혼잡한 트래픽의 근사치

큐잉 이론에서, 확률의 수학적 이론, 헤비 트래픽 근사(때로는 헤비 트래픽 한계^[1] 정리 또는 확산 근사) 내의 규율은 모델의 매개변수에 대한 일부 제한 조건 하에서 확산 과정과 큐잉 모델을 일치시키는 것입니다.첫 번째 결과는 M/M/1 큐의 활용 매개변수가 1에 가까울 때 큐 길이 프로세스의 축소 버전을 반사된 브라운 운동에 ^[2]의해 정확하게 추정할 수 있다는 것을 보여준 John Kingman에 의해 발표되었다.

교통량이 많은 상태

통상은, 시각 t시의 시스템내의 고객수를 나타내는 프로세스 X(t)에 대해서, 대량의 트래픽의 근사치가 기술됩니다.그것들은 일부 모델 매개변수의 제한 값 하에서 모델을 고려함으로써 도달되며, 따라서 결과가 유한하기 위해서는 모델이 다음과 같은 계수 n에 의해 재스케일링되어야 한다^[3]^{: 490}.

{X}_{n}(t)=param frac {X(nt)-\mathbb {E}(X(nt)}}}}}, {\sqrt {n}}

이 공정의 한계는 n → ∞로 간주됩니다.

그러한 근사치가 일반적으로 고려되는 체제에는 세 가지 클래스가 있다.

서버의 수는 고정되어 트래픽 강도(사용률)가 1(아래부터)로 증가합니다.큐 길이 근사치는 브라운 운동 ^[4]^[5]^[6]반영입니다.
트래픽 강도가 고정되고 서버 수와 도착률이 무한대로 증가합니다.여기서 큐 길이 제한은 정규 ^[7]^[8]^[9]분포로 수렴됩니다.
β는 다음과 같이 고정된다.

{\displaystyle\displaystyle=(1-\rho){\displayrt {s}}

「」는 트래픽의 강도를 나타내고, 「」는 서버의 수를 나타냅니다.트래픽 강도 및 서버 수가 무한대로 증가하며 제한 프로세스는 위의 결과를 혼합한 것입니다.Halfin과 Whitt에 의해 처음 출판된 이 사례는 종종 Halfin-으로 알려져 있다.Whitt^[1]^[10]^[11] 체제 또는 QED(^[12]품질 및 효율성 중심) 체제.

G/G/1 큐의 결과

정리 ^[13]1j $\displaystyle$ j에 $의해$ 색인화된 일련의 G/G/1 큐에 대해 검토합니다.
$큐$ j {\ $displaystyle$ t_ ${j$ $}$ 에 $j$ $T_{j}$ $T_{j}$ $S_{j}$ { $displaystyle T_$ {j}}를 지정하면, S j { $displaystyle S_{j}}$ 는 $S_j$ 랜덤한 서비스 시간을 $\rho _{j}={\frac {\lambda _{j}}{\mu _{j}}}$ . $\rho _{j}={\frac {\lambda _{j}}{\mu _{j}}}$ 서 j $\rho _{j}={\frac {\lambda _{j}}{\mu _{j}}}$ $\rho _{j}={\frac {\lambda _{j}}{\mu _{j}}}$ $\rho _{j}={\frac {\lambda _{j}}{\mu _{j}}}$ j { $displaystyle$ \ $rho _{$ j} ${\frac {1}{\lambda _{j}}}=E(T_{j})$ $frac {displaydisplaystyle$ } { $j$ {\ $mu$ }}는 트래픽 ${\frac {1}{\lambda _{j}}}=E(T_{j})$ 를 ${\frac {1}{\lambda _{j}}}=E(T_{j})$ . ${\frac {1}{\lambda _{j}}}=E(T_{j})$ j $)({displaystyle {1}$ {\ $displayda$ _ ${j}}=E(T_{j})$ ${\frac {1}{\mu _{j}}}=E(S_{j})$ ${\frac {1}{\mu _{j}}}=E(S_{j})$ j ${\frac {1}{\mu _{j}}}=E(S_{j})$ ( $Sj){displaystyle {1}{j$ }= $E(S_{j$ W $,$ j { $displaystyle W_{j})$ 가 대기하는 $W_{q,j}$ 시간을 $W_{q,j}$ . $j}-T_{j}}$ $\beta _{j}^{2}=\operatorname {var} [S_{j}-T_{j}];$ $\beta _{j}^{2}=\operatorname {var} [S_{j}-T_{j}];$ $\beta _{j}^{2}=\operatorname {var} [S_{j}-T_{j}];$ 2 $=$ $\beta _{j}^{2}=\operatorname {var} [S_{j}-T_{j}];$ $\beta _{j}^{2}=\operatorname {var} [S_{j}-T_{j}];$ [ $\beta _{j}^{2}=\operatorname {var} [S_{j}-T_{j}];$ - $\beta _{j}^{2}=\operatorname {var} [S_{j}-T_{j}];$ $\beta _{j}^{2}=\operatorname {var} [S_{j}-T_{j}];$ ; { $displaystyle \time$ _ ${j}^{2$ }=\ $operatorname {var}$ [ $S_{j}-T_{j};};$

