사상의 법칙

사상의 법칙은 이성적 담론 그 자체가 기초가 되는 것으로 간주되는 기본적인 자명적인 규칙이다.그러한 규칙의 공식화와 명확화는 철학과 논리학의 역사에서 오랜 전통을 가지고 있다.일반적으로 그것들은 모든 사람의 생각, 생각, 표현, 토론 등을 안내하고 그 밑바탕을 이루는 법으로 받아들여진다.그러나 그러한 고전적 사상은 직관적 논리, 투석론, 퍼지 논리 등과 같은 보다 최근의 전개에서 종종 의문을 갖거나 거부당한다.

1999년 케임브리지 철학사전에 따르면,^[1] 사상의 법칙은 타당한 사상이 진행되거나 타당한 추론을 정당화하거나 모든 타당한 추론이 가능한 법률이다.사상의 법칙은 사상 등의 어떤 주제에도 예외 없이 적용되는 규칙으로, 때로는 논리의^{[further explanation needed]} 대상이라고 한다.서로 다른 저자들이 정확히 같은 의미로 사용하는 경우는 거의 없는 이 용어는 오랫동안 동일하지 않게 모호한 세 가지 표현, 즉 정체성의 법칙(ID), 모순의 법칙(또는 비 모순의 법칙, NC), 배제된 중간(EM)의 법칙과 연관되어 왔다. 때로는 이 세 가지 표현이 넓은 범위를 갖는 형식적인 존재론의 제안으로 받아들여지기도 한다.t 가능한 주제, 기업에 적용되는 제안: (ID), 모든 것은 (즉, 모든 것은) 그 자체와 동일하다; (NC) 주어진 품질을 가진 어떤 것도 또한 그 품질의 음을 가지고 있지 않다(예: 짝수 수가 짝수인 것은 아니다), (EM) 모든 것은 주어진 품질을 가지고 있거나 그 품질의 음을 가지고 있다(예, 모든 수는 짝수다).또는 짝수가 아닌 경우.오래된 작품에서도 마찬가지로 일반적인 것은 명제에 대한 금속공학 원리에 이러한 표현을 사용하는 것이다: (ID) 모든 명제는 그 자체를 암시한다; (NC) 어떤 명제도 진실과 거짓 둘 다 아니다; (EM) 모든 명제는 진실과 거짓이다.

1800년대 중후반부터 시작하여, 이러한 표현들은 부울대수의 계급에 대한 명제를 나타내기 위해 사용되어왔다: (ID) 모든 계급은 스스로를 포함한다. (NC) 모든 계급은 그 교차점("제품")이 null 계급이고, (EM) 모든 계급은 그 계급이 그 자체의 보어와의 결합("sum")이 단결함(univer")인 것이다.샐 클래스보다 최근에는 세 가지 표현 중 마지막 두 가지가 고전적인 명제 논리학 및 소위 원초적 또는 정량화된 명제 논리와 관련하여 사용되어 왔다. 두 경우 모두 비대조성의 법칙은 그 자체의 부정, ¬(AaA), lud(Excluder)과 어떤 것의 결합("및")을 부정하는 것을 포함한다.ed middle은 자신의 부정인 A∨¬A를 가진 어떤 것의 분리("또는")를 포함한다.명제논리의 경우 '뭔가'는 자리보전자의 역할을 하는 도식적인 글자인 반면, 원초적 논리의 경우 '뭔가'는 진정한 변수다.문장과 해석에 관한 모델 이론의 의미 원리에 대해서도 "비대조성의 법칙"과 "제외된 중간의 법칙"이라는 표현이 사용된다: (NC) 해석에 의한 것은 참과 거짓, (EM) 어떤 해석에도 주어진 문장은 참이거나 거짓이다.

무엇보다도 언급된 표현들은 많은 다른 방법으로 사용되어 왔다.아리스토텔레스에게 귀속된 받아쓰기 드 옴니 et nullo, 유클리드에게 귀속된 동일(또는 동일)의 대체성, 고트프리드 빌헬름 라이프니즈에게 귀속된 불분명한 것들의 소위 정체성, 그리고 그 밖의 많은 명제들이 사상의 법칙으로도 언급되어 왔다.

"사상의 법칙"이라는 표현은 Boole (1815–64)이 그의 "논리의 상징"의 이론들을 나타내기 위해 사용함으로써 더 두드러지게 되었다; 사실, 그는 그의 두 번째 논리책의 이름을 "논리와 확률의 수학적 이론에 근거한 사상의 법칙에 대한 조사" (1854)라고 지었다.현대의 논리학자들은 Boole과 거의 만장일치로 동의하지 않는 상태에서 이 표현을 잘못된 표현으로 받아들인다; "생각의 법칙"에 따라 분류된 위의 명제들 중 어느 것도 심리학에 의해 연구된 정신 현상인 사고나 지식인에 대한 명시적인 언급을 포함하지 않으며, 실용학이나 e에서와 마찬가지로 사상가나 지식인에 대한 명시적인 언급을 포함하지 않는다.암술학심리학(정신 현상에 대한 연구로서)과 논리학(유효한 추론의 연구로서)의 구분이 널리 받아들여지고 있다.

전통적인 3법칙

역사

해밀턴은 플라톤에서 시작하여 아리스토텔레스를 거쳐 중세의 학자들과 함께 끝나는 세 가지 전통 법칙의 역사를 제시하며, 그 외에도 네 번째 법칙(아래 해밀턴 아래 항목 참조)을 제시한다.

" 모순과 배제된 중간의 원리는 플라톤으로 거슬러 올라갈 수 있다.모순과 배제된 중간의 원리는 둘 다 플라톤으로 거슬러 올라갈 수 있다. 플라톤은 그들이 자주 적용되었고, 비록 오래지 않아, 그들 중 어느 한쪽이 독특한 호칭을 얻었다고 할 수 있다.모순의 원리를 먼저 취한다.플라톤은 이 법칙을 자주 채용하지만, 가장 주목할 만한 구절은 파도, 소피스타, 공화국의 제4권, 제7권 등에서 찾아볼 수 있다.[해밀턴 렉트. V. 로직. 62]

제외된 중간 법칙:내가 말했듯이, 두 모순 사이의 배제된 중간 법칙은 플라톤에게도, 비록 그것이 가장 분명하게 표현된 대화인 제2차 알시비아데스는 거짓임을 인정해야 한다.스토브루스에서도 찾을 수 있는 사이비 아르키타스의 파편에도 들어 있다.[해밀턴 렉트. V. 로직. 65]

해밀턴은 더 나아가 "그것은 그의 형이상학 (l. ii. (iv. c.7.)과 그의 분석 (l. i. c. 2)와 후방 (1. i. c. 4)의 양쪽 구절 모두에서 아리스토텔레스에 의해 명백하고 강하게 강조되어 있다.이 중 첫 번째에서, 그는 다음과 같이 말한다: " 모순된 대립자들 사이에 어떤 매체가 존재해야 한다는 것은 불가능하지만, 모든 것을 긍정하거나 부정할 필요가 있다." [해밀턴 렉트. V. 로직. 65]

"아이덴티티의 법칙.[해밀턴은 이것을 "모든 논리적 긍정과 정의의 원리"라고 부르기도 한다.] 안토니우스 안드레아스:내가 말한 정체성의 법칙은 비교적 최근의 기간까지 좌표원리로 설명되지 않았다.내가 이렇게 된 것을 발견한 최초의 작가는 13세기 말과 14세기 초에 번성했던 스코투스의 학자 안토니우스 안드레아스다.그 학자는, 가장 기발하고 독창적인 견해로 가득 찬 그의 아리스토텔레스의 형이상학 해설의 네 번째 책에서, 정체성의 법칙을 주장할 뿐만 아니라, 모순의 법칙에 대항하여 존엄성을 조정한다고 주장할 뿐만 아니라, 모순의 원칙이 아니라 정체성의 원리를 고수하고 있다.on, is the one first one. on, is the first.안드레아스가 그것을 표현한 공식은 엔스 에스트 엔스였다.이 저자의 뒤를 이어, 정체성과 모순의 두 법칙의 상대적 우선 순위에 관한 질문이 학교 내에서 크게 동요되었다. 비록 이 최고 등급인 배제된 중간 법칙을 주장하는 사람들도 발견되기도 했다. [해밀턴 RECT. V. LOICY. 65–66]

3대 전통법칙: 정체성, 비대립성, 배제중간

다음은 베르트랑 러셀(1912년)의 말에 세 가지 전통적 "법칙"을 기술할 것이다.

동일률

정체성의 법칙: '무엇이든지 간에, 그것은'이다.^[2]

모든 a에 대해: a = a.

이 법칙에 대해 아리스토텔레스는 다음과 같이 썼다.

첫째로, 적어도 이것은 명백하게 사실이다. "be" 또는 "not be"라는 단어는 확실한 의미를 가지고 있기 때문에, 모든 것이 "so and not"이 아닐 것이다.다시 말하지만, 만약 "인간"이 하나의 의미를 가지고 있다면, 이것을 "두 발 동물"로 하고, 내가 이것을 이해한 한 가지 의미를 가지도록 하라:——"인간"이 "X"라면, A가 그에게 "사람이 되는" 것이 "X"가 그에게 의미하는 것이 될 것이다. (단어가 여러 가지 의미를 가지고 있다고 말하더라도, 그 수가 한정되어 있다면, 각각의 정의가 배정될 수 있다.다른 말을 하다예를 들어, 우리는 "인간"이 하나의 의미가 아니라 여러 가지 의미를 가지고 있다고 말할 수 있는데, 그 중 하나는 하나의 정의인 viz를 가지고 있을 것이다."두 발 동물"은 숫자로만 제한될 경우 몇 가지 다른 정의가 있을 수 있지만, 각각의 정의에 고유한 이름이 지정될 수 있다.그러나, 만약 그들이 그 단어에 무한한 의미가 있다고 말하는 것이 아니라, 그 단어에 무한한 의미가 있다고 말하는 것이라면, 분명히 추리는 불가능할 것이다. 한 가지 의미를 갖지 않는 것은 의미가 없는 것이고, 만약 말이 서로, 그리고 실제로 우리 자신과의 추리는 아무런 의미가 없다면, 그 어떤 것도 생각할 수 없기 때문이다.만약 우리가 한 가지를 생각하지 않는다면, 그러나 만약 이것이 가능하다면, 하나의 이름이 이 물건에 할당될 것이다.)

