리만 적분

에 대한 일련의 기사의 일부
미적분학.
기본 정리 라이프니즈 적분 규칙 함수의 한계 연속성 평균값 정리 롤의 정리
미분 정의들 파생상품(일반화) 미분 극소수의 함수의. 총계 개념 분화 표기법 제2차 파생상품 암묵적 분화 로그 분화 관련금리 테일러의 정리 규칙 및 ID 합계 제품 체인 힘 지수 라피탈의 법칙 반비례 라이프니즈 장군 파아디 브루노 공식 레이놀즈.
적분 통합 목록 적분 변환 정의들 해독제 적분(불량) 리만 적분 르베그 통합 등고선 통합 역함수의 적분 통합 기준 부품. 디스크 원통 조개 대체(트리거, 위어스트라스, 오일러) 오일러의 공식 부분분수 순서변경 환원공식 통합 기호 아래 차별화 리스치 알고리즘
시리즈 기하학(산술-기하계) 조화 교대로 힘 이항체 테일러 수렴시험 합계한계(기간시험) 비율 뿌리 적분 직접 비교 한계비교 교대계열 코시 응결 디리클레 아벨
벡터 그라데이션 발산 컬 라플라시안 방향파생상품 정체성 정리 그라데이션 그린스 스톡스 발산 일반화 스톡스
다변량 형식주의 매트릭스 텐서 외부 기하학 정의들 부분파생상품 다중 적분 라인 적분 표면 적분 부피 적분 야코비안 헤시안
전문화된 분수 말리아빈 스토카스틱 변형
잡다한 프레살쿨루스 역사 용어집 주제 목록 통합 비 분석
v t

실제 분석으로 알려진 수학의 가지에서, 베른하르트 리만에 의해 만들어진 리만 적분은 어떤 간격에 있어서 함수의 적분에 대한 최초의 엄격한 정의였다. 1854년 괴팅겐 대학의 교수진에게 발표되었으나, 1868년까지 학술지에 발표되지 않았다.^[1] 많은 기능과 실용적 용도에 있어서 리만 적분은 미적분학의 기본 정리에 의해 평가되거나 수치적 통합에 의해 근사치를 계산할 수 있다.

개요

f는 간격 [a, b]에 음이 아닌 실제 값 함수가 되게 하고 S는 함수 f의 그래프 아래 평면의 영역이고 간격 [a, b] 위가 되도록 한다. 오른쪽 위에 있는 그림을 보십시오. 이 지역은 다음과 같이 세트빌더 표기법으로 표현할 수 있다.

$(\\displaystyle S=\왼쪽\{(x,y)\,:\ a\leq x\leq b,0<f(x)\right\}.}$

우리는 S의 면적 측정에 관심이 있다. 일단 측정해 보면, 우리는 그 지역을 통상적인 방법으로 표시해 둘 것이다.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

리만 적분의 기본 개념은 S의 영역에 매우 간단한 근사를 사용하는 것이다. 더 좋고 더 나은 근사치를 취함으로써, 우리는 "한계에" 커브 아래의 S의 면적을 정확히 얻을 수 있다고 말할 수 있다.

f(x)가 음의 값을 취할 수 있는 경우, 적분은 f의 그래프와 x축 사이의 부호 영역, 즉 x축 위의 영역에서 x축 아래의 영역을 뺀 것과 같다.

정의

간격의 파티션

구간의 분할 [a, b]은 형태의 유한한 수의 순서다.

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\reason <x_{n}=b}$

각 [x_i, x_{i + 1}]를 파티션의 하위 인터벌이라고 한다. 파티션의 망사 또는 규범은 가장 긴 하위 간격의 길이, 즉,

${\displaystyle \max \left(x_{i+1}-x_{i}\right),\display i\in [0,n-1].}$

[a, b] 구간의 태그가 붙은 칸막이 P(x, t)는 각 i, t_i ∈ [x_i, x_{i + 1}]에 대해 조건이 적용되는_{n − 1} 유한 순서 t, ...와₀ 함께 칸막이 된다. 즉, 그것은 모든 서브 인터벌의 구별점과 함께 칸막이가 된다. 태그가 붙은 칸막이의 메쉬는 일반 칸막이의 메쉬와 동일하다.

두 칸막이 P(x, t)와 Q(y, s)가 모두 구간[a, b]의 칸막이라고 가정하자. 우리는 Q(y, s)가 각 정수 i에 대해 i refinement [0, n]과 함께 x_i = y와_r(i) j r [r(i), r(i + 1)과 같은_i 정수 r(i_j)가 존재한다면 P(x, t)의 정제라고 말한다. 더 간단히 말해, 태그가 붙은 파티션의 정교함은 하위 인터랙션을 일부 분해하고 필요한 경우 파티션에 태그를 추가하므로 파티션의 정확성을 "정확하게" 한다.

태그가 붙은 모든 파티션의 집합을 지시된 세트로 만들 수 있다. 한 파티션의 태그가 있는 것이 후자의 정교함이라면 다른 파티션보다 크거나 같을 수 있다.

