정지 작용 원리

다음에 대한 시리즈 일부
고전역학
${\displaystyle {\textbf {F}={\frac {d}{dt}(m{\textbf {v})}$ 운동 제2법칙
역사 타임라인 교과서
나뭇가지 적용됨 천체 연속체 역학 운동학 키네틱스 통계학 통계적
기초 가속 각 운동량 커플 달랑베르트의 원리 에너지 운동성의 전위적인 힘 기준 틀 관성 기준 프레임 충동 관성/관성 모멘트 미사 기계력 기계적인 일 모멘트 모멘텀 공간 속도 시간 토크 속도 가상 작업
공식화 뉴턴의 운동 법칙 해석역학 라그랑기 역학 해밀턴 역학 루스 역학 해밀턴-자코비 방정식 호칭 운동 방정식 콥만-본 노이만 역학
핵심 주제 감쇠비 변위 운동 방정식 오일러의 운동 법칙 가공의 힘 마찰 조화 발진기 관성/비내장 기준 프레임 평면 입자 운동 역학 운동(선형) 뉴턴의 만유인력의 법칙 뉴턴의 운동 법칙 상대 속도 강체체 역학 관계 오일러 방정식 단순 고조파 운동 진동
회전 원형 운동 회전 기준 프레임 구심력 원심력 반작용의 코리올리스 힘 진자 접선 속도 회전 속도 각도 가속/변위/주파수/속도
과학자들 케플러 갈릴레오 후이겐스 뉴턴 호록스 핼리 다니엘 베르누이 요한 베르누이 오일러 달랑베르 클라이라우트 라그랑주 라플라스 해밀턴 포아송 카우치 루스 리우빌 호칭 깁스 콥만 폰 노이만
물리포털 카테고리
v t

이 글은 최소한의 행동 원칙의 역사에 대해 논한다.응용 프로그램의 경우 동작(물리학)을 참조하십시오.

정지 동작 원리(최소 동작 원리로도 알려져 있음)는 기계적 시스템의 동작에 적용할 때 해당 시스템의 동작 방정식을 산출하는 변동 원리다.원리는 궤적(즉, 운동 방정식의 해결책)이 시스템 작용 기능의 정지점이라고 명시한다."최소한의 조치"라는 용어는 원칙이 최소성 요건이 없기 때문에 역사적 오인이다. 즉, 조치 기능의 가치가 궤적에서 최소(국지적으로라도)가 될 필요는 없다.^[1]최소 작용은 최소화되는 작용 기능의 절대값을 말한다.

이 원리는 뉴턴식, 라그랑식, 해밀턴식 운동 방정식, 심지어 일반 상대성까지 도출하는데 사용될 수 있다(아인슈타인- 참조).힐버트 액션).상대성에서는 다른 작용을 최소화하거나 극대화해야 한다.

고전 역학과 전자기 표현은 양자 역학의 결과물이다.정지 작용법은 양자역학의 발전에 도움이 되었다.^[2]1933년 물리학자인 폴 디락은 진폭의 양자 간섭에서 원리의 양자역학적 기초를 파악함으로써 이 원리가 양자 계산에 어떻게 사용될 수 있는지를 증명했다.^[3]그 후 줄리안 슈윙거와 리처드 파인만은 양자 전자역학에 이 원리를 독자적으로 적용했다.^[4][5]

이 원리는 열역학,^[6] 유체역학,^[7] 상대성 이론, 양자역학,^[8] 입자물리학, 끈 이론에^[9] 적용되어 현대 물리학과 수학에서 중심적인 위치를 유지하고 있으며 모스 이론에서 현대 수학 연구의 초점이다.마우퍼투이스의 원리와 해밀턴의 원리는 정지 작용의 원리를 예시한다.

