레전드르 변환

수학에서, Adrien-Marie Legendre의 이름을 딴 Legendre 변환(또는 Legendre 변환)은 하나의 실제 변수의 실제 값 볼록함수에 대한 비자발적 변환이다. 물리적 문제에서는 하나의 수량(위치, 압력, 온도 등)의 기능을 결합수량(각각 모멘텀, 부피, 엔트로피)의 함수로 변환하는 데 사용한다. 이와 같이 여러 변수의 미분방정식의 해답뿐만 아니라, 라그랑의 형식주의(또는 그 반대)에서 해밀턴주의 형식주의를 도출하는 데, 열역학에서는 열역학 전위를 도출하는 데, 고전역학에서는 일반적으로 사용된다.

실제 라인에서 충분히 매끄러운 기능을 위해 $기능{\displaystyle }$ f ${{\displaystyle f$}의$$ 레전드르 $변환{\displaystyle {}^{}}$ f $∗{\$ f$}{*}$을 함수의 첫 번째 파생상품이 서로 역함수라는 조건으로 최대 가법 상수까지 지정할$$ 수 있다. 이는 오일러의 파생 표기법에서 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle Df(\cdot )=\left(Df^{*}\right)^{-1}(\cdot )~,}$ where ${\displaystyle (\phi )^{-1}(\cdot )}$ means a function such that ${\displaystyle (\phi )^{-1}(\phi (x))$$=x~,}$

또는 동등하게 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$($f$ ${\displaystyle {\mathrm{\ast }}^{}{}^{}}$ (${\displaystyle {}^{}}$x${\displaystyle {}^{}=}$ ) = x ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$^{**\$premium$}(x$^{*}))$로 한다.$=x^{*}}$ 및$$ $f{\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f^{*\prime }(f')(x))$$라그랑주$ 표기법 =x$}.$

는 르장드르 변환의 아핀 공간과 비볼록형 기능의 일반화는 기능의 볼록 선체를 생성하는 데 사용할 수 있는 볼록 켤레(또한 Legendre–Fenchel 변화라고 불렀다) 알려져 있다.

정의

나는 연구{\displaystyle I\subset \mathbb{R}}는 간격을 조정하며, f⊂:나는 연구{f\displaystyle →:자.I\to({R}}볼록 함수 그 다음에 르장드르 변환은 함수 f∗:나는→ R{\displaystyle f^{*}∗:.I^{*}\to({R}}에 의해 정의된다.

${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _ᆫ(x^{*}x-f())),\)\ \ x^{*}\in I^{*}}.$

어디에 저녁밥을 먹다{\displaystyle \sup}, 그리고 나는{\displaystyle I^{*}∗ 도메인}은 최소 상계를 의미한다.

${\displaystyle I^{*}=\left\{x^{*}\in\mathbb{R}:\sup _ᆬ(x^{*}x-f())cm이다.<>\infty \right\}일.}$

때 f()){\displaystyle f())}은 볼록 그 변환은 항상 단단하다.

The generalization to convex functions ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ on a convex set ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$ is straightforward: ${\displaystyle f^{*}:X^{*}\to \mathbb {R} }$ has domain

${\displaystyle X^{*}=\left\{x^{*}\in \mathb {R}^{n}:\sup_{x\in X}(\langle x^{*},x\angle -f(x))<\inful \right\}}$

에 의해 정의된다.

${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in X}(\langle x^{*},x\angle -f(x)),\quad x^{*}\in X^{*},},}$

여기서 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle$ x$^{*},x\rangele }$은 $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$의 도트 곱을 나타낸다$$$.$

$함수{\displaystyle {}^{}}$ f${{\$$displaystyle$ f$^{*}}$는 f ${\displaystyle f}$의 볼록결합함수라고 불린다$.$ 역사적 이유(해석역학에서 뿌리내림)로 인해, convate $변수$는 x${\displaystyle {}^{}}${$${\$displaystyle$ x$^{*}}}}$이 아닌 $p{\displaystyle }$ ${\displaystystyp$$}$로 표기되는 경우가 많다.s 전체 라인에 정의되고 모든 곳에서 차별화된다.

${\displaystyle f^{*(p)=\supp_{x\in I}(px-f(x))=\왼쪽(f(x)\오른쪽) _{x=(f')^{-1}(p)}}}$

경사 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(가) 있는 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 그래프에 접선 선의 y ${\displaystyle y}$ -through가 있는 것으로 해석할 수 있다$.$

레전드르 변환은 점과 선 사이의 이중성 관계를 응용한 것이다. $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에 의해 지정된 기능 관계는${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle (x,y)}$개의$$ 점 집합 또는 기울기 및 절편 값으로 지정된 접선 집합으로 동등하게 나타낼$$ 수 있다.