리만 합

f는 [a, b] 구간에 정의된 실제 값 함수가 되도록 한다. 태그가 지정된 파티션 x₀, ..., x와_n t₀, ..., t에_{n − 1}^[2] 대한 리만 합은

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1f(t_{i})\왼쪽(x_{i+1}-x_{i}\오른쪽).}$

합계의 각 항은 주어진 점에서의 함수의 값과 간격의 길이에 대한 곱이다. 따라서 각 용어는 높이 f(t_i)와 너비 x_{i + 1} - x인_i 직사각형의 (서명된) 영역을 나타낸다. 리만 합은 모든 직사각형의 (서명된) 영역이다.

밀접하게 관련된 개념은 하위 및 상위 다부스 합이다. 이는 리만 합계와 유사하지만 태그는 각 하위 인터벌에서 f의 최소값과 최대값(존중)으로 대체된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}L(f,P)&=\sum _{i=0}^{n-1}\inf _{t\in [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i}),\\U(f,P)&=\sum _{i=0}^{n-1}\sup _{t\in [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i}).\end{정렬}}}$

f가 연속적인 경우, 태그가 지정되지 않은 파티션의 하한과 상한 Darboux 합계는 해당 파티션의 리만 합과 같으며, 여기서 태그는 각 하위 인터벌에서 f의 최소값 또는 최대값(존중하게)으로 선택된다. (f가 하위 절연체에 불연속적인 경우, 해당 하위 절연에 대해 최소 또는 우월성을 달성하는 태그가 없을 수 있다.) 리만 적분과 비슷하지만 다르부 합계를 기준으로 한 다르부 적분은 리만 적분과 같다.

리만 적분

느슨하게 말하면, 리만 적분은 칸막이가 더 미세해짐에 따라 리만 함수의 합계의 한계다. 한도가 존재할 경우, 그 함수는 통합 가능(또는 더 구체적으로 Riemann-integratedable)이라고 한다. 리만 합계는 파티션을 충분히 미세하게 만들어 리만 일체형에 원하는 만큼 가깝게 만들 수 있다.^[3]

한 가지 중요한 요구사항은 칸막이의 메쉬가 점점 더 작아져서 한도에서 0이 되어야 한다는 것이다. 만약 이것이 그렇지 않다면, 우리는 특정 하위절차에 대한 함수에 대한 좋은 근사치를 얻지 못할 것이다. 사실, 이것은 적분을 정의하기에 충분하다. 구체적으로 말하면, 우리는 다음과 같은 조건이 유지된다면 리만 적분 f는 s와 같다고 말한다.

모든 ε > 0에 대해, 태그가 붙은 파티션 x₀, ..., x_n, t₀, ..., 그물망이 Δ보다 작은 t에_{n − 1} 대해, 우리는 다음과 같은 Δ > 0이 존재한다.

${\displaystyle \left(\sum_{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i}-{i}\right)-s\right <\varepsilon .}$

불행히도 이 정의는 사용하기 매우 어렵다. 그것은 작업하기 쉬운 리만 적분의 동등한 정의를 개발하는 데 도움이 될 것이다. 우리는 이 정의를 다음과 같은 동등성의 증거와 함께 개발한다. 우리의 새로운 정의에 따르면 다음과 같은 조건이 유지된다면 f의 리만 적분은 s와 같다고 한다.

모든 ε > 0에 대해, tagged 파티션₀ y, ..., y_m 및 r₀, r이_{m − 1} 존재하며, t는_{n − 1} t₀, ..., y 및_m r의_{0m − 1} 정교함인 어떤 태그가₀ 있는 파티션 x, ..., x 및_n t가 존재한다₀.

${\displaystyle \left(\sum_{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i}-{i}\right)-s\right <\varepsilon .}$

이 두 가지 모두 결국 어떤 파티션에 관한 리만 f의 합이 s에 가깝게 갇히게 된다는 것을 의미한다. 이것은 우리가 아무리 가까운 곳에 총액을 요구해도 사실이기 때문에, 우리는 리만 합계가 s로 수렴된다고 말한다. 이러한 정의들은 사실 좀 더 일반적인 개념인 망의 특별한 경우다.

앞에서 말한 바와 같이, 이 두 정의는 동등하다. 즉, s는 i가 두 번째 정의에서 작동할 경우에만 첫 번째 정의에서 작동한다. 첫 번째 정의가 두 번째 정의를 함축한다는 것을 나타내려면 ε부터 시작하여 조건을 만족시키는 Δ를 선택하십시오. 메쉬가 Δ 미만인 태그 지정된 파티션을 선택하십시오. 그것의 Riemann 합계는 s의 ε 이내에 있고, 이 칸막이의 어떠한 정제도 Δ 미만의 메쉬를 가질 것이기 때문에, 정교함의 Riemann 합 또한 s의 ε 내에 있을 것이다.