$T_{j}{\xrightarrow {d}}T$ j $T_{j}{\xrightarrow {d}}T$ $T_{j}{\xrightarrow {d}}T$ T $_$ { $j$ } { \ x $rightarrow$ { d } $T$ 、 $S_{j}{\xrightarrow {d}}S$ $S_{j}{\xrightarrow {d}}S$ $S_{j}{\xrightarrow {d}}S$ { $displaystyle$ S _ { \ $x rightarrow$ { $d} S$ } then then then then then then then then then then $\rho _{j}\rightarrow 1$ j $\rho _{j}\rightarrow 1$ 1 { $displaystyle \rho$ _ $j$ } \ $rightarrow$ 1 $\rho _{j}\rightarrow 1$ $T_{j}{\xrightarrow {d}}T$ then then then then1 。

({displaystyle {2\alpha _{j}}{\displaystyle _{j}^{2}})W_{q,j}{\xright 화살표 {d}}\exp(1)}

다음과 같은 경우:

( $\operatorname {Var} [S-T]>0$ ) Var $\operatorname {Var} [S-T]>0$ [ $\operatorname {Var} [S-T]>0$ - $\operatorname {Var} [S-T]>0$ ]> $\operatorname {Var} [S-T]>0$ \ $displaystyle \operatorname { Var$ } [ S - T ]> $0$ }

(b) $>$ $(\displaystyle \delta$ $E[S_{j}^{2+\delta }]$ $\delta >0$ $),$ $E[S_{j}^{2+\delta }]$ $E[T_{j}^{2+\delta }]$ $S_{j}^{2$ +\ $delta}(\$ $displaystyle$ $E[T_{j}^{2+\delta }]$ 의 $E[S_{j}^{{2+\delta }}]$ $E[T_{j}^{{2+\delta }}]$ 경우 모두 $C스타일$ 보다 $C$ 하지 않습니다.

휴리스틱한 주장

큐 대기 시간

$W_{q}^{(n)}$ $U^{(n)}=S^{(n)}-T^{(n)}$ ( $U^{(n)}=S^{(n)}-T^{(n)}$ ) $U^{(n)}=S^{(n)}-T^{(n)}$ $W_{q}^{(n)}$ ( $U^{(n)}=S^{(n)}-T^{(n)}$ ) - $U^{(n)}=S^{(n)}-T^{(n)}$ T ( $U^{(n)}=S^{(n)}-T^{(n)}$ $){$ $displaystyle$ U $^{$ ( n ) = $S^{$ ( n ) } - $T^{$ $( n$ ) $W_{q}^{(n)}$ } $W_{q}^{(n)}$ Q ( n )를 n번째 $W_{q}^{(n)}$ 대기시간으로 $합니다$ .

그리고 정의상:

W_{q}^{(n)}=\max(W_{q}^{(n-1)}+U^{(n-1)},0)

재귀 계산 후 다음과 같이 계산됩니다.