— Aristotle, Metaphysics, Book IV, Part 4 (translated by W.D. Ross)^[3]

2천년 이상이 지난 후, 조지 부울은 아리스토텔레스가 언어의 본질과 그 안에 자연스럽게 들어가야 할 그 원리들에 대해 다음과 같은 관찰을 했을 때와 똑같은 원리를 암시했다.

실제로 언어의 본질에 기초하고 있는 특정한 일반 원칙이 존재하는데, 이 원칙에 의해 과학적 언어의 요소들에 지나지 않는 기호들의 사용이 결정된다.어느 정도 이 요소들은 임의적이다.그들의 해석은 순전히 관습적이다: 우리는 우리가 원하는 어떤 의미에서도 그들을 고용할 수 있다.그러나 이 허가는 두 가지 필수조건에 의해 제한된다. 첫째, 관습적으로 확립된 후 우리는 결코 같은 추리의 과정에서는 출발하지 않는다. 둘째, 프로세스가 수행되는 법칙은 위에서 정한 감각이나 채택된 기호들의 의미에 의해서만 성립된다.

— George Boole, An Investigation of the Laws of Thought

비반복의 법칙

비대조의 법칙(대체로 ' 모순의 법칙'):^[4] '그 무엇도 있을 수 없고 없을 수도 없다.'^[2]

즉, "두 개 이상의 모순된 진술이 동시에 둘 다 진실일 수는 없다.": :(A∧¬A)

아리스토텔레스의 말에 의하면, "그것은 무엇이고, 그것은 같은 존경과 동시에 그렇지 않다고 말할 수 없다"고 한다.이 법률의 예로서 그는 다음과 같이 썼다.

그렇다면 "남자가 되는 것"이 한 가지 주제에 대해 어떤 것을 의미할 뿐만 아니라 하나의 의미를 갖는다면, "남자가 되는 것"이 정확히 남자가 되지 않는 것을 의미해야 한다는 것은 불가능하다.그리고 우리가 '남자'라고 부르는 사람과 다른 사람들이 '남자'라고 부르는 사람과 다른 사람들이 '남자'라고 부르는 것처럼 애매모호한 점만 빼고는 같은 존재가 되고 안 되는 것은 가능하지 않을 것이다. 하지만 문제의 핵심은 이것이 아니라, 같은 것이 동시에 명목상의 사람이 될 수 있는지 여부, 사실일 수 있는지 여부다.

— Aristotle, Metaphysics, Book IV, Part 4 (translated by W.D. Ross)^[3]

제외중간의 법칙

배제된 중간의 법칙: '모든 것은 반드시 있거나 아니면 안 된다.'^[2]

배제된 중간 또는 제3의 법칙에 따라, 모든 명제에 대해 긍정적이거나 부정적인 형태가 참이다.A∨¬A.

배제된 중간의 법칙에 대해 아리스토텔레스는 다음과 같이 썼다.

그러나 다른 한편으로 모순 사이에는 중간이 있을 수 없지만, 한 가지 주제에 대해서는 우리는 어떤 술어라도 긍정하거나 부정해야 한다.이것은 분명한데, 애초에 우리가 진실과 거짓이 무엇인지 정의한다면 말이다.무엇이 아니라고 말하는 것은 거짓이고, 무엇이 아니라고 말하는 것은 거짓이다. 반면에 그것이 무엇이고, 그렇지 않다고 말하는 것은 진실이다. 그래서 그것이 무엇이고, 그렇지 않다고 말하는 사람은 무엇이든지 진실인지 거짓인지를 말할 것이다.

— Aristotle, Metaphysics, Book IV, Part 7 (translated by W.D. Ross)^[3]

이론적 근거

위의 해밀턴의 인용구가 나타내듯이, 특히 "정체성의 법칙" 진입에 대한 이론적 근거와 표현은 플라톤 이후 철학적인 논쟁의 비옥한 토대가 되어 왔다.오늘날 우리가 어떻게 사물과 우리의 생각의 세계를 "알게 되는지"에 대한 논쟁은 계속된다; 합리주의자들의 예로는 아래 항목들을 본다.

플라톤

플라톤의 소크라테스 대화 중 하나에서 소크라테스는 자기성찰에서 파생된 세 가지 원리를 설명했다.

첫째로, 그 어떤 것도 그 자체와 동일하지만, 그 수나 규모에 있어서 더 크거나 더 작아질 수 없다는 것이다.둘째로, 덧셈이나 뺄셈이 없다면 어떤 것도 증가하거나 감소할 수 없으며, 오직 평등만이 존재한다는 것이다...셋째로, 전에는 없었던 것은 그 후에 될 수 없고, 그 후에 될 수 없다.

— Plato, Theaetetus, 155^[5]

인도 논리

비반전성의 법칙은 고대 인도의 논리학에서 슈라우타 수트라스, 파지니의 문법,^[6] 그리고 바야사에게 귀속된 브라흐마 수트라스에서 메타 법칙으로 발견된다.그것은 나중에 마드바차랴와 같은 중세 해설자들에 의해 상세히 설명되었다.^[7]

로크

존 로크는 정체성과 모순의 원리(즉 정체성의 법칙과 비 모순의 법칙)는 일반적인 사상이며 상당히 추상적이고 철학적인 사고를 거쳐서만 사람들에게 발생했다고 주장했다.그는 정체성의 원리를 '자신들이란 무엇인가'라고 특징지었고, 모순의 원리를 '같은 것이 있을 수도 없고 없을 수도 없다'고 표현했다.로크에게 이것들은 선천적인 원칙이나 선험적인 원칙이 아니었다.^[8]

라이프니츠

고트프리드 라이프니즈는 두 가지 추가적인 원칙을 공식화했는데, 이 두 원칙 중 하나 또는 둘 다 때로는 사상 법칙으로 간주되기도 한다.

• 충분한 이유의 원칙
• 불분명한 사람들의 정체성

라이프니츠의 사상에서는 물론, 일반적으로 합리주의의 접근에 있어서도, 후자의 두 원칙은 명확하고 논증할 수 없는 공리로 간주된다.그들은 비록 19세기에는 더 큰 논쟁의 대상이 되었지만 17세기, 18세기, 19세기의 유럽사상에서 널리 인정받았다.연속성의 법칙이 있는 것으로 판명되었듯이, 이 두 법률은 현대적인 관점에서 많은 논쟁과 분석의^{[clarification needed]} 대상이 되는 문제들을 포함한다.라이프니츠의 원칙은 특히 독일 사상에 영향을 미쳤다.프랑스에서는 항만-로얄 로직(Port-Royal Logic)이 그들에게 덜 휘둘렸다.헤겔은 그의 논리학(1812–1816)에서 명백한 것의 정체성과 싸웠다.

쇼펜하우어

사법

"사상의 제1법칙, 즉 사고할 수 있는 자의 조건은 4: – 1. 정체성의 법칙 [A] 2.모순의 법칙 3.배제의 법칙, 또는 배제된 중간. 4.충분한 이성의 법칙."(토마스 휴즈, 버클리와 현실 세계의 이상론, 파트 2, 섹션 XV, 각주, 페이지 38)

아서 쇼펜하우어는 사상의 법칙을 논하고 그것들이 이성의 기본이라는 것을 증명하려고 애썼다.그는 자신의 '충분한 사유 원칙의 네 가지 루트, §33'에서 다음과 같은 방법으로 그것들을 열거했다.

1. 과목은 그 술어의 합 또는 a = a와 같다.
2. 어떤 술어도 동시에 주어, 또는 ≠ ~a로 귀속되고 부정될 수 없다.
3. 모순되게 반대되는 두 가지 술어 중 한 가지는 모든 과목에 속해야 한다.
4. 진실은 판단의 충분한 이유나 근거로서 그 밖의 어떤 것에 대한 판단의 언급이다.

또한:

사상의 법칙은 다음과 같이 가장 쉽게 표현할 수 있다.

1. 존재하는 모든 것이 존재한다.
2. 어떤 것도 동시에 있을 수 없고 없을 수도 없다.
3. 모든 것이 그렇거나 그렇지 않다.
4. 모든 것 중에서 왜 그런지 알 수 있다.

그렇다면 논리에 있어서 질문은 실제 사물에 관한 것이 아니라 개념에 관한 것이라는 사실만을 덧붙여야 할 것이다.

— Schopenhauer, Manuscript Remains, Vol. 4, "Pandectae II", §163

그들이 이성의 근본임을 보여주기 위해 그는 다음과 같은 설명을 했다.

내가 이성의 교수진에 대한 자기성찰이라고 부를지도 모르는 반성을 통해 우리는 이러한 판단들이 모든 사상의 조건의 표현이라는 것을 알 수 있고 따라서 이것들을 그들의 근거로 삼는다.따라서 이러한 법률에 반대하여 생각하려는 헛된 시도를 함으로써 이성의 학부는 그것들을 모든 사상의 가능성의 조건으로 인식한다.그리고 나서 우리는 그들의 관절과 반대 방향으로 우리의 사지를 움직이는 것만큼 그들과 반대되는 생각을 하는 것이 불가능하다는 것을 알게 된다.만약 피험자가 그 자체를 알 수 있다면, 우리는 그 법칙들을 즉시 알아야 하며, 우선 사물에 대한 실험, 즉 표현(정신적 이미지)을 통해서는 안 된다.