두 번째 정의가 첫 번째 정의를 함축한다는 것을 보여주려면 Darboux 적분을 사용하는 것이 가장 쉽다. 첫째, 두 번째 정의가 Darboux 적분 정의와 동일하다는 것을 보여준다. 이에 대한 내용은 Darboux 적분 문서를 참조하십시오. 이제 우리는 Darboux 통합 가능한 함수가 첫 번째 정의를 만족한다는 것을 보여줄 것이다. ε을 수정하고, 이 파티션에 관한 하위 및 상위 Darboux 합계가 Darboux 적분 값 s의 ε/2 이내가 되도록 파티션₀ y, ..., y를_m 선택하십시오. 내버려두다

${\displaystyle r=2\sup _{x\in [a,b]} f(x) .}$

r = 0이면 f는 영함수로서, 다르부스와 리만 모두 적분 0으로 통합할 수 있다. 따라서 우리는 r > 0이라고 가정할 것이다.m > 1이라면, 우리는 다음과 같은 Δ를 선택한다.

${\displaystyle \min \{\frac \{\frac }}{2r(m-1)},\왼쪽(y_{1}-y_{0}\오른쪽),\좌측(y_{2}-y_{1}-1}\오른쪽)\cdots ,\좌측(y_{m}-y_{m-1}-1}\오른쪽)\rig)}$

m = 1이면 Δ를 1 미만으로 선택한다. Δ보다 작은 메쉬로 태그가 지정된 파티션 x₀, ..., x_n 및 t₀, ...t를_{n − 1} 선택하십시오. 우리는 리만 합계가 s의 ε 이내에 있다는 것을 보여줘야 한다.

이를 보려면 구간 [x_i, x]을_{i + 1} 선택하십시오. 이 간격이 일부 [y_j, y_{j + 1}] 내에 포함된 경우,

${\displaystyle m_{j}<f(t_{i})<M_{j}}>$

여기서_j, m과_j m은 각각 [y_j, y_{j + 1}]에서 f의 최소값과 최대값이다. 모든 간격에 이 특성이 있다면, 리만 합계의 각 용어는 다르부 합계의 해당 용어로 제한될 것이기 때문에, 우리는 다르부 합계를 거의 s에 가깝게 선택했다. m = 1일 때 이런 경우가 있기 때문에 그 경우 증명이 끝난다.

따라서 m > 1이라고 가정할 수도 있다. 이 경우, [x_i, x_{i + 1}] 중 하나가 [y_j, y_{j + 1}]에 포함되어 있지 않을 가능성이 있다. 대신 y₀, ..., y로_m 결정된 두 간격에 걸쳐 스트레칭할 수 있다(Δ가 어떤 한 간격의 길이보다 작다고 가정하기 때문에 세 구간을 충족할 수 없다). 기호에서는 다음과 같은 일이 일어날 수 있다.

${\displaystyle y_{j}<x_{i}<y_{j+1}<x_{i+1}<y_{j+2}}$

(그렇지 않으면 Δ의 길이에 대한 가정으로 이전의 경우에 해당하기 때문에 우리는 모든 불평등이 엄격하다고 가정할 수 있다.) 이것은 최대 m - 1회까지 발생할 수 있다.

이 사건을 다루기 위해, 우리는 파티션₀ x, ..., x를_{nj + 1} y에서 세분화하여 리만 합과 다르부 합 사이의 차이를 추정할 것이다. 리만 합에서 f(t_i)(x_{i + 1} - x)라는_i 용어는 두 가지 용어로 나뉜다.

${\displaystyle f\left(t_{i}\right)\left(x_{i+1}-x_{i}\right)=f\left(t_{i}\right)\left(x_{i+1}-y_{j+1}\right)+f\left(t_{i}\right)\left(y_{j+1}-x_{i}\right).}$

일반성의 손실 없이 t_i ∈ [y_j, y_{j + 1}]라고 가정하자. 그러면

${\displaystyle m_{j}<f(t_{i})<M_{j}}>$

따라서 이 용어는 y에_j 대한 다르부스 합계의 해당 용어로 제한된다. 다른 용어를 바인딩하려면

${\displaystyle x_{i+1}-y_{j+1}<\frac <{\frac <\barepsilon }{2r(m-1)},},}$

일부(사실상 임의의) t^*
_i ∈ [y_{j + 1}, x_{i + 1}]에 대해서는 다음과 같다.

${\displaystyle \왼쪽(t_{i}\오른쪽)-f\왼쪽(t_{i}^{*}\오른쪽)\오른쪽 \왼쪽(x_{i+1}-y_{j+1}\오른쪽){\frac {\barepsilon }{2(m-1)}.}$

최대 m - 1회 발생하므로 리만 합과 다르부 합 사이의 거리는 최대 most/2이다. 따라서 리만 합과 s의 거리는 기껏해야 ε이다.

예

${\displaystyle f\mathbb{}}$:${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$→ R ${\$ f$:[0,1]\to \mathb {R}은($는) 모든 지점에서 값 1을 차지하는 함수가 되도록$$ 한다. [0, 1]에서 f의 모든 리만 합은 값 1을 가지므로 [0, 1]에서 f의 리만 적분은 1이다.