그 행동 원리는 광학에서 앞선 생각들이 선행한다.고대 그리스에서 유클리드는 자신의 카톡트리카에서 거울에서 반사되는 빛의 경로에 대해 입사각은 반사각과 같다고 썼다.^[10]알렉산드리아의 영웅은 나중에 이 길이 가장 짧고 시간도 짧다는 것을 보여주었다.^[11]

학자들은 종종 피에르 루이 모퍼투스가 1744년과^[12] 1746년에 그것에 대해 썼기 때문에 최소한의 행동의 원칙을 형성했다고 믿는다.^[13]그러나 1744년 레온하르트 오일러가 이 원리를 논의한 결과 ^[14]고트프리드 라이프니츠가 39년 선행했다는 증거가 나온다.^[15][16][17]

일반명세서

시작점은 물리적 시스템의 $S{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$로 표시된 작업이다$.$그것은 시간₁ t와₂ t의 두 인스턴스 사이에 있는 라그랑지안 L의 적분으로 정의된다 – 기술적으로 시간의 함수인 N 일반화된 좌표 q = (q₁₂, q, ... q)의 함수로서_N, 시스템의 구성을 정의한다.

${\displaystyle \mathbf {q} :\mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{N}}}$

${\displaystyle {\mathbf{s}[\mathbf {q}, t_{1}, t_{2}]=\int _{t_{1}^{{1}:{2}}L(\mathbf {q})(t),\mathbf {\q}(t),t)dt}$

여기서 점은 시간 분산을 나타내며 t는 시간이다.

수학적으로 그 원칙은^[19][20]

${\displaystyle \delta {\mathcal{S}=0,}$

여기서 Δ(저대소문자 그리스 델타)는 작은 변화를 의미한다.한마디로 다음과 같다.^[18]

t와₁ t₂ 시간 및 구성₁ q와 q₂ 사이의 시스템에 의해 취해지는 경로는 첫 번째 순서에 따라 동작이 정지(변경 없음)되는 경로다.

최소한의 행동이라는 역사적 이름에도 불구하고 정지된 행동이 항상 최소인 것은 아니다.^{[21][1]: 19–6} 경로에서 충분히 짧고 유한한 세그먼트에 대한 최소 원칙이다.^[22]

적용에서 조치의 문과 정의는 함께 취해진다.^[23]

${\displaystyle \delta \int_{t_{1}^{t_{2}}L(\mathbf {q},\mathbf {\q},t)dt=0.}$

액션과 라그랑지아 모두 항상 시스템의 역동성을 담고 있다."경로"라는 용어는 단순히 시간별로 매개변수화된 구성 공간의 좌표, 즉 곡선 q(t) 측면에서 시스템에 의해 추적된 곡선을 가리킨다(이 개념에 대한 파라메트릭 방정식 참조).

기원, 진술, 논란

페르마

1600년대에 피에르 드 페르마트는 "빛은 최단 시간의 길을 따라 주어진 두 지점 사이를 이동한다"고 가정했는데, 이것은 최소한의 시간이나 페르마의 원리로 알려져 있다.^[20]

마우페르투이

최소 행동 원칙의 공식화에 대한 공로는 "자연은 모든 행동에서 검소하다"고 느꼈던 피에르 루이 모우퍼투이에게 일반적으로 주어지며, 이 원칙을 광범위하게 적용하였다.

이 원리에서 추론된 움직임의 법칙과 휴식의 법칙은 자연에서 관찰된 법칙과 정확히 동일하며, 우리는 그것이 모든 현상에 적용되는 것을 감탄할 수 있다.동물의 움직임, 식물의 식물성 성장은 그 결과일 뿐이다. 우주의 광경은 저자의 훨씬 더 웅장하고, 훨씬 더 아름다워진다. 가장 현명하게 확립된 소수의 법칙이 모든 움직임에 충분하다는 것을 알 때.

— Pierre Louis Maupertuis^[24]

Maupertuis에 대한 이러한 개념은 오늘날 다소 결정론적이긴 하지만 역학의 본질 중 많은 부분을 차지하고 있다.

물리학에 적용하면서, Maupertuis는 최소화할 수량은 "vis viva"에 의한 시스템 내 이동 기간(시간)의 산물이라고 제안했다.

이것은 우리가 현재 시스템의 운동 에너지 T라고 부르는 것의 두 배의 핵심이다.

오일러

레온하르트 오일러는 1744년, 매우 눈에 띄는 용어로 그의 메서더스 인베니엔디 라이나스 쿠르바스 막시미 미니베테테테이트 가우덴테스(Methodus Inveni Lineas Maximi Minive Properte Gaudentes)에 액션 원리의 공식화를 추가했다.두 번째 단락부터 시작:

발사체의 질량을 M으로 하고, 최소 거리 ds로 이동하는 동안 속도를 v로 한다.차체는 거리 ds에 곱하면 거리 ds에 걸쳐 통합된 차체의 운동량인 Mv ds를 제공하는 운동량 Mv를 갖게 된다.이제 나는 신체가 설명한 곡선은 (동일한 엔드포인트를 연결하는 다른 모든 곡선들 중에서) 최소화하는 곡선이라고 단언한다.