파생 모델 측면에서의 변환 이해

반전 가능한 첫 번째 파생상품이 있는 실제 라인의$$ 상이한 볼록 $함수{\displaystyle }$ f ${\displaystyle$ $f^{*}$에 대해서는 함수의 첫 번째 파생상품이 서로 역 함수라는 조건으로 범례 변환 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ f^{*}까지 지정할 수 있다$$. 명시적으로, 역$({\displaystyle {}^{}\prime ){}^{}}$ -${\displaystyle {\mathrm{1<img\; alt="f\text{'}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/258eaada38956fb69b8cb1a2eef46bcb97d3126b"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:2.005ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="182">}}^{}}$ ${\$$displaystyle$$f^{-1}$의 첫 번째 $파생상품{\displaystyle {}^{}}$ f ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ f$'}$이($가$) 있는 실제 라인의 차별성$$ 볼록 $함수{\displaystyle }$ f ${\displaystyle$ $f$$^{*}$에 대해$$$,$$$ Legendre 변환 $f{\displaystyle {}^{}}$$\$ {\$displaystystylement$f${\displaystyle {\{\{\{\{\{\{\{\{\{\{\{\}}^{}}$ inverse ${\displaystyle ((f^{*})^{\prime })^{-1}}$) can be specified, up to an additive constant, by the condition that ${\displaystyle f'}$ and ${\displaystyle (f^{*})^{\prime }}$ are inverse functions of each other, i.e., ${\displays$$tyle f'=(f^{*}}^{\premy }^{-1}$ 및$$${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}{}^{}}$)${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$′${\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$

To see this, first note that if ${\displaystyle f}$ is differentiable and ${\displaystyle {\overline {x}}}$ is a critical point of the function of ${\displaystyle x\mapsto p\cdot x-f(x)}$, then the supremum is achieved at ${\displaystyle {\overline {x}}}$ (by convexity). 따라서 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}p}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \cdot x\stackrel{\text{'}}{}}$- f${\displaystyle }$(${\displaystyle x\stackrel{\text{'}}{}}$x$''){\displaystyle f^{*}(p)=p\cdot{\overline{x}-f({\overline{x$

$f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ f$'}$은(는) 되돌릴 수 없으며 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$이(가) 그 반전을 나타내도록$$ 한다고 가정한다. Then for each ${\displaystyle p}$, the point ${\displaystyle h(p)}$ is the unique critical point of ${\displaystyle x\mapsto px-f(x)}$. Indeed, ${\displaystyle f'(h(p))=p}$ and so ${\displaystyle p-f'(h(p))=0}$. Hence we have ${\displaystyle f^{\ast }(}$$p{\displaystyle }$${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle h}$( ${\displaystyle p}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle f}$( h ( ) {\$displaystyle$ f$^{*}(p)=p\cdot h(p)-f(h(p$$)\}.$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$에 대해$$ 차별화하면 찾을$$ 수 있다.

$[\displaystyle (f^{*})]=h(p)+p\cdot h'(p)-f'(h(p)\cdot h'(p)).}$

Since ${\displaystyle f'(h(p))=p}$ this simplifies to ${\displaystyle (f^{*})'(p)=h(p)}$. In other words, ${\displaystyle (f^{*})'}$ and ${\displaystyle f'}$ are inverses.

일반적으로 $g{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$$displaystyle$ $g'}$이$($가) $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ $f$$'}$의 역인 경우$$ $g{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle ({}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}{}^{}}$) ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$$displaystyle$ g$'=(f$$^{*})}}}$을(를) 제공하므로$$ 통합은 $f{\displaystyle }$${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$= ${\displaystyle g}$+ c +$c$=$$상수를 $제공$한다$.$

실제적인 측면에서 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\$$displaystyle$ f${\displaystyle (x}$$)}$의 경우 x f$$given ( ${\displaystyle {}^{}}$ )${\displaystyle }$-${\displaystyle f}$ (${\displaystyle x}$) ${\displaystyle xf'($${\displaystyle x}$$)-f(x)}$ 대$$ $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle x}$${\displaystyle }$) ${\$$displaystyle f'(x$$)}$의 모수 그림은 g(p${\displaystyle )}$대$$$p$의 그래프에 해당한다$.$

일부 경우(예: 열역학 전위, 이하)에는 마이너스 부호가 있는 f *의 대체 정의에 해당하는 비표준 요건이 사용된다.

${\displaystyle f(x)-f^{*(p)=message.}$

특성.

