배중법칙

논리학에서 제외중간의 법칙(또는 제외중간의 원칙)은 모든 명제에 대해 이 명제 또는 그 부정 중 하나가 ^[1][2]참이라고 말한다.그것은 모순의 법칙, 정체성의 법칙과 함께 소위 세 가지 생각의 법칙 중 하나이다.하지만, 논리 체계는 이러한 법칙들만을 기반으로 구축되지 않았고, 이 법칙들 중 어느 것도 모더스 포넨이나 드 모르간의 법칙과 같은 추론 규칙을 제공하지 않습니다.

라틴어 tertii exclusi에서는 제외된 제3자의 법칙(또는 원칙)으로도 알려져 있다.이 법칙의 또 다른 라틴어 명칭은 tertium non datur이다: "세 번째 [가능성]은 주어지지 않는다."그것은 동어법이다.

이 원리는 모든 명제가 참이거나 거짓이라는 이원론의 의미론적 원리와 혼동되어서는 안 된다.이원 원리는 항상 배제된 중간 법칙을 내포하고 있는 반면, 그 반대가 항상 참인 것은 아니다.흔히 인용되는 반례는 지금은 입증할 수 없지만 미래에 입증할 수 있는 진술들을 사용하여 이원성 원칙이 ^[3]실패했을 때 배제의 중간 법칙이 적용될 수 있음을 보여준다.

역사

아리스토텔레스

가장 먼저 알려진 공식은 ^[4]아리스토텔레스의 모순 원리에 대한 논의에서, 그는 두 개의 모순된 명제 중 하나는 참이고 다른 하나는 ^[5]거짓이라고 말한다.그는 또한 형이상학 책 3에 그것을 원칙이라고 기술하고, 모든 경우에 긍정과 ^[6]부정은 필요하며, 모순의 ^[7]두 부분 사이에 어떤 것도 있어야 한다는 것은 불가능하다고 말한다.

아리스토텔레스는 애매모호한 이름의 사용으로 인해 모호성이 발생할 수 있지만 사실 자체에는 존재할 수 없다고 썼다.

그렇다면, 만약 "남자"가 한 주제에 대한 어떤 것을 의미할 뿐만 아니라 하나의 의미를 갖는다면, "남자가 되는 것"이 정확히 "남자가 되지 않는 것"을 의미한다는 것은 불가능하다.…그리고 마치 우리가 "인간"이라고 부르는 사람과 다른 사람이 "인간"이라고 부르는 것처럼 같은 것이 될 수도 있고 아닐 수도 있다. 그러나 문제의 요점은 이것이 아니라, 같은 것이 동시에 사람이 될 수도 있고 사람이 될 수도 있느냐(물리학 4.4, W)이다., GBW 8, 525–526).

아리스토텔레스의 주장인 ~(P ~ ~P)와 같이 명제 논리로 쓰여질 "같은 것이 되는 것과 같지 않을 것"은 현대 논리학자들이 배제된 중간(P p ~P)의 법칙이라고 부를 수 있는 진술로, 아리스토텔레스의 주장의 부정의 분포가 그들을 동등하게 만든다.statement는 true와 false 모두이며, 후자의 경우 true 또는 false 중 하나를 요구합니다.

그러나 아리스토텔레스는 또한 "반대되는 것이 동시에 사실이어야 한다는 것은 불가능하기 때문에, 명백히 상반되는 것 또한 동시에 같은 것에 속할 수 없다"고 쓰고 있다.그리고 그는 "반대되는 것 사이에는 중간이 있을 수 없지만, 한 주제에 대해서는 어떤 술어도 긍정하거나 부정해야 한다"고 제안한다(제4권, 제7장, 페이지 531권).아리스토텔레스의 전통적인 논리에서, 이것은 제외된 중간, P ~ ~P의 법칙에 대한 놀랄 만큼 정확한 진술이다.

또한 해석론에서 아리스토텔레스는 해전에 대한 그의 논의에서 미래의 우발상황에 대한 배제의 법칙을 부정하는 것처럼 보인다.

라이프니츠

통상적인 형식인 "모든 판단은 참이거나 거짓이다"(각주 9)…(판 하이제노르트의 콜모고로프 페이지 421), 각주 9: "이것은 라이프니츠의 매우 단순한 공식이다(누보 에세, IV, 2 참조)"(ibid 421).

버트런드 러셀과 프린키피아 매스매티카

이 원리는 러셀과 화이트헤드에 의해 Principia Mathematica에서 명제논리의 정리로서 다음과 같이 기술되었다.