\displaystyle W_{q}^{(n)}=\max(U^{(1)}+\cdots +U^{(n-1)}, U^{(2)}+\cdots +U^{(n-1)},\ldots,U^{(n-1)}}

랜덤 워크

$P^{(k)}=\sum _{i=1}^{k}U^{(n-i)}$ ( $k$ $P^{(k)}=\sum _{i=1}^{k}U^{(n-i)}$ ) $P^{(k)}=\sum _{i=1}^{k}U^{(n-i)}$ $P^{(k)}=\sum _{i=1}^{k}U^{(n-i)}$ i $P^{(k)}=\sum _{i=1}^{k}U^{(n-i)}$ $P^{(k)}=\sum _{i=1}^{k}U^{(n-i)}$ k $P^{(k)}=\sum _{i=1}^{k}U^{(n-i)}$ ( $P^{(k)}=\sum _{i=1}^{k}U^{(n-i)}$ - $P^{(k)}=\sum _{i=1}^{k}U^{(n-i)}$ ) { $displaystyle$ P^{ ( k ) = \ $sum$ _ { i $U^{(i)}$ $=1}^{$ ( n - $P^{(k)}=\sum _{i=1}^{k}U^{(n-i)}$ i ) $U$ $^{$ ( n - i $U^{(i)}$ ) } $P^{(k)}=\sum _{i=1}^{k}U^{(n-i)}$ $U^{(i)}$ 、 i . d ; $\alpha =-E[U^{(i)}]$ $\alpha =-E[U^{(i)}]$ e - $display$ ( ) $。$

그리고 우리는

E[P^{(k)}]=-k\alpha

\operatorname {var} [P^{(k)}]=k\beta^{2}

W_{q}^{(n)}=\max_{n-1\geq k\geq 0}P^{(k)};

$W_{q}^{(\infty )}=\sup _{k\geq 0}P^{(k)}$ ( $W_{q}^{(\infty )}=\sup _{k\geq 0}P^{(k)}$ ) ) $=$ $W_{q}^{(\infty )}=\sup _{k\geq 0}P^{(k)}$ k $W_{q}^{(\infty )}=\sup _{k\geq 0}P^{(k)}$ P ( $W_{q}^{(\infty )}=\sup _{k\geq 0}P^{(k)}$ k $){$ $displaystyle$ $W_{q$ }^{( $infty$ )}=\ $sup$ _ { $k\geq$ 0 $}P^{(k)}}$ 을 $W_{q}^{{(\infty )}}=\sup _{{k\geq 0}}P^{{(k)}}$ $얻습니다$ .

부정적인 흐름을 따른 랜덤 워크의 n고객 Wq({\displaystyle W_{q}^{(n)}}의 큐에 있는 시간은 상한.

브라운 운동 근사

는 점프는 점프 접근 0사이의 접근 0와 시대의 판형 무작위 행보는 브라운 운동들과 가까울 수 있다.

우리는 P(0)0{\displaystyle P^{(0)}=0 초기 조향 순간}와 P({\displaystyle P^{(k)}}과 문구 독립적인 증가도 있습니다.언제 교통 강도 ρ{\displaystyle \rho}접근법 1이고, k{k\displaystyle}{\infty\displaystyle}∞는 경향이 있은 후 지속적인 값으로 k{k\displaystyle}교체 우리는 P(t)∼ N(−α지 마, β 2t){\displaystyle P^{(t)}\ \sim)\mathbb{N}(-\alphat,\beta ^{2}t)}이 있기 {\displaystyle지}기능 중심 극한 정리에 따르면.[14]:110 그러므로 n{n\displaystyle}번째 고객의 큐에 대기 시간이 부정적인 흐름을 따른 브라운 운동의 상한 결합하열 수 있다.

최소 상계 브라운 운동의

정리 2.[15]:130 드리프트 μ과 표준 편차{\displaystyle \sigma}원점에서 시작하여 σ{\displaystyle \mu}과 X{X\displaystyle} 브라운 운동은 M과 몸 상태를 하자=저녁밥을 먹다 0≤ s(tX(s){\displaystyle M_{t}=\sup _ᆮX(s)}.