$I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle Q_{}}$:${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$→ R ${\$은(는) [0, 1]의 합리적인 숫자의 지표함수가 되게$$ 하라. 즉 ${\displaystyle {IQ\mathbb{}}_{}}$ ${\$는 합리적인 숫자에 1을, 비합리적 숫자에 0을 취한다$$. 이 함수에는 리만 적분이 없다. 이를 증명하기 위해 리만 합계가 0과 1에 임의로 근접하는 태그가 붙은 파티션을 구성하는 방법을 보여줄 것이다.

시작하려면 x₀, ..., x 및_n t₀, ...가 태그가_{n − 1} 지정된 파티션(각 t는_i x와_i x_{i + 1} 사이)이 되도록 하십시오. ε > 0을 선택한다. t는_i 이미 선택되었고, 우리는 그 지점들에서 f의 값을 바꿀 수 없다. 그러나 각 t 주위에 작은 조각으로_i 칸막이를 자르면 t의 효과를_i 최소화할 수 있다. 그런 다음 조심스럽게 새 태그를 선택함으로써 리만 합이 0이나 1의 ε 이내가 되도록 만들 수 있다.

우리의 첫 번째 단계는 칸막이를 잘라내는 것이다. t에는_i n이 있고, 우리는 그들의 총효과는 ε이하를 원한다. 각각을 //n 미만의 길이로 제한한다면, 리만 합에 대한 각_i t의 기여는 적어도 0 · ε/n, 그리고 최대 1 · //n이 될 것이다. 이로써 총액은 최소한 0과 최대 ε이 된다. 그러므로 Δ는 ε/n보다 작은 양의 숫자가 되게 하라. t_i 중 두 개가 서로 Δ 이내에 있으면 Δ small을 선택한다. 일부 t가_i 일부 x의_j Δ 내에 있고 t가_i x와_j 같지 않으면 Δ small을 선택하십시오. t와_i x가_j 미세하게 많을 뿐이기 때문에 Δ는 언제나 충분히 작게 선택할 수 있다.

이제 우리는 각 t에_i 대해 칸막이에 두 컷을 추가한다. 한 컷은 t_i - Δ/2이고, 다른 컷은 t_i + Δ/2가 될 것이다. 이 중 하나가 간격 [0, 1]을 벗어나면 제외한다. t는_i 하위 간격에 해당하는 태그가 될 것이다.

${\displaystyle \left[t_{i}-{\frac {\pract {}{2}},t_{i}+{\fract {}{2}}\오른쪽).}$

t가_i x 중_j 하나 바로 위에 있으면 두 간격 동안 태그가 되지 않는다_i.

${\displaystyle \left[t_{i}-{\frac {\frac }-{2}},x_{j}\right],\cHB {\text{and}}\i1}\lift[x_{j}}}}+{\frac {\2}}\오른쪽]}$

우리는 여전히 다른 하위절차에 대한 태그를 선택해야 한다. 우리는 두 가지 다른 방법으로 그들을 선택할 것이다. 첫 번째 방법은 항상 이성적인 점을 선택해서 리만 합이 가능한 한 크게 되도록 하는 것이다. 이로써 리만 합은 최소 1 ε이 된다. 두 번째 방법은 항상 비합리적인 점을 선택해서 리만 합이 최대한 적도록 하는 것이다. 이로써 리만 합은 기껏해야 ε이 된다.

임의의 칸막이로 시작해서 결국 0이나 1이 되고 싶은 만큼 근접하게 되었으니, 결국 어느 정도의 숫자 s에 가까운 곳에 갇힌다고 하는 것은 거짓이므로, 이 기능은 리만 통합할 수 없다. 그러나, 그것은 르베그 통합이 가능하다. 르베그에서는 그 기능이 거의 모든 곳에서 0이기 때문에 그것의 적분은 0이다. 그러나 이것은 리만 일체형의 손이 닿지 않는 사실이다.

심지어 더 나쁜 예들도 있다. ${\displaystyle I_{}}$ ${\displaystyle {Q\mathbb{}}_{}}$ ${\$은(즉$$, 거의 모든 곳에서 동일) 리만 통합 가능 함수와 동일하지만, 리만 통합 가능 함수와 같지 않은 비리만 통합 경계 함수가 있다. 예를 들어, C를 Smith-Volterra-Cantor 집합으로 하고, I를_C 지표 함수로 한다. C는 조던을 측정할 수 없기 때문에, 나는_C 리만과 통합할 수 없다. 더욱이, I와_C 동등한 기능 g는 Riemann 통합할 수 없다: g는, 나처럼_C, 밀도가 높은 집합에서 0이어야 하므로, 앞의 예에서와 같이, 모든 Riemann 총 g는 양수 ε에 대해 0 ε 이내에 있는 정교함을 가지고 있다. 그러나 만일 g의 리만 적분이 존재한다면, 그것은 I의_C 르베그 적분과 같아야 하는데, 이것은 1/2이다. 따라서 g는 리만 통합이 가능하지 않다.

유사개념

리만 적분을 다르부스 적분으로 정의하는 것이 인기다. 이것은 Darboux 적분이 기술적으로 더 단순하고, 기능이 Darboux 적분인 경우에만 Riemann 통합 가능하기 때문이다.