— Schopenhauer, On the Fourfold Root of the Principle of Sufficient Reason, §33

쇼펜하우어의 4가지 법칙은 다음과 같은 방법으로 개략적으로 제시할 수 있다.

1. A는 A이다
2. A는 A가 아니다.
3. X는 A이거나 A가 아니다.
4. 만약 A가 B를 의미한다면, B(A가 B를 의미함).

두 가지 법칙

이후 1844년 쇼펜하우어는 사상의 4법칙이 2법칙으로 축소될 수 있다고 주장했다.의지와 대표로서의 세계 제2권 9장에서 그는 다음과 같이 썼다.

내가 보기에 사상의 법칙은 배제된 중간 법칙과 충분한 이유의 법칙을 둘만 세우면 단순화될 수 있을 것 같다.전자는 따라서 "모든 술어는 모든 주제에 대해 확인되거나 거부될 수 있다"고 말했다.여기서 그것은 이미 두 가지 모두 동시에 일어날 수 없는, 그리고 결과적으로 정체성과 모순의 법칙에 의해 표현되는 것만을 "둘 중 하나"에 포함하고 있다.따라서 이러한 단어들은 실제로 두 개념의 모든 공간은 단결된 것으로 또는 분리된 것으로 생각되어야 하지만 동시에 둘 다로 생각되어서는 안 된다고 말하는 그 원리의 요람으로 추가될 것이다. 따라서, 비록 후자를 표현하는 단어들이 함께 결합되더라도, 이 단어들은 실행될 수 없는 사고의 과정을 주장할 것이다.이 실현 불가능에 대한 의식은 모순의 느낌이다.두 번째 사상의 법칙, 즉 충분한 이성의 원리는 위의 귀속이나 반론이 판결 자체와는 다른 것에 의해 결정되어야 한다고 단언할 것이며, 이는 (순수 또는 경험적) 인식일 수도 있고, 또는 단지 다른 판단일 수도 있다.이 다른 또 다른 것과 다른 것을 그 때 판단의 근거나 이성으로 부른다.판단이 사상 최초의 법칙을 만족시키는 한, 그것은 생각할 수 있다; 그것이 두 번째 법칙을 만족하는 한, 그것은 진실이다. 또는 적어도 판단의 근거가 논리적으로나 형식적으로만 다른 판단인 경우에는 그것은 진실이다.^[9]

부울(1854):그의 "마음의 법칙"에서 볼은 아리스토텔레스의 " 모순의 법칙"을 파생한다.

조지 불의 1854년 논문의 제목인 '생각의 법칙에 관한 조사'는 다른 길을 나타낸다.그 법칙들은 이제 그의 "마음의 법칙"에 대한 대수적 표현으로 통합되고, 수년 동안 현대적인 부울 대수학으로 갈고 닦았다.

근거:정신의 법칙을 어떻게 구별할 것인가.

Boole은 그의 챕터 I "본작품의 자연과 디자인"을 시작하며, 일반적으로 "마음의 법칙"과 "자연 법칙"을 구별하는 특징에 대한 논의를 시작한다.

"자연의 일반법칙은 대부분 즉각적인 지각의 대상이 아니다.그것들은 사실의 큰 틀에서 나온 귀납적 추론이거나, 그들이 표현하는 공통의 진리이거나, 적어도 그 기원에서 인과적 성질의 물리적 가설들이다……그들은 모든 경우에 있어서, 그리고 가장 엄밀한 의미에서, 가능성 있는 결론은, 실제로, 그리고 점점 더 많은 경험의 확인을 받기 때문에, 확실성에 근접해 가고 있다. ..."

이와는 대조적으로 그는 "마음의 법칙"이라고 부른다: Boole은 반복할 필요 없이 이러한 것들이 그들의 첫 번째 사례에서 알려져 있다고 주장한다.

"반면, 정신의 법칙에 대한 지식은 그 기초로서 어떤 광범위한 관찰의 수집을 요구하지 않는다.일반적인 진실은 특정한 예에서 볼 수 있으며, 예시의 반복에 의해 확인되지는 않는다. …우리는 일반적인 진리를 특정 예에서 볼 뿐만 아니라, 실제적인 검증의 경험이 증가해도 계속 증가하지 않을 것이라는 우리의 신뢰도 - 확실한 진리로 본다."(Boole 1854:4)

부울의 표시와 그들의 법

Boole은 "classes", "operation" 및 "identity"를 나타내는 "signs"의 개념으로 시작한다.

"언어의 모든 징후는 추론의 도구로서 다음과 같은 요소로 구성된 신호체계에 의해 수행될 수 있다.

"1차 리터럴 기호는 x, y 등 우리 개념의 주체로 사물을 표현한다.

"2차 운영의 징후(+, -, x)는 동일한 요소를 포함하는 새로운 개념을 형성하기 위해 사물의 개념이 결합되거나 해결되는 마음의 운영을 위한 것이다.

"3번째 정체성의 표시, =.

그리고 이러한 논리의 기호들은 일정한 법칙에 따라 사용되는데, 대수학에서 해당 기호들의 법칙과 부분적으로 일치하고 부분적으로 다르다. (Boole 1854:27)

그런 다음, Boole은 x, y, z, ...와 같은 "문자 기호"가 무엇을 의미하는지 명확히 한다. 즉, 인스턴스 집합에 적용되는 이름이다.예를 들어, "새"는 깃털이 달린 날개 달린 온혈 생물들의 전체 부류를 나타낸다.그의 목적을 위해 그는 계급 개념을 "하나" 또는 "아무것도" 또는 "우주"의 구성원 자격을 나타내도록 확장한다. 즉, 모든 개인의 총체성:

"그러고 나서 우리는 특정한 이름이나 설명이 적용되는 개인들의 클래스를 하나의 문자로 z. ...로 나타내는데 동의합시다.클래스에 의한 것은 대개 개인의 집합이며, 각각의 특정한 이름이나 설명이 적용될 수 있다. 그러나 이 작품에서는 용어의 의미가 확장되어 필요한 이름이나 설명뿐만 아니라 "아무것도 아닌"이라는 용어로 표시된 사례도 한 개인이 존재하는 경우를 포함할 것이다.d "클래스"로서 각각 '존재 없음' '모든 존재'로 구성되어야 하는 "유니버스" (Boole 1854:28)

그런 다음 그는 xy와 같은 기호 문자열이 다음을 가리키는 것을 정의한다.

"더 나아가, x와 y로 대표되는 이름이나 설명이 동시에 적용되는 사물의 등급이 xy로 표시되어야 한다는 점에 동의하십시오.따라서 x만 "흰 것"을 의미하고 y는 "쉬프"를 의미한다면 xy는 "흰 양"을 의미하도록 하라. (Boole 1854:28)

이러한 정의에 따라 그는 이제 자신의 법률에 정당성을 더하고 예를 들어 다음과 같이 나열한다(볼에서 파생됨).

• (1) xy = yx [규약법]

"x는 '추정'과 y '추정'을 나타내며, xy와 yx는 무관심하게 '추정' 또는 '강'을 나타낼 것이다."

• (2) xx = x, x², 교대로 x = x [뜻의 절대적 정체성, Boole의 "근본적인 사상 법칙" cf 페이지 49]

"그러므로 '좋은', '좋은' 사람은 '좋은' 사람과 같다."

논리적 OR: Boole은 "부분을 전체로 수집하거나 부분 전체를 분리하여 수집"을 정의한다. (Boole 1854:32)여기서 결합적 "및"은 "또는"과 같이 분리적으로 사용된다; 그는 "집합"이라는 개념에 대한 상호 교환법 (3)과 분배법(4)을 제시한다."-" 운영과 함께 그가 상징하는 부분과 전체를 분리하는 개념. 그는 이 개념에 대해 다음과 같은 상호 작용(5)과 분배 법칙(6)을 정의한다.

• (3) y + x = x + y [법률]

"그러니까 '남녀'라는 표현은...'여성과 남자'라는 표현과 동등한.x가 '남자', y, '여자'를 대표하고 +가 'and'와 'or'를 대표하도록 하라 ..."

• (4) z(x + y) = zx + zy [연속법]

z = 유럽인, (x = "남자, y = 여자):유럽 남녀

• (5) x - y = -y + x [규약법: 부분과 전체 분리]

"아세아틱스(y)"를 제외한 모든 남성(x)은 x - y로 표시되며, "군주 상태(y)를 제외한 모든 상태(x)"는 x - y로 표시된다.

• (6) z(x - y) = zx - zy [직렬법]

마지막으로 「=」로 상징되는 「정체성」의 개념이다.이렇게 하면 두 개의 공리가 허용된다: (axiom 1): 동등의 결과에 동등이 추가되고, (axiom 2): 동등의 결과에서 감산되는 등가.

• (7) ID("is", "are") 예: x = y + z, "별" = "태양" 및 "행성"

아무것도 "0"과 "1": 그는 xx = x를 만족시키는 두 숫자만 0과 1이라는 것을 관찰한다.그리고 나서 그는 0은 "아무것도"를 나타내는 반면 "1"은 (담론의) "유니버스"를 나타낸다고 관찰한다.

논리적 NOT: Boole은 반대(논리적 NOT)를 다음과 같이 정의한다(그의 제안 III).

"x가 어떤 등급의 물체를 나타내는 경우, 1 - x는 반대 또는 보조 등급의 물체를 나타낼 것이다. 즉, 클래스 x에서 이해되지 않는 모든 물체를 포함하는 클래스"(1854:48)

x = "men"이면 "1 - x"는 "universe"에서 "men", 즉 "not men"을 뺀 "men"을 나타낸다.