$\mu \leq 0$ μ $\mu \leq 0$ 0 { $displaystyle \ mu$ \ $leq$ 0 $\mu \leq 0$ }

\lim _{t} \infty }P(M_{t}>x)=\exp(2\mu x/\display ^{2}),x\geq 0;

그렇지않으면

\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }P(M_{t}\geq x)=1,x\geq 0.}

결론

W_{q}^{(\infty )}\thicksim \exp \left({\frac {2\alpha }{\beta ^{2}}}\right)

q (

W_{q}^{(\infty )}\thicksim \exp \left({\frac {2\alpha }{\beta ^{2}}}\right)

) ~ exp

W_{q}^{(\infty )}\thicksim \exp \left({\frac {2\alpha }{\beta ^{2}}}\right)

(

W_{q}^{(\infty )}\thicksim \exp \left({\frac {2\alpha }{\beta ^{2}}}\right)

W_{q}^{(\infty )}\thicksim \exp \left({\frac {2\alpha }{\beta ^{2}}}\right)

2

){

displaystyle W

_ {

q

}^{ \

infty

}\

thicksim \exp \left

( { \

frac { 2

\

alpha

} { \

beta

^ {2

}

} \

right

)

따라서, 헤비 트래픽 제한 정리(Theorem 1)는 휴리스틱하게 주장됩니다.형식적인 증명은 보통 특징적인 ^[4]^[16]기능을 수반하는 다른 접근방식을 따른다.

예

착신 레이트가 $\lambda$ {\ $displaystyle \displayda$ 인 M/G/1 큐, 서비스 $E[S]={\frac {1}{\mu }}$ E $E[S]={\frac {1}{\mu }}$ $E[S]={\frac {1}{\mu }}$ $(\$ E $[$ $S$ $\operatorname {var} [S]=\sigma _{B}^{2}$ 1μ(\ $displayfrac {$ 1 $}$ {\mu $E[S]={\frac {1}{\mu }}$ 및 $\operatorname {var} [S]=\sigma _{B}^{2}$ 시간 $=$ $B2(\$ displaystyle $\operatorn)$ 의 차이를 생각할 수 있습니다 $.$ dy 상태?

정상 상태 큐의 정확한 평균 대기 시간은 다음과 같습니다.

({displaystyle W_{q}=blac {rho ^{2}+\blambda ^{2}\blambda(1-\rho)}}

대응하는 대량의 트래픽의 근사치:

W_{q}^{(H)}=flac {1}{\flac ^{2}}+\flac _{B}^2}}{2(1-\rho)}}}.

헤비 트래픽 근사치의 상대 오차:

{W_{q}^{W_{q}}}=flac {1-\rho ^{2} {\rho ^{2}+\flashda ^{B}^2}}}

$\rho \rightarrow 1$ $\rho \rightarrow 1$ $(\displaystyle\rho\right$ 화살표 1 $)$ 일 $\rho \rightarrow 1$ 때 다음과 같이 됩니다.

{W_{q}^{(H)}-W_{q}{W_{q}}\오른쪽 화살표 0.

