일반화 힘

일반화된 힘은 라그랑기 역학에서 사용되는데, 여기서 그들은 일반화된 좌표에 대한 역할을 한다.그것들은 일반화된 좌표의 관점에서 그것의 구성이 정의된 시스템에 작용하는 F, i_i=1, ..., n의 적용된 힘으로부터 얻어진다.가상 작업의 공식화에서 각 일반화된 힘은 일반화된 좌표 변동의 계수다.

가상 작업

일반화된 힘은 적용된 힘의 가상 작업 ΔW 연산으로부터 얻을 수 있다.^{[1]: 265}

입자 P_i, i=1, ..., n에 작용하는 힘 F의_i 가상 작업은 다음과 같다.

${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}}}}$

여기서 Δr는_i 입자 P의_i 가상 변위다.

일반화 좌표

각 입자의 위치 벡터 r을_i 일반화된 좌표 q_j, j=1, ...m의 함수로 한다. 그러면 가상의 변위 Δr은_i 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\frac {\mathbf {r} _{i}{\i}}{\mathbf q_{j}\j}\mats q=1,\ldots,n,}$

여기서 Δq는_j 일반화된 좌표 q의_j 가상 변위다.

입자 시스템을 위한 가상 작업은

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{1}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}+\ldots +\mathbf {F} _{n}\cdot \sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{n}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}.}$

Δq의_j 계수를 수집하여 다음과 같이 한다.

${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{1}}}\delta q_{1}+\ldots +\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{m}}}\delta q_{m}.}$

일반화 힘

입자 체계의 가상 작업은 형태로 작성될 수 있다.

${\displaystyle \delta W=Q_{1}\delta q_{1}+\ldots +Q_{m}\delta q_{m}}}}$

어디에

${\displaystyle Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{{}}}}{\partial q_}},\quad j=1,\ldots,m,}$

일반화된 좌표 q_j, j=1, ...m과 연관된 일반화된 힘이라고 불린다.

속도 제형

가상 작업 원칙의 적용에 있어서, 시스템의 속도로부터 가상의 변위를 얻는 것이 편리할 때가 많다.n입자계통의 경우, 각 입자_i P의_i 속도를 V로 한 다음, 가상 변위 Δr도_i 형태로 기록할^[2] 수 있다.

${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}}{\partial {q}}}{j}}\delta q=1,\ldots.}$

이는 일반화된 힘인_j Q도 다음과 같이 판단할 수 있다는 것을 의미한다.

${\displaystyle Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V}{i}}}{\partial {\q}}}}},\quad j=1,\ldots.m.}$

달랑베르트의 원리

달랑베르트는 입자의 역학을 달랑베르트의 원리라고 불리는 관성력(상응력)으로 가해진 힘의 평형으로서 공식화했다.질량 m의 입자_i P의_i 관성력은

${\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{*}=-m_{i}\mathbf {A} _{i},\quad i=1,\ldots,n,}$

여기서 A는_i 입자의 가속이다.

입자계통의 구성이 일반화된 좌표 q_j, j=1, ...,m에 의존한다면 일반화된 관성력은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle Q_{j}^{*}^{n}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F}_{i}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}}{}}}}}}{\partial {q}}}}}}}}}}\quad j=1,\dots.$

달랑베르트의 가상 작업 산출 원리 형태

$[\displaystyle \delta W=(Q_{1}+Q_{1]}^{*}}\delta q_{1}+\ldots +(Q_{m}+Q_{m)}^{*}}\cHB q_{m}.}$

참조

참고 항목

• 라그랑기 역학
• 일반화 좌표
• 자유도(물리학 및 화학)
• 가상 작업