일부 미적분학 책자는 일반 태그가 붙은 칸막이를 사용하지 않고 태그가 붙은 칸막이의 특정 유형으로 제한한다. 파티션 유형이 너무 제한되면 통합할 수 없는 일부 기능이 통합 가능한 것으로 보일 수 있다.

한 가지 일반적인 제한은 "좌측"과 "우측" 리만 합을 사용하는 것이다. 왼쪽 리만 합에서는 t_i = 모든 i에 대해 x를_i, 오른쪽 리만 합에서는_i t = 모든 i에 대해_{i + 1} x를 나타낸다. 이 제한만으로 문제가 되는 것은 아니다: 우리는 각 t에서_i 칸막이를 세분화함으로써 칸막이를 왼쪽 또는 오른쪽 합으로 만드는 방식으로 정제할 수 있다. 좀 더 공식적인 언어로, 모든 좌측 리만 합계와 모든 우측 리만 합계는 태그가 붙은 모든 파티션 집합에서 공동 결승이다.

또 다른 일반적인 제한사항은 간격의 정기적인 세분화를 사용하는 것이다. 예를 들어, [0, 1]의 n번째 정규분할은 구간으로 구성된다.

${\displaystyle \왼쪽[0,{\frac {1}{n}\오른쪽]\왼쪽[{\frac {1}{n1}, {\frac {1}{n}\오른쪽],\ldots,\ldots[{\frac {n-1}{n1},1\오른쪽].}$

다시 말하지만, 이 제한만으로 문제가 되는 것은 아니지만, 이 사실을 보는 데 필요한 추리는 왼손과 오른손 리만 합계의 경우보다 더 어렵다.

그러나 규칙적으로 분할된 간격에 대해 왼쪽 또는 오른쪽 리만 합계를 사용할 수 있도록 이러한 제한사항을 결합하는 것은 위험하다. 함수가 리만 통합 가능한 것으로 미리 알려진 경우, 이 기법은 적분 값을 정확하게 제공할 것이다. 그러나 이러한 조건에서 표시기 함수 $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Q\mathbb{}}_{}}$ ${\$은(는) [0, 1]에서 통합 가능한 것으로 보이며, 다음$$ 중 하나와 동일하다. 모든 하위절차의 모든 끝점은 합리적인 숫자가 될 것이기 때문에 함수는 항상 합리적인 숫자로 평가될 것이며, 따라서 항상 동일한 숫자로 보일 것이다. 이 정의의 문제는 우리가 적분을 두 조각으로 나누려고 할 때 명백해진다. 다음 방정식은 다음을 포함해야 한다.

${\displaystyle \int _{0}^{\sqrt{2}}-1}I_{\mathb {Q}}}}}(x)\,dx+\int _{\sqrt{2}}-1}^{1}}I_{\mathb {Q} {}(x)\,dx=\int _{0}^{1}}I_{\mathb {Q} }(x)\,dx.}$

정규분할과 좌측 또는 우측 리만 합계를 사용하면 0과 1을 제외한 모든 엔드포인트가 비합리적이기 때문에 좌측의 두 항은 0과 동일하지만, 우리가 보아온 것처럼 우측의 항은 1과 동일하다.

위에서 정의한 바와 같이, 리만 $적분$은 ${\displaystyle {I\mathbb{}}_{}}$ Q${\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle I_{\mathb {Q}}}}$의 통합을 거부함으로써 이 문제를 회피한다.

특성.

선형성

리만 적분은 선형 변환이다. 즉, [a, b]에서 f와 g가 리만 적분되고 α와 β가 상수라면,

${\displaystyle \int_{a}^{b}(\f(x)+\dx=\dx=\int_{a}^{b(x)f(x)\,dx+\int_{a}^{b}g(x)\,dx.}$

함수의 리만 적분은 숫자이기 때문에 리만 적분은 리만 적분 함수의 벡터 공간에서 선형적 기능을 하게 된다.

통합성

콤팩트한 간격의 경계함수[a, b]는 거의 모든 곳에서 연속되는 경우에만 리만 통합할 수 있다(그 불연속점 세트는 르베그 측정의 의미에서 0을 측정한다). 이것이 르베그-비탈리 정리(리만 통합함수의 특성화)이다. 주세페 비탈리, 1907년 앙리 르베그에 의해 독자적으로 증명되었고, 측정 0의 개념을 사용하지만, 르베그 일반 척도나 일체 사용하지 않는다.

통합성 조건은 다양한 방법으로 증명될 수 있으며,^[4][5][6][7] 그 중 하나는 아래에 스케치되어 있다.

