BCMP 네트워크

큐잉 이론에서, 확률의 수학적 이론 내의 한 분야인 BCMP 네트워크는 제품 형태의 평형 분포가 존재하는 큐잉 네트워크의 클래스이다.네트워크가 최초로 기술된 문서의 저자의 이름을 따서 명명되었습니다.바스켓, 샹디, 문츠, 팔라시오.이 정리는 Jackson 네트워크의 중요한 확장으로 특정 서비스 ^[1]규율에 따라 사실상 임의의 고객 라우팅 및 서비스 시간 분배를 가능하게 합니다.

그 논문은 잘 알려져 있고, 이 정리는 1990년에 J. 마이클 해리슨과 루스 J.^[2] 윌리엄스에 의해 "지난 20년 동안 큐잉 이론의 중요한 업적 중 하나"라고 묘사되었다.

BCMP 네트워크의 정의

각 큐가 다음 4가지 유형 중 하나일 경우 상호 연결된m 큐의 네트워크는 BCMP 네트워크라고 불립니다.

1. 모든 고객이 동일한 마이너스 지수 서비스 시간 분포를 갖는 FCFS 규율.서비스 레이트는 상태에 따라 달라질 수 있으므로 큐 길이가 j일 경우 서비스 레이트에 대해 ${\displaystyle {\mu }_{}}$j \$displaystyle \scriptstyle \mu$ _${j}}$로 $입력$합니다.
2. 프로세서 공유 큐
3. 무한 확장 서버 큐
4. 프리엠프티브 재개 LCFS(작업이 손실되지 않음)

마지막 3가지 경우 서비스 시간 분포에는 합리적인 Laplace 변환이 필요합니다.즉, Laplace 변환은 다음 형식이어야^[3] 합니다.

${\displaystyle L(s)=vsfrac {N(s)}{D(s)}}.}$

또한 다음 조건이 충족되어야 합니다.

1. 노드 i(있는 경우)에 대한 외부 도착이 포아송 프로세스를 형성한다.
2. 큐에서 서비스를 완료하신 고객님은 ($확률{\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle {\mathrm{Pi}}_{}}$ j$($)의 새로운 큐 j({$displaystyle$ $P_{ij})$로 이동하시거나, 일부 큐의 서브셋에서는 0이 아닌 $확률{\displaystyle \mathrm{}}$1 -$$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{j}}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{Pi}}_{}}$j(\displaystyle $1-sum$ _${j=1$}^{$m} P_{ij$로 시스템을 종료합니다.

정리

각 큐가 타입 1, 2, 3, 4인 개방, 폐쇄 또는 혼합된m 큐의 BCMP 네트워크의 경우 평형 상태 확률은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \pi(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m})=C\pi _{1}(x_{1})\pi _{2}(x_{2})\cdots \pi _{m}(x_{m}),}$

여기서 C는 평형 상태 확률을 1로 하기 위해 선택한 정규화 상수이고, ${\displaystyle i_{}}$i ( ${\displaystyle )}$) { $displaystyle \scriptstyle \pi$ _${i}(cdot$)}는$$ 큐 i의 평형 분포를 나타냅니다.

증명

이 정리의 원증명서는 독립적 균형 방정식이 충족되었는지 확인함으로써 제시되었다.

Peter G. Harrison은 반대의 과정을 ^[5]고려함으로써 다른 증거를 제시했다^[4].

레퍼런스