${\displaystyle \mathbf{2}}$ 2${\displaystyle 、}$ ${\displaystyle \mathbf{11}}$.${\displaystyle \text{p}}$~$p$ ${\displaystyle \backslash }$displaystyle \ $mathbf {$ * 2 \ $cdot$11 $}$ $.$ \ $vdash .$ \ $p \ vee$ \ $cdsim$p$$^[8]$}$ ${\displaystyle \mathbf{。}}$

그럼 '진실'과 '거짓'이란 무엇일까요?오프닝에서 PM은 몇 가지 정의를 신속하게 발표합니다.

진실-값명제의 "진실값"이 참이면 진실이고 거짓이면 거짓입니다* [*이 구절은 프레게에 의한 것입니다]… "p q"의 진실값은 p 또는 q의 진실값이면 진실이고, 그렇지 않으면 거짓입니다… "~p"는 p …의 반대입니다." (p 7-8)

이것은 별로 도움이 되지 않는다.그러나 나중에 훨씬 더 깊은 논의("진실과 거짓의 정의와 체계적 모호성" 제II장 제3장, 페이지 41 ff)에서 PM은 "a"와 "b" 및 "영구적"의 관계 측면에서 진실과 거짓을 정의한다.예를 들어 "This 'a'는 "b" (예: "This 'object a'는 "빨간색")는 "object a"는 센스 데이텀"이고 "red"는 센스 데이텀"을 의미하며, 이들은 서로 관련지어 "I"와 관련지어 서 있다.따라서 우리가 의미하는 것은 "나는 '이 물체 a가 빨간색임을 인지한다"는 것이며, 이는 제3자에 의한 부인할 수 없는 "진실"이다.

PM은 "감지 데이터"와 "감지"의 구분을 추가로 정의합니다.

즉, 우리가 "이것은 빨간색"이라고 판단할 때, 발생하는 것은 마음과 "이것"과 "빨간색"이라는 세 가지 용어의 관계이다.한편, 우리가 "이것의 붉은색"을 인지할 때, 두 가지 용어, 즉 "이것의 붉은색"과 복잡한 대상인 "이것의 붉은색"의 관계가 있다(pp. 43-44).

러셀은 PM(1910–1913)과 동시에 출판된 그의 책 철학의 문제(1912)에서 "감각 데이터"와 "감각"의 차이를 반복했다.

색, 소리, 냄새, 딱딱함, 거칠기 등 감각적으로 즉시 알려진 것에 "센스 데이터"라는 이름을 붙입니다.우리는 이러한 것들을 즉시 인지하는 경험에 "감각"이라는 이름을 붙일 것이다… 색깔 자체는 감각 자료가 아니라 감각 자료이다. (12페이지)

러셀은 또한 같은 책 (12장, 진실과 거짓)에서 "진실"과 "거짓"에 대한 그의 정의 뒤에 있는 그의 논리를 설명했다.

프린키피아 매스매티카에서의 제외 중간 법칙의 결과

제외 중간 법칙으로부터, Principia Mathematica, Whitehead 및 Russell의 공식 § 2.1은 논리학자의 주장 툴킷에서 가장 강력한 도구 중 일부를 도출한다.(Principia Mathematica에서 공식과 명제는 선두의 별표와 두 개의 숫자로 식별됩니다(예: "22.1")).

【2.1~p】p 「이것은 제외된 중간의 법칙」(PM, 페이지 101).

§2.1의 증명은 대략 다음과 같다: "정리 아이디어" 1.08은 p = q = ~p q q를 정의한다. 이 규칙에서 p를 q로 치환하면 p = ~p p p가 된다. p → p가 참이기 때문에 (이것은 별도로 증명된 정리 2.08이므로) ~p ∨ p ∨ p가 참이어야 한다.

2 2.11 p ~ ~p (어사션의 변환은 공리 1.4에 의해 허용됨)
2 2.12 p → ~(~p) (이중부정의 원리, 제1부: "이 장미꽃이 빨간색이면" "이 장미꽃은 빨간색이 아니다"는 것은 사실이 아니다.)
2 2.13 p ~ ~{~(~p)} (2.14 도출에 사용되는 2.12와 함께 약어)
§ 2.14~(~p) → p (이중부정의 원리, 파트 2)
§ 2.15 (~p → q) → (~q → p) (4가지 "전이의 원리" 중 하나)1.03, 1.16 및 1.17과 유사합니다.여기서는 매우 긴 데모가 필요했습니다.)
2 2.16 (p → q ) → (~q → ~p) ('이 장미가 빨간색이면 이 돼지가 날지 않으면 이 장미는 빨간색이 아니다'라는 말이 맞다면)
§ 2.17 (~p → ~q ) → (q → p) (다른 "전위 원리")
§ 2.18 (~p → p) → p ("환원 ad furnicum"이라고 함)그것은 그 자체의 거짓 가설에 따른 명제가 참임을 명시하고 있다.(PM, 페이지 103–104)

특히 §2.1, §2.11 및 §2.14의 대부분의 이러한 정리들은 직관주의에 의해 거부된다.이 도구들은 콜모고로프가 "힐버트의 네 가지 암시 공리"와 "힐버트의 두 가지 부정 공리"로 인용하는 또 다른 형태로 다시 주조됩니다(반 헤이제노르트의 콜모고로프, 페이지 335).

