G/M/1 큐

큐잉 이론에서 G/M/1 큐는 확률의 수학적 이론에서 도착간 시간이 일반(임의) 분포를 가지며 각 작업에 대한 서비스 시간이 지수 ^[1]분포를 갖는 시스템에서의 큐 길이를 나타낸다.시스템은 Kendall 표기법으로 설명되며 G는 일반 분포를 나타내고 M은 서비스 시간에 대한 지수 분포를 나타내며 1은 모델이 단일 서버를 가지고 있습니다.

G/M/1 대기열의 도착은 갱신 프로세스에 의해 제공됩니다.이는 M/M/1 큐의 확장으로, 이 갱신 프로세스는 특히 포아송 프로세스여야 합니다(도착 간 시간이 지수 분포를 가지도록 함).

이 타입의 모델은 Ramaswami와 Bright의 ^[2]두 가지 M/G/1 큐 듀얼 시스템 중 하나를 고려해 해결할 수 있습니다.

도착 시각의 큐사이즈

$(X_{t},t\geq 0)$ $(X_{t},t\geq 0)$ , $(X_{t},t\geq 0)$ 0 ) $(X_{t},t\geq 0)$ { $displaystyle$ ( X $_$ { $t$ , $t$ \ $geq$ 0 ) be $(X_{t},t\geq 0)$ 、 G $G/M(\mu )/1$ / $G/M(\mu )/1$ ( $G/M(\mu )/1$ ) / $G/M(\mu )/1$ ( \ $display style G$ / $M$ ( \ mu ) $G/M(\mu )/1$ / 1 ) $G/M(\mu )/1$ 로 $G/M(\mu )/1$ 하고, 도착 $(A_{n},n\in \mathbb {N} )$ 은 $(A_{n},n\in \mathbb {N} )$ ( $(A_{n},n\in \mathbb {N} )$ , $(A_{n},n\in \mathbb {N} )$ N $(A_{n},n\in \mathbb {N} )$ ) { $display$ style ( A $_ n$ , n , $n$ , $in$ \ $mathbbb$ { n $}$ ) } ) } 입니다 $(A_{n},n\in \mathbb {N} )$ . $U_{n}=X_{A_{n}-}$ n $U_{n}=X_{A_{n}-}$ $U_{n}=X_{A_{n}-}$ A $U_{n}=X_{A_{n}-}$ - $U_{n}=X_{A_{n}-}$ \ $displaystyle U_{n$ } = $X_{$ $U_{n}=X_{A_{n}-}$ 로 n번째 도착 직전에 큐의 크기를 정의합니다. $A_{n$ 이것은 확률행렬을 갖는 이산시간 마르코프 연쇄이다.

$P={\begin{pmatrix}1-a_{0}&, a_{0}&, 0&, 0&, 0&, \cdots \\1-(a_{0}일 경우 +a_{1})&, a_{1}&, a_{0}&, 0&, 0&, \cdots \\1-(a_{0}일 경우 +a_{1}+a_{2})&, a_{2}&, a_{1}&, a_{0}&, 0&, \cdots \\1-(a_{0}일 경우 +a_{1}+a_{2}+a_{3})&, a_{3}&, a_{2}&, a_{1}&, a_{0}&, \cdots \\\vdots, \vdots, \vdots & &, \vdots &, \vdots &. &\ddots \end{pmatrix}}$

$a_{v}=\mathbb {E} ({\frac {(\mu X)^{v}e^{-\mu A}}{v!}})$ 서 a $a_{v}=\mathbb {E} ({\frac {(\mu X)^{v}e^{-\mu A}}{v!}})$ $=$ ( ( $a_{v}=\mathbb {E} ({\frac {(\mu X)^{v}e^{-\mu A}}{v!}})$ X ) $a_{v}=\mathbb {E} ({\frac {(\mu X)^{v}e^{-\mu A}}{v!}})$ - $a_{v}=\mathbb {E} ({\frac {(\mu X)^{v}e^{-\mu A}}{v!}})$ $a_{v}=\mathbb {E} ({\frac {(\mu X)^{v}e^{-\mu A}}{v!}})$ v $a_{v}=\mathbb {E} ({\frac {(\mu X)^{v}e^{-\mu A}}{v!}})$ ! $a_{v}=\mathbb {E} ({\frac {(\mu X)^{v}e^{-\mu A}}{v!}})$ ) { $displaystyle a_{v$ }=\ $mathbb {E}({\frac$ {\ $mu$ X $)^{v}e$ ^{-\ $mu$ A $}}}{v!$ $a_{v}=\mathbb {E} ({\frac {(\mu X)^{v}e^{-\mu A}}{v!}})$ ^[3]^{: 427–428}

