삼값논리

논리학에서 3개의 값 논리(삼진 논리, 삼진 논리, 삼진법 또는 삼진법,^[1] 때로는 약칭 3VL)는 참, 거짓 및 일부 불확실한 세 번째 값을 나타내는 3개의 진리 값이 있는 여러 가지 값 논리 시스템 중 하나이다. 이것은 진실과 거짓만을 제공하는 더 일반적으로 알려진 이변 로직(예: 고전적 보초 논리 또는 부울 논리)과 대조된다.

에밀 레온 포스트는 그의 1921년 기본 명제 이론에서 논리적인 진리 학위를 추가로 도입한 공로를 인정받고 있다.^[2] 3가지 가치 논리의 개념적 형식과 기본 사상은 처음에 얀 우카시에비츠와 클라렌스 어빙 루이스에 의해 출판되었다. 그리고 나서 이것들은 그리고레 콘스탄틴 모이스일에 의해 자명한 대수적 형태로 재형성되었고, 1945년에는 n-값 로직으로 확장되기도 했다.

사전 발견

1910년경, 찰스 샌더스 페어스는 많은 가치를 지닌 논리 체계를 정의했다. 그는 그것을 출판한 적이 없다. 사실, 그는 자신의 3가지 가치의 연산자를 정의한 3페이지의 지폐에 번호를 매기지도 않았다.^[3] Peirce는 모든 명제는 진실이어야 하고 거짓이어야 한다는 생각을 완전히 거절했다. 그는 "경계 제안은 P와 P 사이의 한계에 있다"^[4]고 썼다. 그러나 "삼차논리는 보편적으로 진실이다"라고 자신한 만큼 "이 모든 것은 터무니없는 것에 매우 가깝다"고 말했다. 맥스 피쉬와 앳웰 터켓이 미발표 원고에서 재발견한 것을 출판하기 시작한 1966년에야 비로소 피르체의 삼파전 사상이 널리 알려지게 되었다.^[5]

값 표현

2차 논리와 마찬가지로 3차 논리의 진리 값은 3차 숫자 시스템의 다양한 표현을 사용하여 숫자로 나타낼 수 있다. 더 일반적인 몇 가지 예는 다음과 같다.

균형잡힌 3진법에서 각 자릿수는 -1, 0 또는 +1의 3개 값 중 하나를 가지며, 이러한 값은 각각 -, 0, +로 단순화할 수 있다.^[6]
중복 이진 표현에서, 각 자릿수는 -1, 0, 0/1의 값을 가질 수 있다(0/1 값은 두 개의 다른 표현을 가지고 있다).
3차 숫자 시스템에서 각 자릿수는 0, 1 또는 2의 값을 갖는 삼중수소(트리진 숫자)이다.
스큐 바이너리 숫자 시스템에서는 가장 큰 값이 0이 아닌 숫자만 값 2를 가지며, 나머지 자릿수는 0 또는 1의 값을 가진다.
참의 경우 1, 거짓의 경우 2 및 알 수 없거나 알 수 없는/알 수 없는, 관련 없는 또는 둘 다의 경우 ^[7]0.
거짓의 경우 0, 참의 경우 1 및 ?, #, ½ ^[8]또는 xy와 같은 세 번째 비-반복적인 "아마도" 기호.

3차 컴퓨터 내부에서 3차 값은 3차 신호로 표현된다.

이 글은 주로 진리 값 {거짓, 알 수 없음, 참}을(를) 이용한 3차 명제 논리 체계를 설명하고 기존의 부울 커넥티브를 3차적 문맥으로 확장한다. 3차 술어 로직도 존재한다.^{[citation needed]} 이는 정량자의 판독값이 고전적 (이진적) 술어 논리와 다를 수 있으며 대체 정량자도 포함할 수 있다.