제안서 § 2.12 및 § 2.14, "이중 부정":L. E. J. 브루어의 직관주의 글은 그가 말하는 "복수 종의 상호성 원리, 즉 모든 시스템에서 성질의 정확성은 이 성질의 불가능에서 나온다는 원리"를 언급하고 있습니다. (Brower, ibid, 페이지 335).

이 원리는 일반적으로 "이중 부정의 원리"라고 불린다(PM, 페이지 101–102).PM은 제외 중간(✸ 2.1, 2 2.11)의 법칙에서 즉시 원칙 2 2.12를 도출한다.~p in ~(~p)를 산출하기 위해 2.11의 p를 ~p ) ~(~p)로 대체하고, 함축의 정의에 따라 (즉, 1.01 p = q = ~p q) → p → ~(~p). QED (2.14의 도출은 조금 더 복잡하다.)

라이헨바흐

적어도 2가의 논리(즉, 카노 지도에서 볼 수 있음)에 있어서, 이 법칙이 포함의 "중간"을 제거하거나 그의 법칙(3)에 사용되는 것은 옳다.그리고 이것이 라이첸바흐가 일부 사람들이 배타적 혹은 포괄적 혹은 그 자리를 대신해야 한다고 믿는다는 것을 보여주는 요점이다.

이 문제에 대해서(아마도 매우 기술적인 용어로) Reichenbach는 다음과 같이 말합니다.

비기준 삼분율

29. (x) [f(x) ∨ ~f(x)]

주요 용어로는 완전하지 않기 때문에 부풀려진 공식입니다.이 사실은 일부 사람들이 (29)를 포함 '또는'으로 쓰는 것이 불합리하다고 생각하고, 그것을 독점적인 '또는' 기호로 쓰기를 원하는 이유를 설명할 수 있을 것이다.

30. (x)[f(x) ~ ~f(x)]. 여기서 기호 "disclusive"는 배타적^[9] 또는

그 형태로는 완전 완전하고, 따라서 좁은 의미에서의 명목학이 될 것이다.(라이헨바흐, 페이지 376)

(30)행에서 "(x)는 "모든 사람을 위한" 또는 "모든 사람을 위한"을 의미하며, Russell과 Reichenbach가 사용하는 형식입니다. 오늘날 상징은 보통 $"\display\forall"$ $x$입니다.이 표현의 예는 다음과 같습니다.

• (돼지): (파리(돼지) ~ ~파리(돼지))
• (표시된 '돼지'와 표시되지 않은 '돼지'의 모든 인스턴스에 대해) ('돼지 날다' 또는 '돼지 날다'가 동시에 발생하는 것은 아닙니다)

형식주의자 대 직관주의자

1800년대 후반부터 1930년대까지 힐베르트와 그의 추종자들 사이에 헤르만 바일과 L. E. J. 브루워에 대한 쓰라리고 끈질긴 논쟁이 벌어졌다.직관주의라고 불리는 브루어의 철학은 1800년대 후반 레오폴드 크로네커에서 본격적으로 시작되었다.

힐버트는 크로네커의 생각을 몹시 싫어했다.

크로네커는 건설 없이는 존재할 수 없다고 주장했다.폴 고단[또 다른 나이 든 수학자]에게 있어서 힐버트의 불변체계의 기초가 갖는 최종성의 증거는 단순히 수학이 아니었다.반면 힐버트는 일생 동안 개념에 할당된 속성이 결코 모순으로 이어지지 않는다는 것을 증명할 수 있다면 개념의 수학적 존재가 확립된다고 주장했다(Reid 페이지 34).

그것이 실제로 유한한 수의 양의 정수로 구성되지 않는 한 어떤 것도 수학적인 존재를 가질 수 없다고 말할 수 없다는 것이 그의[크로네커의] 주장이었다(Reid 페이지 26).

그 토론은 힐버트에게 지대한 영향을 끼쳤다.리드는 힐베르트의 두 번째 문제(1900년 파리에서 열린 제2차 국제회의의 힐베르트의 문제 중 하나)가 이 논쟁(원본의 이탤릭)에서 발전했다고 지적했다.

그의 두 번째 문제에서, [힐버트]는 실수 산술의 공리들의 일관성에 대한 수학적 증거를 요구했습니다.

