해밀턴 시스템 은 해밀턴의 방정식 에 의해 지배되는 역동적인 시스템 이다. 물리학 에서 이 역동적인 시스템은 행성계 나 전자기장 의 전자 와 같은 물리적 시스템 의 진화를 기술한다. 이 시스템들은 해밀턴 역학 과 역동적인 시스템 이론 모두에서 연구될 수 있다.
개요 비공식적으로 해밀턴 시스템은 해밀턴 이 물리적 시스템의 진화 방정식을 설명하기 위해 개발한 수학 형식주의다. 이 설명의 장점은 초기 가치 문제 를 분석적으로 해결할 수 없더라도 역학에 대한 중요한 통찰력을 제공한다는 것이다. 한 예로 세 신체의 행성적 움직임이 있는데, 일반적인 문제에 대한 간단한 해결책이 없더라도, 푸앵카레 는 처음 으로 결정론적 혼란 을 보인다는 것을 보여주었다.
형식적으로 해밀턴식 시스템은 해밀턴식인 H( q p {\displaystyle ({\boldsymbol{q},{\boldsymbol{p},t)} [1] The state of the system, r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} generalized coordinates 'momentum' p {\displaystyle {\boldsymbol {p}}} q {\displaystyle {\boldsymbol {q}}} p {\displaystyle {\boldsymbol {p}}} q {\displaystyle {\boldsymbol {q}}} 같은 치수의 N. 따라서 시스템은 2N 차원 벡터에 의해 완전히 설명된다.
r = ( q , p ) {\displaystyle {\bmbol{r}}=({\bmbol{q},{\bmbol{p}})} 그리고 진화 방정식은 해밀턴 방정식에 의해 주어진다.
d p d t = − ∂ H ∂ q , d q d t = + ∂ H ∂ p . {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {q}}}},\\[5pt]&{\frac {d{\boldsymbol {q}}}{dt}}=+{\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {p}}}}. \end{정렬}}} The trajectory r ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)} initial value problem defined by the Hamilton's equations and the initial condition r ( 0 ) = r 0 ∈ R 2 N {\displaystyle {\boldsymbol {r}}(0)={\boldsymbol {r}}_{0}\in \mathbb {R} ^{2N}}
시간독립해밀턴제도 해밀턴이 명시적으로 시간에 의존하지 않는 경우, 즉 H( q p t H ( q ){\displaystyle H({\boldsymbol{q boldsymbol{p},t)= H({\boldsymbol{q},{\boldsymbol{p [1]
파생어
d H d t = ∂ H ∂ p ⋅ d p d t + ∂ H ∂ q ⋅ d q d t + ∂ H ∂ t {\displaystyle {\frac {dH}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\cdot {\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}+{\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\cdot {\frac {d{\boldsymbol {q}}}{dt}}+{\frac {\partial H}{\partial t}}} d H d t = ∂ H ∂ p ⋅ ( − ∂ H ∂ q ) + ∂ H ∂ q ⋅ ∂ H ∂ p + 0 = 0 {\displaystyle {\frac {dH}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\cdot \left(-{\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\right)+{\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\cdot {\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {p}}}}+0=0}
따라서 해밀턴은 움직임의 상수 로, 상수는 시스템의 총 에너지인 H E {\displaystyle H=E} . 예 로는 진자, 조화 진동자 또는 역동적인 당구 가 있다.
예 시간 독립 해밀턴 시스템의 한 예는 조화 발진기다. 좌표 p p {\displaystyle {\boldsymbol {p}=p} q x {\displaystyle {\boldsymbol {q}=x}
H = p 2 2 m + 1 2 k x 2 . {\displaystyle H={\frac {p^{2}}:{2m}+{\frac {1}{2}}:kx^{2}. } 이 체계의 해밀턴인은 시간에 의존하지 않고 따라서 체계의 에너지가 보존된다.
공감 구조 해밀턴 역학 시스템의 한 가지 중요한 특성은 그것이 복합적인 구조 를 가지고 있다는 것이다.[1] 글쓰기
∇ r H ( r ) = [ ∂ q H ( q , p ) ∂ p H ( q , p ) ] {\displaystyle \nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})={\begin{bmatrix}\partial _{\boldsymbol {q}}H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})\\\partial _{\boldsymbol {p}}H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})\\\end{bmatrix}}} 동적 시스템의 진화 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
d r d t = S N ∇ r H ( r ) {\d{\boldsymbol{r}}{dt}=S_{N}\nabla_{\boldsymbol{r}}{\boldsymbol{r}}}}} , where
S N = [ 0 I N − I N 0 ] {\displaystyle S_{N}={\begin{bmatrix}0& I_{N}\\-I_{N}&0\\\end{bmatrix}}} 그리고N 난 N×N 정체성 매트릭스야
이 특성의 한 가지 중요한 결과는 극소수의 위상 공간 볼륨이 보존된다는 것이다.[1] 이것의 진원지는 리우빌의 정리 인데, 해밀턴 계통에서는 폐쇄된 표면의 위상-공간 부피가 시간 진화 하에서 보존된다고 기술하고 있다.[1]
d d t ∫ S t d r = ∫ S t d r d t ⋅ d S = ∫ S t F ⋅ d S = ∫ S t ∇ ⋅ F d r = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{S_{t}}d{\boldsymbol {r}}=\int _{S_{t}}{\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}\cdot d{\boldsymbol {S}}=\int _{S_{t}}{\boldsymbol {F}}\cdot d{\boldsymbol {S}}=\int _{S_{t}}\nabla \cdot {\boldsymbol {F}}\,d{\boldsymbol {r}}=0} 여기 서 제3의 평등은 발산 정리 로부터 나온다.
예 참고 항목 참조 ^ a b c d e Ott, Edward (1994). Chaos in Dynamical Systems . Cambridge University Press.
추가 읽기 알메이다, A. M. (1992) 해밀턴 시스템: 혼돈과 양자화 . 케임브리지의 수학물리학 단문자. 케임브리지 (U.A: 케임브리지 유니브 누름 )오딘, M, (2008) 해밀턴식 시스템 과 그 통합성 . 프로비던스, R. I: 미국수학협회 , ISBN 978-0-8218-4413-7 디키, L. A. (2003) 솔리톤 방정식과 해밀턴식 계통 . 수학 물리학의 고급 시리즈, 대 26. 리버 엣지, NJ: 월드 사이언티픽 . 트레스체프, D, & Zubelevich, O. (2010) 해밀턴 제도의 섭동 이론 소개 . 하이델베르크: 스프링거 자슬라프스키, G. M. (2007) 해밀턴계의 혼돈의 물리학 . 런던: 임페리얼 칼리지 프레스 . 외부 링크 
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {q}}}},\\[5pt]&{\frac {d{\boldsymbol {q}}}{dt}}=+{\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {p}}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/437aa0ec99642bcb902e80319d2f164b6cb51780)
의해 정의된 시스템을 고려하십시오. 