• 볼록함수의 레전드르 변환은 볼록하다.
  0이 아닌(따라서 볼록함으로 인해 양성으로 인해) 이중 파생상품이$$ 두 배로 다른 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 경우를 위해 이것을 보여줍시다.
  $고정{\displaystyle }$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $p$$}$의 경우$,$ $x{\displaystyle }$${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle x}$이${\displaystyle (}$${\displaystyle 가}$) $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle }$-${\displaystyle f}$${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$x$$$){\displaystyle$ $f$$^{*(p)=px-f$$($$x)}$를 최대화하도록 하고$$$,$ x는 p$$${\$ p~}에 $의존$한다는 점에 $유의$하십시오$.$ 그러므로
  $${\displaystyle f^{\premy }(x)=p~~}$$

  
  $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 파생상품은 그 자체로 양의 파생상품과 차별성이 있으며$$, 따라서 엄격히 단조롭고 불가역적이다.
  ${\displaystyle \mathrm{따라서}}$ $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle g}$ (${\displaystyle p}$) ${\displaystyle x=g$$($$p)}$ 여기서$$ ${\displaystyle {\mathrm{g}}^{}}$ ${\displaystyle \equiv }$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- 1 ${\$${\displaystyle \mathrm{premy}}$ $}^{-1$}^{-1$}$는 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$($$)${\displaystyle }$= p ${\displaystystystyle$ $g$$}$가 $정의$된다는 것을 의미한다$.$
  $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$은(는) 다음과 같은 파생 모델과도 구별될 수 있다는$$ 점에 유의하십시오.
  $${\displaystyle {\frac {dg(p)}{dp}={\frac {1}{f"(g(p)}}}}}$$

  
  따라서 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$( p${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle pg}$ (${\displaystyle p}$ )${\displaystyle }$- ${\displaystyle f}$(${\displaystyle }$( ${\displaystyle p}$)${\displaystyle }$) ${\displaystyle f^{*(p)=pg(p)-f(g(p)}}$는 서로 다른 함수의 구성이므로$$ 서로 다를 수 있다.
  제품 규칙 및 체인 규칙 산출물 적용
  $${\displaystyle {\frac{d(f^{*})}{dp}&=g(p)+\좌측(p-f'(g)(p)(p)\우측)\cdot {\frac {dg(p)}{dp}\pt]&=g(p),\end{liged}}}}}}}}}}}$$

  
  부여
  $${\dplaystyle {\frac {d^{2}(f^{*})}{dp^{2}}={\frac {dg(p)}{dp}}={\frac {1}{f'(p)}}>0,}$$

  
  그래서 $∗{\$ f$^{*}}$는 볼록하다.

• 레전드르 변환은 비자발적인 것으로, 즉 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$= f ${\$ f$^{**}=f~}$:
  $g{\displaystyle }$( ${\displaystyle p}$) ${\displaystyle g(p$ $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$(${\displaystyle p)}$ ${\displaystyle f^{*}(p)}$ 및$$ 그 파생 모델에 대해 위의 동일성을 사용함으로써,
  $${\displaystyle {\begin{aligned}f^{**}(x)&{}=\left(x\cdot p_{s}-f^{*}(p_{s})\right) _{{\frac {d}{dp}}f^{*}(p=p_{s})=x}\\[5pt]&{}=g(p_{s})\cdot p_{s}-f^{*}(p_{s})\\[5pt]&{}=f(g(p_{s}))\\[5pt]&{}=f(x)~~.\end{aigned}}}$$

  

예

예 1

지수함수 $f{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle e^{}}$ x ${\$는 $각각{\displaystyle {}^{}}$ 첫 번째 파생상품 e와^x ln p가 서로 역함수이므로 레전드르 변환으로$$ f${\displaystyle {}^{}p}$)${\displaystyle }$= p${\displaystyle (\ln \mathrm{p}}$- 1$){\displaysty f^{*(p)=p(\ln p-1$)가 있다$$$.$

This example illustrates that the respective domains of a function and its Legendre transform need not agree.

Example 2

Let f(x) = cx² defined on ℝ, where c > 0 is a fixed constant.

For x* fixed, the function of x, x*x – f(x) = x*x – cx² has the first derivative x* – 2cx and second derivative −2c; there is one stationary point at x = x*/2c, which is always a maximum.

Thus, I* = ℝ and

${\displaystyle f^{*}(x^{*})={\frac {{x^{*}}^{2}}{4c}}~.}$

The first derivatives of f, 2cx, and of f *, x*/(2c), are inverse functions to each other. Clearly, furthermore,

${\displaystyle f^{**}(x)={\frac {1}{4(1/4c)}}x^{2}=cx^{2}~,}$

namely f ** = f.

Example 3

Let f(x) = x² for x ∈ I = [2, 3].

For x* fixed, x*x − f(x) is continuous on I compact, hence it always takes a finite maximum on it; it follows that I* = ℝ.

The stationary point at x = x*/2 is in the domain [2, 3] if and only if 4 ≤ x* ≤ 6, otherwise the maximum is taken either at x = 2, or x = 3. It follows that

${\displaystyle f^{*}(x^{*})={\begin{cases}2x^{*}-4,&x^{*}<4\\{\frac {{x^{*}}^{2}}{4}},&4\leqslant x^{*}\leqslant 6,\\3x^{*}-9,&x^{*}>6.\end{cases}}}$

Example 4

The function f(x) = cx is convex, for every x (strict convexity is not required for the Legendre transformation to be well defined). Clearly x*x − f(x) = (x* − c)x is never bounded from above as a function of x, unless x* − c = 0. Hence f* is defined on I* = {c} and f*(c) = 0.