이 문제의 중요성을 나타내기 위해 그는 다음과 같은 관찰을 추가했다.

"만약 모순되는 속성이 개념에 할당된다면, 수학적으로 그 개념은 존재하지 않는다고 나는 말한다." (Reid 페이지 71)

따라서 힐버트는 "p와 ~p가 둘 다 사실로 나타난다면 p는 존재하지 않는다"고 말했고, 따라서 모순의 법칙의 형태로 제외된 중간 주물의 법칙을 호출하고 있었다.

그리고 마지막으로 구성론자들은 수학을 유한 또는 잠재적으로 (실제로는 아니지만) 무한 구조에 대한 구체적인 연산에 대한 연구에 제한한다; 완성된 무한 총계는 제외된 중간 법칙에 기초한 간접적인 증거로서 거부되었다.구성주의자들 중 가장 급진적인 것은 직감주의자들이었다.이 직관은 과거 위상학자였던 L. E. J. 브루워가 이끌었다(도슨 페이지 49).

원한을 품은 논쟁은 1900년대 초반부터 1920년대까지 계속되었다; 1927년 브루어는 "웃는 어조로 그것에 반대하는 직설주의"에 대해 불평했다. (Brower in van Heijenoort, p.492).그러나 논쟁은 비옥했다: 그것은 프린키피아 매스매티카(1910–1913)를 낳았고, 그 연구는 배제된 중간의 법칙을 정확하게 정의했고, 이 모든 것이 20세기 초반의 수학자들에게 지적 환경과 도구를 제공했다.

원망으로부터, 그리고 그것에 의해 부분적으로 생겨난, 몇 가지 중요한 논리적 발전이 일어났다; 체르멜로의 집합론의 공리화(1908a)는 2년 후 러셀과 화이트헤드가 유형 이론을 통해 어떻게 많은 산수가 논리적인 수단에 의해 개발될 수 있는지를 보여준 프린키피아 매스매티카의 제1권에 따라 이어졌다:(다우슨 페이지 49)

Brower는 토론을 "부정적" 또는 "비존재"와 "건설적" 증거에서 설계된 증거로 축소했다.

브루어에 따르면, 주어진 속성을 가진 물체가 존재한다는 진술은 적어도 원칙적으로 그러한 물체를 발견하거나 구성할 수 있는 방법을 알고 있을 때, 그리고 증명되는 것을 의미한다.

힐버트는 당연히 동의하지 않았다.

"순수한 존재의 증거가 우리 과학의 역사적 발전에 있어 가장 중요한 이정표였습니다,"라고 그는 주장했다.(제155페이지)

브루어는 배제된 중간의 논리적 원칙을 받아들이지 않았다. 그의 주장은 다음과 같다.

"A가 "P 성질을 가진 집합 S의 멤버가 존재한다."는 문장이라고 가정하자. 집합이 유한하다면 원칙적으로 S의 각 멤버를 검사하여 속성 P를 가진 S의 멤버 또는 S의 모든 멤버에 속성 P가 결여되어 있는지 판단할 수 있다." (이것은 유한 집합에 대한 마감 인용문이었다.)ouwer는 제외된 중간 원칙을 유효한 것으로 받아들였습니다.집합 S가 무한이면 집합의 각 구성원을 원칙적으로 검사할 수 없기 때문에 무한 집합에 대해 수용을 거부했습니다.심사 과정에서 속성 P를 가진 집합의 구성원을 발견하면 첫 번째 대안이 입증되지만, 그러한 구성원을 찾지 못하면 두 번째 대안이 입증되지 않습니다.

수학 정리가 종종 부정의 대상이 되는 것을 확인함으로써 증명되기 때문에, 브루어가 제안한 이 세 번째 가능성은 현재 받아들여지고 있는 많은 수학적 진술에 의문을 던질 것이다.

힐버트는 "수학자로부터 제외된 중간의 원리를 취하는 것은 권투선수가 주먹을 사용하는 것을 금지하는 것과 같다"고 말했다.

"가능성이 있는 손실은 바일을 괴롭히지 않는 것 같았다… 브루어의 계획은 다가오는 것이었다. 그는 취리히에 있는 친구들에게 주장했다." (리드, 페이지 149)

1941년 예일대와 그 이후의 논문에서 괴델은 해결책을 제안했다: "보편적 명제의 부정은 반례의 존재를 주장하는 것으로 이해되어야 한다." (도슨, 페이지 157)

배제 중간 법칙에 대한 괴델의 접근법은 "명제 미적분의 배제 중간 및 관련 이론의 법칙"보다 "임포티브 정의"의 사용에 대한 반대 의견이 "더 많은 무게를 가져왔다"고 주장하는 것이었다.그는 그의 "시스템 Ⅱ"를 제안했고, 그는 그의 해석에 대한 몇 가지 응용을 언급하는 것으로 끝을 맺었다.그 중에는 원칙의 직관적 논리와의 일관성이 증명되었다~ ( (A : (A a ~A) (가정의 불일치에도 불구하고 a A : (A ) ~A) ) (다우슨, 페이지 157) (닫는 괄호 없음)

수학자, 논리학자, 엔지니어는 일상 업무에서 배제된 중간(그리고 이중 부정)의 법칙을 계속 사용하고 있다.