범용과 반대되는 특정 개념:"어떤 남자"의 개념을 나타내기 위해, Boole은 술어-심볼 "vx" 앞에 작은 글자 "v"를 쓴다.

배타적 및 포괄적-OR: Boole은 이러한 현대적 이름을 사용하지 않지만, 그는 이를 각각 x(1-y) + y(1-x) 및 x + y(1-x)로 정의한다. 이들은 현대의 부울 대수를 통해 도출된 공식과 일치한다.^[10]

Boole은 모순의 법칙을 도출한다.

자신의 "체계"로 무장한 그는 자신의² 정체성 법칙: x = x. 양쪽에서 x를 빼서² x - x = 0을 양보한다.그런 다음 x: x(x - 1) = 0을 인수한다. 예를 들어, x = "men"이면 1 - x는 NOT-men을 나타낸다.그래서 우리는 " 모순의 법칙"의 예를 가지고 있다.

"헨스: x(1 - x)는 한 번에 구성원이 "남성"이고, "남성"이 아닌 계층을 나타낼 것이다." 등식 [x(1 - x)=0]은 이와 같이 구성원이 동시에 남성이고 남성이 아닌 계층은 존재하지 않는다는 원칙을 표현한다.즉, 같은 개인이 인간이 아닌 동시에 인간이 되는 것은 불가능하다는 것이다…… 이것은 아리스토텔레스가 모든 철학의 근본 공리로 기술한 " 모순의 원리"와 동일시되는 것이다…… 일반적으로 형이상학의 근본 공리로 간주되어 온 것은 단지 하나의 법칙의 결과일 뿐이다.사고방식, 형태별 수학적 사고방식.(cf Boole 1854:49ff에 대한 이 "이분법"에 대한 더 많은 설명과 함께)

Boole은 "언론의 도메인(단일우주)" 개념을 정의한다.

이러한 개념은 Boole의 "생각의 법칙"에서 발견된다. 예를 들어, 1854:28. 여기서 기호 "1" (정수 1)은 "무(無)"를 나타내기 위해 "유니버스"와 "0"을 나타내기 위해 사용되며, 이후 (42ff페이지)는 훨씬 더 자세히 다음과 같다.

" 자, 우리 담론의 모든 대상들이 발견되는 영역의 범위가 무엇이든지 간에, 그 분야는 담론의 우주라고 적절하게 불릴 수 있을 것이다…더군다나 이 담론의 세계는 가장 엄밀한 의미에서 담론의 궁극적인 대상이다."

그의 장 "미적분학"에서 클레네는 담론의 "도메인"의 명세가 "사소한 가정은 아니다. 수학에서와 마찬가지로 일반 담론에서도 항상 명확하게 충족되지 않기 때문에 논리는 명시적으로나 암묵적으로 D[도메인]이 명시적으로나 암묵적으로 명기되지 않았을 때 또는 의 명세가 상당히 미끄러워질 수 있다.a d [도메인]은 너무 모호하다(Kleene 1967:84).

해밀턴 (1837–38년 논리에 관한 강의, 1860년 출판) : 제4회 "이성과 결과"

위에서 언급한 바와 같이, 해밀턴은 다음과 같은 네 가지 법칙, 즉 세 가지 전통적인 법칙과 네 번째 "이성과 결과의 법칙"을 명시하고 있다.

"XIII. 사상의 기본 법칙, 또는 흔히 접하는 생각의 조건들은 4: – 1. 정체성의 법칙; 2.모순의 법칙; 3.제외의 법칙 또는 제외된 중간 및, 4이성과 결과의 법칙 또는 충분한 이성의 법칙."^[11]

이론적 근거: "논리는 사상으로서의 사상 법칙의 과학"

해밀턴은 그 생각이 "필요하다"와 "컨셉턴트"의 두 가지 형태로 나타난다."필요한" 형식에 관해서 그는 그것의 연구를 "논리학"으로 정의한다: "논리학은 필요한 형태의 사고의 과학이다." (해밀턴 1860:17)"필요한"을 정의하기 위해 그는 그것이 다음 네 가지 "적격성"^[12]을 내포하고 있다고 주장한다.

(1) "사고 주체 자체의 본질에 따라 필요하거나 필요함...객관적으로 결정되지 않고 주관적으로 결정된다.

(2) "원본이며 취득하지 않음"

(3) "필요하다, 즉 어떤 경우에 필요하며, 다른 경우에 필요하지 않다는 것은 있을 수 없다.

(4) "법칙은 반드시 법이어야 한다. 법은 예외 없이 모든 경우에 적용되고, 언제나, 그리고 어디에서나 일탈이 불가능하거나, 최소한 허용되지 않는 것이기 때문이다. ...마찬가지로 이 마지막 조건도 논리는 사상으로서의 사상 법칙의 과학이나 사상의 형식 법칙의 과학 또는 사상 형태의 법칙의 과학이라고 말함으로써 논리의 목적-물질에 대한 가장 노골적인 포고를 할 수 있게 한다.이 모든 것은 단지 같은 것의 다양한 표현일 뿐이기 때문이다."

해밀턴의 4법칙: "근거도 이유도 없이 아무것도 아닌 것"

해밀턴의 4번째 법칙은 그의 강연에서 나온 것이다.

"나는 이제 제4법칙으로 간다.

"파르. 16세. 충분한 이유의 법칙 또는 이유와 결과:

"XVII. 실제로 긍정적이거나 부정적인 속성으로 특징지어지는 사물에 대한 사고는 이해의 변덕에 맡겨지는 것이 아니라, 그 교직원들은 사고 과정 자체와 다른 무언가에 대한 지식에 의해 생각의 행동을 결정하도록 요구되어야 한다.우리가 이해하는 이 조건은 법률에 의해 충분한 이유(원칙적인 배급제)로 표현되지만, 이성과 결과의 법칙(원칙적인 배급제 및 성결제)이 더 적절하게 표시된다.마음이 다른 것을 긍정하거나 실증할 필요가 있는 지식을 논리적인 이유의 근거 또는 선행이라고 한다. 마음이 긍정하거나 실증할 필요가 있는 것을 논리적인 결과라고 한다. 그리고 이성과 결과 사이의 관계를 논리적인 연관성 또는 결과라고 부른다.이 법칙은 근거나 이유 없이 추론할 수 없다라는 공식으로 표현된다.¹

이성과 결과 사이의 관계:이성과 결과의 관계는 순수한 사상으로 이해될 때 다음과 같다.

1. 이유가 명시적으로 또는 암묵적으로 주어졌을 때는 반드시 그 결과가 존재해야 하고, 반대로 그 결과가 주어졌을 때는 그 이유 또한 존재해야 한다.

¹ Schulze, Logik, §19 및 Krug, Logik, §20, – ED를 참조하십시오.

2. 이유가 있을 수 없는 경우, 그리고 그 반대인 경우, 결과(암묵적으로든 명시적으로든)가 없는 경우에는 이유가 있을 수 없다.즉, 이성과 결과의 개념은 호혜적 상대적 개념으로서 서로 관련되고 가정한다.

이 법의 논리적 의미는 다음과 같다.이성과 결과의 법칙의 논리적 의미는 여기에 있다. – 그 덕택에, 사상은 모든 불분명한 연관성이 있는 일련의 행동으로 구성된다. 각각은 반드시 다른 것을 유추한다.따라서 논리에 도입된 가능한 물질, 실제 물질, 필요한 물질의 구별과 반대는 전적으로 이 과학과는 무관한 교리라는 것이다.

웰턴

19세기에는 아리스토텔레스의 사상 법칙뿐만 아니라 때로는 라이프니지스의 사상 법칙이 논리 교과서의 표준 재료였고, J. 웰튼은 다음과 같이 기술했다.

사상의 법칙, 사상의 규율 원칙 또는 지식의 체계는 모든 타당한 사상이 반드시 계승되어야 하는 기본적, 필요적, 형식적, 선행적 정신법칙이다.그들은 선험적인 존재, 즉 현실 세계의 사실에 대해 행사되는 이성의 과정으로부터 직접 비롯된다.그것들은 형식적이다. 왜냐하면 모든 생각의 필수 법칙으로서 그들은 동시에 어떤 특정한 종류의 사물의 확실한 속성을 확인할 수 없기 때문이다. 왜냐하면 그것은 우리가 사물을 생각하든 그렇지 않든 선택적이기 때문이다.아무도 자신의 마음에 나타나는 모순을 받아들이지 않기 때문에, 아무도 그것들을 뒤집거나 혹은 실제로 위반하지 않기 때문에, 그들은 필요하다.

— Welton, A Manual of Logic, 1891, Vol. I, p. 30.

러셀(1903–1927)

베르트랑드 러셀의 1903년 '수학의 원리'의 속편은 알프레드 노스 화이트헤드와 공동으로 쓴 프린시비아 매티매틱사(이하 PM)라는 이름의 3권 작품이 되었다.그와 화이트헤드가 PM을 발표한 직후 그는 1912년 "철학의 문제들"을 썼다.그의 "문제"는 "러셀의 논리의 중심 사상"^[13]을 반영한다.

수학의 원리 (1903)

1903년 "원칙"에서 러셀은 상징적 논리 또는 형식적 논리(그는 동의어로서 용어들을 사용한다)를 "다양한 일반적인 형태의 추론에 대한 연구"(Russell 1903:11)로 정의한다.그는 "심벌적 논리는 일반적으로 추론과 관련이 있다"(Russell 1903:12)고 주장하며, 각주로 추론과 추론을 구분하지 않는다는 것을 나타낸다. 더욱이 그는 유도를 "위장된 추론이거나 그럴듯한 추측을 하는 단순한 방법"이라고 생각한다(Russell 1903:11).이러한 의견은 1912년까지 바뀔 것이다. 이때 그는 자신의 "유도 원칙"이 "사상규정"을 포함하는 다양한 "논리적 원칙"과 동등하다고 생각한다.

