남부역학

수학에서 난부 역학은 해밀턴 역학을 복수 해밀턴인이 참여하는 일반화한 것이다.해밀턴 역학은 매끄러운 해밀턴인이 공감각 다지관을 통해 생성되는 흐름에 기초하고 있다는 사실을 상기하라.그 흐름은 동일체형이기 때문에 리우빌의 정리를 따른다.이것은 곧 해밀턴인이 포아송 다지관을 넘어 생성되는 흐름으로 일반화되었다.1973년, 난부 요이치로가 해밀턴인이 한 명 이상 있는 난부-포아송 다지관을 포함하는 일반화를 제안했다.^[1]

난부 브라켓

특히, 일부 정수 N 2 2에 대해서는 차동 다지관 M을 고려한다. 하나는^∞ C(M)의 N 사본에서 자체로 부드러운 N-선형 지도로서 완전히 대칭성이 아닌 남부 괄호,

${\displaystyle \{h_{1},\ldots, h_{N-1},\cdot \}:C^{\noth }(M)\time \cdots C^{\noth }}\오른쪽 화살표 C^{\noth }},}$

하나의 파생어로 작용하는 것

${\displaystyle \{h_{1},\ldots, h_{{N-1}=\h_{1},\ldots, h_{N-1}, f\}f+f\{h_{1},\ldots ,h_{N-1},g\},},}$

언제 필리포프 아이덴티티(FI), ^[2](Jacobi 아이덴티티의 진화, 그러나 그것들과는 달리 모든 주장에서 대칭성이 아닌 N ≥ 2 )에 대해:

${\displaystyle \{f_{1},\cdots ,~f_{N-1},~\{g_{1},\cdots ,~g_{N}\}\}=\{\{f_{1},\cdots ,~f_{N-1},~g_{1}\},~g_{2},\cdots ,~g_{N}\}+\{g_{1},\{f_{1},\cdots ,f_{N-1},~g_{2}\},\cdots ,g_{N}\}+\dots }$ ${\displaystyle +\{g_{1},\cdots,g_{{N-1},\f_{1},\cdots,f_{N-1}, ~g_{N}\}}}$

{f₁, ..., f_N−1, •}이(가) N-폴드 제품 {. ,..., .}에 대한 일반화된 파생어로 작용하도록 한다.

해밀턴인과 흐름

N - 1 해밀턴, H₁, ..., H가_N−1 있어 압축 불가능한 흐름을 발생시키고,

${\displaystyle {\frac {d}{dt}f=\{f,H_{1},\ldots,H_{N-1}\}$

일반화된 위상-공간 속도는 분산이 없어 리우빌의 정리를 가능하게 한다.사례 N = 2는 포아송 다지관과 재래식 해밀턴 역학으로 감소한다.

N보다 큰 N의 경우, N-1 해밀턴인은 최대 수의 독립 운동 불변제(cf)로 식별한다.보존 수량) N차원 위상 공간에서 진화하는 초통합형 시스템의 특성.그러한 시스템은 전통적인 해밀턴 역학으로도 설명될 수 있지만, 모든 불변자가 해밀턴 역학과 동일한 기하학적 지위를 누리고 있기 때문에 남부 역학의 틀에서의 설명은 실질적으로 더 우아하고 직관적이다: 위상 공간의 궤적은 이러한 불변성에 의해 지정된 N - 1 과급반경의 교차점이다.따라서 흐름은 이들 해밀턴인의 모든 N - 1 그라데이션에 수직이며, 이때 각 남부 브라켓이 지정한 일반화된 교차 제품과 평행하다.

난부 역학은 유체 역학까지 확장될 수 있는데, 여기서 결과 난부 괄호는 비수체이고 해밀턴인은 엔스트로피나 나선성^[3][4] 등 계통의 카시미르와 동일하다.

난부역학을 정량화하면 기존 정량화와 일치하는 초통합형 시스템(필수적으로)의 흥미로운 구조로^[5] 이어진다.

참고 항목

• 해밀턴 역학
• 심플렉틱 다지관
• 푸아송 다지관
• 포아송 대수
• 통합형 시스템
• 보존수량
• 해밀턴 유체 역학

메모들

참조

• Curtright, T.; Zachos, C. (2003). "Classical and quantum Nambu mechanics". Physical Review. D68 (8): 085001. arXiv:hep-th/0212267. Bibcode:2003PhRvD..68h5001C. doi:10.1103/PhysRevD.68.085001. S2CID 17388447.
• Filippov, V. T. (1986). "n-Lie Algebras". Sib. Math. Journal. 26 (6): 879–891. doi:10.1007/BF00969110. S2CID 125051596.
• Nambu, Y. (1973). "Generalized Hamiltonian dynamics". Physical Review. D7 (8): 2405–2412. Bibcode:1973PhRvD...7.2405N. doi:10.1103/PhysRevD.7.2405.
• Nevir, P.; Blender, R. (1993). "A Nambu representation of incompressible hydrodynamics using helicity and enstrophy". J. Phys. A. 26 (22): 1189–1193. Bibcode:1993JPhA...26L1189N. doi:10.1088/0305-4470/26/22/010.
• Blender, R.; Badin, G. (2015). "Hydrodynamic Nambu mechanics derived by geometric constraints". J. Phys. A. 48 (10): 105501. arXiv:1510.04832. Bibcode:2015JPhA...48j5501B. doi:10.1088/1751-8113/48/10/105501. S2CID 119661148.
• Blender, R.; Badin, G. (2017). "Construction of Hamiltonian and Nambu Forms for the Shallow Water Equations". Fluids. 2 (2): 24. arXiv:1606.03355. doi:10.3390/fluids2020024. S2CID 36189352.