로직스

부울 논리에 2² = 4 단항 연산자가 있는 경우, 3차 논리 값을 추가하면 단일 입력 값에 총 3³ = 27 구별 연산자가 된다. 마찬가지로 부울 논리에 2^2×2 = 16개의 구별되는 이항 연산자(입력이 2개인 연산자)가 있는 경우, 3번째 논리에는 그러한 연산자가 3^3×3 = 19,683개가 있다. 부울 연산자(NOT, AND, NAND, OR, NOR, XOR, XNOR, 동등성, 함축성)의 상당 부분을 쉽게 명명할 수 있는 경우, 가능한 3차 연산자 중 극히 일부만 제외하고 모두 명명하려고 시도하는 것은 불합리하다.^[9]

클린과 프리스트 로직

아래는 스티븐 콜 클레네의 '불변성의 강한 논리'와 그레이엄 프리스트의 '역설의 논리'에 대한 논리 연산을 보여주는 진리표 세트다.

(F, 거짓, U, 알 수 없음, T, 참)

NOT(A)
A	A
F	T
U	U
T	F

AND(A, B)
A ∧ B		B
A ∧ B		F	U	T
A	F	F	F	F
	U	F	U	U
	T	F	U	T

OR(A, B)
A ∨ B		B
A ∨ B		F	U	T
A	F	F	U	T
	U	U	U	T
	T	T	T	T

(-1, 거짓, 0, 알 수 없음, +1, 참)

NEG(A)
A	A
−1	+1
0	0
+1	−1

MIN(A, B)
A ∧ B		B
A ∧ B		−1	0	+1
A	−1	−1	−1	−1
	0	−1	0	0
	+1	−1	0	+1

MAX(A, B)
A ∨ B		B
A ∨ B		−1	0	+1
A	−1	−1	0	+1
	0	0	0	+1
	+1	+1	+1	+1

이러한 진리표에서 알 수 없는 상태는 클레인 논리에서는 진실도 거짓도 아닌 것으로, 프리스트 논리에서는 진실도 거짓도 아닌 것으로 생각할 수 있다. 차이점은 tautology의 정의에 있다. 클레인 논리의 지정 진리 값만이 T인 경우 프리스트 논리의 지정 진리 값은 T와 U. 둘 다.클레인 논리에서는 어떤 특정한 미지의 상태가 어떤 순간에 비밀리에 진리를 나타내는 것인지 거짓을 나타내는 것인지에 대한 지식은 이용할 수 없다. 그러나 적어도 하나의 미지의 피연산자를 포함하더라도 특정 논리연산은 분명하지 않은 결과를 산출할 수 있다. 예를 들어, 참 OR true는 true이고, 참 OR true 또한 true이기 때문에 true OR nothing도 true와 같음을 유추할 수 있다. 이 예에서, 두 가지 상태 중 어느 것이든 알 수 없는 상태의 기초가 될 수 있지만, 두 상태 역시 동일한 결과를 산출하기 때문에, 세 가지 경우 모두 결정적인 참 결과가 된다.

예를 들어, 균형잡힌 3차 값과 같은 숫자 값이 거짓, 알 수 없음 및 참에 할당되어 거짓이 알 수 없고 알 수 없는 값이 참보다 작으면 AND B 및 C... = MIN(A, B, C ...) 및 A OR B 또는 C ... = MAX(A, B, C...)

클레인 논리에 대한 물질적 함의는 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle A\rightarrow B\\\\\overset {\underset {\mathrm {def}{}}{}}}}}{}}}\mbox{OR}(\\\\\mbox{\{\{}}})$ $NOT}}(A),\B$ 그리고 그 진실은 다음과 같다.

IMM_K(A, B), OR(A, B)

A → B		B
A → B		F	U	T
A	F	T	T	T
	U	U	U	T
	T	F	U	T

IMM_K(A, B), MAX(-A, B)

A → B		B
A → B		−1	0	+1
A	−1	+1	+1	+1
	0	0	0	+1
	+1	−1	0	+1

그것은 Uwkasiewicz 논리에 대한 그것과 다르다 (아래에 설명되어 있다.