제1부 "수학의 불변" 제2장 "심벌 논리" 제2부 "입안 미적분" 제 A절 "입안 미적분" 러셀은 추론("제안 미적분")을 2개의 "불변량"과 10개의 공리로 줄인다.

"17. 그렇다면 우리는 명제 미적분학에서 두 종류의 함축적 ^[14]함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 개념은 복잡한 개념이며, 그 분석은 계속 수행되어야 한다는 것을 기억해야 한다.우리의 두 가지 불요불요불굴의 명제를 필요로 하는데, 지금까지 나는 10개 이하로 줄이는 데 성공하지 못했다. (Russell 1903:15)

이로부터 그는 배제된 중간의 법칙과 모순의 법칙을 도출할 수 있다고 주장하지만, 그의 유래를 보여주지는 않는다(Russell 1903:17).그 후, 그와 화이트헤드는 PM에서 발견된 9개의 "원리 원리"와 공리를 연마했고, 여기서 러셀은 각각 1.71과 3.24원으로 이 두 개의 파생어를 보여준다.

철학의 문제 (1912년)

1912년까지 러셀은 그의 "문제"에서 "유도" (귀납적 추론)뿐만 아니라 "유도" (귀납적 추론)에도 세심한 주의를 기울이는데, 이 두 가지 모두 "사상 법칙"을 포함하는 "자명한 논리 원리"의 두 가지 예에 불과하다.^[4]

유도 원리:러셀은 그의 "유도 원리"에 한 장을 할애한다.그는 이를 두 부분으로 나누어 설명하는데, 첫째, (결합의 실패가 없는) 증거의 반복적인 수집으로서, 따라서 A가 발생할 때마다 B가 발생할 확률을 증가시키고, 둘째, 실제로 A가 발생할 때 B가 실제로 다음과 같이 된다. 즉, "충분히 많은 수의 관련 사례가 그 확률을 만들 것이다."거의 확실하고, 제한 없이 확실성에 접근하게 할 것이다."^[15]

그런 다음, 유도 원리의 모든 사례(인스턴스)를 그가 다음과 같이 표현하는 "일반" 유도 법칙으로 수집한다(예: 사례 1: A₁ = " 떠오르는 태양", B = "서쪽₂ 하늘"), 사례₁₂ 3: 등).

"(a) B형 물건과 관련하여 A형 물건이 발견된 사례가 많을수록 A형이 항상 B형과 연관되어 있을 가능성이 더 높다(연관불능 사례가 알려진 경우).

"(b) 같은 상황에서 A와 B의 연관성이 충분히 있는 경우 A가 항상 B와 연관되어 있다는 것을 거의 확신하게 될 것이며, 이 일반법이 제한 없이 확실하게 접근하게 할 것이다."^[16]

그는 이 유도 원리는 경험에 의해 반증되거나 증명될 수 없으며,^[17] 법은 확실성보다는 성공 확률을 다루기 때문에 분산되는 발생의 실패, 즉 아직 경험되지 않은 미증거 사례로 인한 증명 발생의 실패, 즉 미래에 발생할 것이라고 주장한다."그러므로 우리는 본질적인 증거에 근거하여 귀납적 원칙을 받아들여야 하거나 미래에 대한 기대의 모든 정당성을 포기해야 한다."^[18]

러셀은 다음 장("일반원칙에 대한 우리의 지식")에서 이와 유사한 성질을 가진 다른 원칙들을 제시한다: "경험에 의해 증명되거나 반증될 수는 없지만, 경험된 것에서부터 시작하는 논쟁에 사용된다."그는 이것들이 "유도의 원칙보다 훨씬 더 큰 증거를 가지고 있다"고 주장한다.그들에 대한 지식은 감각 데이터의 존재에 대한 지식과 같은 정도의 확실성을 가지고 있다.그들은 감각적으로 주어지는 것에서 추론을 이끌어내는 수단을 구성한다."^[19]

추론 원리:그리고 러셀은 그가 "논리적" 원칙이라고 부르는 예를 제시한다.이전에 두 번 그는 이 원칙을 주장했는데, 첫째는 1903년^[20] 자신의 4번째 공리였고, 그 다음으로는 PM의 첫 번째 "원리적인 명제"로서 "1911.1 진정한 초등 명제에 의해 암시되는 모든 것은 진실이다"^[21]라고 했다.이제 그는 1912년에 정제된 형태로 그것을 반복한다: "우리 원칙은 만약 이것이 그것을 암시하고, 이것이 사실이라면, 그것은 사실이라고 말한다.즉, '진정한 명제에 의해 암시되는 것은 모두 진실이다' 또는 '진정한 명제에서 뒤따르는 것은 모두 진실이다'^[22]라는 것이다.이 원칙은 "이 원칙은 모든 시위에 관련된다"고 말하면서 그가 강조한다.^[4]

그는 그의 추론원리를 모두스 폰스라고 부르지 않지만, PM (제2판 1927년)에서의 그의 형식적이고 상징적인 표현은 모두스 폰스의 그것이다; 현대 논리는 이것을 "법"과 반대되는 "규칙"이라고 부른다.^[23]뒤에 나오는 인용문에서 기호 '⊦'는 'assertion-sign'(cf PM:92)이고, '⊦'은 '진짜'라는 뜻이며, 따라서 'p'가 '태양이 떠오르고 있다'는 말은 '태양이 떠오르고 있다'는 뜻이고, '태양이 뜨고 있다'는 말은 번갈아 '진짜'라는 뜻이다."implation" 기호 "cf"는 일반적으로 "if p then q" 또는 "p increased q"(cf PM:7)로 읽힌다.이 "복제"라는 개념에는 두 개의 "원초적 생각", "반복적 기능"(NT에 의해 상징화됨, "~")과 "논리적인 총액 또는 불분립"(OR에 의해 상징화됨, "⋁")이 포함되어 있는데, 이것들은 PM(PM:97)에 "원초적 명제" ❋1.7과 ❋1.71로 나타난다.러셀은 이 두 가지 "원제"로 "p p q"를 정의하여 "~p by q"로 상징되는 공식 논리 동등성 "NOT-p OR q"를 갖는다.

"추론.추론의 과정은 다음과 같다: 명제 "p"가 주장되고 명제 "p가 q를 내포함"이 주장되며, 그 후 속편으로서 명제 "q"가 주장된다.추론 신뢰는 이전의 두 주장이 틀리지 않으면 최종 주장은 틀리지 않는다는 믿음이다.따라서 p와 q가 물론 특별한 결정을 가지고 있는 기호에서는 언제든지

"⊦p" 및 "⊦(p ⊃ q)"

"이러한 경우 " recordq"가 발생하며, "⊦q"를 기록하기를 원할 경우 발생할 것이다.추론의 과정은 기호로 축소될 수 없다.그것의 유일한 기록은 "⊦q"의 발생이다.추론은 진정한 전제를 버리는 것이다; 그것은 함축된 암시"이다.^[24]

즉, 추론의 긴 "끈"에서, 각각의 추론이 끝난 후 우리는 기호 문자열 "⊦p, ⊦(p⊃q)"에서 "일치" "⊦q"를 분리할 수 있고, 이러한 기호들을 항상 점멸하는 기호 문자열로 앞으로 운반하지 않을 수 있다.

전통적인 생각의 세 가지 "법칙"(원칙): 러셀은 다른 원칙을 주장하기 위해 나아가는데, 그 중 위의 논리 원리는 "하나뿐"이다.그는 "이들 중 일부는 어떤 논쟁이나 증거가 가능해지기 전에 허가되어야 한다"고 주장한다.그들 중 일부가 허락을 받았을 때, 다른 것들은 증명될 수 있다."이 다양한 "법칙" 중에서 그는 "이 원칙들 중 세 가지가 '생각의 법칙'^[25]이라는 이름으로 전통에 의해 선정되었다"고 주장한다.그리고 이 목록들은 다음과 같다.

"(1) 정체성의 법칙 : '무엇이든지 간에' 입니다.

(2) 모순의 법칙: '무엇이든 있을 수 있고 없을 수 없다.'

(3) 배제된 중간의 법칙: '모든 것은 반드시 있거나 아니면 안 된다.'"^[25]

근거:러셀은 "생각의 법칙"이라는 이름은 오해의 소지가 있다고 생각한다. 중요한 것은 우리가 이러한 법칙에 따라 생각하는 것이 아니라, 사물이 그 법칙에 따라 행동한다는 사실이기 때문이다. 즉, 우리가 그 법칙에 따라 생각할 때 우리는 진실로 생각한다는 사실이다."^[26]그러나 그는 이것을 "큰 문제"로 평가하고, 다음 두 장으로 확대하며, 여기서 그는 "선험적"(상식적이고 내장적인) 지식의 개념에 대한 조사로부터 시작하여, 궁극적으로 플라토닉 "우주 세계"를 수용하는 데 도달한다.그의 조사에서 그는 때때로 전통적인 세 가지 생각의 법칙으로 돌아와서, 특히 모순의 법칙을 선택한다: " 모순의 법칙이 사상의 법칙이라는 결론은 그럼에도 불구하고 잘못된 것이다...[사설] 모순의 법칙은 사물에 관한 것이지 단순히 생각에만 관한 것이 아니다... 세상의 사물에 관한 사실 말이다."^[27]

그의 주장은 전통적인 3대 사상 법칙이 "자명한 원칙의 표본"이라는 진술에서 시작된다.러셀에게 있어서 "자명한"^[28] 문제는 단지 우리가 어떻게 세상에 대한 우리의 지식을 이끌어내는지에 대한 더 큰 문제를 소개할 뿐이다.그는 "각각 '제국주의자'[로크, 버클리, 흄]라고 불리는 두 학교 사이의 역사적 논쟁과 '합리주의자'[데카르트, 라이프니즈]" (이 철학자들이 그의 예들이다.)^[29]를 인용한다.러셀은 이성주의자들이 "경험에 의해 우리가 알고 있는 것 외에도 우리가 경험과는 별개로 알고 있는 어떤 '신비한 생각'과 '신비한 원리'가 있다는 것을 유지했다"고 주장하고 있다.;^[29] 아기들이 "사상 법칙"에 대한 선천적인 지식을 가질 가능성을 제거하기 위해 러셀은 이러한 종류의 지식의 이름을 선험적으로 바꾸었다.그리고 러셀은 "경험의 도움 없이는 아무것도 존재한다고 알 수 없다"^[30]는 경험론자들의 의견에 동의하지만, 일부 지식은 특히 "논리와 순수한 수학의 명제뿐만 아니라 윤리의 근본적인 명제"^[31]라는 이성론자들의 의견에도 동의한다.