One may check involutivity: of course x*x − f*(x*) is always bounded as a function of x* ∈ {c}, hence I ** = ℝ. Then, for all x one has

${\displaystyle \sup _{x^{*}\in \{c\}}(xx^{*}-f^{*}(x^{*}))=xc,}$

and hence f **(x) = cx = f(x).

Example 5: several variables

Let

${\displaystyle f(x)=\langle x,Ax\rangle +c}$

be defined on X = ℝⁿ, where A is a real, positive definite matrix.

Then f is convex, and

${\displaystyle \langle p,x\rangle -f(x)=\langle p,x\rangle -\langle x,Ax\rangle -c,}$

has gradient p − 2Ax and Hessian −2A, which is negative; hence the stationary point x = A⁻¹p/2 is a maximum.

X* = ℝ이ⁿ 있고

${\displaystyle f^{*(p)={\frac {1}{4}\langle p, A^{-1}p\angle -c.}$

Legendre 변환 아래의 차동 거동

Legendre 변환은 pdx = d(px) - xdp의 부품별 통합에 연결된다.

f는 두 개의 독립 변수 x와 y의 함수로서, 미분류를 사용한다.

$df={\displaystyle df={\nowf f \over x}\,dx+{\nowf \over y}\,dy=p\,dx+v\,dy.}$

모든 y에 대해 x로 볼록하다고 가정하여, x로 변수의 p와 함께 범례 변환을 수행할 수 있다. 새로운 독립 변수는 p이므로 dx와 dy는 dp와 dy로 디폴트(different dx)와 dy로 디폴트(divolve)가 dp와 dy로 디폴트(dp 및 dy)로 디폴트(differential)를 사용하여 다른 함수를 구축한다.

따라서 함수 g(p, y) = f - px를 고려하여 다음과 같이 한다.

${\displaystyle dg=df-p\,dx-x\,dp=-x\,dp+v\,dy}$

${\displaystyle x=-{\frac {\frac}{\frac}{\flash p}}}$

${\displaystyle v={\frac {\frac}{\flash g}{\property y}}.}$

-g(p, y) 함수는 f(x, y)의 레전드르 변환이며, 여기서 독립 변수 x만 p로 대체되었다. 이것은 아래 그림과 같이 열역학에서 널리 사용된다.

적용들

해석역학

레전드르 변환은 고전 역학에서 라그랑의 제형에서 해밀턴의 제형을 도출하기 위해 사용되며, 그 반대로도 사용된다. 전형적인 라그랑지인은 그 형태를 가지고 있다.

${\displaystyle L(v,q)={\tfrac {1}{2}}\langle v, Mv\angle -V(q),}$

여기서${\displaystyle }$(${\displaystyle v}$ ,${\displaystyle q}$) ${\displaystyle (v,q)}$은(는ⁿ) R × R의ⁿ 좌표, M은 양의 실제 행렬이며,

${\displaystyle \langle x,y\rangele =\sum _{j}x_{j}y_{j}.}$

고정된 모든 q에 대해 $L{\displaystyle (v}$,${\displaystyle q}$ ) ${\displaystyle L(v,q)}$은 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$의 볼록 함수인 반면$$$,$ $V{\displaystyle (q}$) ${\displaystyle V(q)}$은 상수의 역할을 한다$$.

$따라서{\displaystyle }$ v ${\displaystyle v}$의 함수로서$$ $L{\displaystyle (v}$ ,${\displaystyle q}$) ${\displaystyle L(v,q)}$의 범례 변환은$$ 해밀턴 함수,

${\displaystyle H}$( ${\displaystyle p}$ ,${\displaystyle q}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle ⟨}$ p${\displaystyle }$, M${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{p}}^{}}$ ${\displaystyle ⟩}$+ ${\displaystyle V}$ (${\displaystyle q}$ ) ${\displaystyle H(p,q)={\tfrac {1}{1$}:{2$}}:\langle p,M^{-1}p\rangle +V(q$

In a more general setting, ${\displaystyle (v,q)}$ are local coordinates on the tangent bundle ${\displaystyle T{\mathcal {M}}}$ of a manifold ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$. For each q, ${\displaystyle L(v,q)}$ is a convex function of the tangent space V_q. 레전드르 변환은 해밀턴 $H{\displaystyle }$(${\displaystyle p}$ ,${\displaystyle q}$ $){\displaystyle$ H$(p,q)$를 코탄젠트 번들 $T{\displaystyle {}^{}}${ ${\displaystyle {}^{}\mathcal{}}$ ${\$ T$^{*}{\\mathcal {M}}$의 좌표(p, q) 함수로$$ 제공하는데$,$ 레전드르 변환을 정의하는 데 사용되는 내부 제품은 관련 표준적인 공통 구조에서 계승된다. 이 추상적 설정에서 레전드르 변환은 tautological 단일 형식에 해당한다.