클레인 논리에는 tutology(유효한 공식)가 없다. 왜냐하면 잘 형성된 공식의 모든 원자성분에 Unknown(알 수 없음) 값이 할당될 때마다 공식 자체도 Unknown(알 수 없음) 값을 가져야 하기 때문이다. (그리고 클레인 논리에 대해 유일하게 지정된 진리 값은 True(참)). 그러나 유효한 수식이 없다고 해서 유효한 주장 및/또는 추론 규칙이 결여된 것은 아니다. (어떠한 해석/모델에 대해) 그 전제가 모두 참일 때마다 결론도 참이어야 하는 경우 클레네 논리학에서 논거는 의미론적으로 유효하다. (참고) 패러독스의 논리학(LP)은 클레네 논리학과 동일한 진리표를 가지고 있지만, 하나 대신에 두 개의 지정된 진리값을 가지고 있다. 다음은 다음과 같다. True 및 Both(Unknown의 아날로그)를 통해 LP는 토폴로지를 가지고 있지만 유효한 추론 규칙은 적다.^[10]

우카시오비치 논리

우카시위츠 WW3는 위에서 주어진 클레인 논리와 같은 AND, OR, NOT에 대해 동일한 표를 가지고 있지만, "알 수 없는 것은 알 수 없는 것을 내포함"이 사실이라는 점에서 함축성 정의에 차이가 있다. 이 절은 말리노프스키의 논리사 핸드북 제8권으로부터 발췌한 내용을 따른다.^[11]

우카시위츠 논리 진실 표에 대한 물질적 함의는 다음과 같다.

IMM_Ł(A, B)

A → B		B
A → B		F	U	T
A	F	T	T	T
	U	U	T	T
	T	F	U	T

IMM_Ł(A, B), MIN(1-A+B)

A → B		B
A → B		−1	0	+1
A	−1	+1	+1	+1
	0	0	+1	+1
	+1	−1	0	+1

사실, 우카시오비치의 함축과 부정을 이용하여 다른 통상적인 커넥티브는 다음과 같이 도출될 수 있다.

$A \lor B = (A \to B) \to B$
$A \land B = \neg(\neg A \lor \lor B)$
$A \Leftrightarrow B = (A \to B) \land (B \to A)$

또한 몇 가지 다른 유용한 단항 연산자를 도출하는 것도 가능하다(1921년 타르스키가 처음으로 도출했다).^{[citation needed]}

$M A = \neg A \to A$
$L A = \neg M \neg A$
$I A = M A \land \neg L A$

그들은 다음과 같은 진리표를 가지고 있다.

$A$	$M A$
F	F
U	T
T	T

$A$	$L A$
F	F
U	F
T	T

$A$	$I A$
F	F
U	T
T	F

M은 "그것은 거짓이 아니다." 또는 (실패한) 타르스키-우카시예비치(Tarski-Wukasiewicz)가 3가지 가치 논리를 사용하여 모달 논리를 공리화하려는 시도에서, "가능성이 있다.L은 "사실은.." 또는 "필요하다.마지막으로 "알 수 없는 일"이라고 읽는다." 또는 "그것은...에 대한 조건이다.."

우카시오비치의 WW3에서 지정된 가치는 True이며, 이는 어디에나 이러한 가치를 갖는 명제만이 상호관계로 간주된다는 것을 의미한다. 예를 들어, $A$ → $A$ 및 $A파운드$ 는 WW3의 tautology와 고전적 논리에도 있다. 고전적 논리학의 모든 토폴로지를 "있는 그대로" 3파운드로 끌어올리는 것은 아니다. 예를 들어, 제외된 중간 법칙 $A$ ∨ $\neg A$ 와 비교되지 않는 법칙 $\neg(A$ ∧ $\neg A)$ 은 WW3의 tutology가 아니다. 그러나 $위$ 에서 정의한 연산자를 사용하면 유사한 tautology를 다음과 같이 기술할 수 있다.

$A$ ∨ $IA$ ∨ $\lor A$ (제외 4의 법칙)
$\neg(A$ ∧ $\land IA$ ∧ ∧ $\land A)$ (확장 모순 원리).

보흐바르 논리

Ternary Post 논리

not(a) = (a + 1) mod 3 또는

not(a) = (a + 1) mod (n), 여기서 (n)은 논리의 값이다.