증명

입증은 통합성에 대한 Darboux 통합적 정의(공식적으로, 통합성에 대한 Riemann 조건)를 사용하는 것이 가장 쉽다 – 함수는 적절한 파티션을 선택하여 임의로 상·하위 합계를 만들 수 있는 경우에만 Riemann 통합이 가능하다. 한 방향은 연속성의 진동 정의를 사용하여 증명할 수 있다.[8] 모든 양의 ε에 대해, X는ε 적어도 ε의 진동이 있는 [a, b]의 점 집합이 되게 한다. f가 불연속적인 모든 지점은 양의 진동을 가지며 그 반대의 경우도 마찬가지므로, [a, b]의 점 집합은 모든 자연수 n에 대해 {X1/n}에 대한 조합과 동일하다. 이 집합에 Lebesgue 측정값이 0이 아닌 경우, X가1/n 0이 되지 않도록 측정치의 계수 가능한 추가성에 의해 최소한 n이 있다. 따라서 X를1/n 포함하는 개방 간격의 모든 계산 가능한 집합은 최소한 c의 총 길이를 가질 수 있는 양수 c가 있다. 특히 이는 모든 한정된 간격 수집에도 적용된다. 이것은 또한 X 보다1/n 적은 수의 점에도 적용된다(한 수의 점들은 임의로 작은 총 길이를 가진 구간의 유한한 집합으로 항상 커버될 수 있기 때문이다). [a, b]의 모든 파티션에 대해 내부 내부에 X의1/n 점이 포함된 간격 집합을 고려하십시오. 이 내부들은 X의1/n 유한한 개방형 커버로 구성되며, 아마도 유한한 수의 포인트(간격 가장자리에 떨어질 수 있음)까지 구성된다. 따라서 이러한 간격은 최소 c의 총 길이를 가진다. 이 지점에서 f는 최소 1/n의 진동을 가지므로, 이 간격마다 f의 최소값과 최고값이 최소한 1/n씩 차이가 난다. 따라서 f의 상한과 하한은 최소한 c/n씩 차이가 난다. 이는 모든 파티션에 해당되기 때문에 f는 Riemann 통합이 가능하지 않다. 우리는 이제 위에서 정의한 X 세트를ε 사용하여 반대 방향을 증명한다.[9] 매 ε마다 X는ε (a와 b로) 경계되고 닫히기 때문에 콤팩트하다. [a, b]로 수렴되는 X의ε 모든 점 시리즈에 대해, 한계도 X에ε 있다. 한계점의 모든 근린도 X의ε 어느 지점의 근린이며, 따라서 f는 적어도 ε의 진동을 가지고 있기 때문이다. 따라서 한계점은 X에ε 있다. 자, f가 거의 모든 곳에서 계속된다고 가정해보자. 그리고 ε마다 X는ε 레베그 측도가 0이다. 따라서 X의 개방형 표지인 [aε, b]에는 모든 길이의 합이 임의로 작도록 개방된 간격의 셀 수 있는 컬렉션이 있다. X는ε 소형이기 때문에, 유한 서브커버가 있다. 즉, 임의로 작은 총 길이를 가진 [a, b]의 개방된 간격의 유한 집합이며, X의ε 모든 점을 함께 포함한다. 이 간격 {I(()}i은(는) 1 i i ≤ k에 대해, 어떤 자연 k에 대해 나타낸다. 이러한 간격의 결합은 그 자체로 한정된 수의 간격의 결합으로, 우리는 {J(ε)}(i1≤ i den k - 1 및 가능한 i = k, k + 1)을 나타낸다. 우리는 이제 모든 > > 0에 대해 차이가 ε 미만인 상·하위 합계가 있다는 것을 보여주는데, 이 합계에서 리만 통합성이 뒤따른다. 이를 위해 다음과 같이 [a, b]의 파티션을 구성한다. ε1 = ε / 2(b - a) 및 ε2 = ε / 2(M - m)를 나타낸다. 여기서 m과 M은 [a, b]에서 f의 최소치 및 우월성이다. 임의로 전체 길이가 작은 간격 {I(ε1)}i을(를) 선택할 수 있기 때문에 총 길이가 ε보다2 작은 간격을 선택한다. 간격 {J1(()}i은 각각 X와ε1 빈 교차점을 가지므로 그 안의 각 점에는 than보다1 작은 진동을 가진 근방이 있다. 이 지역들은 그 구간의 개방된 커버로 구성되어 있고, 그 간격은 좁기 때문에 유한한 서브 커버가 있다. 이 하위 커버는 J(i제곱)의1 하위 절편인 개방 간격의 유한 집합이며, 이 하위 절편은 J(제곱1)i의 교차점만을 위한 에지 포인트를 포함하는 절편들은 제외한다. 구간 자체의 가장자리 점을 포함하여 모든 J(제곱1)i - s에 대한 하위 절편의 가장자리 지점을 분할로 삼는다. 따라서 파티션은 [a, b]를 두 종류의 간격으로 나눈다. 후자의 간격(그들 자신이 일부 J(()의1 하위 절편).i 이들 각각에서 f는 ε1 미만으로 진동한다. 이것들의 총 길이는 b - a보다 크지 않기 때문에, 그들은 함께 최대∗ 1 ((b - a) = //2로 칸막이의 상한과 하한 합 사이의 차이에 기여한다. 간격 {I(점수)}.i 이들은 총 길이가 ε보다2 작으며, f는 M - m 이하로 진동한다. 따라서 그들은 함께 칸막이의 상위 합과 하위 합 사이의 차이에 ε∗ 2(M - m) = ε/2 미만을 기여한다. 전체적으로 칸막이의 상한과 하한 합계의 차이는 필요에 따라 ε보다 작다.