열역학

열역학에서 레전드르 변환을 사용하는 이면의 전략은 변수에 의존하는 함수에서 원래 변수의 결합인 새로운 변수에 의존하는 새로운 (콘주게이트) 함수로 전환하는 것이다. 새로운 변수는 원래 변수에 대한 원래 함수의 부분적 파생상품이다. 새로운 함수는 원래 함수와 구변수와 신변수의 산물의 차이점이다. 일반적으로 이러한 변환은 예를 들어 에너지의 의존도를 광범위한 변수에서 결합 집약적인 변수로 이동시키기 때문에 유용하며, 이는 일반적으로 물리적 실험에서 더 쉽게 제어될 수 있다.

예를 들어, 내부 에너지는 광범위한 변수 엔트로피, 부피, 화학적 구성의 명시적 함수다.

${\displaystyle U=U\left(S,V,\{N_{i}\}\오른쪽),}$

완전 미분양인

${\displaystyle dU=T\,dS-P\,dV+\sum \mu _{i}\,dN_{i}.}$

내부 에너지 U의 (비표준) 레전드르 변환을 사용하여 몇 가지 공통 기준 상태를 규정하면 볼륨 V와 관련하여 엔탈피는 서면으로 정의할 수 있다.

${\displaystyle H=U+PV=H(S,P,\{N_{i}\}),}$

그 다음부터는 압력 P의 명시적으로 기능한다.

${\displaystyle dH(S,P,\{N_{i}\})=T\,dS+V\,dP+\sum \mu _{i}\,dN_{i}.}$

엔탈피는 압력이 주변으로부터 제어되는 과정을 설명하는데 적합하다.

마찬가지로 에너지의 의존도를 엔트로피(Entropy)의 광범위한 변수인 S에서 (흔히 더 편리한) 집약 변수 T로 전환하여 헬름홀츠(Helmholtz)와 깁스(Gibbs) 자유 에너지가 된다. 헬름홀츠 자유에너지 A와 깁스 에너지 G는 각각 내부 에너지와 엔탈피의 레전드르 변환을 수행하여 얻는다.

${\displaystyle A=U-TS~~,}$

${\displaystyle G=H-TS=U+PV-TS~.}$

헬름홀츠 자유 에너지는 종종 온도와 부피가 주변으로부터 제어될 때 가장 유용한 열역학적 잠재력이 되는 반면, 깁스 에너지는 종종 주변으로부터 온도와 압력을 조절할 때 가장 유용하다.

예 – 가변 캐패시터

물리학의 또 다른 예로서 플레이트가 서로 상대적으로 이동할 수 있는 병렬 플레이트 캐패시터를 고려하십시오. 그러한 콘덴서는 콘덴서에 저장되어 있는 전기 에너지를 외부 기계적 작업으로 전달하는데, 플레이트에 작용하는 힘에 의해 수행된다. 어떤 사람은 전하가 피스톤에 작용하는 기계적 힘을 가진 실린더의 기체의 "충전"과 유사하다고 생각할 수 있다.

판에 가해지는 힘을 x의 함수인 거리를 계산한다. 힘을 찾으려면 전위 에너지를 계산한 다음 전위 에너지 함수의 구배로서 힘의 정의를 적용하십시오.

캐패시턴스 C(x)와 차지 Q의 캐패시터에 저장된 에너지는

${\displaystyle U(Q,\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}QV={\frac {1}{1}:{2}}: {Q^{2}}:{C(\mathbf{x} )}},~}$

플레이트의 면적, 플레이트 사이의 재료의 유전체 상수, 분리 x에 대한 의존도가 캐패시턴스 C(x)로 추상화된다.(평행 플레이트 캐패시터의 경우 이는 플레이트의 면적에 비례하고 분리에 반비례한다.)

전기장에 의한 플레이트 사이의 힘 F는 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {F}(\mathbf {x} )=-{\frac {dU}{d\mathbf {x}}}}}.}$

콘덴서가 회로에 연결되지 않은 경우, 플레이트의 전하가 이동할 때 일정하게 유지되며, 그 힘은 정전기 에너지의 음의 구배를 의미한다.

${\displaystyle \mathbf {x}(\mathbf {x} )={\frac {1}{1}:{d}{d}{d\mathbf{x}}}{{\frac{Q^{C^{2}}.}$

그러나, 그 대신에, 플레이트 V 사이의 전압이 일정한 전위차에서 충전을 위한 저장장치인 배터리에 연결함으로써 일정하게 유지된다고 가정하자. 이제 전하가 전압 대신 가변적인 것으로, 그것의 레전드르 결합이다. 힘을 찾으려면 먼저 비표준 레전드르 변환을 계산하십시오.

