle \stackrel{}{\nabla }}$ ${\$}} -분해성$$ 표

surface$displaystyle{\dot{\nabla }}$ 주요 표면 객체의 파생 모델은$$ 매우 간결하고 매력적인 공식으로 이어진다. 공변량 지표면 텐서 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$ 및$$ 반대방향 지표면 텐서 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\displaystyle {\beta }^{}}$ ${\$에 적용하면 다음과 같은 ID가 나타난다$.$

${\displaystyle {\begin{aigned}{\\nabla }S_{\\nalpha \beta }&=0\\[8pt]{\dot {\\nabla }}}}}\alpha \beta }&=0\ended}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}?$

여기서 $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}}$ ${\$과(와) $B{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\displaystyle {\beta }^{}}$ ${\$은 공변량 2배이고 곡률도 2배이다. 이러한 곡률 텐서뿐만 $아니라{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {혼합}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$텐서 B β α {\$displaystyle$ B_${\beta$ }^{\$alpha }}}}$도 충족한다$.$

${\displaystyle{\begin{정렬}{\dot{\nabla}}B_{\alpha \beta}&, =\nabla _{\alpha}\nabla _ᆮC+CB_ᆯB_ᆰ^ᆱ\\[8pt]{\dot{\nabla}}B_{\beta}^{\alpha}&, =\nabla _{\beta}\nabla ^ᆶC+CB_ᆷ^ᆸB_ᆹ^ᆺ\\[8pt]{\dot{\nabla}}B^{\alpha \beta}&, =\nabla ^{\alpha}\nabla ^{\beta}C.+CB^{\gamma \alpha }B_{\gamma }^{\beta }\end{arged}}}}$

시프트 텐서 $Z{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ i ${\$과(와) 정상 ${\displaystyle {Ni}^{}}$ ${\$ N$^{i}}$이(가) 충족됨

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\nabla }}Z_{\alpha }^{i}&=N^{i}\nabla _{\alpha }C\\[8pt]{\dot {\nabla }}N^{i}&=-Z_{\alpha }^{i}\nabla ^{\alpha }C\end{aligned}}}$

마지막으로 표면 Levi-Civita 기호 ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}}$β {\$displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta }}$ $및$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ β ${\displaystyle {\beta }^{}}$\$displaystyle \varepsilon ^{\alpha \beta }}}}}}}$이 충족된다$$.

${\displaystyle}{\dot{\justla }}}\varepsilon_{\\\\\pt]{\dot{\dot{\pt}}}}\dot{\pt}\barechpsilon ^{}&=0\end}}}}}}}}$

통합의 시간 차별화

CMS는 볼륨과 표면 통합의 시간 분화를 위한 규칙을 제공한다.

참조