외부 링크

세르게이 포스의 G/G/1 큐

레퍼런스

^ ^a ^b Halfin, S.; Whitt, W. (1981). "Heavy-Traffic Limits for Queues with Many Exponential Servers" (PDF). Operations Research. 29 (3): 567. doi:10.1287/opre.29.3.567.
^ Kingman, J. F. C.; Atiyah (October 1961). "The single server queue in heavy traffic". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 57 (4): 902. Bibcode:1961PCPS...57..902K. doi:10.1017/S0305004100036094. JSTOR 2984229.
^ Gautam, Natarajan (2012). Analysis of Queues: Methods and Applications. CRC Press. ISBN 9781439806586.
^ ^a ^b Kingman, J. F. C. (1962). "On Queues in Heavy Traffic". Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological). 24 (2): 383–392. doi:10.1111/j.2517-6161.1962.tb00465.x. JSTOR 2984229.
^ Iglehart, Donald L.; Ward, Whitt (1970). "Multiple Channel Queues in Heavy Traffic. II: Sequences, Networks, and Batches" (PDF). Advances in Applied Probability. 2 (2): 355–369. doi:10.2307/1426324. JSTOR 1426324. Retrieved 30 Nov 2012.
^ Köllerström, Julian (1974). "Heavy Traffic Theory for Queues with Several Servers. I". Journal of Applied Probability. 11 (3): 544–552. doi:10.2307/3212698. JSTOR 3212698.
^ Iglehart, Donald L. (1965). "Limiting Diffusion Approximations for the Many Server Queue and the Repairman Problem". Journal of Applied Probability. 2 (2): 429–441. doi:10.2307/3212203. JSTOR 3212203.
^ Borovkov, A. A. (1967). "On limit laws for service processes in multi-channel systems". Siberian Mathematical Journal. 8 (5): 746–763. doi:10.1007/BF01040651.
^ Iglehart, Donald L. (1973). "Weak Convergence in Queueing Theory". Advances in Applied Probability. 5 (3): 570–594. doi:10.2307/1425835. JSTOR 1425835.
^ Puhalskii, A. A.; Reiman, M. I. (2000). "The multiclass GI/PH/N queue in the Halfin-Whitt regime". Advances in Applied Probability. 32 (2): 564. doi:10.1239/aap/1013540179.
^ Reed, J. (2009). "The G/GI/N queue in the Halfin–Whitt regime". The Annals of Applied Probability. 19 (6): 2211–2269. arXiv:0912.2837. doi:10.1214/09-AAP609.
^ Whitt, W. (2004). "Efficiency-Driven Heavy-Traffic Approximations for Many-Server Queues with Abandonments" (PDF). Management Science. 50 (10): 1449–1461. CiteSeerX 10.1.1.139.750. doi:10.1287/mnsc.1040.0279. JSTOR 30046186.
^ Gross, D.; Shortie, J. F.; Thompson, J. M.; Harris, C. M. (2013). "Bounds and Approximations". Fundamentals of Queueing Theory. pp. 329–368. doi:10.1002/9781118625651.ch7. ISBN 9781118625651.
^ Chen, H.; Yao, D. D. (2001). "Technical Desiderata". Fundamentals of Queueing Networks. Stochastic Modelling and Applied Probability. Vol. 46. pp. 97–124. doi:10.1007/978-1-4757-5301-1_5. ISBN 978-1-4419-2896-2.
^ Chen, H.; Yao, D. D. (2001). "Single-Station Queues". Fundamentals of Queueing Networks. Stochastic Modelling and Applied Probability. Vol. 46. pp. 125–158. doi:10.1007/978-1-4757-5301-1_6. ISBN 978-1-4419-2896-2.
^ Asmussen, S. R. (2003). "Steady-State Properties of GI/G/1". Applied Probability and Queues. Stochastic Modelling and Applied Probability. Vol. 51. pp. 266–301. doi:10.1007/0-387-21525-5_10. ISBN 978-0-387-00211-8.

[halfin-whitt-1] Halfin, S.; Whitt, W. (1981). "Heavy-Traffic Limits for Queues with Many Exponential Servers" (PDF). Operations Research. 29 (3): 567. doi:10.1287/opre.29.3.567.

[2] Kingman, J. F. C.; Atiyah (October 1961). "The single server queue in heavy traffic". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 57 (4): 902. Bibcode:1961PCPS...57..902K. doi:10.1017/S0305004100036094. JSTOR 2984229.

[gautam-3] Gautam, Natarajan (2012). Analysis of Queues: Methods and Applications. CRC Press. ISBN 9781439806586.

[On_Queues_in_Heavy_Traffic-4] Kingman, J. F. C. (1962). "On Queues in Heavy Traffic". Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological). 24 (2): 383–392. doi:10.1111/j.2517-6161.1962.tb00465.x. JSTOR 2984229.

[5] Iglehart, Donald L.; Ward, Whitt (1970). "Multiple Channel Queues in Heavy Traffic. II: Sequences, Networks, and Batches" (PDF). Advances in Applied Probability. 2 (2): 355–369. doi:10.2307/1426324. JSTOR 1426324. Retrieved 30 Nov 2012.