${\displaystyle U^{*}=U-\left({\frac {\partial U}{\partial Q}}\right){\bigg }_{\mathbf {x} }\cdot Q=U-{\frac {1}{2C(\mathbf {x} )}}\left({\frac {\partial Q^{2}}{\partial Q}}\right){\bigg }_{\mathbf {x} }\cdot Q=U-QV={\frac {1}{2}}QV-QV=-{\frac {1}{2}}QV=-{\tfrac {1}{2}}V^{2}C(\mathbf {x} ).}$

힘은 이제 이 레전드르 변환의 음의 구배가 되고, 여전히 같은 방향을 가리키고 있다.

${\d\mathbf {F}(\mathbf {x} )=-{\frac {dU^{*}{d\mathbf {x}}}}}$

두 공극 에너지는 캐패시턴스의 선형성 때문에 서로 반대편에 서게 된다. 단, 지금 Q는 더 이상 상수가 아니다. 그것들은 콘덴서에 에너지를 저장하는 두 가지 다른 경로를 반영하여, 예를 들어 콘덴서의 플레이트 사이에 동일한 "당김"을 발생시킨다.

확률론

큰 편차 이론에서 속도 함수는 무작위 변수의 함수 생성 모멘트 로그의 범례 변환으로 정의된다. 비율 함수의 중요한 적용은 무작위 변수의 합계의 꼬리 확률 계산에 있다.

미시경제학

원가함수 C(Q)를 알고 시중에 고정가격 P를 부여받은 일부 제품의 공급 S(P)를 찾아내는 과정에서, 즉 생산자가 제조/마이너링하는 비용에서 자연스레 레전드르 변형이 일어난다. 해당 제품의 Q 단위.

단순한 이론은 비용함수만으로 공급곡선의 형태를 설명한다. 우리 제품의 한 단위의 시세가 P라고 가정해 보자. 이 상품을 판매하는 기업의 경우 이익이 극대화되도록 생산 Q를 조정하는 것이 최선의 전략이다. 우리는 이익을 최대화할 수 있다.

${\displaystyle {\text{priency}={\text{resulture}-{\text{costs}=PQ-C(Q)}$

Q 및 해결과 관련하여 차별화함으로써

${\displaystyle P-C'(Q_{opt}=0).}$

Q는_opt 생산자가 공급할 의향이 있는 상품의 최적 수량 Q를 나타내며, 실제로 공급 그 자체인 것이다.

${\displaystyle S}$(${\displaystyle P}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle o_{}}$ p ${\displaystyle t_{}}$( ${\displaystyle P}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\prime }^{}{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- 1 (${\displaystyle {}^{}{\mathrm{P}}^{}}$) ${\displaystyle S(P)=Q_{opt}(P)=(C')^{-1}(P$

최대 이윤을 가격, ${\displaystyle {\text{이익}}_{}}$, $){\displaystyle {\text{piniti}_{\text{max$의 함수로 본다면 비용함수 $C{\displaystyle }$ $){\displaysty C(Q)}$의 레전드르 변환임을 알 수 있다$.$

기하학적 해석

엄격히 볼록한 함수의 경우, 레전드르 변환은 함수의 그래프와 그래프의 접선 패밀리를 매핑하는 것으로 해석할 수 있다.(한 변수의 함수의 경우 볼록함수는 전혀 다를 수 있지만 거의 셀 수 없이 많은 점에서 접선들은 잘 정의되어 있다.ints.)

경사 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ 및 $y$ ${\displaystyle y}$ -절편$$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$을(를) 갖는 선의 방정식은 $y{\displaystyle }$= ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$+ b${\displaystyle .}$ ${\displaystyle y=px+b$로 주어진다$$$.$$}$ 이 선이 지점$({\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$, f${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$)에$$ $있는{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{함수}}$$$f {\$displaystyle$ f$}$의 그래프에 접하려면$$$$\$displaystyle \left($x_${0}\오른쪽)가 필요함$

${\displaystyle f\left(x_{0}\right)=reason_{0}+b}$

그리고

${\displaystyle p=f^{\premy }\왼쪽(x_{0}\오른쪽).}$

엄격히 볼록한 함수의 파생형이므로, 함수 $\{\$ f$^{\prime }}$는 엄격히 단조로워 주입성이 있다$$. ${\displaystyle {두\mathrm{}}_{}}$ 번째 방정식은 $x{\displaystyle {}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$( ${\displaystyle p}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle x_{0}=f^{\primate -1}(p$)에 대해 해결할 수 있으며$,$ 첫 번째 방정식에서$$ $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$을 제거할 수 있으며$$, 접선(trantent)의 y ${\$$displaystylease y}$ - $intercept$ b, {\p$,$ {\p$,$ {\$stylease$ stylease $stylease$ stylease p$,$ {\p, {\p, {\cylease sty$}$

${\displaystyle b=f\left(x_{0}\right)-px_{0}=f\left(f^{\prime -1}(p)\right)-p\cdot f^{\prime -1}(p)=-f^{\star }(p)}$

where ${\displaystyle f^{\star }}$ denotes the Legendre transform of ${\displaystyle f.}$