$[\displaystyle \int Mv\,ds}$

또는, M이 경로를 따라 일정하다면,

${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \int }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle M\int$ v$\,ds$

— Leonhard Euler^[14][25]

오일러가 말했듯이, mMvds는 이동 거리 이상의 운동량에서 필수적인 것으로, 현대식 표기법에서는 약칭 또는 감소된 작용과 동일하다.

따라서 오일러는 비록 조금 늦었지만 마우페르투이스와 같은 해에 변이 원리에 대한 등가적이고 (분명히) 독립된 진술을 했다.이상하게도 오일러는 다음 에피소드에서 알 수 있듯이 어떤 우선 순위도 주장하지 않았다.

분쟁 우선순위

마우페르투이의 우선 순위는 1751년 수학자 사무엘 쾨니그에 의해 논란이 되었는데, 그는 1707년 고트프리드 라이프니즈에 의해 발명되었다고 주장했다.라이프니츠의 많은 주장과 유사하지만, 그 원리 자체는 라이프니츠의 작품에는 기록되지 않았다.쾨니그 자신은 라이프니츠가 제이콥 헤르만에게 보낸 1707통의 편지 사본을 원칙과 함께 보여주었으나, 원래의 편지는 분실되었다.논쟁의 여지가 있는 절차에서 쾨니그는 위조죄로 기소되었고 프로이센 왕조차도 마우페르투이스(자신의 아카데미의 우두머리)를 변호하며 논쟁에 뛰어들었고,^[15] 볼테르는 쾨니그를 변호했다.^{[citation needed]}

오일러는 우선권을 주장하기보다는 마우페르투이스의 든든한 수비수였고, 오일러 자신도 1752년 4월 13일 베를린 아카데미 이전에 쾨니그를 위조한 혐의로 기소했다.^[15]위조의 주장은 150년 후에 재조사되었고, C의 기록 보관 작업이 이루어졌다.1898년^[16] I. 게르하르트와^[17] 1913년 W. 카비츠는 이 편지의 다른 사본들과, 베르누이 보관소에서 쾨니히가 인용한 다른 세 권을 발견했다.

추가 개발

오일러는 계속해서 이 주제에 대해 글을 썼다; 그의 레플렉스 수르 퀼크는 그의 자연 (1748년)에서 그는 행동을 "에포트"라고 불렀다.그의 표현은 현대의 잠재적 에너지에 해당하며, 최소한의 행동이라는 그의 진술은 휴식 중인 신체의 체계의 총 잠재 에너지를 최소화한다는 것을 말해주는데, 이는 현대 정치학의 원칙이다.

라그랑주와 해밀턴

1760년^[26][27] Joseph-Louis Lagrange에 의해 많은 변화 미적분들이 언급되었고 그는 이것을 역학관계의 문제들에 적용하기 시작했다.메카니크 분석 (1788)에서 라그랑주는 기계체의 움직임의 일반적인 방정식을 도출했다.^[28]1834년과 1835년^[29] 윌리엄 로완 해밀턴은 고전적인 라그랑지안 함수에 변이 원리를 적용했다.

$L=T-V}$

오일러-라그랑주 방정식을 현재 형태로 얻는다.

자코비, 모르스, 카라테오도리

1842년 칼 구스타프 자코비는 변이 원리가 항상 다른 정지점(최대점 또는 고정 안장점)과 반대로 미니마를 발견하는지 여부에 대한 문제를 다루었다. 그의 대부분의 작업은 2차원 표면의 지질학에 초점을 맞췄다.^[30]최초의 명확한 일반적 진술은 1920년대와 1930년대에 마스턴 모스에 의해 발표되었고,^[31] 현재 모스 이론으로 알려져 있는 것을 이끌어냈다.예를 들어, 모스는 궤도의 결합점 수가 라그랑지아의 두 번째 변동의 음의 고유값 수와 동일하다는 것을 보여주었다.오일러-라그랑주 방정식의 특히 우아한 유래는 콘스탄틴 카라테오도리에 의해 공식화되었고 1935년에 그에 의해 출판되었다.

