오스트로그라드스키 불안정

응용수학에서 오스트로그라드스키 불안정성은 2회 이상의 시간파생(상위파생 이론)과 운동 방정식을 갖는 이론의 일부 해결책의 특징이다.그것은 고전 역학에서 미하일 오스트로그라드스키의 정리에 의해 제안되며, 그 정리에 따라 최초의 것보다 더 높은 시간 파생물에 의존하는 비 탈위 라그랑지안은 아래에서 한없는 해밀턴인에 해당한다.늘 그렇듯이 해밀턴인은 레전드르 변형을 통해 라그랑비아인과 연관되어 있다.물리적 현상을 설명하는 데 2보다 높은 순서의 미분방정식이 나타나지 않는 이유에 대한 설명으로 오스트로그라드스키 불안정성이 제안되었다.^[1]그러나 오스트로그라드스키의 정리는 많은 백반증이 알려져 있는 만큼 고선위 이론의 모든 해법이 불안정하다는 것을 의미하지는 않는다.^{[2][3][4][5][6][7][8]}

증빙 개요

증명의 요지는 라그랑지안 $L{\displaystyle }$($q$, q${\displaystyle \stackrel{}{,}}$q${\displaystyle \stackrel{}{,}}$ $){\dot{q}}}$이(가) 있는 1차원 $시스템$을 고려함으로써 더 명확해질 수 있다$.$오일러-라그랑주 방정식은

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q}{dt}}{\frac {\partial L}{dot{q}}+{\d^{dt^{2}}}{\frac {\partial L}{dot}}}}}}}{partial {q}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

$L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$의 비감소성은 표준 좌표를 $q{\displaystyle }$ ${\$의 파생상품과 그 반대로 표현할 수 있음을 의미한다$$.Thus, ${\displaystyle \partial L/\partial {\ddot {q}}}$ is a function of ${\displaystyle {\ddot {q}}}$ (if it was not, the Jacobian ${\displaystyle \det[\partial ^{2}L/(\partial {{\ddot {q}}_{i}}\,\partial {\ddot {q}}_{j})]}$ would vanish, which would mean that ${\displaystyle L}$ is degenerate), meaning that we can write ${\displaystyle q^{(4)}=F(q,{\dot {q}},{\ddot {q}},q^{(3)})}$ or, inverting, ${\displaystyle q=G(t,q_{0},{\$$도트{q}_{0},{\ddot{q}_{0}^{(3)}}}.$$q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$의 진화는 초기 파라미터 4개에 따라$$ 다르므로, 이는 표준 좌표가 4개 있다는 것을 의미한다.라고 써도 된다.

${\displaystyle Q_{1}:=q}$

${\displaystyle Q_{2}:={\dot {q}}$

그리고 공극 모멘텀의 정의를 사용함으로써

${\displaystyle P_{1}:={\frac {\partial L}{\partial {q}-{\prac {d}{dt}}{\partial L}{\partial {\ddod}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle P_{2}:={\frac {\partial L}{\partial {\ddot{q}}}}}$

위의 결과는 다음과 같이 얻을 수 있다.먼저 새로운 동적 변수 ${\displaystyle \lambda }$로 Lagrangian 승수를 도입하여 Lagrangian을 "일반적인" 형태로 다시 작성한다.

${\displaystyle L(q,{\dot {q}},{\ddot {q}})\to {\tilde {L}}=L(Q_{1},{\dot {Q_{1}}},{\dot {Q_{2}}})-\lambda (Q_{2}-{\dot {Q_{1}}})}$,

$여기$에서 Q ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}\lambda }$ ${\displaystyle Q_{1}, Q_{2},\lambda }$에 대한 오일러-래그랑고 방정식이 읽힌다$$.

${\displaystyle Q_{1}:{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{1}}}}}+{\dot {\lambda }}-{\frac {\partial L}{\partial Q_{1}}}=0}$,

${\displaystyle Q_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$: ${\displaystyle \frac{d}{}}$ ${\displaystyle \frac{t}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{L}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ 2${\displaystyle \frac{\stackrel{}{{}_{}}}{}}$+ +${\displaystyle \frac{}{}\frac{\stackrel{}{{q\mathrm{}}_{}}}{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\dplaystyle Q_{2}:{d}}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot$ {$Q_{2}}}}+{\lambda }=0$

${\displaystyle \lambda$$$$Q_{2}-{\dot {Q_{1}}=0$

이제 $L{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\${L$}$에 관한$$ 표준 운동량 P ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{P\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}: L에 관한 표준 운동량 P 1, P 2 {\displaystyle ${\$tile{$L$$}}}$은(는)로 쉽게 나타난다.

${\displaystyle P_{1}={\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {\dot {Q_{1}}}}}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{1}}}}}+\lambda ={\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{1}}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{2}}}}}}$

${\displaystyle P_{2}={\frac {\partial {\tilde{L}}{\partial {Q_{2}}}}={\partial {L}{\partial {\partial {\Q_{2}}:}}}}}}}}}}}}$

하는 동안에

${\displaystyle P_{\lambda }=0}$

이러한 것들이 바로 오스트로그라드스키가 위에서 제시한 정의들이다.해밀턴을 평가하기 위해 더 나아가야 한다.

${\displaystyle {\tilde {H}}=P_{1}{\dot {Q_{1}}}+P_{2}{\dot {Q_{2}}}+p_{\lambda }{\dot {\lambda }}-{\tilde {L}}=P_{1}Q_{2}+P_{2}{\dot {Q_{2}}}-{L}}$,

위의 오일러-래그랑기 방정식을 두 번째 평등에 사용한다.We note that due to non-degeneracy, we can write ${\displaystyle {\ddot {q}}={\dot {Q_{2}}}}$ as ${\displaystyle a(Q_{1},Q_{2},P_{2})}$. Here, only three arguments are needed since the Lagrangian itself only has three free parameters.따라서 마지막 표현은 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ 2,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{Q\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}개에만 의존하며$,$ 사실상 원래의 이론의 해밀턴어로서의 역할을 한다.

${\displaystyle H=P_{1}Q_{2}+P_{2}a(Q_{1},Q_{2},P_{2})-L(Q_{1},Q_{2},P_{2})}$.

우리는 이제 해밀턴인이 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}에서 선형이라는 것을 알게 되었다$.$이는 오스트로그라드스키 불안정의 근원이며, 라그랑지안이 표준 좌표(문제를 특정하는 데 필요한 초기 매개변수에 해당)가 있는 것보다 적은 좌표에 의존한다는 사실에서 비롯된다.고차원 시스템으로의 확장은 유사하며, 고차원 파생상품으로의 확장은 단순히 위상공간이 구성공간보다 훨씬 더 높은 차원임을 의미한다.

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