모듈러 알헤브라스

일부 3VL 모듈형 알헤브라는 철학적 문제보다는 회로 문제에 의해 최근에 도입되었다.^[12]

콘 대수
프라단 대수
두브로바와 무지오 대수

적용들

SQL

데이터베이스 구조 쿼리 언어 SQL은 NULL 필드 컨텐츠와의 비교를 처리하는 수단으로서 3차 로직을 구현한다. NULL은 원래 데이터베이스의 결측 데이터를 나타내기 위해 SQL에서 Sentinel 값으로 사용하기 위한 것으로, 즉, 실제 값이 존재하지만 그 값이 현재 데이터베이스에 기록되지 않는다는 가정이었다. SQL은 Kleene K3 로직의 공통 파편을 사용하며 AND, OR, NOT 테이블로 제한된다.

SQL에서 중간 값은 알 수 없음으로 해석하기 위한 것이다. 다른 NULL 산출물을 포함한 NULL과의 명시적 비교는 알 수 없음. 그러나 이러한 의미론 선택은 NULL이 서로 동등하게 취급되는 유니언 또는 CROST와 같은 일부 설정 작업에 대해 포기된다. 비평가들은 이러한 불일치가 SQL의 NULL 처리에 있어서 직관적인 의미론들을 박탈한다고 주장한다.^[13] SQL 표준은 F571이라는 선택적 특징을 정의하는데, 이 기능에는 일부 단항 연산자가 추가되어 있는데, 그 중 몇 가지 기능이 있다. IS UNKNOWN 이 글의 우카시예비치 1세에 해당된다. 의 추가. IS UNKNOWN SQL의 3-값 논리 연산자의 다른 연산자에게, SQL의 3-값 논리 연산자는 기능적으로 완전하게 된다.^[14] 즉, 논리 연산자는 상상할 수 있는 3-값 논리 함수를 (결합으로) 표현할 수 있다.

참고 항목

참조

^ "Stanford JavaNLP API". Stanford University. Stanford NLP Group.
^ Post, Emil L. (1921). "Introduction to a General Theory of Elementary Propositions". American Journal of Mathematics. 43 (3): 163–185. doi:10.2307/2370324. hdl:2027/uiuo.ark:/13960/t9j450f7q. ISSN 0002-9327. JSTOR 2370324.
^ "Peirce's Deductive Logic > Peirce's Three-Valued Logic (Stanford Encyclopedia of Philosophy)". plato.stanford.edu. Retrieved 2020-07-30.
^ Lane, R. (2001). "Triadic Logic".
^ Lane, Robert. "Triadic Logic". www.digitalpeirce.fee.unicamp.br. Retrieved 2020-07-30.
^ Knuth, Donald E. (1981). The Art of Computer Programming Vol. 2. Reading, Mass.: Addison-Wesley Publishing Company. p. 190.
^ Hayes, Brian (November–December 2001). "Third base" (PDF). American Scientist. Sigma Xi, the Scientific Research Society. 89 (6): 490–494. doi:10.1511/2001.40.3268. Archived (PDF) from the original on 2019-10-30. Retrieved 2020-04-12.
^ Nelson, David (2008). The Penguin Dictionary of Mathematics. Fourth Edition. London, England: Penguin Books. Entry for 'three-valued logic'. ISBN 9780141920870.
^ 더글러스 W. 존스, 스탠더드 테너리 로직, 2013년 2월 11일.
^ "비욘드 프로포지셔널 로직"
^ 그르제고르즈 말리노프스키, 도브 M. 가베이의 "다중 가치 있는 논리와 그 철학" 존 우즈(eds) 로직 제8권 역사 핸드북. 2009년 엘시비어 논리의 많은 가치와 비모노톤적 전환
^ Miller, D. Michael; Thornton, Mitchell A. (2008). Multiple valued logic: concepts and representations. Synthesis lectures on digital circuits and systems. Vol. 12. Morgan & Claypool Publishers. pp. 41–42. ISBN 978-1-59829-190-2.
^ 론 반 데어 메이든, 1월 초미키, 사케, 건터(Eds)의 "불완전한 정보에 대한 논리적 접근: 조사" 데이터베이스 및 정보 시스템용 로직, Kluwer Academic Publisher ISBN 978-0-7923-8129-7, 페이지 344; PS 사전 인쇄(참고: 페이지 번호 매기는 출판 버전과 사전 인쇄가 다름)
^ C. J. 날짜, 관계형 데이터베이스 작성, 1991–1994, 애디슨-웨슬리, 1995, 페이지 371