[6] Köllerström, Julian (1974). "Heavy Traffic Theory for Queues with Several Servers. I". Journal of Applied Probability. 11 (3): 544–552. doi:10.2307/3212698. JSTOR 3212698.

[7] Iglehart, Donald L. (1965). "Limiting Diffusion Approximations for the Many Server Queue and the Repairman Problem". Journal of Applied Probability. 2 (2): 429–441. doi:10.2307/3212203. JSTOR 3212203.

[8] Borovkov, A. A. (1967). "On limit laws for service processes in multi-channel systems". Siberian Mathematical Journal. 8 (5): 746–763. doi:10.1007/BF01040651.

[9] Iglehart, Donald L. (1973). "Weak Convergence in Queueing Theory". Advances in Applied Probability. 5 (3): 570–594. doi:10.2307/1425835. JSTOR 1425835.

[10] Puhalskii, A. A.; Reiman, M. I. (2000). "The multiclass GI/PH/N queue in the Halfin-Whitt regime". Advances in Applied Probability. 32 (2): 564. doi:10.1239/aap/1013540179.

[11] Reed, J. (2009). "The G/GI/N queue in the Halfin–Whitt regime". The Annals of Applied Probability. 19 (6): 2211–2269. arXiv:0912.2837. doi:10.1214/09-AAP609.

[12] Whitt, W. (2004). "Efficiency-Driven Heavy-Traffic Approximations for Many-Server Queues with Abandonments" (PDF). Management Science. 50 (10): 1449–1461. CiteSeerX 10.1.1.139.750. doi:10.1287/mnsc.1040.0279. JSTOR 30046186.

[13] Gross, D.; Shortie, J. F.; Thompson, J. M.; Harris, C. M. (2013). "Bounds and Approximations". Fundamentals of Queueing Theory. pp. 329–368. doi:10.1002/9781118625651.ch7. ISBN 9781118625651.

[14] Chen, H.; Yao, D. D. (2001). "Technical Desiderata". Fundamentals of Queueing Networks. Stochastic Modelling and Applied Probability. Vol. 46. pp. 97–124. doi:10.1007/978-1-4757-5301-1_5. ISBN 978-1-4419-2896-2.

[15] Chen, H.; Yao, D. D. (2001). "Single-Station Queues". Fundamentals of Queueing Networks. Stochastic Modelling and Applied Probability. Vol. 46. pp. 125–158. doi:10.1007/978-1-4757-5301-1_6. ISBN 978-1-4419-2896-2.

[16] Asmussen, S. R. (2003). "Steady-State Properties of GI/G/1". Applied Probability and Queues. Stochastic Modelling and Applied Probability. Vol. 51. pp. 266–301. doi:10.1007/0-387-21525-5_10. ISBN 978-0-387-00211-8.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[16]

v t 큐잉 이론
단일 큐잉 노드	D/M/1 큐 M/D/1 큐 M/D/C 큐 M/M/1 큐 버크의 정리 M/M/c 큐 M/M/오브로드 큐 M/G/1 큐 폴라체크-킨차인 공식 매트릭스 분석법 M/G/k 큐 G/M/1 큐 G/G/1 큐 킹맨 공식 린들리 방정식 포크 결합 큐 벌크 큐
도착 프로세스	포아송 점 과정 마르코프 도착 과정 합리적인 도착 과정
네트워크 큐잉	잭슨 네트워크 트래픽 방정식 고든-뉴엘 정리 평균값 분석 부젠 알고리즘 켈리 네트워크 G네트워크 BCMP 네트워크
서비스 정책	선입선출 라이프 프로세서 공유 라운드 로빈 최단 시간 작업 최단 남은 시간
주요 개념	연속 시간 마르코프 연쇄 켄달 표기법 리틀의 법칙 제품형태솔루션 균형 방정식 준가역성 흐름 등가 서버 방식 도착 정리 분해법 베네시법
한계 정리	유체 한계 평균장 이론 혼잡한 트래픽의 근사치 반사 브라운 운동
내선번호	유체 큐 레이어드 큐잉 네트워크 폴링 시스템 적대 큐잉 네트워크 손실 네트워크 재심 큐
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