그러한 선험지식이 어떻게 존재할 수 있는지에 대한 이 질문은 러셀을 임마누엘 칸트의 철학에 대한 조사로 유도하는데, 이 조사는 세심한 검토 끝에 다음과 같이 거부한다.

"… 선험적 지식의 문제를 그의 방법으로 처리하려는 어떤 시도에도 치명적으로 보이는 한 가지 주된 반대가 있다.설명되어야 할 것은 그 사실들이 항상 논리와 산수에 부합해야 한다는 우리의 확신이다...따라서 칸트의 해법은 선험적 명제의 범위를 지나치게 제한하고, 그 확실성을 설명하려는 시도에 실패한다."^[32]

그 후 칸트에 대한 그의 반대는 러셀이 플라톤의 '이념론'을 받아들이도록 이끈다,지금까지 행해진 가장 성공적인 시도 중 하나";^[33] 그는 "... 우리는 우주에 대한 우리의 지식을 조사해야 한다고 주장한다.여기서 우리는 [이 고려사항]이 선험적 지식의 문제를 해결한다는 것을 알게 될 것이다.^[33]

프린세스 매머티카 (제1부 1910 초판, 1927년 2판)

불행히도 러셀의 "문제"는 귀납적, 연역적, 인간 추리에 적용되는 "최소 집합"의 원칙을 제시하지 않는다.그러나 PM은 최소한 "Part I: Matical Logic"의 시작 부분에서 총 8개의 원리인 명제 미적분학을 통한 연역 추론에 충분한 예시 집합(최소는 아니지만, 아래 포스트 참조)을 제공한다.각 공식:❋1.2 ~ :❋1.6은 tautology(p, q, r ...의 진실-값이 어떻든 상관 없이 참이다)이다.PM의 치료에서 빠진 것은 공식적인 대체 규칙이다;^[34] 그의 1921년 박사 논문에서 Emil Post는 이러한 결핍을 고친다(아래 포스트 참조).다음 공식에는 PM에서 사용된 것보다 더 현대적인 형식으로 쓰여 있다. PM에서는 이름이 주어진다.)

【1.1 진정한 초등적 명제에 의해 암시되는 것은 모두 사실이다.

❋1.2 Tautology의 원리: (p ⋁ p) ⊃ p

❋1.3 [논리적] 추가의 원칙: q ⊃ (p ⋁ q)

❋1.4 순열의 원리: (p ⋁ q) ⊃ (q ⋁ p)

❋1.5 연상 원리: p ⋁ (q ⋁ r) ⊃ q q (p ⋁ r) [중복]

❋1.6 [논리적] 요약의 원칙: (q ⊃ r) ⊃ (p ⋁ q) ⊃ (p ⋁ r r)

❋1.7 [논리적 NOT]:p가 기초 명제라면 ~p는 기초 명제다.

❋1.71 [논리적 포함 OR]:p와 q가 기본 명제라면 (p p q)는 기본 명제다.

러셀은 이러한 원리를 "이것은 기초 명제에 적용되는 추론 이론에 필요한 원시 명제의 목록을 완성한다"(PM:97)로 요약한다.

이 여덟 tautologies고 대체의"규칙"의 무언의 사용부터, PM.(PM은"점"상징을 사용하여 백개가 넘게 다른 공식, 가운데 있는 법 Excluded 중학교 ❋1.71, 그리고 법 모순의 ❋3.24(이 후자 그건 그렇고, 현대 ⋀에 의해:비유하고 논리적(p⋀ q의 정의를 요구하는)=def ~(~p ⋁ ~q)이 유래하였다.f▪또는 논리 AND)).

라드-프랑클린(1914년): "배제의 원칙"과 "소진 원칙"

러셀과 화이트헤드가 그들의 프린키마티카 마지막 권을 완성하고 있는 거의 같은 시간(1912년)에 러셀의 "철학의 문제들"을 출판한 것은 적어도 두 명의 논리학자(루이 쿠투랏, 크리스틴 라드-프랭클린)가 모순의 법칙(원칙)과 "제외된 중간"의 두 가지가 필요하다고 주장하고 있었다.라드-프랑클린은 이러한 배척과 소진의 원리로 이름을 바꾸었다.다음은 쿠투랏 1914년 23페이지에 각주로 나타난다.

"LADD·FrankLN Mrs. LADD·FrankLN이 진정으로 언급했듯이(BaldWIN, 철학과 심리학의 사전, "사상규정") 모순의 원리는 모순을 정의하기에 충분하지 않다. 모순의 원리의 명칭을 동등하게 받을 만한 배제된 중간의 원리가 추가되어야 한다.그래서 RADD-프랭클린 부인은 두 가지 모순된 용어가 배타적(다른 용어 중 하나)이고, 두 번째 용어로는 (담론의 우주) 전전적이기 때문에 각각 배타적 원리와 탈진적 원리로 부르자고 제안하는 것이다.

즉, "대립론"의 창조는 이분법 즉, 담론의 세계를 (i) 상호 배타적(상호적)과 (ii) (집합적으로) 배타적(전반적)이라는 두 가지 특성을 가진 두 부류(집합)로 나누는 '분열'을 나타낸다.^[35]즉, 한 가지(담론의 우주에서 끌어온)가 동시에 두 계급(비대조적 법칙)의 구성원이 될 수는 없지만, [그리고] 모든 것(담론의 우주에서)은 한 계급 또는 다른 계급(배제된 중간 법칙)의 구성원이어야 한다.

우편(1921년):명제 미적분은 일관되고 완전하다.

에밀 포스트는 박사학위 논문 '초등명제 일반론 도입'의 일환으로 '프린키아의 초등명제 체계(PM])' 즉, PM의 최초 8개 '초등명제'에서 설명한 '선제적 미적분'^[36]이 일관성이 있음을 입증했다."일관성"의 정의는 다음과 같다. 즉, 당면한 연역적 "제도"(그 명기된 공리, 법, 규칙)를 통해 공식 S와 모순되는 ~S(즉, 논리적 부정) 모두를 도출(표시)할 수 없다는 것이다(Nagel과 Newman 1958:50).이를 공식적으로 증명하기 위해 포스트는 PM의 8대 원초적 명제에 원시적 명제를 추가해야 했는데, 이 명제는 1910년 원래의 PM에서 빠진 '제헌' 개념을 명시한 '규칙'이다.^[37]

PM의 아주 작은 "원초적 제안"과 그 일관성의 증거를 볼 때, Post는 이 시스템("PM의 제안 미적분")이 완성되었다는 것을 증명한다. 즉, 가능한 모든 진실 표가 "시스템"에서 생성될 수 있다는 뜻이다.

"...모든 진리 체계는 프린키아의 시스템에 대표성을 가지고 있는 반면, 모든 완전한 시스템은 가능한 모든 진리표를 가지고 있는 것과 동등하다. ...따라서 우리는 진리표 개발뿐만 아니라 사후적으로도 완전한 시스템이 프린키아의 시스템과 동등하다고 본다.다른 시스템들이 어떤 의미에서 완전 시스템의 퇴보적인 형태에 있기 때문에 우리는 새로운 논리 시스템이 도입되지 않는다고 결론 내릴 수 있다."^[38]

공리 최소 집합?그들의 독립에 관한 문제

그렇다면 공리의 "독립"의 문제가 있다.판 헤이제노르트는 1921년 포스트 1921 이전의 논평에서 폴 버네이스가 1918년 (그러나 1926년에 출판) 이 문제를 해결했다고 진술하고 있다 – 51.5 연합 원리: p ⋁ (q r r) q q ( (p r)는 다른 4개의 공식과 함께 증명될 수 있다.반 헤이제노르트는 "최소한의 '원초적 제안' 제도가 무엇인지에 대해 "질린스키(1925년), 포스트 자신(1941년), 웨닉(1942)이 조사했다"고 진술하고 있지만, 반 헤이제노르트는 질문에 대답하지 않는다.^[39]

모델 이론 대 증명 이론: 포스트의 증명

클레네(1967:33)는 "논리"가 두 가지 방법으로 "기초"될 수 있다고 본다. 첫째는 "모델 이론"으로, 둘째는 형식적인 "증거" 또는 "축소 이론"으로; "모델 이론과 증명 이론의 두 공식은 동등한 결과를 준다."(1967:33).이러한 근본적 선택과 그 동등성은 술어 논리에도 적용된다(Kleene 1967:318).

