라그랑주 역학

시리즈의 일부
고전 역학
$({displaystyle {textbf {F}}=squalfrac {d}{dt}})(m*textbf {v}})$ 운동 제2법칙
역사 타임라인 교재
나뭇가지 응용의 천상의 연속체 다이내믹스 운동학 동력학 스태틱스 통계
기초 액셀러레이션 각운동량 커플 달랑베르의 원리 에너지 동적인 잠재적인 힘. 기준범위 관성 기준 프레임 충동 관성/관성 모멘트 덩어리 기계력 기계 작업 순간. 모멘텀 공간 스피드 시간을 토크 속도 가상 작업
제제 뉴턴의 운동 법칙 해석역학 라그랑주 역학 해밀턴 역학 루시아 역학 해밀턴-야코비 방정식 아펠 운동 방정식 쿱만-본 노이만 역학
주요 토픽 감쇠비 변위 운동 방정식 오일러의 운동 법칙 가공의 힘 마찰 고조파 발진기 관성/비관성 기준 프레임 평면 입자 운동 역학 움직임(선형) 뉴턴의 만유인력의 법칙 뉴턴의 운동 법칙 상대 속도 강체 역학 오일러 방정식 단순 고조파 운동 진동
회전 원운동 회전 기준 프레임 구심력 원심력 반응성 코리올리 힘 진자 접선 속도 회전 속도 각도 가속도/변위/주파수/속도
과학자 케플러 갈릴레오 호이겐스 뉴턴 경이다. 호록스 핼리 모페르튀이 다니엘 베르누이 요한 베르누이 오일러 달랑베르 클라이어트 라그랑주 라플라스 해밀턴 포아송 코시 러스 리우빌 어필 깁스 쿠프만 폰 노이만
물리 포털 카테고리
v t

물리학에서, 라그랑지안 역학(Lagrangian mechanics)은 정지 작용 원리(최소 작용 원리라고도 함)에 기초한 고전 역학의 공식이다.그것은 이탈리아-프랑스 수학자이자 천문학자 조셉-루이 라그랑쥬가 1788년 그의 작품인 메카니크 ^[1]분석에서 소개했습니다.

라그랑지안 역학은 구성 $공간$M(\$textstyle$$$M$)$과 L(\textstyle L$)$이라고 하는 $스무스$ 기능 $L$(\$textstyle$ L$)$로 구성된 쌍$,$을 가진 기계 시스템을 기술합니다.관례상 L $=T$ - $,$ {$textstyle$ L$=T-V,$ 여기서 $T${$textstyle$ T$}$ 및$$$V{\displaystyle }$ {$display V}$는 각각 ^[2]시스템의 운동 에너지 및 위치 에너지이다.

고정 동작 원칙에서는 L$(\textstyle$ L$)$에서 파생된 시스템의 동작 기능이 시스템의 시간 진화 내내 고정 지점(최대, 최소 또는 새들)에 있어야 합니다.이 제약에 의해 라그랑주 ^[3]방정식을 사용하여 시스템의 운동 방정식을 계산할 수 있습니다.

서론

와이어 위를 미끄러지는 구슬이나 흔들리는 단순한 진자 등이 있다고 가정합니다.만약 입자로써 각각의 거대한 물체(비드, 진자 밥 등)를 추적한다면, 뉴턴 역학을 사용하여 입자의 움직임을 계산하려면 입자를 구속된 운동으로 유지하는 데 필요한 시간 변동 구속력(비드에 가해지는 와이어의 반응력 또는 진자 막대의 장력)을 풀어야 한다.라그랑지안 역학을 사용한 동일한 문제에 대해서는 입자가 취할 수 있는 경로를 보고 입자의 가능한 움직임을 완전히 특징짓는 편리한 독립적 일반화 좌표 세트를 선택합니다.이 선택에 의해 구속력이 방정식의 결과 시스템에 들어갈 필요가 없어진다.주어진 순간에 입자에 대한 제약조건의 영향을 직접 계산하지 않기 때문에 방정식은 더 적다.

다양한 물리 시스템에서 거대한 물체의 크기와 모양이 무시할 수 있는 경우 점 입자로 취급하는 것이 유용합니다.질량이₁ m, m₂, ..., m인_N N점 입자 시스템의 경우, 각 입자는 r, r₂, ..., r로_N 표시된₁ 위치 벡터를 가지므로 종종₁ r = (x, y₁, z₁), r₂ = (x₁, y, z₂) 등으로₂ 충분합니다₂.3차원 공간에서 각 위치 벡터는 점의 위치를 고유하게 정의하기 위해 3개의 좌표를 필요로 하므로 시스템의 구성을 고유하게 정의하기 위한 3N개의 좌표가 있습니다.이 모든 점은 입자를 찾기 위한 공간의 특정 점이며, 공간의 일반 점은 r = (x, y, z)로 표기됩니다.각 입자의 속도는 입자가 운동 경로를 따라 얼마나 빨리 움직이는지 그리고 입자의 위치의 시간 미분이다, 따라서

뉴턴 역학에서 운동 방정식은 뉴턴의 법칙에 의해 주어진다.두 번째 법칙 "순 힘은 질량 곱하기 가속도",각 파티클에 적용됩니다.N입자계의 3차원에서는 풀어야 할 입자의 위치에 3N의 2차 상미분방정식이 있다.

라그랑지안

힘 대신, 라그랑주 역학은 시스템의 에너지를 사용합니다.라그랑지안 역학의 중심량은 전체 시스템의 역학을 요약하는 함수인 라그랑지안이다.전반적으로, 라그랑지안은 에너지 단위를 가지고 있지만, 모든 물리적 시스템에 대한 단일 표현은 없습니다.물리 법칙과 일치하는 올바른 운동 방정식을 생성하는 함수는 라그랑지안으로 간주할 수 있습니다.그럼에도 불구하고 대규모 응용 프로그램 클래스에 대한 일반 표현식을 구성할 수 있습니다.입자의 체계에 대한 상대적이지 않은 라그랑지안은 다음과 같이 정의될^[4] 수 있다.

${\displaystyle L=T-V}$

어디에

${{displaystyle T=paramfrac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}v_{k}^2}$

는 ^[5]입자의 운동 에너지 합계와 같은 계의 총 운동 에너지이고, V는 계의 위치 에너지입니다.

운동 에너지는 시스템 운동의 에너지이고, v_k² = v_k · v는_k 속도의 크기 제곱이며, 속도 자체의 점곱과 같다.운동 에너지는 속도 v의_k 함수일 뿐, 위치_k r도 시간 t도 아니다. 따라서 T = T(v₂, v, ...)이다₁.

이 시스템의 잠재적 에너지 입자 사이 상호 작용의 어느 한 입자가 다른 모든 사람들과 기타 외부적 영향으로 얼마나 많은 에너지를 공급 받게 된다와 같은 에너지를 반영한다.보수 세력(예를 들어 뉴턴 중력)을 위해 입자들은의 위치 벡터의 기능, V=V(r1, r2,...)다.그것은 적절한 잠재적인(예를 들어 전자기 퍼텐셜)에서 파생될 수 있는non-conservative 힘 들어, 속도 또한, V=V(r1, r2,..., v1, v,...)출연할 것이다.당은 외부장 또는 외부 추진력 시간으로 변하고 있지만 시간에 가장 일반적으로 V=V(r1, r2,..., v1, v,...t)을 바꿀 것이다.

나는 위의 형태 현실적인 라그랑주 역학에서, 그리고는 기능 또는 일반 특수 상대론과 일관성에 의해 교체해야 할 부과하지 않는다.또한, 에너지가 흩어지는 힘에 대한 다른 L과 함께 도입되어야 한다

하나 또는 그 이상의 입자들의 각 하나 이상의 훌로 노믹한 제약 조건에 대한;이런 제약 조건이 형태 f(r, t)의 방정식에 의해 묘사된다 0입니다. 만약 제약 조건은 체계 안에서 번호는 C, then각 제약 조건 각각의 입자를 적용할 수 있는 방정식, f1(r, t)=0으로, f2(r, t)=0,..., fC(r, t)=0이 적용될 수 있다.만약 입자 k나는 constraint의 대상. 시간의 어떤 순간에, 제한된 입자의 좌표와 함께 독립적 이지 않아 연관된=0fi(rk t).그 제약 방정식은 입자들은 있지만지 않거나 얼마나 빨리 시간의 모든 순간에 가니 움직일 수 있어 허용된 경로를 결정한다.Nonholonomic 제약 조건은 입자 속도, 가속도, 혹은 위치의 높은 파생 상품에 의존한다.라그랑주 역학이 제약 조건. 만약 있다면 모든 훌로 노믹한 복잡계에 적용될 수 있다.nonholonomic의 제약 조건 세가지 예 있습니다.[6] 때 제약 조건은 방정식nonintegrable, 제약 불평등하고, 마찰 같은 복잡한non-conservative 세력과.Nonholonomic 제약 조건을 가져오고, 하나의 뉴턴 역학에, 또는 다른 메서드를 사용하여 되돌아가야 할 수도 있는 특별한 처리가 필요하다.

T 또는 V 또는 둘 다 시간에 따라 달라지는 제약이나 외부 영향으로 인해 명시적으로 시간에 의존하는 경우, Lagrangian L(r₁, r₂, ... v₁, v₂, ... t)은 명시적으로 시간에 의존합니다.만약 퍼텐셜과 운동 에너지가 시간에 의존하지 않는다면, 라그랑지안 L(r₂, r₁, ... v₂, v, ...)은₁ 명백히 시간과 독립적이다.어느 경우든, 라그랑지안은 항상 일반화 좌표를 통해 암묵적인 시간 의존성을 가질 것이다.

이러한 정의와 함께, 라그랑주의 첫 번째^[7] 종류의 방정식은

여기서 k = 1, 2, ..., N은 입자에 라벨을 붙이고, 각 구속 방정식_i f에 대해 라그랑주 승수 θ가_i 있다.