특히, 아무리 세어도 셀 수 있는 세트는 르베그 값이 0이므로, (소형 간격에서) 미세하게 또는 셀 수 없이 많은 불연속만 있는 경계 함수(소형 간격)는 리만 통합이 가능하다. [a, b]에 대한 리만 통합성에 대한 또 다른 충분한 기준은 측정 개념을 포함하지 않지만 [a, b) (또는 (a, b])^[10]의 모든 지점에서 오른손(또는 왼손) 한계의 존재다.

경계 집합의 표시기 함수는 조던이 측정할 수 있는 경우에만 리만 통합이 가능하다.^[11] 리만 적분은 요르단 측정에 관한 적분으로 이론적으로 해석할 수 있다.

실제 값 함수가 [a, b] 구간에서 단조로울 경우, 리만 통합이 가능하다. 그 집합은 최대 카운트할 수 있고, 따라서 르베그 함수는 0을 측정하기 때문이다. [a, b]의 실제 값 함수가 Riemann 통합 가능한 경우, Lebesgue 통합이 가능하다. 즉, 리만-통합성은 르베그-통합성보다 더 강한(만족하기 더 어렵다는 뜻) 조건이다. 역은 유지되지 않는다; 모든 르베그 통합 기능이 리만 통합 가능한 것은 아니다.

Lebesgue-Vitali 정리는 모든 유형의 불연속부가 [a, b]에서 실제 가치의 경계함수가 Riemann이 통합 가능한 방해물에 동일한 가중치를 갖는다는 것을 의미하지는 않는다. 사실, 특정 불연속부는 기능의 리만 통합성에 전혀 아무런 역할도 하지 않는다. 즉, 기능 불연속성의 분류에 따른 결과인 것이다.^{[citation needed]}

f가_n [a, b]의 균일한 수렴 시퀀스인 경우, 모든 f의_n Riemann 통합성은 f의 Riemann 통합성을 의미한다.

${\displaystyle \int_{a}^{b}f\,dx=\int_{a}^{b}{b}{b}{b}}{n}\lim_{n}\nt_{a}}}\nt_{b}f_{n}\,dx.}}$

단, 리만 통합에 대해서는 르베그 모노톤 융합 정리(단일화 점괘 한계)가 유지되지 않는다. 따라서 리만 통합에서, 적분 부호 아래에 한계를 두는 것은 르베그 통합에서보다 논리적으로 정당화하기 훨씬 어렵다.^[12]

일반화

어떤 n에 대해서도$$ 유클리드 벡터 $공간{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ R {${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle \mathb{R}$ ^{n$}}$의 값을 가진 함수에 리만 적분을 확장하는 것은 쉽다. 적분은 성분별로 정의된다. 즉, f = (f₁, ..., f_n)인 경우

${\displaystyle \int \mathbf {f} =\left(\int f_{1}}\,\int f_{n}\right).}$

특히 복합수는 실제 벡터 공간이기 때문에 복합 가치 함수의 통합이 가능하다.

리만 적분은 경계 구간에서만 정의되며, 무한 구간까지 잘 확장되지 않는다. 가능한 가장 간단한 확장은 그러한 적분을 한계, 즉 부적절한 적분으로 정의하는 것이다.

${\displaystyle \int _{-\infit _{-\inf(x)\,dx=\lim_{a\to \inft b\to \inft \int_{a}^{b}f(x)\,dx.}$

이 정의는 그것이 항상 Cauchy 기본값을 계산하는 것과 동등하지 않다는 사실과 같은 몇 가지 미묘한 점을 수반한다.

${\displaystyle \lim_{a\to \infit }\int_{-a}^{a(x)\,dx.}$

예를 들어 기호 함수 f(x) = sgn(x)은 0으로, x = 0의 경우 1, x < 0의 경우 -1로 간주한다. 대칭에 의해

${\displaystyle \int _{-a}^{a(x)\,dx=0}$

a에 관계없이 항상 그러나 실제 선을 채우기 위해 통합의 간격이 확장되는 방법에는 여러 가지가 있으며, 다른 방법으로는 다른 결과를 산출할 수 있다. 즉, 다변량 한계가 항상 존재하는 것은 아니다. 우리는 계산할 수 있다.

${\displaystyle {\regated}\int _{-a}^{2a(x)\,dx&=a,\\int _{-2a}^{a}f(x)\,dx&=-a.\end{정렬}}}$

일반적으로 이 부적절한 리만 적분은 정의되지 않았다. 간격이 실제 선에 접근하는 방법을 표준화해도 방해할 정도로 직관에 반하는 결과를 초래하기 때문에 효과가 없다. 만약 우리가 (예를 들어) 부적절한 통합은 항상 다음과 같아야 한다는 것에 동의한다면

${\displaystyle \lim_{a\to \infit }\int_{-a}^{a(x)\,dx,}$

그러면 번역 f(x - 1)의 적분은 -2이므로 이 정의는 교대조에서 불변하는 것이 아니며, 매우 바람직하지 않은 속성이다. 사실, 이 기능은 부적절한 리만 적분을 가지고 있지 않을 뿐만 아니라, 르베그 적분 또한 정의되지 않았다(이것은 ∞ - ∞과 같다).