반 헤이제노르트는 포스트 1921에 대한 서론에서 "진실표적 접근법과 자명적 접근법 모두 명확하게 제시되어 있다"^[40]고 관측한다.양방향(모델 이론에 의한, 자명한 증명 이론에 의한)의 일관성 증명의 이 문제는 Nagel과 Newman 1958년 5장 "성공적인 절대 입증의 예"에서 찾아볼 수 있는 포스트의 일관성 증명의 보다 정합성 있는 버전에서 나온다.본문의 본문에서는 일관성을 입증하기 위해 모델을 사용한다(시스템이 완성되었지만 증거를 제공하지 않는다고 명시하기도 한다). (Nagel & Newman 1958:45–56)그러나 그들의 텍스트는 독자에게 모델에 의존하기보다는 자명한 증거를 약속하며, 부록에서는 공식을 서로 배타적이고 철저한 두 등급의 K와₁ K로₂ 나눈다는 개념에 기초하여 이 증거를 전달한다(Nagel & Newman 1958:109–113).

괴델(1930):1차 술어 미적분이 완성되었다.

(제한) "1차 술어 미적분"은 명제 논리(cf Post, 위)에 "주체-predicate"의 개념을 더하는 "논리 체계" 즉, 주제 x는 담론의 영역(유니버스)에서 따온 것이고, 서술어는 서술어로서의 논리적 함수 f(x): x는 주어로서, f(x)는 f(kleene 1967:74)이다.괴델의 증명에는 포스트의 증명과 같은 "완전성"이라는 개념이 포함되지만 괴델의 증거는 훨씬 더 어렵다. 뒤에 나오는 것은 공리 집합에 대한 논의다.

완성도

쿠르트 괴델 그의 1930년 박사 학위 논문"논리의 기능적 미적분의 공리계의 완전성"에 있어서 이"미적분학"의 모든 유효한 공식 또는이 똑같은 것 모든 유효한 분유와 따라서 입증할 수 있는 것과 다름없"또는 만족시킬 수 있는 논박할 수 있는"[41]은(예를 들면 평등이나 없는 술어 논리 제한)것을 증명했다.그논리가 완전하다다음은 "제한된 기능적 미적분"이 "완전"인지 여부에 대한 괴델의 정의다.

"… 실제로 모든 논리합리화 명제의 도출에 충분한지, 아니면 어디서든, 고려 중인 시스템에서는 도출할 수 없는 참된 명제(다른 원칙에 의해 증명될 수 있는)가 존재한다고 생각할 수 있다."^[42]

1차 술어 미적분학

이 특정한 술어 미적분은 "첫 번째 순서에 제한된다".명제 미적분학에는 담론의 영역 위에 확장되는 일반화 "모든 것을 위해"와 "존재하는 (적어도 하나)"를 상징하는 두 개의 특별한 기호를 추가한다.미적분학에는 첫 번째 개념만을 필요로 하지만, 일반적으로 (1) "모든 x에 대하여" 또는 "x에 대하여"라는 개념은 (x), ∀x, πx 등과 같이 다양하게 문헌에 상징되는 개념과 (2) "ex, ∃x로 다양하게 상징되는 (최소한 하나의 x)"라는 개념이 모두 포함된다.

The restriction is that the generalization "for all" applies only to the variables (objects x, y, z etc. drawn from the domain of discourse) and not to functions, in other words the calculus will permit ∀xf(x) ("for all creatures x, x is a bird") but not ∀f∀x(f(x)) [but if "equality" is added to the calculus it will permit ∀f:f(x); see below under타르스키.예:

f(x)라는 술어를 "x는 포유류"로 하고, 주제 영역(또는 담론의 우주)을 "bats"로 한다(cf Kleene 1967:84)를 "bats" 범주로 한다.

∀xf(x) 공식은 진리 값 "진리"를 산출한다(읽기: "모든 개체 '박쥐'의 x는 포유류"는 진리다. 즉, "모든 박쥐는 포유류").

그러나 x의 예가 "날개가 있는 생물" 도메인에서 도출된 경우, ∀xf(x)는 진리 값 "거짓"을 산출한다(즉, "날개가 있는 생물"의 모든 경우 x는 포유동물이다, "날개가 있는 곤충은 포유동물이다"는 진리 값을 갖는다).

그러나 넓은 영역의 담론 "모든 날개 달린 생물"(예: "새" + "날아다니는 곤충" + "날아다니는 다람쥐" + "날아다니는 다람쥐" + "날아다니는 다람쥐" + "다람쥐")를 주장할 수 있다(읽기: " 포유류인 날개가 있는 생물 하나 이상 존재한다"). x 물체는 "진리"의 진리치를 산출한다."날개"를 정의하는 방법에 대해 알아보십시오.그러나 담론의 영역이 "날아다니는 곤충"이나 "새" 또는 "곤충"과 "새"로 제한될 때 이 공식은 "신선"을 산출한다.

클렌은 "(평등이 없거나 있는) 술어 미적분학은 논리의 역할로 여겨져 온 것을 (첫 순서 이론에) 충분히 성취한다"(클렌 1967:322)고 말한다.

새로운 공리:아리스토텔레스의 격언 – "모든 것과 없는 것의 격언"

이 공리의 전반부는 괴델의 공리 집합에서 두 개의 추가 공리 중 첫 번째 공리로 나타날 것이다.'아리스토텔레스의 딕텀'(dictum de omni et nullo)은 '모두와 없음의 격언'이라고 부르기도 하지만 실제로 '모든(도메인의 구성원)에게 진실인 것은 일부(도메인의 구성원)에게 진실인 것' '모든(도메인의 구성원들)에 진실이 아닌 것은 그 어느 것(도메인 구성원들)의 진실인 것'이라고 주장하는 두 개의 '맥심'이다.

"독점"은 1854년 Boole에 다음과 같은 두 장소에 나타난다.

"아리스토텔레스의 받아술이라 불리는 그 추리의 공식, 데 옴니 엣 누로가 인간 추리의 일차적 법칙을 표현하는지는 의문일 수 있지만, 그것이 논리학에서 일반적인 진리를 표현하는 것은 의심의 여지가 없다."(1854:4)

그러나 나중에 그는 그것에 반대한다고 주장하는 것처럼 보인다.^[43]

"아리스토텔레스 강령과 같은 자명성의 일반 원리의 일부 원칙: 속종의 확언 또는 부정은 같은 의미로 그 속 속에 포함된 어떤 종도 확언 또는 부정할 수 있다. ...직접적으로, 그러나 추상적인 형태로, 그들이 해명해야 할 논거, 즉 그 주장을 진술하는 것은 타당성을 확인하거나, 또는 정의 후에 우리를 같은 지점으로 다시 인도하는 그들의 표현 기술 용어에 관여한다, viz. 추정할 수 있는 추론의 추상적인 진술.

그러나 이 "독재"(dictum de omni)의 전반부는 러셀과 화이트헤드가 PM에서 차지하고, 힐버트는 "첫 번째 순서 술어 논리"의 버전(1927)에서 차지하고 있다; 그의 (시스템)에는 힐버트가 "아리스토틀의 받아쓰기"라고 부르는 원칙이 포함되어 있다.

(x)f(x) → f(y)

This axiom also appears in the modern axiom set offered by Kleene (Kleene 1967:387), as his "∀-schema", one of two axioms (he calls them "postulates") required for the predicate calculus; the other being the "∃-schema" f(y) ⊃ ∃xf(x) that reasons from the particular f(y) to the existence of at least one subject x that satisfies the predicate f(x); b이 중 o번째는 정의된 영역(강요)의 담론에 대한 준수를 요구한다.

괴델의 제한 술어 미적분학

명제 미적분학의 네 가지 공리(5개에서 아래로; 포스트 참조)를 보충하기 위해 괴델 1930은 두 개의 추가 공리 중 첫 번째 공리로 받아쓰 데 옴니를 추가한다.이 "독재"와 두 번째 공리 모두, 그는 각주로, 프린세스 매티카에서 유래했다고 주장한다.실제로 PM은 두 가지를 모두 다음과 같이 포함한다.

❋10.1 ⊦ fxf(x) ( f(y) ["즉, 모든 경우에 참된 것은 어느 한 경우라도 참이다."("^[45]아리스토틀의 받아쓰기"), 보다 현대적인 기호로 다시 쓰임)]

❋10.2 ⊦∀x(p ⋁ f(x)) ⊃ (p ⋁ ∀xf(x)) [좀 더 현대적인 기호로 다시 쓰여짐]

후자는 간단한 명제 p와 술어 ∀xf(x)의 논리적 합계(즉, ⋁, OR)가 각각에 대한 논리적 합을 개별적으로 내포하고 있다고 주장한다.그러나 PM은 이 두 가지 모두 ❋9의 6가지 원론적 명제에서 파생되는데, PM 2판은 폐기되고 ❋8의 4가지 새로운 "Pp"(원론적 원리)로 대체된다(특히 ❋8.2 참조). 힐버트는 1927년 자신의 "논리적 ε-axiom"에서 첫 번째를 파생하고 두 번째를 언급하지 않는다.힐베르트와 괴델이 어떻게 이 둘을 공리로 채택하게 되었는지는 불분명하다.

술어에 적용할 수 있는 분리("모더스 폰")의 "규칙"도 2개 더 필요하다.

타르스키(1946):라이프니츠의 법칙

알프레드 타르스키는 1946년(2판) '논리와 연역과학의 방법론'에서 그가 보초적 미적분학의 "범용법"이라고 생각하는 것, 추론의 "규칙" 3가지, 그리고 정체성의 기본법(이로부터 4가지 법칙을 더 도출한다)을 인용한다.전통적인 "사상규정"은 그의 "법칙"과 "규칙"의 긴 목록에 포함되어 있다.그의 처우는 그의 책 제목에서 알 수 있듯 '연역학의 방법론'에 한정되어 있다.

근거:그는 자기소개서(2판)에서 수학에 대한 논리의 적용에서 시작된 것이 '인간 지식의 전체'로 확대되었다고 본다.