추가 읽기

Bergmann, Merrie (2008). An Introduction to Many-Valued and Fuzzy Logic: Semantics, Algebras, and Derivation Systems. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88128-9. Retrieved 24 August 2013., 5장 9절
문디치, D. C*-알게브라스 3대 가치 논리학. 로직 콜로키움 88, Padova 61-77 (1989년)에서 열린 콜로키움의 프로시저 doi:10.1016/s0049-237x(08)70262-3
레이첸바흐, 한스(1944년). 양자역학의 철학적인 기초. 캘리포니아 대학교 출판부. 도버 1998: ISBN 0-486-40459-5

외부 링크

Bertram Fronthöfer의 많은 가치 로직 소개. 테크니쉬 유니버시아드 드레스덴의 2011년 여름 수업에서 나온 유인물. (제목에도 불구하고, 이것은 거의 전적으로 3개의 가치 로직과 관련된 것이다.)

[1] "Stanford JavaNLP API". Stanford University. Stanford NLP Group.

[2] Post, Emil L. (1921). "Introduction to a General Theory of Elementary Propositions". American Journal of Mathematics. 43 (3): 163–185. doi:10.2307/2370324. hdl:2027/uiuo.ark:/13960/t9j450f7q. ISSN 0002-9327. JSTOR 2370324.

[3] "Peirce's Deductive Logic > Peirce's Three-Valued Logic (Stanford Encyclopedia of Philosophy)". plato.stanford.edu. Retrieved 2020-07-30.

[4] Lane, R. (2001). "Triadic Logic".

[5] Lane, Robert. "Triadic Logic". www.digitalpeirce.fee.unicamp.br. Retrieved 2020-07-30.

[6] Knuth, Donald E. (1981). The Art of Computer Programming Vol. 2. Reading, Mass.: Addison-Wesley Publishing Company. p. 190.

[7] Hayes, Brian (November–December 2001). "Third base" (PDF). American Scientist. Sigma Xi, the Scientific Research Society. 89 (6): 490–494. doi:10.1511/2001.40.3268. Archived (PDF) from the original on 2019-10-30. Retrieved 2020-04-12.

[8] Nelson, David (2008). The Penguin Dictionary of Mathematics. Fourth Edition. London, England: Penguin Books. Entry for 'three-valued logic'. ISBN 9780141920870.

[9] 더글러스 W. 존스, 스탠더드 테너리 로직, 2013년 2월 11일.

[10] "비욘드 프로포지셔널 로직"

[11] 그르제고르즈 말리노프스키, 도브 M. 가베이의 "다중 가치 있는 논리와 그 철학" 존 우즈(eds) 로직 제8권 역사 핸드북. 2009년 엘시비어 논리의 많은 가치와 비모노톤적 전환

[12] Miller, D. Michael; Thornton, Mitchell A. (2008). Multiple valued logic: concepts and representations. Synthesis lectures on digital circuits and systems. Vol. 12. Morgan & Claypool Publishers. pp. 41–42. ISBN 978-1-59829-190-2.

[Meyden-13] 론 반 데어 메이든, 1월 초미키, 사케, 건터(Eds)의 "불완전한 정보에 대한 논리적 접근: 조사" 데이터베이스 및 정보 시스템용 로직, Kluwer Academic Publisher ISBN 978-0-7923-8129-7, 페이지 344; PS 사전 인쇄(참고: 페이지 번호 매기는 출판 버전과 사전 인쇄가 다름)

[14] C. J. 날짜, 관계형 데이터베이스 작성, 1991–1994, 애디슨-웨슬리, 1995, 페이지 371

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