$\displaystyle \frac \mathbf {r} _{k} \ equiv \ frac \ frac } { \ frac } { \ frac } { \ frac } { \ frac } { \ frac } { \ frac } 、 \ frac 、 \ frac 。k}}},{\frac {\frac}{\flac {z}_{k}}\right}$

는 (전체 ^{[nb 1]}벡터에 대한 도함수가 아닌) 지정된 변수와 관련된 편도함수 θ/delect의 벡터에 대한 각 줄임말이다.각 오버닷은 시간 도함수의 줄임말입니다.위치 좌표 및 승수에 3N 결합 2차 미분 방정식과 C 구속 방정식이 있기 때문에 이 절차는 뉴턴의 법칙에 비해 풀어야 할 방정식의 수를 3N에서 3N + C로 늘립니다.그러나 입자의 위치 좌표와 함께 풀리면 곱셈기는 구속력에 대한 정보를 산출할 수 있다.구속 방정식을 풀어서 좌표를 제거할 필요는 없습니다.

라그랑지안에서 위치 좌표와 속도 성분은 모두 독립 변수이며, 라그랑지안의 도함수는 일반적인 미분 규칙에 따라 별도로 구한다(${\displaystyle {예}_{}}$: v${\displaystyle {}_{}}$z , ${\displaystyle 2_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$ 2로 $정의$되는 입자 2의 z-성분에 대한 L의 부분 도함수).${\displaystyle /}$ ${\displaystyle d}${ $displaystyle v _$ ${ z$${\displaystyle {}_{}}$,$2$$\}{\displaystyle \mathrm{}}$ { $displaystyle$\$partial v$_ {$z$ ,$2$}$$${\displaystyle {\mathrm{l}}_{}}$L / ${\displaystyle \partial \mathrm{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ z z ${\displaystyle {just}_{}}$ 。속도 성분을 대응하는 좌표₂ z에 관련짓기 위해 복잡한 체인 규칙이나 총 도함수를 사용할 필요는 없습니다.

각 구속방정식에서 하나의 좌표는 다른 좌표로부터 결정되기 때문에 중복된다.따라서 독립 좌표의 수는 n = 3N - C입니다.각 위치 벡터와 위치 좌표를 일반화 좌표와 시간의 함수로 표현함으로써 각 위치 벡터를 n개의 일반화 좌표 집합으로 변환하여 n개의 일반화 좌표(n-tuple q = (q_2n, q, ... q₁)

$\displaystyle \mathbf {r} _{k} = \mathbf {q} , t ) = (x_{k} (\mathbf {q} , t), y_{k}(\mathbf {q} , t} , t ) , .}$

벡터 q는 시스템 설정 공간 내의 포인트입니다.일반화 좌표의 시간 도함수는 일반화 속도라고 불리며, 각 입자에 대해 시간에 대한 위치의 총 도함수인 속도 벡터의 변환은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {dot {q}_{j}=blac {mathrm {d} q_{j}},\black \mathbf {v} _{k}=\sum _{j=1}^{n} {\flac \mathbf {r} {r} {r} {dot} {d} {dot}}$

이_k v가 주어졌을 때, 일반화 좌표의 운동 에너지는 일반화 속도, 일반화 좌표 및 위치 벡터가 시간 제약으로 인해 명시적으로 시간에 의존하는 경우, $따라서{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle T\mathbf{}}$ (${\displaystyle q\stackrel{}{\mathbf{}}}$ , q${\displaystyle t}$, t$$) { $display style$ T =$$T ( \ $mathbf {$ q$$$}$ , {$} t},$

이러한 정의와 함께, 오일러-라그랑주 방정식 또는 두 번째^[8][9] 종류의 라그랑주 방정식은

변형 미적분의 수학적 결과이며, 역학에서도 사용될 수 있습니다.라그랑지안 L(q, dq/dt, t)을 대입하면 계통의 운동 방정식을 얻을 수 있다.일반화된 좌표에서 방정식의 수는 뉴턴 역학에 비해 3N에서 n = 3N - C 결합 2차 미분 방정식으로 감소하였다.이러한 방정식은 구속력을 전혀 포함하지 않으며, 비 구속력만 설명하면 된다.

운동 방정식은 편미분을 포함하지만, 편미분의 결과는 입자의 위치 좌표에서 여전히 일반적인 미분 방정식입니다.d/dt로 표시된 총 시간 도함수는 종종 암묵적 미분을 수반합니다.두 방정식 모두 라그랑지안에서는 선형이지만 일반적으로 좌표에서는 비선형 결합 방정식이 됩니다.

뉴턴에서 라그랑주 역학으로

뉴턴의 법칙

단순성을 위해, 뉴턴의 법칙은 일반성의 손실 없이 하나의 입자에 대해 설명될 수 있습니다(N개의 입자로 구성된 시스템의 경우, 이러한 모든 방정식이 시스템의 각 입자에 적용됩니다).질량 m의 입자에 대한 운동 방정식은 현대 벡터 표기법에서 뉴턴의 1687년 제2법칙이다.

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}$

여기서 a는 가속도, F는 작용력이다.3개의 공간차원에서, 이것은 3개의 결합된 2차 상미분 방정식의 시스템입니다. 왜냐하면 이 벡터 방정식에는 3개의 성분이 있기 때문입니다.해는 t시 입자의 위치 벡터 r이며, t = 0일 때 r과 v의 초기 조건을 따릅니다.

뉴턴의 법칙은 데카르트 좌표에서 사용하기 쉽지만 데카르트 좌표가 항상 편리한 것은 아니며, 다른 좌표계에서는 운동 방정식이 복잡해질 수 있습니다.일련의 곡선 좌표 = (θ, θ², θ³)에서¹ 텐서 지수 표기법에서의 법칙은 "라그랑지안 형식"^[10][11]이다.

${\displaystyle F^{a}=m\left({\frac {mathrm {d}^{a}} {\mathrm {d} t^{2})+\Gamma ^{a}_{bc} {\frac {mathrm {d} t} {\frac ^xi {d}{\dot {xi }^{a}\equiv {frac {mathrm {d} \xi ^{a}} {\mathrm {d} t},}$

여기서^a F는 입자에 작용하는 힘의 역변 성분이고, δ는^a_bc 두 번째 종류의 크리스토펠 기호이다.

${\displaystyle T=mathfrac {1}{2}}mg_{bc}{\frac {mathrm {d} \xi ^{c}}{\frac {mathrm {d} t}}{\mathrm {d} t}} {\frac {d}$

는 입자의 운동 에너지이며, g_bc 곡선 좌표계의 미터법 텐서의 공변 성분이다.모든 지수 a, b, c는 각각 값 1, 2, 3을 취한다. 곡선 좌표는 일반화 좌표와 동일하지 않다.

뉴턴의 법칙을 이런 형태로 섭외하는 것은 오버컴플리케이션처럼 보일 수 있지만, 장점이 있다.크리스토펠 기호의 관점에서 가속도 요소는 대신 운동 에너지의 도함수를 평가함으로써 피할 수 있다.입자에 작용하는 합력이 없으면 F = 0은 가속되지 않고 일정한 속도로 직선으로 이동한다.수학적으로, 미분 방정식의 해는 공간의 두 점 사이의 극단 길이의 곡선인 측지학이다. (이것들은 최단 경로로 끝나지만, 필수는 아니다.)평면 3D 실제 공간에서 측지선은 단순한 직선입니다.자유입자의 경우 뉴턴의 제2법칙은 측지방정식과 일치합니다자유입자는 극한궤적인 측지방정식을 따릅니다입자가 힘(F ≤ 0)을 받는 경우, 입자는 작용하는 힘에 의해 가속되며 자유롭다면 뒤따를 측지학에서 벗어난다.평평한 3D 공간에서 주어진 양을 4D 곡면 시공간으로 적절히 확장함으로써, 위의 형태의 뉴턴 법칙은 아인슈타인의 일반 상대성 이론으로도 이어집니다. 이 경우 자유 입자는 더 이상 일반적인 의미에서 "직선"^[12]이 아닌 곡면 시공간에서 측지학을 따릅니다.

그러나 우리는 입자에 작용하는 총 결과력 F를 알아야 하며, 이는 결과적으로 비구속력 N에 결과 구속력 C를 더한 값을 필요로 한다.

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {C} +\mathbf {N},}$

제약력은 일반적으로 시간에 의존하기 때문에 복잡할 수 있습니다.또한 제약이 있는 경우 곡선 좌표는 독립적이지 않고 하나 이상의 제약 방정식에 의해 관련된다.

구속력은 비구속력만 남도록 운동 방정식에서 제거하거나 운동 방정식에 구속력 방정식을 포함시킴으로써 포함할 수 있다.

달랑베르의 원리

해석 역학의 근본적인 결과는 달랑베르의 원리로, 1708년 자크 베르누이가 정적 평형을 이해하기 위해 도입했고 1743년 달랑베르가 동적 ^[13]문제를 해결하기 위해 개발했다.이 원리는 N개의 입자에 대해 가상 작업, 즉 가상 변위에 따른 작업 δr은_k ^[5]0이라고 주장한다.

$\displaystyle \sum _{k=1}^{N}(\mathbf {N}_{k}+\mathbf {C}_{k}-m_{k}\mathbf {a}_{k}\cdot \mathbf {r}_{k}=0,}).$

가상 변위 δr은_k 정의상 시스템의 구성에 있어 제한력이 구속된 움직임을 유지하는 방식으로 ^[14]순간적으로 시스템에 작용하는 구속력과 일치하는 미세한 변화이다.이는 시스템의 실제 변위와 동일하지 않으며,^{[nb 2]} 결과적으로 입자에 작용하여 가속 및 이동시키는 구속력과 비구속력에 의해 발생합니다.가상 작업은 모든 힘(구속 또는 비구속)에 대해 가상 변위에 따라 수행되는 작업입니다.