The family of tangent lines of the graph of ${\displaystyle f}$ parameterized by the slope ${\displaystyle p}$ is therefore given by

${\displaystyle y=px-f^{\star }(p),}$

or, written implicitly, by the solutions of the equation

${\displaystyle F(x,y,p)=y+f^{\star }(p)-px=0~.}$

The graph of the original function can be reconstructed from this family of lines as the envelope of this family by demanding

${\displaystyle {\partial F(x,y,p) \over \partial p}=f^{\star \prime }(p)-x=0.}$

Eliminating ${\displaystyle p}$ from these two equations gives

${\displaystyle y=x\cdot f^{\star \prime -1}(x)-f^{\star }\left(f^{\star \prime -1}(x)\right).}$

Identifying ${\displaystyle y}$ with ${\displaystyle f(x)}$ and recognizing the right side of the preceding equation as the Legendre transform of ${\displaystyle f^{\star },}$ yields

${\displaystyle f(x)=f^{\star \star }(x)~.}$

Legendre transformation in more than one dimension

For a differentiable real-valued function on an open convex subset U of Rⁿ the Legendre conjugate of the pair (U, f) is defined to be the pair (V, g), where V is the image of U under the gradient mapping Df, and g is the function on V given by the formula

${\displaystyle g(y)=\left\langle y,x\right\rangle -f(x),\qquad x=\left(Df\right)^{-1}(y)}$

where

${\displaystyle \left\langle u,v\right\rangle =\sum _{k=1}^{n}u_{k}\cdot v_{k}}$

is the scalar product on Rⁿ. The multidimensional transform can be interpreted as an encoding of the convex hull of the function's epigraph in terms of its supporting hyperplanes.^[1]

Alternatively, if X is a vector space and Y is its dual vector space, then for each point x of X and y of Y, there is a natural identification of the cotangent spaces T*X_x with Y and T*Y_y with X. If f is a real differentiable function over X, then its exterior derivative, df, is a section of the cotangent bundle T*X and as such, we can construct a map from X to Y. Similarly, if g is a real differentiable function over Y, then dg defines a map from Y to X. If both maps happen to be inverses of each other, we say we have a Legendre transform. The notion of the tautological one-form is commonly used in this setting.

When the function is not differentiable, the Legendre transform can still be extended, and is known as the Legendre-Fenchel transformation. In this more general setting, a few properties are lost: for example, the Legendre transform is no longer its own inverse (unless there are extra assumptions, like convexity).

Legendre transformation on manifolds

Let ${\textstyle M}$ be a smooth manifold, let ${\textstyle \pi :E\to M}$ be a vector bundle, and let ${\textstyle L:E\to \mathbb {R} }$ be a smooth function. We think of ${\textstyle L}$ as a Lagrangian by analogy with the classical case where ${\textstyle M=\mathbb {R} }$, ${\textstyle E=TM=\mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ and ${\textstyle L(x,v)={\frac {1}{2}}mv^{2}-V(x)}$ for some positive number ${\textstyle m\in \mathbb {R} }$ and function ${\textstyle V:M\to \mathbb {R} }$. As usual, we denote by ${\textstyle E^{*}}$ the dual of ${\textstyle E}$, by ${\textstyle E_{x}}$ the fiber of ${\textstyle \pi }$ over ${\textstyle x\in M}$, and by ${\textstyle L _{E_{x}}:E_{x}\to \mathbb {R} }$ the restriction of ${\textstyle L}$ to ${\textstyle E_{x}}$. The Legendre transformation of ${\textstyle L}$ is the smooth morphism

defined by ${\textstyle \mathbf {F} L(v)=d(L _{E_{x}})(v)\in E_{x}^{*}}$, where ${\textstyle x=\pi (v)}$. In other words, ${\textstyle \mathbf {F} L(v)\in E_{x}^{*}}$ is the covector that sends ${\textstyle w\in E_{x}}$ to the directional derivative ${\textstyle \left.{\frac {d}{dt}}\right _{t=0}L(v+tw)\in \mathbb {R} }$.

To describe the Legendre transformation locally, let ${\textstyle U\subseteq M}$ be a coordinate chart over which ${\textstyle E}$ is trivial. Picking a trivialization of ${\textstyle E}$ over ${\textstyle U}$, we obtain charts ${\textstyle E_{U}\cong U\times \mathbb {R} ^{r}}$ and ${\textstyle E_{U}^{*}\cong U\times \mathbb {R} ^{r}}$. In terms of these charts, we have ${\textstyle \mathbf {F} L(x;v_{1},\dotsc ,v_{r})=(x;p_{1},\dotsc ,p_{r})}$, where

