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라그랑주의 정체성(경계값 문제)

Lagrange's identity (boundary value problem)

일반적인 미분방정식과 그와 연관된 경계 값 문제에 대한 연구에서, Joseph Louis Lagrange의 이름을 따서 명명된 라그랑주의 정체성은 자칭 선형 미분 연산자의 일부에 의한 통합에서 발생하는 경계 용어를 제공한다.라그랑주의 정체성은 스터름-리우빌 이론에서 기본이다.둘 이상의 독립 변수에서 라그랑주의 정체성은 그린의 두 번째 정체성에 의해 일반화된다.

성명서

일반적으로 기능 공간 C에서² 기능 u와 v의 쌍(즉, 두 배 다른 기능)에 대한 라그랑이의 ID는 다음과 같다.^[1]

vL[u]-uL^{*}[v]=\nabla \cdot {\boldsymbol{M},

여기서:

M_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\left(v{\frac {\partial u}{\partial x_{j}}}-u{\frac {\partial v}{\partial x_{j}}}\right)+uv\left(b_{i}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial a_{ij}}{\partial x_{j}}}\right),

그리고

\nabla \cdot {\boldsymbol {M}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial x_{i}}M_{i}}}}}}}

연산자 L과 그 보조 연산자^* L은 다음과 같이 주어진다.

L[u]=\sum _{i,\ j=1}^{n}a_{i,j}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+cu

그리고

L^{*}[v]=\sum _{i,\ j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}(a_{i,j}v)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial (b_{i}v)}{\partial x_{i}}}+cv.

만일 라그랑주의 정체성이 경계 지역에 걸쳐 통합된다면, 발산 정리는 다음과 같은 형태로 그린의 두 번째 정체성을 형성하는 데 사용될 수 있다.

\int_{\Oomega}vL[u]\,d\Oomega =\int_{\UL^{*}[v]\d\Oomega +\int_{S}{\boldsymbol {M\cdot n}\,dS,}

여기서 S는 체적 Ω을 경계하는 표면이며 n은 표면 S에 대해 정상인 단위다.

일반 미분 방정식

형태에 대한 2차 차등분 방정식:

a(x){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}+b(x){\frac}{dx}}{dx}}+c(x)++\frda w(x)y=0,

다음과 같은 형태로 표현할 수 있다.^[2]

{\dplaystyle {\frac {d}{dx}}\좌측(p(x){dy}}{dx}\우측)+\좌측(q(x)+\우측)=0.}

이 일반적인 형태는 다음과 같은 기능 f에 대한 연산으로 정의되는 Sturm-Louville 연산자 L의 도입은 다음과 같다.

Lf={\frac {d}{dx}}\왼쪽(p(x){\frac {df}{dx}\오른쪽)+q(x)f.

다양한 파생상품이 존재하는 모든 u와 v에 대해 일반 미분방정식에 대한 라그랑주의 정체성은 다음을 지탱한다는 것을 보여줄 수 있다.^[2]

uLv-vLu=-{\frac {d}{dx}}\좌측[p(x)]\좌측(v{\frac {du}{dx}-u{dv}{dx}\오른쪽)]

간격[0, 1]에 정의된 일반 미분 방정식의 경우, 라그랑주의 정체성을 통합하여 적분 형태(Green's 공식이라고도 함)를 얻을 수 있다.^[3]^[4]^[5]^[6]

\int_{0}^{1}dx\(uLv-vLu)=\좌측[p(x)]\좌측(u{\frac {dv}{dx}-v{dx}-v{du}}\오른쪽)_{0}^{1},}}

where $p=P(x)$ , $q=Q(x)$ , $u=U(x)$ and $v=V(x)$ are functions of $x$ . $u$ and $v$ having continuous second derivatives on the interval $[0,1]$ $[0,1]$ $[0,1]$ $[0,1]$ ${\displaystyle [0,1$

일반 미분방정식에 대한 형식

다음이 있음:

uLv=u\좌측[{\frac {d}{dx}}\좌측(p(x){dv}{dx}\우측)+q(x)v\우측,

그리고

vLu=v\left[{\frac {d}{dx}}\left(x){dx}}\frac(p(x){du}}}\right)+q(x)u\right].

빼기:

uLv-vLu=u{\frac {d}{dx}}\좌(p)(x){dv}{dx}\우)-v{\frac {d}{dx}\우)-v{\frac {du}{dx}\우).

선행 곱셈 u와 v는 분화 속으로 이동할 수 있는데, 이는 u와 v의 추가 구별되는 항이 두 감산된 항에서 동일하고 단순히 서로를 취소하기 때문이다.그러므로,

{\begin{aligned}uLv-vLu&={\frac {d}{dx}}\left(p(x)u{\frac {dv}{dx}}\right)-{\frac {d}{dx}}\left(vp(x){\frac {du}{dx}}\right),\\&={\frac {d}{dx}}\left[p(x)\left(u{\frac {dv}{dx}}-v{\frac {du}{dx}}\right)\right],\end{aligned}}

라그랑쥬의 정체성이야0에서 1로 통합:

\int_{0}^{1}dx\(uLv-vLu)=\좌측[p(x)]\좌측(u{\frac {dv}{dx}-v{dx}-v{du}}\오른쪽)_{0}^{1},}}

보이는 바와 같이

참조

^ Paul DuChateau, David W. Zachmann (1986). "§8.3 Elliptic boundary value problems". Schaum's outline of theory and problems of partial differential equations. McGraw-Hill Professional. p. 103. ISBN 0-07-017897-6.
^ ^a ^b Derek Richards (2002). "§10.4 Sturm–Liouville systems". Advanced mathematical methods with Maple. Cambridge University Press. p. 354. ISBN 0-521-77981-2.
^ Norman W. Loney (2007). "Equation 6.73". Applied mathematical methods for chemical engineers (2nd ed.). CRC Press. p. 218. ISBN 0-8493-9778-2.
^ M. A. Al-Gwaiz (2008). "Exercise 2.16". Sturm–Liouville theory and its applications. Springer. p. 66. ISBN 1-84628-971-8.
^ William E. Boyce and Richard C. DiPrima (2001). "Boundary Value Problems and Sturm–Liouville Theory". Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (7th ed.). New York: John Wiley & Sons. p. 630. ISBN 0-471-31999-6. OCLC 64431691.
^ Gerald Teschl (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.

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