구속력은 구속력을 유지하기 위해 시스템에서 각 입자의 움직임에 수직으로 작용하기 때문에 시스템에 작용하는 구속력에 의한 총 가상 작업은 ^{[15][nb 3]}0입니다.

$\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {C}_{k}\cdot \cdot \mathbf {r}_{k}=0,}$

하도록

$\displaystyle \sum _{k=1}^{N}({k}-m_{k}\mathbf {a}_{k})\cdot \mathbf {r}_{k}=0,}$

따라서 달랑베르의 원리는 우리가 적용된 비구속력에만 집중할 수 있게 하고 운동 ^[16][17]방정식에서 구속력을 배제할 수 있게 한다.표시된 형식은 좌표 선택과는 무관합니다.단, 변위θr은_k 구속방정식으로 연결될 수 있기 때문에 N개의 개별 합계를 0으로 설정할 수 없기 때문에 임의의 좌표계에서 운동방정식을 설정하는 데 쉽게 사용할 수 없습니다.따라서 우리는 개별 합계가 0인 경우에만 합계가 0이 되는 상호 독립적인 좌표계를 찾을 것이다.각 합계를 0으로 설정하면 결국 분리된 운동 방정식을 얻을 수 있습니다.

달랑베르 원리에 의한 운동 방정식

만약 입자 k에 제약이 있다면, 위치 r_k = (x_k, y_k, z_k)의 좌표가 제약 방정식에 의해 서로 연결되므로, 가상 변위 δr_k = (θx_k, θy_k, θz_k)의 좌표도 마찬가지이다.일반화 좌표는 독립적이기 때문에 일반화 좌표의 가상 변위로 변환함으로써 θr과의_k 합병증을 피할 수 있다.이것들은 전체 ^[5]미분과 같은 형태로 관련되어 있습니다.

${\displaystyle \mathbf {r}_{k}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\frac \mathbf {r}_{k}}{\frac q_{j}}\frac q_{j},}$

시간에 시간 증분을 곱한 부분적인 시간 미분은 존재하지 않는다. 이는 시간 증분은 순간적인 제약에 따른 가상 변위이기 때문이다.

위의 달랑베르 원리의 첫 번째 항은 가상 변위_k δr을 따라 이루어진 비구속력_k N에 의해 이루어진 가상 작업이며, 일반화 힘의 정의에 의해 일반성의 손실 없이 일반화 유추로 변환될 수 있다.

${\displaystyle Q_{j}=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {N}_{k}\cdot {frac}{k}{\display q_{j}},}$

하도록

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {N}_{k}=\sum _{k=1}^{N}_{k}\cdot \sum _{j=1}^{n}{\frcdot \mathbf {n}_{k} {k}}$

이것은 일반화된 좌표로 변환된 것의 절반입니다.가속 항을 일반화된 좌표로 변환하는 것이 남아 있는데, 이는 즉시 명확하지 않습니다.뉴턴 제2법칙의 라그랑주 형태를 상기하면, 일반화된 좌표와 속도에 대한 운동에너지의 편도함수는 ^[5]원하는 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}_m_{k}\mathbf {a}_{k}\cdot {frac}{\cdot q_{j}}=cdoc {mathrm {d}{d}{{d}}}{\frac {d}{{{dotal}}}{dotal}}}}$

달랑베르의 원리는 필요에 따라 일반화 좌표에 있습니다

${\displaystyle _{j=1}^{n}\left[Q_{j}-\left({\frac {mathrm {d}}{\mathrm {d} t}}{\frac {q}_{j}}-{\frac {\partial q}\fright}$

그리고 이러한 가상 변위_j δq는 독립적이고 0이 아니기 때문에 계수는 0이 될 수 있으며, 결과적으로 라그랑주 방정식^[18][19] 또는 일반화된 운동 ^[20]방정식이 된다.

${\displaystyle Q_{j}=partial frac {\mathrm {d} {\mathrm {d} t} {\frac {d} {\frac {q} _ {j}} {\frac {\partial t} }$

이 방정식은 구속력이 없는 힘에 대한 뉴턴의 법칙과 동일합니다.이 방정식의 일반화 힘은 비 구속력에서만 도출된다. 구속력은 달랑베르의 원리에서 제외되어 찾을 필요가 없다.일반화된 힘은 달랑베르의 ^[21]원칙을 만족시킨다면 비보수적일 수 있다.

오일러-라그랑주 방정식과 해밀턴의 원리

속도에 따라 달라지는 비보수력의 경우 위치와 속도에 따라 달라지는 잠재적 에너지 함수 V를 찾을 수 있다.일반화 힘_i Q가 다음과 같이^[23][24] 잠재적 V에서 도출될 수 있다면

${\displaystyle Q_{j}=partial frac {\mathrm {d} t}}{\frac {\partial V}{\frac {q}_{j}}-{\frac {\partial q_{j},},}$

라그랑주 방정식과 동등하고 라그랑주 방정식을 L = T - V로 정의하면 라그랑주 두 번째 종류의 방정식 또는 오일러-라그랑주 운동 방정식을 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\frac L} {\partial q_{j}}-{\frac {mathrm {d} {\mathrm {d} t} {\frac {\frac L} {\partial {q}_{j}} = 0,}$

그러나, 오일러-라그랑주 방정식은 그림과 같이 전위를 찾을 수 있는 경우에만 비보수적인 힘을 설명할 수 있다.이것은 비보수적인 힘에 항상 가능한 것은 아니며, 라그랑주 방정식은 어떠한 잠재력도 포함하지 않으며, 단지 일반화 힘만을 포함한다. 따라서 오일러-라그랑주 방정식보다 더 일반적이다.

오일러-라그랑주 방정식은 또한 변동의 미적분으로부터 파생된다.라그랑지안의 변이는

${\displaystyle L=\sum {j=1}^{n}\left\frac {\flac }{\flac {\flac L}+{\flac {\flac {q}_{j}}\flac {\flict}, {dot {q}{j}\flac {\f}$

이는 L의 전체 미분과 유사한 형태를 가지지만 가상 변위와 시간 도함수가 차분을 대체하며 가상 변위의 정의에 따라 시간이 증가하지 않는다.시간에 대한 부분별 적분은 δq에_j 대해 d(qq_j)/dt를 교환하는 프로세스에서 δq의_j 시간 도함수를 δL/((dq_j/dt)로 전송할 수 있으므로 독립된 가상 변위를 라그랑지안의 도함수로부터 인수분해할 수 있다.

$\displaystyle \int _{t_{2}}\mathrm {d} t=\int _{t_{1}^{t_{2}\sum _{j=1}^{n}\leftfrac\frac {\flash L}{\partial q_{j}\partial q_{j}\frmathrm {d}\frm {d}{j}\right},\mathrm {d} t,=\sum _{j=1}^{n}\left[{\frac {dot {q}}_{j}}\partial q_{j}\right]_{t_{1}+\int {t_{1}^{t_{j}_{j}_sum}_sum {\left}_sum}$

이제 조건 allq_j(t₁) = qq_j(t₂) = 0이 모든 j에 대해 유지되면 적분되지 않은 항은 0이 됩니다.또한, δL의 전체 시간 적분이 0일 경우_j, δq가 독립적이며, 확실한 적분이 0이 되는 유일한 방법은 적분이 0일 경우 δq의_j 각 계수도 0이어야 합니다.그런 다음 운동 방정식을 구합니다.이는 해밀턴의 원리로 요약할 수 있다.

${\displaystyle \int _{t_{2}} \cisco L,\mathrm {d} t=0,}$

라그랑지안의 시간 적분은 작용이라고 불리는 또 다른 양으로 다음과 같이 정의된다^[25].

${{displaystyle S=\int _{1}}^{t_{2}}L,\mathrm {d}t,}$

함수입니다. t와 t₂ 사이의₁ 모든 시간 동안 라그랑지안 함수를 사용하고 스칼라 값을 반환합니다.치수는 [각운동량], [에너지]와 같다.· [ time ], 또는 [length], [time].이 정의로 해밀턴의 원리는

$(\displaystyle\displaystyle S=0, )$

따라서 입자가 가해지는 힘에 따라 가속하는 것을 생각하는 대신, 구성 공간 내 경로의 끝점이 처음과 마지막 시간에 고정된 상태에서 정지된 동작으로 경로를 선택하는 것을 생각할 수 있습니다.해밀턴의 원리는 때때로 최소 작용의 원리라고 불리기도 하지만, 작용 함수는 반드시 최대값이나 최소값이 아니라 정지되어 있어야 한다.함수의 모든 변화는 작용의 기능적 요소를 증가시킨다.

역사적으로, 입자 힘에 따라 줄 것을 최단 경로를 발견하는 것의 아이디어는 Brachistochrone 문제 장 베르누이에 의해 1696년 해결 같은 기계적 문제뿐만 아니라, 라이프니츠, 다니엘 베르누이, L'Hôpital 같은 시기에,와 뉴턴 이듬해 양의 미적분학의 첫번째 응용 프로그램을 자극했습니다.[26]뉴턴 자신도 변이 미적분학을 따라 생각하고 있었지만 ^[26]발표하지 않았다.이러한 생각들은 차례로 페르마, 모페르튀이, 오일러, 해밀턴, 그리고 다른 것들의 변화 원리로 이어진다.

해밀턴의 원리는 구속 방정식이 좌표에서 1차 미분들의 선형 조합인 특정 형태로 들어갈 수 있다면 비홀로노믹 구속조건에 적용될 수 있다.결과 제약 방정식은 1차 미분 ^[27]방정식으로 재배열할 수 있다.여기에서는 제공되지 않습니다.

라그랑주 승수와 제약 조건

라그랑지안 L은 N개의 입자에 대해 데카르트_k r 좌표로 변화할 수 있다.