배제의 중간 법칙(원칙)에 대한 직관주의적 정의

다음은 '알다'는 것의 이면에 있는 깊은 수학적이고 철학적인 문제를 강조하며, 또한 '법'이 의미하는 것(즉, 법의 진정한 의미)을 설명하는 데 도움이 됩니다.법에 대한 그들의 어려움은 드러난다: 그들은 검증할 수 없는 것(검증할 수 없는 것, 알 수 없는 것) 또는 불가능하거나 거짓에서 도출된 진정한 함축으로 받아들이고 싶지 않다. (모든 인용문은 반 헤이제노르트, 이탤릭체)

Brower는 "제외 중간 원칙"에 대한 정의를 제시합니다.여기서 "테스트 가능성"에 대한 문제도 볼 수 있습니다.

방금 언급한 시험가능성에 기초하여, 특정 유한 주계통 내에서 생각되는 속성에 대해, "제외 중간 원칙" 즉, 모든 시스템에 대해 모든 속성이 정확하거나 불가능하다는 원칙, 그리고 특히 보완종의 상호성 원칙이 존재한다., 모든 시스템에 있어서, 속성의 정확성은 이 속성의 불가능에서 나온다는 원칙. (335)^{[citation needed]}

콜모고로프의 정의는 힐베르트의 부정의 두 가지 공리를 인용한다

5. A → (~A → B)
6. (A → B) → { (~A → B) → B}

힐베르트의 부정의 첫 번째 공리인 "무엇이든 거짓에서 온다"는 것은, 함축의 첫 번째 공리처럼 상징적 논리의 부상과 함께 나타났다. 반면, 고려 중인 공리[축 5]는 불가능한 것의 결과에 대해 무언가를 주장한다: 만약 진정한 판단 A가 거짓으로 여겨진다면 우리는 B를 받아들여야 한다…

힐베르트의 두 번째 부정 공리는 배제된 중간 원리를 표현한다.이 원리는 여기서 도출에 사용되는 형태로 표현된다. B가 ~A에서와 마찬가지로 A에서 이어진다면 B는 참이다."모든 판단은 참 또는 거짓"이라는 일반적인 형식은 위에 주어진 것과 동일합니다.

부정의 첫 번째 해석, 즉 판결을 사실로 간주하지 말 것, 제외 중간 원칙이 참이라는 확신을 얻는 것은 불가능하다… 브루어는 그러한 초한정 판단의 경우 제외 중간 원칙은 명백하다고 볼 수 없다는 것을 보여주었다.

각주 9: "이것은 라이프니츠의 매우 단순한 공식이다(누보 에세, IV, 2 참조)."A는 B 또는 B가 아니다"라는 공식은 판단의 논리와 무관하다.

각주 10: "심볼리적으로 두 번째 형태는 다음과 같이 표현된다.

A ~ ~ A

여기서 means는 "또는"을 의미합니다.두 형태의 동등성은 쉽게 입증된다(421페이지)

예

예를 들어, P가 제안인 경우:

소크라테스는 죽는다.

그러면 제외된 중간 법칙은 논리적 분리가 다음과 같이 성립한다.

소크라테스가 죽거나 소크라테스가 죽거나 둘 중 하나다.

그 형태만으로도 진실이다.즉, 소크라테스는 필멸적이지도 않고 필멸적이지도 않다는 "중간" 입장은 논리에 의해 배제되고, 따라서 첫 번째 가능성(소크라테스는 필멸적이지도 않다) 또는 그 부정(소크라테스가 필멸적이지도 않다)은 진실이어야 한다.

제외된 중간 법칙에 따라 달라지는 논쟁의 예를 ^[10]다음에 제시하겠습니다.우리는 이 사실을 증명하려고 한다.

$2개$의 비합리적인 $숫자{\displaystyle }$$a$와$$$b$가$$존재하기 $때문$에$b$는 합리적입니다.

2$($는 불합리하다고 알려져 있습니다(증거 참조).수를 고려하다

$($ 스타일 {{\displayrt ${2}})^{\displayrt {2$

분명히 (중간 제외) 이 숫자는 합리적이거나 비합리적이다.타당하다면 증명은 완료된 것입니다.