가우스와 헤르츠

고전 역학의 다른 극단 원리는 가우스의 최소 제약 원리와 그 코랄라, 헤르츠의 최소 곡률 원리와 같이 공식화되었다.

가능한 원격학적 측면에 대한 논쟁

운동의 미분방정식과 그 본질적인 상대방식의 수학적 등가성은 중요한 철학적 함의를 가지고 있다.미분 방정식은 공간의 단일 지점 또는 단일 시간의 순간으로 국부화된 수량에 대한 문장이다.예를 들어 뉴턴의 제2법칙은

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a}}$

질량 m에 가해지는 순간력 F가 같은 순간에 가속도를 발생시킨다는 것을 명시한다.대조적으로, 작용 원리는 한 점에 국한되지 않고, 오히려 시간 간격과 (필드용) 공간의 확장된 영역에 걸친 통합을 포함한다.더욱이, 고전적 작용 원리의 일반적인 공식화에서는, 예를 들어, 시스템의 초기 및 최종 상태는 고정되어 있다.

입자가 시간 t에₁ 위치 x에서₁ 시작하고 시간₂ t에 위치 x에서₂ 끝난다는 점을 고려하면, 이 두 엔드포인트를 연결하는 물리적 궤적은 작용 적분의 극한이다.

특히 최종국가의 고치는 행동원칙에 역사적으로 논란이 됐던 텔레매틱스적 성격을 부여한 것으로 해석됐다.하지만 W. Yourgrau와 S. Mandelstam에 따르면, 텔레매틱스 접근법은... 변이 원리 자체가 사실적으로^[32] 소유하지 않는 수학적 특성을 가지고 있다고 가정한다. 게다가, 일부 비평가들은 이러한 명백한 원격학이 질문을 받은 방식 때문에 일어난다고 주장한다.초기 조건과 최종 조건(속도는 아닌 위치)의 일부 측면만 명시함으로써 최종 조건으로부터 초기 조건에 대해 어느 정도 추론을 하고 있으며, 이러한 "뒤로" 추론이 텔레매틱한 설명으로 볼 수 있다.또한 우리가 고전적 설명을 가능한 모든 경로를 따라 진폭의 간섭으로 인해 정지 경로를 얻는 경로 통합의 양자 형식주의의 제한적인 사례로 간주한다면, 원격학은 극복될 수 있다.^[1]

추측성 소설 작가 테드 치앙의 단편 소설에는 페르마의 원리에 대한 시각적 묘사와 함께 그 가상적 차원에 대한 논의가 담겨 있다.키스 데블린의 '수학 본능'에는 실제 상황에서 '가장 짧은 시간' 문제를 풀면서 일부 동물에서 미적분이 '내장된' 것을 논하는 '웨일스 코기 후 미적분을 할 수 있는 엘비스' 장(Elvis the Wales Corgi Who Do Miculuse)이 담겨 있다.

참고 항목

참고 및 참조

외부 링크

Wikiquote는 다음과 관련된 인용구를 가지고 있다: 고정 동작 원리

• 최소 조치 원리에 대한 대화형 설명
• 최소 조치 원칙을 사용하여 궤적을 구성하는 대화형 애플릿
• Georgiev, Georgi Yordanov (2012). "A Quantitative Measure, Mechanism and Attractor for Self-Organization in Networked Complex Systems". Self-Organizing Systems. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 7166. pp. 90–5. doi:10.1007/978-3-642-28583-7_9. ISBN 978-3-642-28582-0. S2CID 377417.
• Georgiev, Georgi; Georgiev, Iskren (2002). "The Least Action and the Metric of an Organized System". Open Systems and Information Dynamics. 9 (4): 371–380. arXiv:1004.3518. doi:10.1023/a:1021858318296. S2CID 43644348.
• Terekhovich, Vladislav (2018). "Metaphysics of the Principle of Least Action". Studies in History and Philosophy of Science Part B: Studies in History and Philosophy of Modern Physics. 62: 189–201. arXiv:1511.03429. Bibcode:2018SHPMP..62..189T. doi:10.1016/j.shpsb.2017.09.004. S2CID 85528641.
• 파인만의 물리학 강의 Vol.II 19장: 최소 행동의 원리