$\displaystyle \int _{t_{2}\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {r}_{k})-{\frac {d}{\mathrm {d}}{\frac {d}}{\frac {d}{\mathb}}{\f}{\f}{\f}{\frac {\f}{\f}{\f}{\frac {\f}{\f}{\f}{{{f}{f}{f}{f}{f}{$

해밀턴의 원리는 에서 표현되는 좌표 L이 독립적이지 않더라도 여전히 유효하지만, 여기서_k r은 여전히 홀로노믹한 ^[28]것으로 가정된다.항상 그렇듯이 끝점은 모든 k에 대해 고정 µr_k(t₁) = µr_k(t₂) = 0입니다.δr은 독립적이지_kk 않기 때문에 단순히 δr의 계수를 0으로 등가시키는 것은 불가능합니다.대신, 라그랑주 승수의 방법을 사용하여 제약을 포함할 수 있습니다.각 제약 방정식_i f(r_k, t) = 0에 i = 1, 2, ..., C를 위한 라그랑주 승수 θ를_i 곱하고, 원래의 라그랑지안에 결과를 더하면, 새로운 라그랑지안이 주어진다.

${\displaystyle L'=L(\mathbf {r}) _{1},\mathbf {r} {{2},\dots,t) +\sum_i=1}^{c}\lambf(t) _{2},\dots} _{{2},\mathbf{r}_dots}_dots} _{{{{r} _daf}_dai}}$

라그랑주 승수는 시간 t의 임의의 함수이지만 좌표_k r의 함수는 아니기 때문에 승수는 위치 좌표와 동등한 위치에 있습니다.이 새로운 라그랑지안을 변화시키고 시간과 관련된 통합을 통해

${\displaystyle \int _{t_{2}} \mathrm {d} t=\int _{t_{1}^{t_{2}\sum _{k=1}^{N}\left {\frac {\mathbf {r}-{k}-{d}\frac}r} _{k},\mathrm {d} t=0,}$

도입된 승수는 r이_k 독립적이지 않더라도 θr의_k 계수가 0이 되도록 구할 수 있다.운동방정식이 뒤따른다.이전 분석에서 이 적분에 대한 해법을 얻는 것은 다음 문장과 같다.

${\displaystyle {\frac L'} {\frac {d} {\mathrm {d} {\mathrm {d} {\mathrm {d} t} {\frac {d} {\frac} {\frac} {\fr} {\fr} {\fr} = 0\partial {\frightarrow}{i}{\frac {\frac f_{i}}{\frac \mathbf {r} _{k}}=0,}$

라그랑쥬의 첫 번째 방정식입니다또한_i 새로운 라그랑지안에 대한 § 오일러-라그랑지 방정식은 제약 방정식을 반환합니다.

$\displaystyle {\frac L'}{\frac {mathrm {d}{\mathrm {d}}{\frac {\frac L'}{\partial {\dot}_{i}}=0\partial \rightarrow \f_i}{\f}, {\frcr} {\f}$

일부 위치 에너지 V의 기울기에 의해 주어진 보존력의 경우, 라그랑지안 L = T - V를 대입한 r_k 좌표만의 함수는 다음과 같다.

$\displaystyle \frac {\frac {\mathbf {r} _{k}} - {\frac {d} t} {\frac {d} {\frac {d} t} {\frac {r} {\frac {r} {\f} {\f} {\frac} {\f} : {\f} {\f}}}}=0\,,}$

운동 에너지의 유도체를 (부정) 결과력으로 식별하고, 비구속력과 동일한 전위의 유도체를 식별하면, 구속력은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {C}_{k}=\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\display\mathbf {r}_{k}},},}$

따라서 구속 방정식과 라그랑주 승수의 관점에서 구속력을 명시적으로 부여한다.

라그랑지안의 속성

비고유성

주어진 시스템의 라그랑지안은 유일하지 않다.라그랑지안 L에 0이 아닌 상수 a를 곱하고, 그리고 임의의 상수 b를 곱할 수 있으며, 새로운 라그랑지안 L' = aL + b는 L과 같은 운동을 나타낼 것이다.위와 같이 일정 시간${\displaystyle {}_{}}$의 $궤적{\displaystyle \mathbf{}}$q ${\displaystyle {}_{}}$$displaystyle \mathbf {q}$ {${st}}$ {$displaystyle [text${st}}, $t_{\text{fin}}}}}$ 및$$ 고정 $끝점{\displaystyle {}_{}}$ P ${\displaystyle st\mathbf{}}$ $=$( $)$ {$displaystyle P_{\text{$st} } =\$mathbf {$q} {$text$} {text} {text} {text} {$text}$ {text} {text} {text} {text} {text$$} } $}$$splaystyle P_{\text{fin}}=\$$mathbf {q}($$t_{\text{fin$$\}\}\}\})$^[29]는 동일한 시스템을 설명하는 두 개의 라그랑지안이${\displaystyle }함수{\displaystyle }$ $(q,$ t$)$의 "total $time$ delivers"에 따라 다를 수 있습니다.

$\displaystyle L' (\mathbf {q} , {\dot {mathbf {q} , t} ) = L(\mathbf {q} , {\dot {mathbf {q} ) + {\frac {d} f(\mathbf {q} , t} {d} t} ) ,$

${\displaystyle \frac{여기}{}}$서 d ${\displaystyle \frac{f\mathbf{}}{}}$(${\displaystyle \frac{}{}}$q ,${\displaystyle \frac{t}{}}$ )${\displaystyle \frac{d}{}}$ t$t$ \ $displaystyle$ \ $frac$ {$d }$ $f$( \ $mathbf$ {$q$} { \$$$mathbf$ {$d$ }$$)는${\displaystyle \frac{}{f}}$ (${\displaystyle \frac{}{}\frac{q}{}}$ , t${\displaystyle \frac{}{}}$)${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$、${\displaystyle \frac{}{}}$t${\displaystyle \underset{}{}}$+ i${\displaystyle \underset{}{}\frac{\mathrm{}\mathrm{partial}f\mathbf{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{(}{}}$ t${\displaystyle \frac{}{}}$)${\displaystyle \frac{\mathrm{}{}_{}}{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ 、 t 、 t partial partial partial ${\displaystyle \frac{{partial}_{}}{}}$partialpartial$q partialpartialpartialpartialpartialpartialpartialpartialpartialpartialpartialpartialpartialpartialpartialpartial$partialpartialpartialpartialpartialpartialpartialpartialpartialpartialpartialpartialpartialpartialpartialpartialpartialpartialpartialpartialpartialpartialpartialpartialpartialpartialpartialpartial$partialpartialpartialpartialpartialpartialpartial$$t)}{\dot q_{i}}{\dot {q}}_{i}.$$}$

Lagrangian $(\displaystyle$ L$)$과 L$(\$ L$')$은 모두 동일한 운동^[30][31] 방정식을 생성합니다. 왜냐하면 대응하는 $(\displaystyle$ S$)$과 S$(\$ S$')$는 서로 관련되기 때문입니다.

$디스플레이 스타일S'[\mathbf {q}=\int \int _{\text{st}}^{t_{\text{fin}}}L'(\mathbf {q}(t), {\mathbf {q}}}(t), dt=\int \int _ {t_{\text{st}^{text}}}}{fin}}L}}}{text}}}{L}}}}}{L}}}}}}ext{fin}}-f(P_{\text{st}}, t_{\text{st}}),\end{aligned}})$

마지막 2개의 $컴포넌트{\displaystyle }$f($P$fin, $)$ {$displaystyle f($P_${\text{fin}), t_{\$$text$${fin$}}}}} $및$ f${\displaystyle ({\text{P}}_{}}$ st${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\text{st}}_{}}${$displaystyle$ f$(P_{st}, t_{\$text${$st$}}}}}})$를 사용하여${\displaystyle }$q$.\displaystyle$ \$mathbf {q}$와 독립되어 있습니다.

점 변환 시 불변성

일반화 좌표 집합 q가 주어졌을 때, 만약 우리가 점 변환 q = q(s, t)에 따라 이 변수들을 일반화 좌표의 새로운 집합으로 바꾼다면, 새로운 라그랑지안 Lθ는 새로운 좌표의 함수이다.

${\displaystyle L(\mathbf {s},t},{\dot {mathbf {q}}},{\dot {mathbf {s},t})=L'(\mathbf {s},{\dot {mathbf {s},t}),$

그리고 편미분의 연쇄 법칙에 의해, 라그랑주 방정식은 이 ^[32]변환 하에서 불변한다.

${\displaystyle {\frac {d} {\mathrm {d} t} {\frac {\frac L'} {\partial s_{i}} = frac {\frac L'} {\partial s_{i}},}$

이것은 운동 방정식을 단순화할 수 있다.

주기 좌표 및 보존 모멘타

라그랑지안의 중요한 특성은 보존된 양들을 그것으로부터 쉽게 읽을 수 있다는 것이다.일반화_i 운동량은 좌표 q에 "공역적으로" 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle p_{i}=parial frac {\dot {q}_{i}}}.}$

만약 라그랑지안 L이 어떤 좌표_i q에 의존하지 않는다면, 오일러-라그랑지 방정식으로부터 바로 다음과 같이 된다.

${\displaystyle {dot {p}_{i}=mathrm {d} t}{\frac {d} {\frac {d} {\partial {q}_{i}}}=frac {\partial q_{i}} =0,}$

적분은 대응하는 일반화 운동량이 상수, 보존량과 같다는 것을 나타냅니다.이것은 노에터의 정리의 특별한 경우이다.이러한 좌표를 "순환" 또는 "무시"라고 합니다.

예를 들어, 시스템에 라그랑지안이 있을 수 있습니다.