${\displaystyle a}$ ${\displaystyle =}$ $({$ a$=syslogrt${2}) $및$ ${\displaystyle b\sqrt{\mathrm{}}}$ $=$ 2({$displaystyle$ b$=syslogrt {2$

${\displaystyle {그러나}^{\sqrt{\mathrm{}}}}$ 2$({$가 불합리한 $경우{\displaystyle {\sqrt{\mathrm{}}}^{}}$,

${\displaystyle a}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 2^{\sqrt{\mathrm{}}}}${{$displaystyle$ a$=sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ $및$ b ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}${{$displaystyle$ b$=sqrt {2$

그리고나서

$displaystyle$$}=paramrt {2}}:^{2}=$2$\},$

그리고 2는 확실히 합리적입니다.이것으로 증명은 완료되었습니다.

위의 주장에서 "이 숫자는 합리적 또는 비합리적"이라는 주장은 제외 중간 법칙을 호출한다.예를 들어, 직관론자는 그 진술에 대한 추가적인 지지 없이는 이 주장을 받아들이지 않을 것이다.이는 문제의 숫자가 실제로는 비합리적이라는 증거(또는 경우에 따라서는 합리적) 또는 숫자가 합리적인지 여부를 판단할 수 있는 유한 알고리즘의 형태로 나타날 수 있습니다.

무한대에 걸친 비건설적 증명

위의 증거는 직관주의자들이 인정하지 않는 비건설적 증거의 한 예이다.

이 증명은 정리에 맞는 $구체적$인 $숫자$를$$제시하지 않고$$두 개의 개별적인 가능성만 제시하기 때문에 부정적입니다($실제로$는 a$$$2$ ${{$$displaystyle$ a$=sqrt$ {2$}}^{\displaystyle$ rt$$ {2$$$$$}}).$팩트). (Davis 2000:220)

(위의 구체적인 예에 대한 건설적 증명은 어렵지 않습니다. 예를 $들어{\displaystyle }$ a ${\displaystyle =}$ {$displaystyle$ a$=$$sqrt {2}}$ 및$$ $b{\displaystyle }$ $=$ ${\displaystyle {log\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}9}$9 {$displaystyle$ b=\$log$ _${2}9$$\}$는 모두 비합리적인 것으로 나타나기 ${\displaystyle {쉬우며}^{}}$, ${\displaystyle \mathrm{b}}$ 3 {$displaystyle$a^{b}=3$}$; 직관주의자에 의해 허용된 증명입니다.)

비건설적 데이비스는 "특정 조건을 충족하는 수학적 실체가 실제로 존재한다는 증거는 해당 실체를 명시적으로 보여주는 방법을 제공할 필요가 없을 것"을 의미한다(p.85).그러한 증거는 완전한 전체성의 존재를 전제로 합니다.무한으로 확장되었을 때 직관주의자들이 인정하지 않는 개념입니다.무한은 결코 완성될 수 없습니다.

고전 수학에서는 비건설적 또는 간접적 존재 증명들이 발생하는데, 직관학자들은 이를 받아들이지 않는다.예를 들어 P(n)가 존재함을 증명하기 위해 고전 수학자는 P(n)가 아닌 모든 n에 대한 가정으로부터 모순을 추론할 수 있다.고전적 논리 및 직관적 논리 모두에서, 이것은 p(n)가 아닌 모든 n에 대해 reductio ad furnum에 의해 주어지는 것이 아니다.고전적 논리는 이 결과를 p(n)가 존재하는 것으로 변환하는 것을 허용하지만, 일반적으로 직관적이지는 않다… 고전적 의미는, 그가 자연수를 완전체로 생각하지 않기 때문에, 자연수의 완성된 무한 전체성 어딘가에 p(n)를 이용할 수 없는 n이 발생한다는 것이다.ted totality.^[11] (Kleene 1952:49-50)

David Hilbert와 Luitzen E. J. Brower는 둘 다 무한대로 확장되는 제외 중간 법칙의 예를 보여줍니다.힐베르트의 예: "최종적으로 많은 소수만 있거나 무한히 많다는 주장"(Davis 2000:97에서 인용)과 "모든 수학적 종은 유한하거나 무한하다."(Brower 1923 in van Heijenort 1967:336).일반적으로, 직감론자들은 유한 집합(집합)에 대한 담론으로 제한될 때 제외 중간 법칙의 사용을 허용하지만, 무한 집합(예: 자연수)에 대한 담론에 사용될 때는 허용하지 않는다.따라서 직관론자들은 "무한 집합 D:P 또는 ~P에 관한 모든 명제 P에 대하여"라는 포괄적인 주장을 절대 허용하지 않는다.^[12]

배제된 중간 법칙에 대한 추정 반례 사례로는 거짓말쟁이 역설이나 퀴네의 역설 등이 있다.이러한 역설의 특정 해결 방법, 특히 LP에서 공식화된 그레이엄 프리스트의 투석술은 배제된 중간 법칙을 정리로 가지고 있지만, 거짓말쟁이를 진실과 거짓 둘 다로 해결한다.이와 같이 배제된 중간의 법칙은 사실이지만 진실 그 자체, 따라서 단절된 것이 배타적이지 않기 때문에, 어떤 단절이 역설적이거나 진실과 거짓 둘 다일 경우에는 거의 아무 것도 말하지 않는다.