$\mathrm{all}$ i$$= 1,$\dots ,$ $r${\$textstyle$i=$1,\reason,r}$에 대해 $.$

If, as in the classical case, the restriction of ${\textstyle L:E\to \mathbb {R} }$ to each fiber ${\textstyle E_{x}}$ is strictly convex and bounded below by a positive definite quadratic form minus a constant, then the Legendre transform ${\textstyle \mathbf {F} L:E\to E^{*}}$ is a diffeomorphism.^[2] Suppose that ${\textstyle \mathbf {F} L}$ is a diffeomorphism and let ${\textstyle H:E^{*}\to \mathbb {R} }$ be the “Hamiltonian” function defined by

where ${\textstyle v=(\mathbf {F} L)^{-1}(p)}$. Using the natural isomorphism ${\textstyle E\cong E^{**}}$, we may view the Legendre transformation of ${\textstyle H}$ as a map ${\textstyle \mathbf {F} H:E^{*}\to E}$. Then we have^[2]

Further properties

Scaling properties

The Legendre transformation has the following scaling properties: For a > 0,

${\displaystyle f(x)=a\cdot g(x)\Rightarrow f^{\star }(p)=a\cdot g^{\star }\left({\frac {p}{a}}\right)}$

${\displaystyle f(x)=g(a\cdot x)\Rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }\left({\frac {p}{a}}\right).}$

It follows that if a function is homogeneous of degree r then its image under the Legendre transformation is a homogeneous function of degree s, where 1/r + 1/s = 1. (Since f(x) = x^r/r, with r > 1, implies f*(p) = p^s/s.) Thus, the only monomial whose degree is invariant under Legendre transform is the quadratic.

Behavior under translation

${\displaystyle f(x)=g(x)+b\Rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }(p)-b}$

${\displaystyle f(x)=g(x+y)\Rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }(p)-p\cdot y}$

Behavior under inversion

${\displaystyle f(x)=g^{-1}(x)\Rightarrow f^{\star }(p)=-p\cdot g^{\star }\left({\frac {1}{p}}\right)}$

Behavior under linear transformations

Let A : Rⁿ → R^m be a linear transformation. For any convex function f on Rⁿ, one has

${\displaystyle (Af)^{\star }=f^{\star }A^{\star }}$

where A* is the adjoint operator of A defined by

${\displaystyle \left\langle Ax,y^{\star }\right\rangle =\left\langle x,A^{\star }y^{\star }\right\rangle ,}$

and Af is the push-forward of f along A

${\displaystyle (Af)(y)=\inf\{f(x):x\in X,Ax=y\}.}$

A closed convex function f is symmetric with respect to a given set G of orthogonal linear transformations,

${\displaystyle f(Ax)=f(x),\;\forall x,\;\forall A\in G}$

if and only if f* is symmetric with respect to G.

Infimal convolution

The infimal convolution of two functions f and g is defined as

${\displaystyle \left(f\star _{\inf }g\right)(x)=\inf \left\{f(x-y)+g(y)\, \,y\in \mathbf {R} ^{n}\right\}.}$

Let f₁, ..., f_m be proper convex functions on Rⁿ. Then

${\displaystyle \left(f_{1}\star _{\inf }\cdots \star _{\inf }f_{m}\right)^{\star }=f_{1}^{\star }+\cdots +f_{m}^{\star }.}$

Fenchel's inequality

For any function f and its convex conjugate f * Fenchel's inequality (also known as the Fenchel–Young inequality) holds for every x ∈ X and p ∈ X*, i.e., independent x, p pairs,

${\displaystyle \left\langle p,x\right\rangle \leq f(x)+f^{\star }(p).}$

See also

• Dual curve
• Projective duality
• Young's inequality for products
• Convex conjugate
• Moreau's theorem
• Integration by parts
• Fenchel's duality theorem

References

• Courant, Richard; Hilbert, David (2008). Methods of Mathematical Physics. 2. John Wiley & Sons. ISBN 978-0471504399.
• Arnol'd, Vladimir Igorevich (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-96890-3.
• Fenchel, W. (1949). "On conjugate convex functions", Can. J. Math 1: 73-77.
• Rockafellar, R. Tyrrell (1996) [1970]. Convex Analysis. Princeton University Press. ISBN 0-691-01586-4.
• Zia, R. K. P.; Redish, E. F.; McKay, S. R. (2009). "Making sense of the Legendre transform". American Journal of Physics. 77 (7): 614. arXiv:0806.1147. Bibcode:2009AmJPh..77..614Z. doi:10.1119/1.3119512.

Further reading

• Nielsen, Frank (2010-09-01). "Legendre transformation and information geometry" (PDF). Retrieved 2016-01-24.
• Touchette, Hugo (2005-07-27). "Legendre-Fenchel transforms in a nutshell" (PDF). Retrieved 2016-01-24.
• Touchette, Hugo (2006-11-21). "Elements of convex analysis" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2016-02-01. Retrieved 2016-01-24.

External links

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• Legendre transform with figures at maze5.net
• Legendre and Legendre-Fenchel transforms in a step-by-step explanation at onmyphd.com