${{displaystyle L(r,\theta),{\dot {z},{\dot {r},{\dot {theta},{\dot {phi },t},},}$

여기서 r과 z는 직선을 따른 길이, s는 곡선을 따른 호 길이, θ와 θ는 각도입니다.z, s 및 θ는 속도가 라그랑지안에 존재하지 않지만 모두 존재하지 않는다는 점에 유의하십시오.그리고 그 순간

$({displaystyle p_{z}=partial p_{z}},\partial p_{s}=partial p_{\phi}},\partial p_{\phi}=partial p_frac {\partial},$

모두 보존된 양입니다.각 일반화 운동량의 단위와 특성은 해당 좌표에 따라 달라집니다. 이 경우_z p는 z 방향의 변환 운동량이고_s, p는 곡선 s를 따른 변환 운동량이며, p는_φ 각도 θ가 측정된 평면의 각 운동량입니다.시스템의 움직임이 아무리 복잡하더라도, 모든 좌표와 속도는 이러한 모멘타가 보존되는 방식으로 변화할 것입니다.

에너지

정의.

Lagrangian $,$ {\$displaystyle$ L$}$의 경우 해당 기계 시스템의 에너지는 정의상 다음과 같습니다.

${\displaystyle E=\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}_{i}{\frac {frac L}{\partial {q}_{i}}-L.}$

좌표 변환 하에서의 불변성

구성 공간 좌표가 q ${\displaystyle \to }$ \displaystyle $\mathbf {q} \to$ \$mathbf$ {Q$}$ \to \mathbf ${Q$}$$즉, 매 $순간{\displaystyle }$ t$,\displaystyle$ t$,\$$displaystyle$ t,\displaybf {Q}일$$ 때마다 에너지가 $변합니다{\displaystyle \mathbf{}}$.

$(\displaystyle E(\mathbf {q} , {\dot {mathbf {q} , t)=E(\mathbf {Q} , {\dot {mathbf {Q} , t} ).}$

이 결과 외에, 아래의 증명은 이러한 좌표변화 하에서 도함수${\displaystyle \mathrm{}l}$L /${\displaystyle \mathrm{}{\stackrel{}{}}_{}}$ q${\displaystyle {\stackrel{}{}i}_{}}$i { $displaystyle$\ $partial$ L$/\partial {q}_{i$}}가$$ 선형 형태의 계수로 변화함을 보여준다.

증명

좌표 $변환{\displaystyle \mathbf{}}$ Q ${\displaystyle =F}$ (${\displaystyle q\mathbf{}}$) ,${\displaystyle \mathbf {Q$} = F$(\mathbf${q$}$ )의$$ 경우 다음과 같이 됩니다. ${\displaystyle d\mathbf {Q} = F_{*}(\mathbf {q})d\mathbf {q} ,}$ $여기$서 F ${\displaystyle {}_{}}$ ($$ ) { $displaystyle F_{*}$ ( $mathbf {q}$)는 벡터 공간의$$ 접선 맵입니다. $\displaystyle \left \{i=1}^{n}{\dot {q}_{i}\cdot \left(\dot /\dot q_{i}{\bigl}_{\mathbf {q} } } \right} \\bigl } \ {\dot {\mathbbr} } } } } } } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ 벡터 공간까지 $\displaystyle \left \{i=1}^{n}{\dot {Q}_{i}\cdot \left(\dot /\bigl}_{F(\mathbf {q})}\right)\biggl }\{biggl }\{i}, \mathbbbbbbb} \right {{i} \right}, \mathb}$ 그리고. $\displaystyle \textstyle F_{*}(mathbf {q})=bigl (}\displaystyle F_{i}/\partial q_{j}{\bigl}_{\mathbf {q}{\bigr})_{i,j=1}^n}}$ 야코비안이다.$좌표{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ q ${\displaystyle {\stackrel{}{\{\backslash }}_{}}$({$display$ {$q$$}$$_{i}) 및$ Q$$ {\$({display style {Q}_{i})$에서 d$$({$displaystyle$ d$\mathbf${$Q$$})$의 이전 공식은 Q ${\displaystyle =}$ $=$ ${\displaystyle F\mathbf{}}$（ ${\displaystyle q\stackrel{}{\mathbf{}}}$ ）$$ {$display style {dotbf}$ } } {i})의 형태를 가집니다.$$ 제품 규칙과 관련된 차별화 후 ${\displaystyle d'dot {mathbf {Q}}=G(\mathbf {q}, {\dot {mathbf {q}})d\mathbf {q}dot {mathbf {q}}, {mathbf {q}}}, dtmldot {mathbf {mathbf {q}, {q}},}$ 어디에 ${\displaystyle{\begin{정렬}(\mathbf{q},{\dot{\mathbf{q}}})d\mathbf{q}&\,{\stackrel{\text{. 그렇지만}}{)}}\,d(F_{*}(\mathbf{q})){\dot{\mathbf{q}}}=\left(\sum_{k=1}^{n}{\frac{\partial ^{2}F_{나는}}{\partial q_{j}\partial q_{k}}}{}\biggl_{\mathbf{q}}dq_{k}\right)_{i,j=1}^{n}{\dot{\mathbf{q}}}=\left(\sum _{j=1}^{n}{\dot{q}}_{j}\su.m_{k=1}^{n}{\frac {\frac ^{2}F_{i}}{\partial q_{j}\partial q_{k}}{\biggl}_{\mathbf {q}}{dq_{k}\right}_i=1,\ldots,n}^{k}T}\\&=\left(\sum _{k=1}^{n}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {{2}F_{i}}{\partial q_{j}\partial q_{k}}{\biggl }_{\mathbf {q} {q}\right} {dot_{j}$ 벡터 표기법에서는 ${\displaystyle{\begin{정렬}(\mathbf{Q},{\dot{\mathbf{Q}}},t)&, ={\frac{\partial L}{\partial \mathbf{Q}}}d\mathbf{Q}+{\frac{\partial L}{\partial{\dot{\mathbf{Q}}}}}d{\dot{\mathbf{Q}}}+{\frac{\partial L}{\partial지}}dt\\&, =\left({\frac{\partial L}{\partial \mathbf{Q}}}F_{*}({q\mathbf})+{\frac{\partial L}{{\partial.\dot{\mathbf {Q}}}}}G(\mathbf {q},{\dot {mathbf {q})\right}d\mathbf {q} +{\frac {\partial L}}}}}}F_{*}(\mathbf {q}})d {dotf}{dotf}{q}}\end { aligned}}$ 반면에, ${\displaystyle dL(\mathbf {q},{\dot {mathbf {q},t})=sq{\partial \mathbf {q}}d\mathbf {q} +{\frac {q}}dot {\mathbf}{\mathbf {q}}$ 앞서 라그랑지안은 구성 공간 좌표 선택에 의존하지 않는다고 언급했습니다. ${\displaystyle 즉\mathbf{},}$ $L{\displaystyle }$ (${\displaystyle }$Q , ${\displaystyle Q\stackrel{}{\mathbf{}}}$, ,${\displaystyle t}$ ) ${\displaystyle =L}$ (${\displaystyle q\stackrel{}{\mathbf{}}}$ , q ${\displaystyle ,}$ ,${\displaystyle t}$)$$. \ $display style$ L ( \ $mathbf${ $Q$} , { \ $dot$\ mathbf {$Q }$ , t )$=$L \ $mathbf （$ ） 。$}$ 이는$$ ${\displaystyle d\stackrel{}{\mathbf{}}L\mathbf{}}$ (${\displaystyle }$Q , ${\displaystyle Q\stackrel{}{},}$, t )${\displaystyle }$= ${\displaystyle dL\mathbf{}}$ (${\displaystyle q\stackrel{}{\mathbf{}}}$ ,${\displaystyle \stackrel{}{}q}$,$t$) , { $displaystyle$ dL ( \ $mathbf$ { Q } , { \ $dot$\$mathbf$ { Q$}$ ,$t$ ) = $dL$( \ $mathbf$ {$}$ , { $t }$ ) 、 $(\displaystyle {\frac L} {\dot {mathbf {Q}}} F_{*}(\mathbf {q}) = partial {\dot {\mathbf {q}} ).}$ $이$는 각${\displaystyle }$q에 대해$${\$displaystyle$\$mathbf${$q$$},$ {$displaystyle {$$dot$$${mathbf {$q}},$ $t$}, ${\displaystyle$ t$\},$${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ {\displaystyle t}, {${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{displaystyle}}}}$ t}, ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ L${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}{q}_{}\frac{{\stackrel{}{}}_{}}{}}$ i$$ i q ${\displaystyle {\stackrel{}{\dot{}}}_{}}$ i 、$displaystyle \textstyle \sum$ {i$$= 1 =$laccr},$ {$i=$ laccl}{ $frcrcr$}{ fr}{$_{i}}$는 잘 정의된 선형 형식이며 계수${\displaystyle \frac{\mathrm{}l}{}}$ L${\displaystyle \frac{\mathrm{}{\stackrel{}{}}_{}}{}}$ q${\displaystyle \frac{{\stackrel{}{}i}_{}}{}}$i \ $displaystyle$ \ textstyle \ $frac$ {$partial$ L$}${ \$partial$ \ $dot { q} _$ { i$}}}$는 반변수 1-텐서입니다.q ${\$ { $displaystyle$$$} $q$ { dot \$$$mathbf { q$ $}$$$using$$$$using using using using q q $q{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ q q for for for for for for for for for for for for $for$ for for for for for for for for for （ \$displaystyle$ ${\displaystyle {\mathbf {Q}}{\frac L}{\partial {\mathbf {Q}}}={\frac L}{\frac L}{\partial {\mathbf {q}}}}}.}$ $에너지 E의$$$불변성은 다음과 같습니다.

보존.

Lagrangian 역학에서는 $Lagrangian{\displaystyle }$ L$(\displaystyle$ L$)$이$$ 시간에 의존하지 않는 경우에만 시스템이 닫힙니다.에너지 절약법칙은 닫힌 $시스템$의 에너지$$E(\$displaystyle$E)가 운동의 필수 요소임을 명시하고 있습니다.