비판

많은 현대 논리체계는 배제된 중간 법칙을 부정의 개념으로 대체한다.명제가 참이거나 거짓인 대신, 명제는 ^[13]참이거나 입증될 수 없다.이 두 가지 이분법은 완전하지 않은 논리 시스템에서만 다릅니다.부정을 실패라고 하는 원리는 자기 이력 논리의 기초로서 사용되며 논리 프로그래밍에 널리 사용된다.이러한 시스템에서 프로그래머는 배제의 중간 법칙을 사실로 주장할 수 있지만, 이러한 시스템에 선험적으로 포함되어 있지는 않다.

L. E. J. 브루워와 아렌드 헤이팅과 같은 수학자들은 또한 현대 ^[14]수학의 맥락에서 배제된 중간 법칙의 유용성에 대해 논쟁을 벌였다.

수학 논리학에서

현대 수리 논리학에서, 배제된 중간은 가능한 자기 모순을 야기한다고 주장되어 왔다.논리학에서는 진실도 거짓도 아닌 잘 구성된 명제를 만들 수 있다. 이것의 일반적인 예는 "거짓말의 역설"^[15]이다. "이 진술은 거짓"이라는 진술은 그 자체로 진실도 거짓도 아니라고 주장한다.아서 프라이어는 패러독스가 진실일 수도 거짓일 수도 없는 진술의 예가 아니라고 주장했다."This statement is not false"라는 이 진술의 부정이 사실로 지정될 수 있기 때문에 제외 중간 법칙은 여기서 여전히 유효하다.집합론에서, 이러한 자기반대적 역설은 집합 "자신을 포함하지 않는 모든 집합의 집합"을 검토함으로써 구성될 수 있다.이 집합은 명확하게 정의되어 있지만 러셀의 ^[16][17]역설로 이어집니다: 집합은 그 요소 중 하나로서 그 자체를 포함하고 있는가?그러나, 현대의 체르멜로-프랭켈 집합론에서는, 이러한 종류의 모순은 더 이상 인정되지 않는다.게다가, 자기 참조의 역설은 커리의 ^{[citation needed]}역설에서처럼 부정조차 일으키지 않고 구성될 수 있다.

유사법칙

어떤 논리체계는 다르지만 유사한 법칙을 가지고 있다.일부 유한한 n값 로직의 경우 제외된 n+1번째의 법칙이라는 유사한 법칙이 있습니다.부정이 순환이고 "θ"가 "최대 연산자"인 경우, 법칙은 (P ~ ~P ~ ~~P ... ... ~...)로 객체 언어로 표현될 수 있다.~P), 여기서 "~...~"는 n-1 부정 부호 및 "n-1 분리 부호"를 나타냅니다.문장이 n개의 참값 중 적어도1개(n의 값이 아닌 값이 아님)를 수신해야 함을 쉽게 확인할 수 있습니다.

다른 제도들은 ^[specify]그 법을 완전히 거부한다.

「 」를 참조해 주세요.

• 브루어-힐베르트 논쟁: 배제된 중도의 법칙을 둘러싼 형식주의-직관주의자의 분열에 대한 설명
• Concedentia mirabilis – 명제 논리에서의 추론 패턴
• 디아코네스쿠의 정리
• 이분법 – 전체를 정확히 2개의 겹치지 않는 부분으로 분할, 쌍방향 관계와 프로세스
• 제4의 법칙
• 다치 논리에서는 배제된 중간 법칙은 사실이 아니다 – 삼원 논리와 퍼지 논리와 같은 두 가지 이상의 진실 가치가 있는 명제 미적분 – 모호성에 대한 추론을 위한 체계
• 사상의 법칙
• 전지과학의 제한된 원리 – 수학적 개념
• 논리 그래프: 명제 로직을 위한 그래픽 구문
• 피어스의 법칙 – 논리와 철학에서 사용되는 공리: 직관을 고전적으로 바꾸는 또 다른 방법
• 논리 결정론: 응용 프로그램이 중간에서 모달로 제외됨– 정식 논리 제안 유형
• 불교의 프라산가파에서 부정하지 않는 또 다른 배중법칙은 거짓이다.
• 수학적 구성주의
• 구성 집합론