그는 "현대 논리에 집중된 강력한 현대사상의 흐름을 분명히 보여주고 싶다"고 말했다.이러한 경향은 원래 수학의 기초를 안정시키는 다소 제한적인 과제에서 비롯되었다.그러나 현재 단계에서는 훨씬 더 넓은 목표를 가지고 있다.그것은 인간 지식 전체의 공통 기반을 제공할 통일된 개념 기구를 만들려고 하고 있기 때문이다."^[46]

정체성의 법칙(라이브니츠의 법칙, 평등)

「제안 미적분」에 「평등」의 개념을 더한다(파운드로 상징되는 논리적 등가성과 혼동하지 않는다는 이 새로운 개념은, ↔, iff, (iff), 「bicondient」 등으로 상징되는 것)타르스키(cf p54-57)는 그가 말하는 '라이브니츠의 법칙'을 상징하며, 상징은 '='이다.이것은 담론의 영역(단일한 우주)과 함수의 유형을 숫자와 수학 공식으로 확장한다(Kleene 1967:148ff, 타르스키 1946:54ff).

간단히 말해서, "x는 y가 가진 모든 속성을 가지고 있다"는 것을 감안할 때, 우리는 "x = y"라고 쓸 수 있고, 이 공식은 "진실" 또는 "신실성"이라는 진리 값을 가질 것이다.타르스키는 이 라이프니츠의 법칙을 다음과 같이 말하고 있다.

• I. 라이프니츠의 법칙: x = y, if, if, if, only, x가 가진 모든 속성을 가지고 있고, y는 x가 가진 모든 속성을 가지고 있다.

그리고 나서 그는 이 법에서 몇 가지 다른 "법"을 도출한다.

• II. 반사율의 법칙:모든 것은 자신과 동일하다: x = x. [PM에서 입증됨 ❋13.15]
• III. 대칭의 법칙: x = y이면 y = x. [PM ❋13.16에서 입증됨]
• IV. 전이성의 법칙: x = y, y = z이면 x = z. [PM then13.17에서 입증됨]
• V. x = z, y = z이면 x = y. [PM at13.172에서 입증됨]

프린세스 매티매티카는 평등의 개념을 (현대 기호에서) 다음과 같이 정의한다. "모든 것을 위한" 일반화는 술어-기능 f( )보다 확장된다는 점에 주목한다.

❋13.01. x = y _def= ∀f:(f(x) → f(y)) ("이 정의는 x에 의해 충족되는 모든 술어 함수가 y에 의해 충족될 때 x와 y를 동일하다고 한다."^[47]

힐베르트 1927:467은 평등의 두 가지 공리만을 더하는데, 첫째는 x = x, 둘째는 (x = y) → (f(x) → f(y); "모든 f에 대해"가 누락(또는 암시)된다.괴델 1930은 PM : ❋13.01과 유사하게 평등을 정의한다.클렌 1967년 힐베르트 1927년 2명+2명(Kleene 1967:387)의 2명을 채택하였다.

현대 발전

위의 "논리의 체계"는 모두 명제를 뜻하는 "클래식"과 술어 표현은 두 가지 가치를 갖는 것으로 간주되며, 진리 값 "진리"나 "진실성" 중 하나이지만 둘 다가 아니다(Kleene 1967:8 및 83).직관적 논리는 "전형적" 범주에 속하지만, 그것은 "모든" 운영자를 배제된 중간의 법칙으로 확장하는 것에 반대한다; 그것은 "법"의 예를 허용하지만, 그것의 일반화를 무한한 담론의 영역으로 확대하지는 않는다.

직감 논리학

때로는 더 일반적으로 건설적 논리라고 불리기도 하는 '직관적 논리학'은 전통적인 진리의 개념을 건설적 검증의 개념으로 대체함으로써 고전적 논리학과는 다른 완전한 상징적 논리학이다.

배제된 중간의 일반화된 법칙은 직관적 논리의 실행의 일부가 아니지만, 또한 부정하지도 않는다.직관적 논리는 단지 그것이 정의한 "건설적 증거"의 일부로서 조작의 사용을 금지할 뿐이며, 이는 그것이 무효함을 증명하는 것과 같지 않다(이는 나사못만 금지되고 손톱만 허용되는 특정한 건축양식의 사용과 비교된다; 그것은 반드시 존재에 대해 반증하거나 심지어 의문을 제기하는 것은 아니다.또는 나사의 유용성. 그러나 나사가 없어도 만들 수 있는 것을 보여줄 뿐이다.

상존 논리학

'기존 논리'는 모순이 반드시 사소한 일로 귀결되지 않는 이른바 모순강화 논리체계를 말한다.이런 논리학에서는 폭발의 원리가 유효하지 않다는 얘기다.일부(명칭 투석기)는 투석기 논리에 의해 비투명성의 법칙이 부정된다고 주장한다.그들은 비 모순의 법칙, 즉 거짓말쟁이의 역설의 한계를 암시하는 듯한 어떤 역설들에 의해 동기부여된다.사소한 논리 체계를 피하고 여전히 특정한 모순이 사실인 것을 허용하기 위해, 투석주의자들은 어떤 종류의 상투적인 논리를 채택할 것이다.

삼값논리

이 구간은 확장이 필요하다.덧셈으로 도와줘도 된다.(2017년 12월)

TBD cf 3가지 가치 논리 시도 이 3가지 가치 논리 연산 및 논리 - 의미론적^[48] 학자

모달 명제 칼쿨리

(cf Kleene 1967:49):이러한 "칼쿨리"에는 "A가 필요하다"는 뜻의 기호 ⎕A와 "A가 가능하다"는 의미의 ◊A가 포함되어 있다.Kleene은 다음과 같이 말한다.

"이러한 개념들은 다른 개념보다 더 보편적이거나 설득력 있는 두 종류의 "진실"이 있는 것으로 이해되는 사고 영역으로 들어간다.동물학자는 도롱뇽이나 다른 생물체들이 불에서 살아남는 것은 불가능하다고 선언할 수도 있지만 유니콘이 존재한다는 것은 가능한 일이고, 가증스러운 눈사람이 존재한다는 것은 가능한 일이다."

퍼지 논리

이 구간은 확장이 필요하다.덧셈으로 도와줘도 된다.(2017년 12월)

'퍼지 논리'는 많은 가치가 있는 논리의 한 형태로서 고정적이고 정확한 추리보다는 근사치인 추리를 다룬다.

참고 항목

• 개념 대수

참조

• 아리스토텔레스, "The Categories," Harold P. 쿡(트랜스). 아리스토텔레스의 1-109페이지, 1권, 롭 고전 도서관, 윌리엄 하인만, 영국 런던, 1938.
• 아리스토텔레스, "해석서에 대하여," 해롤드 P.쿡(트랜스). 아리스토텔레스 111-179페이지, 제1권 롭 고전 도서관, 윌리엄 하인만, 영국 런던, 1938.
• 아리스토텔레스, "Prior Analytics" , 휴 트레덴닉 (trans.), 181–531 아리스토텔레스, 1권, 롭 고전 도서관, 윌리엄 하인만, 영국 런던, 1938.
• Boole, George, Macmillan, 1854년 논리학과 확률의 수학 이론을 창안한 사상의 법칙의 조사.1958년 뉴욕 도버 출판사의 수정판으로 다시 인쇄되었다.
• 루이 쿠투라트는 1914년 리디아 길링햄 로빈슨, 1914년 《논리의 대수학》, 《오픈 코트 출판사》, 시카고와 런던이 번역하였다.구글북을 통해 다운로드.
• 괴델 1944년 러셀의 커트 괴델: 콜렉티드 워크스 제2권, 뉴욕 옥스퍼드 대학 출판부, ISBN 978-0-19-514721-6
• 제9대 남작 윌리엄 해밀턴 경 (Henry L. Mansel and John Veitch, ed.) 1860년 형이상학과 논리에 대한 강의, 2권. 제2권 논리학, 보스턴: 굴드와 링컨.구글북을 통해 다운로드.
• Stephen Cole Kleene, 1967, Mathematical Logic reprint 2002, Dover Publications, Inc., Inc., Minola, NY, ISBN 0-486-42533-9 (pbk)
• 어니스트 나겔, 제임스 R. 뉴먼, 1958년 괴델의 교정, 뉴욕 대학 출판부, LCCCN: 58-5610.
• 베르트랑 러셀, 《철학의 문제들》(1912), 뉴욕 옥스퍼드 대학 출판부, 1997년 ISBN 0-19-511552-X.
• 아서 쇼펜하우어, 유언과 표현의 세계, 제2권, 도버 출판물, 마이놀라, 1966년 뉴욕, ISBN 0-486-21762-0
• Alfred Tarski, 1946년 (제2판), 1995년 재간행, Olaf Helmer가 번역한 로직 및 연역과학의 방법론 소개, 뉴욕주 도버 출판사, ISBN 0-486-28462-X (pbk)
• 장 반 헤이제노르트, 1967, From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931, 하버드 대학 출판부, 캠브리지, ISBN 978-0-674-32449-7 (pbk)

• 에밀 포스트, 1921년, 반 헤이제노르트의 해설과 함께 기초 명제에 대한 일반적인 이론 소개, 264쪽
• 데이비드 힐버트, 1927년, 반 헤이제노르트의 해설이 있는 수학의 기초, 464쪽
• 쿠르트 괴델, 1930a, 반 헤이제노르트의 해설과 함께 기능적 논리 미적분학의 공리의 완전성 592f.

• 알프레드 노스 화이트헤드, 버트랜드 러셀프린세스 매티매티카, 3권, 케임브리지 대학 출판부, 1910년, 1912년, 1913.제2판, 1925년 (Vol. 1) 1927년 (Vols 2, 3)*56(2판), Cambridge University Press, 1962, LCCCN 또는 ISBN 없음으로 요약

외부 링크

• 제임스 다나허, "생각의 법칙", 철학자, 제1권 LXXXXII번1길
• 피터 수버, 얼햄 칼리지 "비대립 및 제외된 중간"