마르코프 $U_{n}$ $U_{n}$ { $displaystyle$ $U_{n}$ 은 $U_{n}$ $\rho =(\mu \mathbb {E} (A))^{-1}$ 트래픽 $\rho =(\mu \mathbb {E} (A))^{-1}$ $\rho =(\mu \mathbb {E} (A))^{-1}$ ( $\rho =(\mu \mathbb {E} (A))^{-1}$ E $\rho =(\mu \mathbb {E} (A))^{-1}$ - $\rho =(\mu \mathbb {E} (A))^{-1}$ (\ $displaystyle \rho$ = (\ $mu \mathbb {E}$ ( $A)^{-1})$ 이면 정상 분포를 가지며, 이 경우 고유 분포는 $\$ ta $\eta$ 의 $\eta$ 기하 $분포$ 입니다.ilure. $\eta$ 서 ${\$ { $displaystyle$ \eta $\eta$ }는 $\eta$ $\mathbb {E} (\exp(\mu (\eta -1)A))$ $\mathbb {E} (\exp(\mu (\eta -1)A))$ $\mathbb {E} (\exp(\mu (\eta -1)A))$ μ ( $\mathbb {E} (\exp(\mu (\eta -1)A))$ - $\mathbb {E} (\exp(\mu (\eta -1)A))$ ) $){$ $displaystyle \mathbb$ { $E }$ ( \ $exp$ ( \ mu ( \ $eta$ - 1) A $\mathbb {E} (\exp(\mu (\eta -1)A))$ ) $\mathbb {E} (\exp(\mu (\eta -1)A))$ ^[3]^{: 428}）。

이 경우 큐가 First-In First-Out(FIFO; 선입선출)이라고 가정하면 고객의 대기시간 W는 다음과 ^[3]^{: 430}같이 배분됩니다.

\displaystyle \mathbb {P}(W\leq x)=1-\eta \expa\mu(1-\eta)x~{\text{ for }x\geq 0}

바쁜 기간

비지 기간은 크리스마스 트리 ^[4]변환에 의해 생성된 G/M/1 모델과 M/G/1 큐 사이의 이중성을 사용하여 계산할 수 있습니다.

응답시간

응답 시간은 작업이 도착한 순간부터 시스템을 떠날 때까지 시스템에서 보내는 시간입니다.평균 응답 시간에 대한 일관되고 점근적으로 정규적인 추정기를 경험적 라플라스 ^[5]변환의 고정점으로 계산할 수 있습니다.

레퍼런스

^ Adan, I.; Boxma, O.; Perry, D. (2005). "The G/M/1 queue revisited" (PDF). Mathematical Methods of Operations Research. 62 (3): 437. doi:10.1007/s00186-005-0032-6.
^ Taylor, P. G.; Van Houdt, B. (2010). "On the dual relationship between Markov chains of GI/M/1 and M/G/1 type" (PDF). Advances in Applied Probability. 42: 210. doi:10.1239/aap/1269611150.
^ ^a ^b ^c Grimmett, G. R.; Stirzaker, D. R. (1992). Probability and Random Processes (second ed.). Oxford University Press. ISBN 0198572220.
^ Perry, D.; Stadje, W.; Zacks, S. (2000). "Busy period analysis for M/G/1 and G/M/1 type queues with restricted accessibility". Operations Research Letters. 27 (4): 163. doi:10.1016/S0167-6377(00)00043-2.
^ Chu, Y. K.; Ke, J. C. (2007). "Interval estimation of mean response time for a G/M/1 queueing system: Empirical Laplace function approach". Mathematical Methods in the Applied Sciences. 30 (6): 707. doi:10.1002/mma.806.

[adan2005-1] Adan, I.; Boxma, O.; Perry, D. (2005). "The G/M/1 queue revisited" (PDF). Mathematical Methods of Operations Research. 62 (3): 437. doi:10.1007/s00186-005-0032-6.

[2] Taylor, P. G.; Van Houdt, B. (2010). "On the dual relationship between Markov chains of GI/M/1 and M/G/1 type" (PDF). Advances in Applied Probability. 42: 210. doi:10.1239/aap/1269611150.

[Grimmett&Stirzaker-3] Grimmett, G. R.; Stirzaker, D. R. (1992). Probability and Random Processes (second ed.). Oxford University Press. ISBN 0198572220.

[4] Perry, D.; Stadje, W.; Zacks, S. (2000). "Busy period analysis for M/G/1 and G/M/1 type queues with restricted accessibility". Operations Research Letters. 27 (4): 163. doi:10.1016/S0167-6377(00)00043-2.

[5] Chu, Y. K.; Ke, J. C. (2007). "Interval estimation of mean response time for a G/M/1 queueing system: Empirical Laplace function approach". Mathematical Methods in the Applied Sciences. 30 (6): 707. doi:10.1002/mma.806.

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v t 큐잉 이론
단일 큐잉 노드	D/M/1 큐 M/D/1 큐 M/D/C 큐 M/M/1 큐 버크의 정리 M/M/c 큐 M/M/오브로드 큐 M/G/1 큐 폴라체크-킨차인 공식 매트릭스 분석법 M/G/k 큐 G/M/1 큐 G/G/1 큐 킹맨 공식 린들리 방정식 포크 결합 큐 벌크 큐
도착 프로세스	포아송 점 과정 마르코프 도착 과정 합리적인 도착 과정
네트워크 큐잉	잭슨 네트워크 트래픽 방정식 고든-뉴엘 정리 평균값 분석 부젠 알고리즘 켈리 네트워크 G네트워크 BCMP 네트워크
서비스 정책	선입선출 라이프 프로세서 공유 라운드 로빈 최단 시간 작업 최단 남은 시간
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