각주

레퍼런스

• Aquinas, Thomas, "Summa Themicica", 영국 도미니카주의 아버지들(trans.), Daniel J. Sullivan(ed.), Robert Maynard Hutchins(ed.), Western World Books, Encyclopédia Britanica, Inc., IL, 1952년, IL.GB 19 ~ 20으로 표기됩니다.
• 아리스토텔레스, "망상물리학", W.D. 로스(트랜스), 로버트 메이너드 허친스(에드), 제8권, 그레이트 북스 오브 더 웨스턴 북스, 브리태니커, Inc., 시카고, IL, 1952.영국 옥스포드 대학 출판부, 옥스포드 대학 출판부, W.D. 로스(트랜스).
• Martin Davis 2000, 논리 엔진: 수학자와 컴퓨터의 기원, W. W. Norton & Company, NY, ISBN 0-393-32229-7 pbk.
• Dawson, J., 논리적 딜레마, The Life and Work of Kurt Gödel, A.K. Peters, MA. 웰즐리, 1997.
• From Frege to Gödel, J., 수학논리학의 소스북, 1879-1931, 하버드 대학교 출판부, 케임브리지, 매사추세츠, 1967.1977년 수정본으로 전재되었습니다.
• Luitzen Egbertus Jan Brower, 1923년 수학, 특히 함수 이론에서 제외된 중간 원리의 의의에 대하여 [해설, 페이지 334, 반 하이제노르트]
• 안드레이 니콜라예비치 콜모고로프, 1925년, 제외중도의 원칙에 대하여 [해설로 재인쇄, 페이지 414, 판 하이제노르트]
• Luitzen Egbertus Jan Brower, 1927년, 함수의 정의 영역에 대하여, [해설 446, van Heijenoort] 직접적으로 관련이 있는 것은 아니지만, Brower는 이 논문에서 정의된 특정 단어를 사용합니다.
• Luitzen Egbertus Jan Brouverer, 1927(2), 형식주의에 대한 직관주의적 성찰[해설, 490페이지, van Heijenoort]
• 스티븐 C. Kleene 1952 원본 인쇄, 1971년 6쇄(수정 포함), 1991년 10쇄, North-Holland Publishing Company, Amsterdam NY, ISBN 0-7204-2103-9.
• 영국 옥스퍼드 대학 출판부, The Development of Logic, Oxford University Press, W. and Kneale, M., 1962.1975년 수정본으로 전재되었습니다.
• Alfred North Whitehead와 Bertrand Russell, 프린키피아 매스매티카 ~ *56, University Press 1962 (1927년 제2판, 전재).난해한 상징성 때문에 매우 어렵지만, 진지한 논리학자들에게는 필수품이다.
• 버트런드 러셀, 의미와 진실의 탐구1940년 윌리엄 제임스 강의 하버드 대학에서 제공.
• Bertrand Russell, The Problems of Philosophy, With a New Introduction by John Perry, 뉴욕 옥스포드 대학 출판부, 1997년판(1912년 초판)읽기 매우 쉽다:러셀은 훌륭한 작가였다.
• Bertrand Russell, The Art of Philosising and Other Essays, Littlefield, Adams & Co, Totowa, NJ, 1974년판(1968년 초판)"추론의 기술"에 대한 훌륭한 에세이를 포함합니다.
• Hans Reichenbach, 기호논리의 요소, 뉴욕 도버, 1947, 1975.
• 톰 미첼, 기계학습, WCB McGraw-Hill, 1997.
• Constance Reid, Hilbert, Copernicus: Springer-Verlag New York, Inc. 1996, 1969년 처음 출판.인터뷰를 통해 얻은 풍부한 전기 정보가 포함되어 있습니다.
• Bart Kosko, 애매한 생각: The New Science of Fuzzy Logic, Hyperion, 뉴욕, 1993.애매모호한 생각이 가장 잘 들어봐요.하지만 개념에 대한 좋은 입문입니다.
• 데이비드 흄, 인간의 이해에 관한 연구'는 '서양세계대백과사전' 제35권, 1952년 449f에 전재되었다.이 작품은 1758년 흄에 의해 그의 "청소년" 인간 자연 논문의 개서로 출판되었습니다. 도덕 과목에 추론의 실험적인 방법을 도입하려는 시도. I, Of The Understanding은 1739년에 처음 출판되었으며, 데이비드 흄, Penguin Classics, 1985년 인간 본성의 논문으로 전재되었다.참고 항목: David Applebaum, The Vision of Hume, London, Vega, 2001: An Inquiry의 일부 전집은 94페이지부터 시작됩니다.

외부 링크

• 스탠포드 철학 백과사전에 '전통'이라는 기재가 있다.