보다 정확히는 ${\displaystyle q\mathbf{}}$ $=$q (${\displaystyle t}$) {$displaystyle \mathbf {q}$=\$mathbf {q} ($t)}을$$(를) 극값으로 $한다{\displaystyle \mathbf{}}$.(즉,$$q \$displaystyle \mathbf {q}$는 오일러-라그랑주 방정식을 만족합니다).이 극단을 $따라$ L(\$displaystyle$ L$)$의 총 시간 도함수를 취하여 EL 방정식을 사용하면

${\displaystyle - {\frac L} {\partial t} {\biggl } {\mathbf {q} (t)} = spec frac {\mathrm {d} t} } \ left [ E {\biggl } _ {\mathbf {q} ( t) \ right }}$

Lagrangian$L{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ L$}$이$$ 시간에 따라 명시적으로 달라지지 않는 경우${\displaystyle \mathrm{}l}$ L${\displaystyle }$/${\displaystyle \mathrm{}t}$ t $=$, {\$displaystyle \displaystyle$L/\$partial$ t $=$ 0 , } 이므로$$E {\$displaystyle$ E$}$는 실제로 운동의 정수입니다.

${\displaystyle E(\mathbf {q}(t), {\dot {mathbf {q}}}(t), t)=text{const}}.}$

따라서 에너지가 보존됩니다.

운동 에너지와 전위 에너지

그것은 또한 운동 에너지가 일반화된 속도에서 2도의 균질함수라는 것을 뒤따른다.만약 추가로 전위 V가 좌표의 함수일 뿐이고 속도와 무관하다면, 그것은 직접적인 계산이나 동질 함수에 대한 오일러의 정리의 사용으로 이어진다.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{q}{\dot {i}}=\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}{{i}{\frac {q}{\dot {q}}{\frac {\dot {q}}{{\dot {q}}}{{{i}}}},i}},2}.}$

이 모든 상황에서,^[33] 상수는

${\displaystyle E=T+V}$

시스템의 총 에너지입니다.운동 에너지와 전위 에너지는 시스템이 진화함에 따라 여전히 변화하지만, 시스템의 운동은 총 에너지인 합계가 일정하도록 변화할 것입니다.에너지 E는 문제의 임의의 상수로 간주되는 적분 상수이며, 이 에너지 관계에서 속도를 적분하여 좌표를 해결할 수 있기 때문에 이것은 매우 간단한 것입니다.속도나 운동 에너지 또는 둘 다 시간에 따라 달라지는 경우에는 에너지가 보존되지 않습니다.

기계적 유사성

만약 위치 에너지가 좌표의 균질함수이고 시간과 ^[34]무관하며, 모든 위치 벡터가 0이 아닌 동일한 상수α, rθ_k = αr에_k 의해 스케일링되면, 다음과 같이 됩니다.

$\displaystyle V(\alpha \mathbf {r} _{1},\alpha \mathbf {r} _{2},\alpha \mathbf {r} _{N}=\alpha ^{N}V(\mathbf {r} _{2},\ldots,\mathbf {r}) _{n}) _{n} _{n} )$

시간은 인자 β, tθ = βt로 스케일링되고, 속도_k v는 인자 α/β로 스케일링되며, 운동 에너지 T는 (α/β)²로 스케일링된다.라그랑지안 전체는 동일한 인수로 스케일링되었다.

${\displaystyle {\frac ^{2}}=\alpha ^{N}\quad \Rightarrow \fac =\alpha ^{1-{\frac {N}{2}},}$

길이와 시간이 조정되었기 때문에 시스템 내 입자의 궤적은 크기가 다른 기하학적으로 유사한 경로를 따릅니다.원래 궤적에서 시간 t로 횡단한 길이 l은 비율에 의해 주어진 새로운 궤적에서 시간 t로 횡단한 새로운 길이 l'에 대응한다.

${\displaystyle {frac {t'}{t}=\leftfrac {l'}{l}}\right)^{1-{\frac {N}{2}},}$

상호작용하는 입자

특정 시스템의 경우, 2개의 서브시스템 A와 B가 비인터랙티브한 경우, 전체 시스템의 Lagrangian L은 ^[29]서브시스템의 Lagrangian_A L과_B L의 합계입니다.

$(\displaystyle L=L_{A}+L_{B}),}$

만약 그들이 상호작용을 한다면 이것은 가능하지 않다.경우에 따라서는 시스템 L의 라그랑지안을 상호작용하지 않는 라그랑지안과 상호작용에 대한 정보를 포함하는 다른 라그랑지안_AB L의 합으로 분리할 수 있다.

$\displaystyle L=L_{A}+L_{B}+L_{AB},}$

이것은 상호작용이 라그랑지안이 시스템의 총 잠재 에너지인 반면, 비 상호작용 라그랑지안을 운동 에너지로만 받아들임으로써 물리적으로 동기 부여될 수 있다.또, 상호작용이 극히 적은 제한의 경우, L은_AB 상기 비상호작용의 경우로의 감소를 제로화하는 경향이 있다.

3개 이상의 비상호작용 서브시스템으로의 확장은 간단합니다.전체 라그랑지안은 각 서브시스템에 대한 개별 라그랑지안의 합계입니다.교호작용이 있으면 교호작용 라그랑지안이 추가될 수 있습니다.

예

다음 예시는 라그랑주의 두 번째 방정식을 기계적 문제에 적용합니다.

보수 세력

질량 m의 입자는 스칼라 전위의 경사θ에서 도출된 보존력의 영향을 받아 움직인다.

${\displaystyle \mathbf {F} =-{\boldsymbol {\boldla }}V(\mathbf {r}),}$

만약 입자가 더 많다면, 위의 결과에 따르면, 총 운동 에너지는 모든 입자의 운동 에너지에 대한 합이며, 전위는 모든 좌표에 대한 함수이다.

데카르트 좌표

이 입자의 라그랑지안은 쓰여질 수 있다.

${{displaystyle L(x,y,z,{\dot {y}},{\dot {z}})=snap frac {1}{2}m\\dot {x}^{2}+{\dot {z}{2}-V(x,y,z},})입니다.$

입자에 대한 운동 방정식은 x 좌표에 대해 오일러-라그랑주 방정식을 적용하여 구한다.

${\displaystyle {\mathrm {d} {\mathrm {d}} {\leftlac L} {\partial {x}} = frac {\partial x},}$

파생상품으로

${\displaystyle {\frac L}=-{\frac V}{\partial x},\frac {\frac L}=m(부분적 {x}}},\frac {\mathrm {d}}},\frac {\frac L},\frac 왼쪽$

이런 이유로

${\displaystyle mbdot {x}}=-{\frac V}{\partial x},}$

마찬가지로 y 및 z 좌표도 마찬가지입니다.방정식을 벡터 형태로 수집합니다.

${\displaystyle mchbf {r}}=-{\boldsymbol {r}V}$

이것은 보수적인 힘을 받는 입자에 대한 뉴턴의 제2운동법칙이다.

2D 및 3D 극좌표

구면 좌표에서 위의^{[clarification needed]} 문제에 대한 라그랑지안(2D 극좌표는 $중심{\displaystyle }$ 전위를 갖는 $=$/ / $(\displaystyle \theta$ =\$pi /2})$를 설정하여 복구할 수 있음)은 다음과 같습니다.

${\displaystyle L=black {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2})}{\dot {\theta }^{2}+r^{2}\sin^{2}\theta,{\dot {\varphi}}^{2}-V(r),}$

그래서 오일러-라그랑주 방정식은

${\displaystyle m420dot {r}-mrdot {\theta }^2}+\sin ^{2}+{\dot {\varphi }^2}+{\frac {\partial r}=0,}$

${\displaystyle {\frac {d} {\mathrm {d} t} {{2} {\dot {theta }} - mr^{2} \sin \cos \theta }, {\dot {varphi }} = 0,}$

${\displaystyle {\frac {d} {\mathrm {d} t}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta },{\dot {\varphi }})= 0,}$

δ 좌표는 라그랑지안에는 나타나지 않기 때문에 주기적이므로 시스템에서 보존되는 운동량은 각 운동량이다.

${\displaystyle p_{\varphi}=partial {\dot {\varphi}}=mr^{2}\sin^{2}\theta {\dot {\varphi}},}$

여기서 r, θ 및 dθ/dt는 모두 시간에 따라 변화할 수 있지만 p가 일정해야_φ 합니다.

가동 지지대의 추

질량 m과 길이 θ의 진자가 질량 M으로 지지대에 부착되어 있으며 x$(\displaystyle$ x$)$ $방향$으로 직선을 따라 이동할 수 있다고 가정합니다.x$(\displaystyle$ x$)$를 지지선상의 좌표로 $하고{\displaystyle }$, 수직으로부터의 $(\displaystyle$ \$theta)$로 진자의 위치를 나타냅니다.진자 밥의 좌표 및 속도 구성요소는 다음과 같습니다.

${\displaystyle{\begin{배열}{rll}&, x_{\mathrm{미해결인 채로 있다}}=x+\ell\sin\theta&\quad \Rightarrow \quad{\dot{)}}_{\mathrm{미해결인 채로 있다}}={\dot{)}}+\ell{\dot{\theta}};y_{\mathrm{미해결인 채로 있다}}=-\ell\cos\theta&\quad \Rightarrow \quad{\dot{y}}_{\mathrm{미해결인 채로 있다}}=\ell{\dot{\theta}}\sin\theta \,\theta \\& \cos.\end{배열}}}$

그 일반화된 좌표가 될 x{\displaystyle)}과θ{\theta\displaystyle}. 그 체제의 운동 에너지. 그 다음은 취할 수 있다.

${\displaystyle T={\frac{1}{2}}M{\dot{)}}^{2}+{\frac{1}{2}}m\left({\dot{x}}_{\mathrm{pend}}^{2}+{\dot{y}}_{\mathrm{pend}}^{2}\right)}.$

그리고 잠재적인 에너지가 있습니다.