불행하게도, 부적절한 리만 적분은 충분히 강력하지 않다. 가장 심각한 문제는 기능의 한계와 함께 부적절한 리만 통합을 통근하는 데 광범위하게 적용할 수 있는 이론이 없다는 점이다. 푸리에 시리즈와 같은 응용 프로그램에서는 함수에 대한 근사치의 통합을 사용하여 함수의 정수 근사치를 구할 수 있는 것이 중요하다. 적절한 리만 통합의 경우, 표준 정리는 만약_n f가 콤팩트 세트[a, b]에서 f에 균일하게 수렴되는 함수의 순서라면, 그 다음이라고 기술한다.

${\displaystyle \lim _{n\to \infit }\int _{a}^{b}f_{n}(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

실제 선과 같은 비-컴팩트 간격에서 이것은 거짓이다. 예를_n 들어, [0, n] 및 0에서 f(x)를 n으로⁻¹ 한다. N개 제품 모두:

${\displaystyle \int _{-\infit }^{\f_{n}\,dx=1.}$

수열(f_n)은 0함수로 균일하게 수렴되며, 영함수의 적분은 0임이 분명하다. 결과적으로,

${\displaystyle \int _{-\infit _{-\inf\}^{n\f\}\\\int_{-\infit \int_{-\f_{n}\,dx.}}$

이것은 무한 간격의 통합에 대해 함수의 균일한 수렴이 적분 부호를 통해 한계를 통과할 수 있을 만큼 충분히 강하지 않음을 보여준다. 이는 한계와 리만 적분을 교환하는 다른 일반 기준이 없기 때문에 리만 적분은 애플리케이션에서 작동할 수 없게 하고(리만 적분은 양쪽에 정확한 값을 할당함에도 불구하고), 그러한 기준이 없으면 적분량을 근사하여 적분량을 추정하기 어렵다.

더 좋은 길은 레베그 적분을 위해 리만 적분을 버리는 것이다. 르베그 적분(Lebesgue integrated)의 정의는 분명히 리만 적분(integrated)의 일반화는 아니지만, 모든 리만 적분(integrated) 기능이 르베그 적분(rebesgue)을 통합할 수 있고, 두 적분(integrated)의 값이 모두 정의될 때마다 일치한다는 것을 증명하는 것은 어렵지 않다. 더욱이 경계 구간에서 정의된 함수 f는 경계와 f가 불연속적인 지점 집합이 르베그 0을 측정하는 경우에만 리만 통합이 가능하다.

사실 리만 적분을 직접 일반화한 적분은 Henstock-Kurzweil 적분이다.

Riemann 적분을 일반화하는 또 다른 방법은 Riemann_{k + 1k} 합계의 요인 x - x를 다른 것으로 대체하는 것이다. 대략적으로, 이것은 통합의 간격에 다른 길이의 개념을 제공한다. 이것은 리만-스티엘트제스 일체형이 취한 접근법이다.

다변량 미적분학에서 R ${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$부터 \mathb {R$}}}}$까지의 함수에 대한 리만 통합은 다중 통합이다.

다른 통합 이론과 비교

리만 적분은 많은 이론적 목적에 적합하지 않다. 리만 통합의 기술적 결함 중 일부는 리만-스티엘트제스 통합으로 해결할 수 있으며, 대부분은 르베그 통합과 함께 사라진다. 비록 후자는 부적절한 통합에 대한 만족스러운 처리를 하지 못하지만 말이다. 게이지 적분은 리만 적분에 한 번에 더 가까운 르베그 적분의 일반화다. 이러한 보다 일반적인 이론들은 리만 적분이 존재하지 않는 더 많은 "잡음" 또는 "고진동" 함수의 통합을 허용하지만, 그 이론들은 리만 적분이 존재할 때 리만 적분과 동일한 가치를 제공한다.

교육 환경에서 Darboux 적분은 리만 적분을 도입하는 데 사용할 수 있는 보다 간단한 정의를 제공한다. Darboux 적분은 리만 적분이 될 때마다 정의되며, 항상 동일한 결과를 제공한다. 반대로 게이지 적분은 간단하지만 더욱 강력한 리만 적분이며, 일부 교육자들은 리만 적분을 대체해야 한다고 주장하게 되었다.^[13]

참고 항목

• 면적
• 해독제
• 르베그 통합

메모들

참조

• 샤일로프, G. E., 구레비치, B. L., 1978. 통합, 측정 및 파생 모델: 통합된 접근방식, Richard A. 실버맨, 트랜스. 도버 퍼블리셔스. ISBN 0-486-63519-8
• Apostol, Tom (1974), Mathematical Analysis, Addison-Wesley

외부 링크

• Wikimedia Commons에 통합된 Riemann과 관련된 미디어
• "Riemann integral", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]