${\displaystyle V=mgy_{\mathrm{미해결인 채로 있다}}}$

그 Lagrangian을 주는

${\displaystyle{\begin{배열}{rcl}L&, =&.T-V\\&, =&,{\frac{1}{2}}M{\dot{)}}^{2}+{\frac{1}{2}}m\left[\left({\dot{x}}+\ell{\dot{\theta}}\cos\theta \right)^{2}+\left(\ell{\dot{\theta}}\sin\theta \right)^{2}\right]+mg\ell\cos\theta \\&, =&,{\frac{1}{2}}\left(M+m\right){\dot{)}}^{2}+m{\dot{)}}\ell{\dot{\theta}}\cos\theta +{\frac{1}{2}}m\ell}^ ^{2}{\dot{\theta}.{2}+mg\ell)cos\theta \,.\end{배열}}}$

이후 x{\displaystyle)}은 라그랑주에 없다, 그것은 순환 좌표입니다.그적으로 탄력이 있다고

${\displaystyle p_{)}={\frac{\partial L}{\partial{\dot{)}}}}=(M+m){\dot{)}}+m\ell{\dot{\theta}}\cos\theta \,}.$

그리고 지원 좌표){\displaystyle)}의 라그랑주 방정식이다.

${\displaystyle(M+m){\ddot{)}}+m\ell{\ddot{\theta}}\cos\theta -m\ell{\dot{\theta}}^{2}\sin\theta =0\,.}.$

각도를θ{\theta\displaystyle}의 라그랑주 방정식이다.

${\displaystyle {\frac {d} {\mathrm {d} {\mathrm {d} {\dot {x}} \el \cos \theta +\ell ^{\dot {\theta }} \right } + m\ell({\dot {x}} {\dot {\g})\sin \ta = 0;$

심플화

${\displaystyle {\ddot {x}}+{\frac {\ell}}\cos \theta +{\frac {g}{\ell}}\sin \theta = 0.}$

이 방정식은 매우 복잡해 보일 수 있지만, 뉴턴의 법칙으로 그것들을 찾는 것은 모든 힘을 주의 깊게 식별해야 했을 것이고, 이것은 훨씬 더 힘들고 오류가 발생하기 쉬웠을 것입니다.제한 사례를 고려함으로써 이 시스템의 정확성을 검증할 수 있습니다.예를 들어 x${\displaystyle \stackrel{}{}}$etc$$ {$ddot {x}\to$ 0$}$은 일부 관성 프레임에 정지된 단순 진자에 대한 운동 방정식을 나타내야 하며, $etc{\displaystyle \stackrel{}{}\mathrm{etc}}$0 {$dddot {theta }}\to$ 0은 지속적으로$$ 가속되는 시스템에서 진자에 대한 방정식을 나타내야 한다.게다가 적절한 개시 조건과 선택된 시간 스텝이 주어졌을 때, 그 결과를 반복해 수치적으로 얻는 것은 간단하다.

2체 중심력 문제

위치 벡터₁ r, r을₂ 가진 질량₁ m, m의₂ 두 물체는 매력적인 중심 전위 V에 의해 서로 궤도상에 있다.위치 좌표에 대해 라그랑지안을 그대로 적을 수 있지만, 이것은 다음과 같이 2체 문제를 1체 문제로 변환하는 확립된 절차이다.물체 r = r₂ - r의₁ 분리 및 질량 R = (mr₂₂ + mr)/(m₂ + m)의₁₁₁ 중심 위치인 야코비 좌표를 도입한다.라그랑지안은 그때^{[35][36][nb 4]}

${{displaystyle L=\underbrace {1}{2}}M{\dot {\mathbf {R}}^{2}}_{L_{\text{cm}}+{\underbrace {1}{2}}\mu {\mathbf}-V(\mathbf {R}_R})_{L}_{\dot {}$

여기서 M = m₁ + m은₂ 총질량, μ₁₂ = mm/(m₂ + m)는₁ 감소질량, V는 분리 r₂ = r₁ - r의 크기에 따라 달라지는 반경력의 전위이다. 라그랑지안은 질량중심항_cm L과 상대운동항_rel L로 분할된다.

R에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.

$(\displaystyle M{\ddot {R}}}=0,}$

이것은 질량의 중심이 일정한 속도로 직선으로 움직인다는 것을 나타냅니다.

상대 운동은 분리의 크기에만 의존하므로 극좌표(r, θ)를 사용하고 r = r을 취하는 것이 이상적이다.

${\displaystyle L_{\text{rel}}=black {1}{2}\mu({\dot {r}}^{2}+r^{2})}{\dot {\theta }}^{2}-V(r),,}$

따라서 θ는 해당 보존된(최소) 운동량과 주기 좌표이다.

${\displaystyle p_{\theta } = partial {\dot {\theta }} =\mu r^{2} {\dot {\theta } =\ell},}$

반지름 좌표 r과 각속도 dθ/dt는 시간에 따라 달라질 수 있지만 θ가 일정해야 한다.r에 대한 라그랑주 방정식은

${\displaystyle\mu r{\dot{theta}}^{2}-{\frac {dV}{dr}=\mu {dot {r}},}$

이 방정식은 뉴턴의 법칙을 사용하여 공회전 기준 프레임, 즉 프레임이 감소된 질량과 함께 회전하여 정지된 것처럼 보이는 반지름 방정식과 동일합니다.이 반경 ^[37]방정식에서 각속도 dµ/dt를 제거하면

${\displaystyle \mu {r}=-{\frac {mathrm {d} V}}+{\frac {\ell ^{2}}{\mu r^{3}},}$

이것은 질량 μ의 입자가 내부 중심력 - dV/dr과 이 맥락에서 원심력이라고 불리는 두 번째 외부 힘을 받는 1차원 문제에 대한 운동 방정식이다.

${\displaystyle F_{\mathrm {cf} =\mu rdotdot {theta } } =mu frac {\ell ^{2}} {\mu r^{3}},}$

물론 한 사람이 전적으로 1차원 공식 안에 있다면, θ는 외부 외향력의 일부 부과된 파라미터로서만 입력되며, 각운동량으로서의 해석은 1차원 문제가 발생한 보다 일반적인 2차원 문제에 따라 달라진다.

공회전 프레임에서 뉴턴 역학을 사용하여 이 방정식에 도달하면 프레임 자체의 회전에 의한 프레임의 원심력으로 해석할 수 있습니다.일반화된 좌표(r, θ)를 사용하여 프레임에 대해 전혀 생각하지 않고 단순히 라그랑지안 공식에 따라 이 방정식에 직접 도달한다면, 원심력은 극좌표를 사용한 결과라는 해석이다.Hildebrand의 ^[38]말처럼:

"이러한 양은 실제 물리력이 아니기 때문에 종종 관성력이라고 불립니다.이들의 존재 여부는 당면한 특정 문제가 아니라 선택한 좌표계에 따라 달라집니다."특히 데카르트 좌표를 선택하면 원심력이 사라지고 중심력 자체만 포함되어 곡선의 운동에 구심력을 제공한다.

가공의 힘은 좌표의 선택에서 비롯된다는 이 관점은 종종 라그랑지안 방법의 사용자에 의해 표현된다.이 관점은 (아마도 무의식적으로) 좌표 선택에 의해 선택되기 때문에 라그랑지안 접근법에서 자연스럽게 발생한다.예를 들어 관성 및 비관성 기준 프레임의 라그랑지안 비교는 를 참조하십시오^[39]."^[40]전체" 및 "업데이트된" 라그랑지안 공식에 대한 설명도 참조하십시오.불행하게도, 이러한 "관성력"의 사용은 관성력에 대한 뉴턴의 생각과 충돌합니다.뉴턴의 관점에서 관성력은 좌표계를 선택하는 것이 아니라 관측계(관성 기준계가 아니라는 사실)의 가속에서 비롯된다.문제를 명확히 하기 위해, 뉴턴 벡터 관성력과 구별하기 위해 라그랑지안 관성력을 일반화 관성력으로 부르는 것이 가장 안전하다.즉, 힐데브랜드가 (155) "우리는 항상 일반화 힘, 속도 가속 및 모멘타를 다룬다"고 말할 때 그를 따르는 것을 피해야 한다.간결성을 위해 "generalized"라는 형용사는 자주 생략될 것이다.

시스템의 라그랑지안은 유일하지 않다고 알려져 있다.라그랑지안 형식주의 내에서 뉴턴식 가공력은 가공의 힘이 사라지는 대안적인 라그랑지안의 존재에 의해 확인될 수 있으며,^[41] 때로는 시스템의 대칭성을 이용하여 발견되기도 한다.

전자기학

테스트 입자는 질량과 전하가 너무 작아서 외부 시스템에 미치는 영향이 미미하다고 가정되는 입자입니다.이것은 종종 질량과 전하 이외의 특성이 없는 가상의 단순화된 점 입자입니다.전자와 업 쿼크와 같은 실제 입자는 더 복잡하고 라그랑지안에 추가 항이 있습니다.

전자장과 상호작용하는 전하 q를 가진 하전 입자의 라그랑지안은 속도 의존 전위의 원형 사례이다.전기 스칼라 전위 = δ(r, t) 및 자기 벡터 전위 A = A(r, t)는 전기장 E = E(r, t) 및 자기장 B = B(r, t)에서 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle \mathbf {E} =-{\boldsymbol\phi-{\frac\mathbf {A}},\display \mathbf {B} =\times \mathbf {A}},\frac {\frac t}},\displaystymathbf {A}.$

전자기장에 있는 거대한 하전 시험 입자의 라그랑지안

${{displaystyle L=tfrac {1}{2}}}m 도트 {mathbf {r}}^{2}+q,{\dot {mathbf {r}}\cdot \mathbf {A} -q\phi,}$

최소 결합이라고 합니다.오일러-라그랑주 방정식과 결합하면 로렌츠 힘의 법칙이 생성된다.

${\displaystyle m420dot {mathbf {r}}=q\mathbf {E} +qdot {mathbf {r}}\times \mathbf {B}}$

언더 게이지 변환:

$\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +{\boldsymbol {nabla }}f,\quad \phi \rightarrow \phi -{\dot {f}},},}$

여기서 f(r,t)는 시공간 스칼라 함수이며 앞에서 언급한 라그랑지안 변환은 다음과 같다.

${\displaystyle L\right 화살표 L+q\left({\dot {mathbf {r}}})\cdot {boldsymbol {boldla}}}+{\frac {\frac t}}}\right}f=L+q{\frac {df}{\f},},}$

로런츠 힘의 법칙이 여전히 똑같습니다.

표준 운동량(위치 r에 공칭)은 운동량과 A 필드(전위 운동량이라고 함)의 기여도입니다.

${\displaystyle \mathbf {p} = partial {\dot {\mathbf {r}}} =m(dot {mathbf {r}}) +q\mathbf {A} }$

이 관계는 양자역학 및 양자장 이론의 최소 결합 처방에도 사용됩니다.이 식에서 우리는 표준 운동량 p가 게이지 불변성이 아니므로 측정 가능한 물리량이 아님을 알 수 있다. 그러나 r이 주기적(즉, 라그랑지안이 위치 r에 독립적)이라면, θ와 A 필드가 균일할 경우, 여기서 주어진 이 표준 운동량 p는 보존 운동량이고, 반면 측정 가능한 p는물리 운동량 mv는 그렇지 않다.

비보수 세력을 포함하는 확장

소산(즉, 비보수적 시스템)은 ^{[42][43][44][45]}자유도의 특정 배율로 공식화된 효과적인 라그랑지안으로도 처리될 수 있다.

보다 일반적인 공식에서 힘은 보수적이고 점성이 있을 수 있다.F에서_i 적절한 변환을 찾을 수 있는 경우, Rayleigh는 다음과 같은 형태의 ^[46]소산 함수 D를 사용할 것을 제안한다.

${\displaystyle D=param frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{m}\sum _{k=1}^{m}C_{jk}{\dot {q}_{j}{\dot {q}_{k},}$

여기서_jk C는 물리적 시스템의 감쇠 계수와 관련된 상수이지만 반드시 동일하지는 않습니다.D가 이렇게 정의되어 있는 경우^[46],

$({displaystyle Q_{j}=-{\frac V}{\partial q_{j}}-{\frac D}{\partial {q}_{j}}})$

그리고.

${\displaystyle {\frac {d} {\mathrm {d} t} {\frac L} {\partial L} {\frac L} {\partial q_{j} + {\frac D} {\frac L} {\frac L} {\frac D} {\} {\frac L} {\fr} }$

기타 콘텍스트 및 공식

라그랑주 역학의 아이디어는 물리학의 다른 분야에서도 수많은 응용을 가지고 있으며, 변이의 미적분으로부터 일반화된 결과를 채택할 수 있습니다.

고전 역학의 대체 공식

고전 역학의 밀접하게 관련된 공식은 해밀턴 역학이다.해밀턴의 정의는 다음과 같습니다.

${\displaystyle H=\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}_{i}{\frac {\frac L}{\partial {q}_{i}}-L,}$

Lagrangian에서 Legendre 변환을 수행하여 얻을 수 있습니다. Lagrangian은 원래 변수와 규범적으로 결합되는 새로운 변수를 도입합니다.예를 들어, 일련의 일반화 좌표가 주어졌을 때, 규범적으로 공역하는 변수는 일반화 모멘타이다.이렇게 하면 변수의 수가 두 배로 증가하지만 미분 방정식이 첫 번째 순서가 됩니다.해밀토니안은 양자역학에서 특히 흔하게 볼 수 있는 것은 해밀토니안(양자역학)이다.

Routhian 역학은 Lagrangian 역학과 Hamiltonian 역학의 혼합체이며, 실제로는 자주 사용되지 않지만 순환 좌표에 대해 효율적인 공식입니다.

운동량 공간 공식

오일러-라그랑주 방정식은 또한 일반화 좌표가 아닌 일반화 모멘타의 관점에서 공식화될 수 있다.일반화 좌표 라그랑지안 L(q, dq/dt, t)에 대해 Legendre 변환을 수행하면 원래 라그랑지안 관점에서 일반화 모멘타 Lδ(p, dp/dt, t) 및 일반화 모멘타의 관점에서 EL 방정식을 얻을 수 있다.두 라그랑지안 모두 동일한 정보를 포함하고 있으며, 둘 중 하나를 사용하여 시스템의 움직임을 해결할 수 있습니다.실제로 일반화 좌표는 일반화 모멘타보다 사용 및 해석이 더 편리하다.

일반화 좌표의 상위 도함수

일반화 좌표의 도함수를 1차만 사용하도록 제한할 수학적 이유는 없습니다.고차 도함수를 포함하는 라그랑지안에 대해 수정된 EL 방정식을 도출할 수 있습니다. 자세한 내용은 오일러-라그랑지 방정식을 참조하십시오.그러나 물리적 관점에서 첫 번째 순서보다 더 높은 시간 도함수를 포함하는 데 장애가 있는데, 이는 비퇴생적 고등 도함수 라그랑지안을 위한 오스트로그라드스키의 표준 형식주의 구성에 의해 암시된다.

광학

라그랑주 역학은 매체의 광선에 변화 원리를 적용하여 기하학적 광학에 적용할 수 있으며, EL 방정식을 풀면 광선이 따르는 경로의 방정식을 얻을 수 있습니다.

상대론적 공식

라그랑지안 역학은 특수 상대성 이론과 일반 상대성 이론으로 공식화될 수 있다.라그랑주 역학의 몇몇 특징들은 상대론 이론에서 유지되지만 다른 면에서는 어려움이 빠르게 나타난다.특히, EL 방정식은 같은 형태를 취하며 순환 좌표와 보존 모멘타 사이의 연결은 여전히 적용되지만, 라그랑지안은 수정되어야 하며 단순히 입자의 운동에너지를 뺀 것이 아니다.또, 명백하게 공변적인 방법으로 멀티 파티클 시스템을 취급하는 것은 간단하지 않기 때문에, 특정의 기준 프레임을 골라내면 가능한 경우가 있다.

양자역학

양자역학에서 작용과 양자역학적 위상은 플랑크 상수를 통해 관련되며, 정지작용의 원리는 파동함수의 구성적 간섭으로 이해될 수 있다.

1948년, 파인만은 전자와 광자를 위한 최소 작용의 원리를 양자 역학으로 확장하는 경로 적분 공식을 발견했습니다.이 공식에서 입자는 초기 상태와 최종 상태 사이에서 가능한 모든 경로를 이동합니다. 특정 최종 상태의 확률은 입자로 이어지는 모든 가능한 궤적을 합산하여 얻습니다.고전적 체계에서 경로 적분 공식은 해밀턴의 원리와 광학에서의 페르마의 원리를 깨끗하게 재현한다.

고전장론

라그랑주 역학에서, 일반화 좌표는 시스템의 구성을 정의하는 이산적인 변수 집합을 형성합니다.고전적인 장 이론에서 물리적 시스템은 이산 입자의 집합이 아니라 3D 공간의 영역에 걸쳐 정의된 연속장 δ(r, t)입니다.이 필드에는 라그랑지안 밀도가 관련되어 있습니다.

${\displaystyle {L}}(phi,\nabla \phi,\partial \phi /\partial t,\mathbf {r},t)}$

위치 r 및 시간 t에서 필드 및 해당 공간과 시간 파생물의 관점에서 정의된다.입자의 경우와 유사하게, 비상대론적 애플리케이션의 경우, 라그랑지안 밀도는 또한 필드의 운동 에너지 밀도에서 잠재적 에너지 밀도를 뺀 값이다. (이것은 일반적으로 사실이 아니며, 라그랑지안 밀도는 "역설계"되어야 한다.)라그랑지안은 3D 공간의 라그랑지안 밀도의 부피 적분입니다.

${\displaystyle L(t)=\int {mathcal {L}},\mathrm {d}^{3}\mathbf {r}$

여기서³ dr은 3D 차등 볼륨 요소입니다.라그랑지안은 라그랑지안 밀도가 필드를 통한 암묵적인 공간 의존성을 가지기 때문에 시간의 함수이며, 명시적인 공간 의존성을 가질 수 있지만, 이것들은 적분 안에서 제거되고, 오직 시간만이 라그랑지안의 변수로 남는다.

노에터의 정리

작용 원리와 라그랑주 형식주의는 물리적 보존량과 물리적 시스템의 연속적인 대칭을 연결하는 노에터의 정리와 밀접하게 연관되어 있습니다.

만약 라그랑지안이 대칭에서 불변이라면, 결과 운동 방정식 또한 대칭에서 불변합니다.이 특성은 이론이 특수상대성이론이나 일반상대성이론과 일치한다는 것을 보여주는데 매우 도움이 된다.

「 」를 참조해 주세요.

각주

메모들

레퍼런스

추가 정보

• Gupta, Kiran Chandra, 입자 및 강체의 고전 역학(Wiley, 1988).
• Cassel, Kevin (2013). Variational methods with applications in science and engineering. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-02258-4.
• 골드스타인, 허버트 등클래식 메카닉스피어슨 제3부, 2002년

외부 링크

• David Tong. "Cambridge Lecture Notes on Classical Dynamics". DAMTP. Retrieved 2017-06-08.
• 최소액션 인터랙티브의 원리 뛰어난 인터랙티브 설명/웹페이지
• Joseph Louis de Lagrange - œvres commétes (갈리카-매스)
• 구속된 움직임 및 일반화 좌표, 4페이지